2024年中考数学专项复习：瓜豆原理之曲线型（解析版）

'大招瓜豆原理之曲线型

需模型介绍

运动轨迹为圆

问题1.如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在圆。上运

动时，Q点轨迹是?

解析：。点轨迹是一个圆

理由：。点始终为AP中点，连接A。，取A。中点则M点即为0点轨迹圆圆心，半径

MQ是0P一半，任意时刻，均有△AMQS/XAOP,/一=」■=一.

POAP2

问题2.如图，AAPCJ是直角三角形，/PAQ=90。且AP=2AQ,当P在圆。运动时，Q点轨迹是?

解析：。点轨迹是一个圆

理由：-：AP1AQ,；.。点轨迹圆圆心M满足AM_LA。；

又：NP：AQ=2：1,六。点轨迹圆圆心M满足A。：AM=2：1.

即可确定圆M位置，任意时刻均有AAPOS/\AQM,且相似比为2.

模型总结

13条件：两个定量

（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NPAQ是定值）；

（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）.

国结论

（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：ZPAQ=ZOAM；

（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM,也等于

两圆半径之比.

成3例题精讲

【例如图，A是EIB上任意一点，点C在配外，已知AB=2,BC=4,I3ACD是等边三角

形，则△3CD的面积的最大值为

解：以BC为边作等边△BCM,连接。

VZ£）CA=ZMCB=60°,：.ZDCM=ZACB,

\'DC=AC,MC=BC：./\DCM^^CAB（SAS）,；.£）M=AB=2为定值,

即点。在以M为圆心，半径为2的圆上运动，

当点。运动至BC的中垂线与圆的交点时，

C2边上的高取最大值为2«+2,此时面积为4«+4.

【变式17].如图，线段AB为。。的直径，点C在AB的延长线上，AB=4,BC=2,点

P是O。上一动点，连接CP,以CP为斜边在PC的上方作RtAPCD,且使NOCP=60°,

连接0。，则。。长的最大值为（）

A.Vl9B.273C.273+1D.4

解：如图，作△COE,使得NCEO=90°,/ECO=60°,连接OP,贝!]CO=2CE,OE

=2«,Z0CP=ZECD,

：/CZ）P=90°,ZDCP=60°,

：.CP=2CD,

•.C•—O_—1CP乙

CECD

:AC0Ps/\CED,

•.O•P-_-C-P-乙，

EDCD

即ED=^OP=\（定长）,

2

:点E是定点，DE是定长，

...点。在半径为1的OE上，

OD^OE+DE,

：.ODW2^3+1.

：.OD的最大值为W§+1，

故选：C.

【变式1-2].如图，己知正方形4BCZ)的边长为4,以点C为圆心，2为半径作圆，P是OC

上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°,得到点Q,连接BQ,则BQ的

B.472+2c.2V2+4D.273+4

解：连接A。，CP,

J.AD^DC,NAOC=90°,

由旋转得:

DP=DQ,ZQDP=90a,

ZADC-ZQDC=ZQDP-ZQDC,

：.ZADQ=ZCDP,

：./\ADQ^/\CDP(SAS),

；.AQ=CP=2,

.•.点。的轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆上，

当点。在的延长线时，8。的值最大，如图所示:

的最大值=42+40=4+2=6,故选：A.

【例2】.四边形ABC。是边长为4的正方形，点尸是平面内一点.且满足BPLPC,现将

点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值=2+2JR.

AZBPC=90°,

点P的运动轨迹是以BC为直径的圆，

'：PD.LDQ,PD=QD,

.•.点。的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心。在8A的延长线上，

（可以利用旋转法证明：取2C的中点E,连接。E,PE,将△OEC绕点D顺时针旋转

90°得到△ZM。，连接O。，只要证明即可，推出OQ=PE=的值）

在RtZ\BOC中，OC=依24cl/="+$2=2>/13，

当点。1在C。的延长线上时，CQ1的长最大，最大值为2+2/石，

故答案为2+2J石.

A变式训练

【变式27].如图，线段AB=4,M为48的中点，动点尸到点M的距离是1,连接P8,

线段

PB绕点P逆时针旋转90。得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是二血.

解：以AB为斜边向上作等腰直角△A/B,连接CJ,BC.

'：AM=BM,

：.JM=AM=MB,

4JMB是等腰直角三角形，

△PBC是等腰直角三角形，

:.BJ=®BM,BC=4^PB,/MBJ=/PBC=45°,

ZMBP=ZJBC,

..JB=BC

,MB萨，

...AJBCsAMBP,

.•工=®=&,

PMBM

.•.点c的运动轨迹是以/为圆心，弧为半径的圆，

'：AJ-亚

2

：.AC^AJ+JC=3y]2故线段AC长度的最大值为3&.

