2024年中考数学二轮复习讲义-分式

专题02分式

考点分析

了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分

式加、减、乘、除运算。

【高效复习法】

1.分式有、无意义和分式的值为零是常见考点，也经常和函数有意义的条件相关联.

2.分式化简时，分子、分母可以因式分解的一定要先因式分解，再约分，化为最简分式

或整式；

3.当整式与分式进行加减运算时,要将整式看作分母为1的式子，然后进行通分.

考点解读

考点1：分式的有关概念

A

（1）分式：形如万（A,8是整式，且3中含有字母,2加）的式子.

A

⑵无意义的条件：当8=0时,分式一无意义；

B

A

⑶有意义的条件：当班0时,分式一有意义；

B

A

⑷值为零的条件：当A三0,成0时，分式万=0.

考点2：分式的基本性质

4ACA4-C

（1）基本性质：一(*).

BB+C

(2)由基本性质可推理出变号法则为：

A_-A_-(-A)A_-A_A

B~-B~B；B~B~-B

考点3：分式的运算

（1）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.

nrnH

（2）约分（可化简分式）：把分式的分子和分母中的公因式约去，即一=-；

bmb

（3）通分（可化为同分母）：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即

ac=acbd

b5dbe5be

（4）最简公分母的定义：

通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次累的积作公分母，这样的公分母叫做最

简公分母.

一般方法：

①如果各分母都是单项式,那么最简公分母就是各系数的最小公倍数,相同字母的最高次幕,

所有不同字母都写在积里.

②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，

凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幕的因式都要取最高次幕.

（5）分式的加减

⑴同分母：分母不变，分子相加减.即整=产；

⑵异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减•即钙=丝箸.

（6）分式的乘除

⑴乘法：耨=繇⑵除法:（3）乘方：⑶"=1（〃为正整数）.

。“煞bdbc_yb）b

考点4：分式的化简求值

（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.

（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后

算加减，若有括号，先算括号里面的.

失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式,再代入求值.

代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.

考点突破

1.在式子上，电，一J,2也，一J中，分式的个数为（）

a3a-b兀2_2

及¥J

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.若分式有意义，则x的取值范围是（)

l-2x

A.x^OB.C.x>D.X<

b2l1

3.若分式上L的值为零，则X的值等于（

2x+2

A.-1B.0C.2D.1

2x-14xy-2y的值

4.已知!」=3,则代数式()

xyx-2xy-y

A.4B.9C.-4D.-8

5.若包上，则下列变形错误的是（

b3

Aab~--B.3上C.3a=2Z?D.2。=3Z?

23ba

21

6.化简匚L正确的是（

x-l

J-](x-l)21

A.

X-lX-lX-l

x2-l(x-l)2

B.x-1

x-lx-l

x?-1(x+1)(x-l)

C.=x+l

X-lX-1

J-](x+1)(x-l)1

D.

X-lX-1x+1

7.将分式号.与分式J+1通分后,a+1的分母变为(1+a)(1-a)2,则」_

1-aa-2a+la2-2a+l1-a2

的分子变为（)

A.1-aB.1+aC.-1-aD.-1+a

8.下列各分式中,是最简分式的是（)

2x2+2x+l

A.LB.

2xx+1

C.再D.X-1

21

Xx-1

富一与;一的最简公分母是

9.)

a-aba+ab

A.a(〃+Z?)B.a(a-b)

C.a(a+b)(〃-b)D.a(4+/?)(a-Z?)

10.计算（乌）3乂（生）2+（3）2的结果是（）

b2aa

A.B._8a3C.16/D._16a2

b6

ii.下列有理式亘竺，主2,会私，三竺，23，x+/i中，分式有..个・

3x兀a+bn

12.在分式.乙到"1_中,当冗=时，分式无意义.

2-x

2

13.当％=时，分式三Q:2的值为0.

3-x

14.已知x为整数,且分式号的值为整数,则x可取的所有值为一

X-1

15.己知：工工工,则x-y+3z=.

432x

16.已知x=-4时，分式上且无意义，尤=2时，此分式的值为零，求分式史上的值.

2x+aa-3b

17.我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的

基本性质，等等.小学里，把分子比分母小的数叫做真分数.类似的，我们把分子的次

数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以

化成整式与真分式的和的形式.如：211=三上在_=左1+，_=1+2.

x-1x-lx-lx-lx-l

（1）请写出分式的基本性质；

（2）下列分式中，属于真分式的是；

A.-^-B.2L^C.-—^―O.x：+]

x-lx+12x-l

2q

（3）将假分式生出，化成整式和真分式的形式.

m+1

18.自学下面材料后，解答问题

分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式，如：三2>o；空3<o等.那么如何求

x+1X-l

出它们的解集呢？

根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负.其字母表达式

为:

(1)若〃>0,b>3则包>0；若〃<0,/?<0,则包>0

bb

(2)若〃>0,Z?<0,则包VO；若〃V0,Z?>0,则包VO

bb

反之：⑴若包>0,则]a>°或卜<0

b[b>0[b<0

(2)若包<0,则或.

b

根据上述规律

(1)求不等式主2<o的解集.

x+l

(2)直接写出一个解集为尤>3或x<l的最简分式不等式.

