2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概念练习新人教A版选修2-2

PAGEPAGE1§1.5.1曲边梯形的面积§1.5.2汽车行驶的路程§1.5.3定积分的概念[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是①n个小曲边梯形的面积和等于S；②n个小曲边梯形的面积和小于S；③n个小曲边梯形的面积和大于S；④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．A．1 B．2C．3 D．4解析依据“化整为零”、“积零为整”的思想知①是正确的，故选A.答案A2．一物体的运动速度v＝2t＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为A．4 B．3C．2 D．1解析即求eq\i\in(1,2,)(2t＋1)dt.可由其几何意义求解．s＝eq\f(（3＋5）×1,2)＝4.答案A3．已知eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝0，则A.eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0 B.eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0C．2eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0 D．2eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＝0解析由定积分的性质知eq\i\in(－1,1,)f(x)dx＝eq\i\in(－1,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝0.答案B4．已知S1＝eq\i\in(0,1,)xdx，S2＝eq\i\in(0,1,)x2dx，则S1与S2的大小关系是A．S1＝S2 B．Seq\o\al(2,1)＝Seq\o\al(2,2)C．S1>S2 D．S1<S2解析由定积分的几何意义知S1＝S△OAB，S2为图中的阴影部分，故S1>S2.答案C5.eq\i\in(0,a,)eq\r(a2－x2)dx的值为A.eq\f(π,4)a2 B.eq\f(π,2)a2C．πa2 D．－eq\f(π,4)a2解析由定积分的几何意义易知eq\i\in(0,a,)eq\r(a2－x2)dx为圆x2＋y2＝a2的面积的eq\f(1,4)，故选A.答案A6．直线x＝1，x＝－1，y＝0及曲线y＝x3＋sinx围成的平面图形的面积可表示为A．2eq\i\in(－1,1,)(x3＋sinx)dx B．2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dxC.eq\i\in(－1,0,)(x3＋sinx)dx D.eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx解析因函数y＝x3＋sinx是奇函数，则由定积分的几何意义可知，S＝2eq\i\in(0,1,)(x3＋sinx)dx.故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若eq\i\in(0,a,)xdx＝1，则实数a的值为________．解析由定积分的几何意义知：eq\i\in(0,a,)xdx＝eq\f(1,2)×a×a＝1(a＞0)，则有a＝eq\r(2).答案eq\r(2)8．曲线y＝eq\f(1,x)与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．解析如图所示，阴影部分的面积可表示为eq\i\in(1,2,)xdx－eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx.答案eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx9．若＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sinx及x轴围成的图形的面积为________．解析由正弦函数与余弦函数的图象，知f(x)＝sinx，x∈[0，π]的图象与x轴围成的图形的面积等于g(x)＝cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的图象与坐标轴围成的图形的面积的2倍，所以S＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2.答案2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)利用定积分的定义计算eq\i\in(1,2,)(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上说明这个值表示什么．解析令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1，2]等分为n个小区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1，2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和取ξi＝1＋eq\f(i,n)(i＝1，2，…，n)，则Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))·Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))\s\up12(2)＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i,n)))))·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq\f(2,n2)[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]＝－eq\f(1,n3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n（2n＋1）（4n＋1）,6)－\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)))＋eq\f(2,n2)·eq\f(n（n＋1＋2n）,2)＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋eq\f(1,n).(3)取极限eq\i\in(1,2,)(－x2＋2x)dx＝Sn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,n)))＋\f(1,6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,n)))＋3＋\f(1,n)))＝eq\f(2,3)，eq\i\in(1,2,)(－x2＋2x)dx＝eq\f(2,3)的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．11．(12分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[－2，2），,2x，[2，π），,cosx，[π，2π]，))求eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx的值．解析由定积分的几何意义知eq\i\in(－2,2,)x3dx＝0，eq\i\in(2,π,)2xdx＝eq\f(（2π＋4）（π－2）,2)＝π2－4，eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝0.由定积分的性质得eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,2,)x3dx＋eq\i\in(2,π,)2xdx＋eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝π2－4.12．(13分)利用定积分的几何意义计算下列定积分．(1)eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx；(2)eq\i\in(0,3,)eq\r(（2－x）2)dx.解析(1)如图所示，阴影部分的面积为eq\f(（2＋5）×1,2)＝eq\f(7,2)，从而eq\i\in(0,1,)(3x＋2)dx＝eq\f(7,2).(2)原式＝eq\i\in(0,3,)|2－x|