【变式2-2].如图，A2=4,。为AB的中点，O。的半径为1,点尸是。。上一动点，以

PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点尸、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长

的取值范围为'2WACW3旅.

AOB

解：如图，作OK_LAB,在OK上截取OK=OA=OB,连接AK、BK、KC、OP.

；0K=04=0B,OK±AB,

：.KA=KB,ZAKB=9Q°,

:AAKB是等腰直角三角形,

'：ZOBK=ZPBC,

：.ZOBP=ZKBC,

..QB_PB_V2

'BKBCT)

:.△OBPs^KBC,

.•&=匹=&,*.•。尸=1,

OPPB

，KC=&,

.•.点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆,

AK=®OA=2®

；.AC的最大值为3加,AC的最小值

:•近WACW3®

故答案为&WACW372-

1.如图，点A是双曲线y=&在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点8,

x

以A8为斜边作等腰Rt^ABC,点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断

的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（）

解：作AOLx轴与点D连接0C,作CELy轴于点E,

「△ABC为等腰直角三角形，点。是的中点，

AOC^OA,CO1AO,

：.ZCOE=Z.AOD,

'：ZOEC=ZODA=90°,

...△OEC<△OZM（A4S）,

：.OD=OE,AD=CE,

设点C的坐标为（x,y）,则点A为（y,~x）,

:点A是双曲线y=2上，

-yx=4,

・••町=-4,

...点C所在的函数解析式为：y=3,

X

故选：C.

2.在中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。是以点A为圆心，2为半径的圆上

一点，连接8。，M为3。的中点，则线段CM长度的最大值为（）

A.7B.3.5C.4.5D.3

解：取AB的中点E,连接4£＞、EM、CE.在直角△ABC中,

E是直角AABC斜边上的中点,

：.CE=—AB=2.5.

2

是3D的中点，E是AB的中点，

：.ME=—AD^\.

2

V2.5-1WCMW2.5+1,

即1.5WCMW3.5.

最大值为3.5,

故选：B.

3.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=4,3C=3,点。是AB的三等分点，半圆0

与AC相切,M,N分别是5C与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是()

A.5B.6C.7D.8

解：如图，设。。与AC相切于点。，连接OO,作。尸，BC垂足为尸交。。于凡

此时垂线段。尸最短，尸尸最小值为。尸-0R

VAC=4,BC=3,

.\AB=5

9：ZOPB=90°,

J.OP//AC

:点。是AB的三等分点，

•CR_2YV10OPOB2

33ACAB3

：.OP=里,

3

•••0。与AC相切于点。，

：.OD±AC,

.,.OD//BC,

•OD=OA=_1

"BCAB§，

：.OD^1,

MN最小值为OP-OF=刍-1=2

33

如图，当N在AB边上时，M与8重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

最大值=9+1=卫，

33

长的最大值与最小值的和是6.

故选:B.

4.如图，一次函数y=2无与反比例函数y=K(k>0)的图象交于A,8两点，点尸在以C

X

(-2,0)为圆心，1为半径的。。上，。是A尸的中点，已知0。长的最大值为3,则

2

解：连接2尸，

由对称性得：OA=OB,

是4尸的中点,

OQ=—BP,

2

长的最大值为3,

2

2尸长的最大值为旦X2=3,

2

如图，当2尸过圆心C时，最长,过2作BDLx轴于D,

VCP=1,

：.BC=2,

•.•8在直线〉=2天上，

设B(f,2/),则CD=t-(-2)=什2,BD=-It,

在RtzXBCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD1,

：.22=（什2）2+（-2力2,

t=0（舍）或-4，

5

：.B（-A,-A）,

55

..•点8在反比例函数>=工（％>0）的图象上，

x

Ak---X（'）=丝；故选：C.

5'5'25

5.如图，在矩形纸片ABC。中，AB=2,4。=3,点E是48的中点，点尸是4。边上的一

个动点，将沿EF所在直线翻折，得到ER则A'C的长的最小值是()

D

A.B.3C.-713-1D.V10-1

2

解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点A'在线段CE上时，A'C的

长取最小值，如图所示.

根据折叠可知：A'E=AE=—AB=1.

2

在RtaBCE中，BE=^AB=1,BC=3,ZB=90°,

2

CE=VBE2+BC2=，

C的最小值=位-4'£=5/io-1.