19.计算：

(1)[(3x+l)(x+3)-3(6x+l)匕尤；

(2)(2)4.(--3b2s2+_2_.

’4a，a5b6

20.⑴计算：|-4|-(-1)2--./3xtan30°+^(-2)2-

22

(2)化简：x+4x+4+2x.

J-42x-x2

参考答案

1.【解答］解：］，JX这3个式子分母中含有字母,因此是分式.

2

aa-bx2_y

其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式.

故选：B.

【点拨】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知

数.

2.【解答】解：由题意得：1-2_#0,

解得：x^—,

2

故选：B.

【点拨】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等

于零.

3.【解答】解：：尤-1=0,2x+2#0,

•»x=1.

故选：D.

【点拨】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分

母不等于0是解题的关键.

4•【解答】解：•.•工」=3，

Xy

•y-x

,,----二3，

xy

Ax-y=-3孙，

・2(x-y)-14xy2X(-3xy)-14xy-20xyd

(x-y)-2xy-3xy-2xy-5xy

故选：A.

【点拨】此题考查的是分式的值，对已知等式进行正确变行是解决此题关键.

5•【解答】解：•.•包=2,

b3

3a=2b,

A.:包=电，

23

：.3a=2b,故本选项不符合题意；

B.•.•旦=2,

ba

：.3a=2b,故本选项不符合题意；

C.3a=2b,故本选项不符合题意；

D.2a=3b,故本选项符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查了分式的基本性质，能根据分式的性质求出3〃=2b是解此题的关键.

6.【解答]解：原式=(x+1)(X-1)=/1,

X-1

故选：C.

【点拨】此题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式.

7•【解答】解：两分式的最简公分母为(1+。)(1-〃)2,

•]______1___________1一a_____,

22

1-a(l+a)(l-a)(i+a)(l-a)

则一三的分子变为1-d

li-a2

故选：A.

【点拨】此题考查了通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母.

8•【解答】解：A.原式=三，不符合题意；

2

B.原式=不符合题意；

x+1

C.原式为最简分式，符合题意；

D.原式一㈡一不符合题意.

(x+1)(x-1)x+1

故选：C.

【点拨】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键.

9•【解答】解：=1,—j^=1,

2

a-aba(a-b)a+aba(a+b)

两式的最简公分母为a(a+6)(a-6).

故选：C.

【点拨】此题考查了最简公分母，单项式乘多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式及

运算法则是解本题的关键.

322n3A2Q3

10•【解答】解：原式=-咚•丝L吗8a.4b.a=_8a

b,6a2a2bv.6a24Jb-12-bi6

故选：B.

【点拨】解决乘法、除法、乘方的混合运算，容易出现的是符号的错误，在计算过程中

要首先确定符号.

11•【解答】解：三2,三空，2二，x+x-1的分母中含有字母，属于分式，

xa+bn

故答案是：4.

【点拨】本题主要考查分式的定义，需注意的是兀不是字母，而是常数.

12•【解答】解：当分母2-尤=0,即尤=2时，分式丝支无意义.

2-x

故答案是：2.

【点拨】本题考查了分式有意义的条件.从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义=分母为零；

（2）分式有意义今分母不为零；

（3）分式值为零0分子为零且分母不为零.

13.【解答］解：由题意得：x2-9=0,且3-存0,

解得：尤=-3,

故答案为：-3.

【点拨】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于

零且分母不等于零.

注意：“分母不为零”这个条件不能少.

14.【解答］解：由题意得，尤1,2,-2

故尤-1=-1,x—0；

x-1—1,尤=2；

x~1=2,x~~3f

x-1=-2,x=-1

V?-1#0,

故答案为：0,2,3.

【点拨】本题考查了分式的值，认真审题，抓住关键的字眼,是正确解题的出路,注意存±1.

15.【解答］解：令尤=4丸y=3k,z=2k,代入七色£=丝史1=工

x44

故答案为：1.

4

【点拨】解决此题的关键是利用了特殊值法，这是解填空题和选择题常用的方法，省时

又省力.

16•【解答】解：：分式无意义，

.,.2x+tz=0即当％=-4时，2x+a=0.

解得4=8

•••分式的值为0,

.,.x-b—0,即当尤=2时，x-b—0.

解得b=2

•a+b8+2

"a-3b=8-3X2=b-

【点拨】本题考查了分式无意义、值为0的条件及求分式值.根据分式无意义、值为0

确定6的值是解决本题的关键.

17•【解答】解：(1)分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的分式

值不变.

(2)根据题意得：选项C的分子次数是0,分母次数是1,分子的次数小于分母的次数

是真分式.而其他选项是分子的次数均不小于分母的次数的分式，故ABD选项是假分式.

故选C.

m2+322

(3)=in-1+4=m-l_l+±

m+1m+1m+1m+1m+1

【点拨】本题考查了分式的基本性质：分式