6.如图，在RtZXABC中，ZABC=90°,NACB=30°,BC=2«,△ADC与△ABC关

于AC对称，点E、尸分别是边。C、BC上的任意一点，且。E=CRBE、相交于点

P,则CP的最小值为（）

A.1B.V3C.—D.2

2

解：如图1,连接8D,

RtZ\ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2«,

：.AB=2,AC=4,

•?AADC与AABC关于AC对称，

:・BC=DC,ZACD=ZACB=30°,

：.ZBCD=60°,

・•・aBDC是等边三角形，

:・BD=CD,ZBDC=ZBCD=60°,

■:DE=CF,

:•△BDE/ADCF,

：./BED=NDFC,

VZBE£)+ZPEC=180°,

AZPEC+ZDFC=180°,

/.ZDCF+ZEPF=ZDCF+ZBPD=1SO°,

・.・NDC/=60°,

：.ZBPD=120°,

由于点尸在运动中保持N5PD=120°,

如图2,・,•点P的运动路径为：以A为圆心，A3为半径的120°的弧,

连接AC与圆弧的交点即为点P,此时。尸的长度最小，

：.CP=AC-AP=4-2=2,

则线段”的最小值为2；

故选：D.

图1图2

7.如图，。。的直径AB=4,尸为O。上的动点，连结AP,。为AP的中点，若点尸在圆

上运动一周，则点。经过的路径长是27r.

：.AO=2,

•.•。为AP的中点，

OQ±AP,

：.ZAQO=90°,

...点。在以AO为直径的圆上运动，

.•.点。经过的路径长为2m故答案为：2P.

8.如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点尸是以。为圆心，2个单位长为半径的

圆上的一个动点，连接AP,以AP为边向AP右侧作等边三角形APB.当点尸在。。上

运动一周时，点B运动的路径长是.

解：如图，连接AO、0P,将40绕点A逆时针旋转60°,得线段A。，，连接。5、OO,,

'：AO^AO',NOAO'=60°,

...△04(7为正三角形，

ZXAPB为正三角形，

AZB4B=60°,PA=BA,

：.ZPAB-ZOAB=ZOAO'-ZOAB,

：.Z.PAO=ABAO,

在△APO与△ABO，中，

2。=AO'

乙PAO=Z.BAO'，

.PA=BA

：.△APO^AABO,,

：.OP=O'B=2,

.•・O。'即为动点2运动的路径，

当点P在。。上运动一周时，点8运动的路径长是4TT

9.如图，。。的半径为3,为圆上一动弦，以4B为边作正方形ABCD求。。的最大

值3+3芯

解：如图，连接A。，OB,将。4绕点A顺时针旋转90°,可得4V,连接OA,A'D,

：.OA=AA'=3,ZOAA'=90°,

：.OA'=342>

•..四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAD^ZOAA'^9Q°,

：.ZOAB=ZA'AD,MOA=AA',AB=AD,

：./\OAB^/\A'AD(SAS)

：.A'D=OB=3,

在△OA'D中，OOWOA+A£>=3&+3,

.•.点A,点。，点。共线时，。。有最大值为3a+3,

故答案为：3A/2+3.

10.如图，在平面直角坐标系中，B(0,4),A(3,0),OA的半径为2,P为。4上任意

解：如图，连接A8,取A8的中点H,连接C〃，OH.

,:BC=CP,BH=AH,

：.CH=^-PA=\,

2

.•.点C的运动轨迹是以以为圆心半径为1的圆,

:B(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

；•OH=yj22+l.52=2.5,

OC的最大值=OH+CH=2.5+1=3.5,

故答案为：3.5.

11.如图，点C是半圆篇上一动点，以8C为边作正方形BCDE(使前在正方形内)，连

OE,若AB=4c机，则OE的最大值为(2-J2+2)cm.

解：如图，连接O。，OE,OC,CE,设。。与。。交于点连接CM,BM,

•..四边形BCDE是正方形，

：.ZBCD=ZCBE=90°,CD=BC=BE=DE,

"：OB=OC,

：.NOCB=/OBC,

：.ZBCD+ZOCB=ZCBE+ZOBC,即/0C£>=NOBE,

：./\OCD^/\OBE(SAS),

：.OE=OD,

过点。作。交0。于点M,连接CM,BM,

则/BCW=2NBOM=45°,

2

•..四边形BCDE是正方形，

/.ZBCE=45°,

；.C、M,E三点共线，即点M在正方形BCDE的对角线CE上，

为定值，

...点。在以M为圆心为半径的圆上，当。。过圆心M时最长，即OE最长,

VZMCB=^ZMOB=^X9Q°=45°,

22

ZDCM=ZBCM=45°,

•.•四边形BCDE是正方形，

；.C、M,E共线，ZDEM=ZBEM,

在AEMD和中，

'DE=BE

<ZDEM=ZBEM-

ME=ME

:.AEMD咨AEMB(SAS),

DM=BM=-7OH2-K）B2=^22+22=2&（cm）,

.♦.OD的最大值=（2、历+2）cm,即OE的最大值=（2、历+2）cm；

故答案为：（2&+2）.

12.如图，点。为坐标原点，O。的半径为1,点A(2,0),动点2在O。上，连接A8,

作等边△ABC(A,B,C为顺时针顺序)，求OC的最大值与最小值.

解：如图，以。4为边，在。4的下方作等边△OA。，连接BD,OC,BO,

D

,?AABC和△049都是等边三角形，

：.AC=AB,AO=AD,ZBAC=ZOAD,

.'.ZOAC^ZBAD,

.♦.△OAC咨△mg（SAS）,

OC=BD,

\"OB=1,OA=OD=2,

：.2-1W8X2+1,

.•.1WBX3,

...1W0CW3,

；.0C的最小值为1,最大值为3.

13.如图，点。在线段AB上，。4=1,。2=2,以点。为圆心、04长为半径的圆为O。，

在。。上取动点P,以尸8为边作△PBC,使/P8C=90°,tanZPCB=A,p、B、C三

2

点为逆时针顺序，连接AC,求AC的取值范围.

解：如图，作使得8〃=2。3=4,连接。尸，AM,CM.

在RtZXABM中，\'AB=OA+OB=1=2=3,BM=4,

*'•AM=VAB2+BM2=V32+42=5'

•0B=BP

"BMBC'

；NOBM=/PBC=90°,

：.ZOBP=ZMBC,

:.AOBPsdMBC,

•OP=B0=1

■"CMBMT

•；OP=1,

：.CM=2,

'：AM-CM^AC^AM+CM,

；.3WACW7.

14.已知：如图，A3是O。的直径，C是O。上一点，ODLAC于点。，过点C作。。的

切线，交。。的延长线于点E,连接AE.

(1)求证：AE与O。相切；

(2)连接BD,若ED：。。=3：1,。4=9,求AE的长；

(3)若A2=10,AC=8,点尸是O。任意一点,点M是弦AF的中点，当点尸在。。

上运动一周，则点M运动的路径长为______.

E

(1)证明：如图1中，连接0C.

E

金

图1

：.AD=DC,

：.EA=ECf

在△OEC和△0E4中，

0E=0E

0C=。4,

.EA=EC

：.AOEC^/\OEA,

：・/OAE=NOCE,

•「EC是。0切线，

：.ECLOC,

：.ZOCE=90°,

：.ZOAE=ZOCE=90°,

：.OALAEf

JAE是OO的切线.

(2)如图1中，设。。=〃，贝ljDE=3〃，

ZAOD=ZAOE,ZODA=ZOAEf

：.AOAD^/\OEAf

.OAOD

••=,

OEOA

4^2=81,

V«>0,

•.ci-5,

・・・OE=18,

在RtAAOE中，AE=y/OE2-OA2=V182-92=9A/3.

(3)如图2中，连接OM,取OA的中点。，，连接O'M.

E

图2

9

：AM=MFf

：.0M1,AF,

'：AOr=OO',OA=OB=5,

1q

：.O'/=方。4=定长=会

...当点尸在。。上运动一周，则点M运动的路径是以。'为圆心|为半径的圆,

_5

.,.点M运动的路径长为2n=5ir.

故答案为5n.

15.若AC=4,以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP.

(1)如图1,取点8,使△ABC为等腰直角三角形，N8AC=90°,将点P绕点A顺时

针旋转90°得到AP.

①点P的轨迹是(填“线段”或者“圆”)；

②CP的最小值是；

(2)如图2,以AP为边作等边△AP。(点A、P、。按照顺时针方向排列)，在点尸运

动过程中，求C。的最大值.

(3)如图3,将点A绕点尸逆时针旋转90°,得到点M,连接PM,则CM的最小值为

「△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,

J.AC^AB,由旋转的性质得：AP^AP,ZB4P'=90°,

/.ZB4C=ZP'AB,

AP'=AP

在ZXAB尸和ZViC尸中，z_P'2B=/.PAC,

-AB=AC

：.AABP'^AACP(SAS),

:.BP'=CP=2,即点P到点B的距离等于定长，

点尸’的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；

故答案为：圆；

②:△ABC是等腰直角三角形，AC=4,

：.BC=V2AC=4V2,

当点P在线段BC上时，CP最小=BC-BP=4夜—2；

故答案为：4加—2；

(2)以AC为边长作等边△AC。，连接。。、CP,如图2所示:

△APQ和△ACD是等边三角形，

：.AP=AQ,AC=AD=CD=4,APAQ=ACAD=6Q0,

：.ZDAQ=ZCAP,

AD=AC

在△ADQ和△ACP中,4DAQ=/.CAP,

,AQ=AP

：./\ADQ^/\ACP(SAS),

：.DQ=CP=2,

当C、D、。三点共线时，C。有最大值=。)+。。=4+2=6；

(3)如图3所示：M