2024年中考数学二次函数压轴题：面积定值问题（学生版+解析）

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图，抛物线y=-d+2x+3与无轴交于A、B两点、(点A在点8左侧)，与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段2C上方部分取一点P,连接尸8、PC,若△P2C面积为3,求点P坐标.

思路1：铅垂法列方程解.

根据8、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,

设点P坐标为^m,—m2+2〃z+3),

过点P作PQy_x轴交于点。，

则点Q坐标为(m,-m+3),

PQ=加？+2m+3)—(一〃？+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3词=3,

分类讨论去绝对值解方程即可得相的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取8C作水平宽可知水平宽为3,根据△PBC面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点。使得CQ=2,过点。作BC的平行线,

交点即为满足条件的P点.

当点。坐标为(0,5)时，解析式为：y=-x+5,

耳夫五方:—厂+2x+3=—x+5,解即可.

当点。坐标为(0,1)时，解析式为：y=-x+\,

联立方程：-X2+2X+3=-X+1,解之即可.

在平面直角坐标系中，直线y=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y-ax2+bx+c(。＜0)经过

点A、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点P,使的面积为1?若存在，请求出符合条件的所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、8水平距离为2,△B48的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当。二-1时，可得b=-l,抛物线解析式为y=-N-x+2.

取点C(0,3)作A5的平行线，其解析式为：产X+3,

联立方程-%2_1+2=%+3,解得X=-1,故点《坐标为(-1,2)

取点。(0,1)作A3的平行线，其解析式为：y=x+l,

联立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真题演练

1.(2023•浙江湖州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=Y-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上,

(2)如图2,将矩形ABC。沿无轴正方向平移f个单位(0</<3)得到对应的矩形AB'C'D.已知边C'。'，A!B'

分别与函数y=--4x+c的图象交于点P,Q,连接尸2,过点尸作PGLAF于点G.

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质;

⑵点P是函数、=-2|城+4kl图象上的一动点，点4（2,0）,点8（-2,0）,当/皿=3时，请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标；

4.（2023・辽宁盘锦・中考真题）如图，抛物线>=加+法+3与x轴交于点A（-l,0）,*3,0）,与，轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式.

（3）如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交V轴于点D,AE的延宽线交抛物线于点P,点b在线段CO

上，且CV=OD,连接E4FE,BE,BP,若名人氏=，求面积.

5.（2023・湖南・中考真题）如图，二次函数y=x2+6x+c的图象与x轴交于A,8两点，与V轴交于C点,

其中8（1，。），。（0,3）.

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵在二次函数图象上是否存在点P,使得&MC=SAABC?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理

由；

6.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线，=-/+法+。上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点8,点/

为y轴负半轴上一点，且OM=2,连接AC,CM.

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当时，求点P的坐标;

7.(2023・四川泸州・中考真题)如图，在平面直角坐标系尤0Y中，已知抛物线、=依2+2》+。与坐标轴分另(!

相交于点A,B,C(0,6)三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式；

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与,轴，直线BC交于点E.

①当CD=CE时，求CD的宽；

②若CAD,CDE,的面积分别为S，邑，邑，且满足S|+S3=2S2,求点尸的坐标.

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图，抛物线y=—x2+2x+3与无轴交于A、8两点（点A在点2左侧），与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段8c上方部分取一点P,连接PB、PC,若△P8C面积为3,求点P坐标.

思路1:铅垂法列方程解.

根据8、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,

设点尸坐标为［tn,-nT+2m+3）,

过点P作PQLx轴交8C于点。,

则点Q坐标为（机，-5+3）,

PQ=|（一〃，+2m+3）—〃z+3）|=>+3/«|,

2

SPBC=万x3x|—m+3m|=3,

分类讨论去绝对值解方程即可得〃2的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取8c作水平宽可知水平宽为3,根据△P8C面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点Q使得CQ=2,过点Q作BC的平行线，

交点即为满足条件的尸点.

X

当点。坐标为(0,5)时，解析式为：y=-x+5,

联立方程：-尤2+2x+3=-x+5,解之即可.

当点Q坐标为(0,1)时，P。解析式为：y=-x+l,

联立方程：-x1+2x+3=-x+i,解之即可.

在平面直甭坐标系中，直线y=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y=办？+bx+c(a<0)经过

点A、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)如图，当。=-1时，在抛物线上是否存在点尸，使的面积为1?若存在，请求出符合条件的所

有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

A

/。|\

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点8坐标为(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、5水平距离为2,△B48的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当〃二-1时，可得b=-l,抛物线解析式为y=R_x+2.

取点C(0,3)作A5的平行线，其解析式为：y=x+3,

联立方程-N-X+2=X+3,解得X=-1,故点《坐标为(-1,2)

取点。(0,1)作A8的平行线，其解析式为：y=x+l,

联立方程-承-x+2=%+1,解得玉=-1+^2,x?——1—\/2.

三、中考真题演练

1.(2023•浙江湖州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系X。〉中，二次函数y=V-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形ABCD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在x轴，y轴上,

(2)如图2,将矩形A3CD沿尤轴正方向平移f个单位(0<r<3)得到对应的矩形A'B'C'D.已知边。力，A'B'

分别与函数y=/-4x+c的图象交于点P,Q,连接P。，过点尸作PGLAB'于点G.

①当7=2时，求QG的宽；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的右使得△户口的面积为1?若存在，求出此时f的值；若不存

在，请说明理由.

【分析】（1）把（0,5）代入抛物线的解析式即可求出c,把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标；

（2）①先判断当/=2时，£>0,A的坐标分别是（2,0）,（3,0）,再求出x=3,x=2时点。的纵坐标与点尸

的纵坐标，进而求解；

②先求出0G=2,易得P,。的坐标分别是一期+5）,然后分点G在点。的上方与点

G在点。的下方两种情况，结合函数图象求解即可.

【详解】（1）•••二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0,5）,

••c=5,

••y=~4x+5=（x-2y+1,

；•顶点M的坐标是（2,1）.

（2）①在x轴上，8的坐标为（1,5）,

；•点A的坐标是（1,0）.

当/=2时，A的坐标分别是（2,0）,（3,0）.

当x=3时，>=（3-2『+1=2,即点。的纵坐标是2,

当x=2时，y=（2-2j+l=l,即点尸的纵坐标是1.

•；PGlArBr,

・'•点G的纵坐标是1,

/.QG=2-1=1.

②存在.理由如下：

：△PGQ的面积为1,PG=1,

QG=2.

根据题意，得P,Q的坐标分别是（，,r-4「+5）,«+“-2f+2）.

如图1,当点G在点。的上方时，。6=/一十+5-92-27+2）=3-2/=2,

=22—3=2,

此时r=g（在0<r<3的范围内）.

•一1十5

・・/或7.

22

2.（2023•四川甘孜•中考真题）已知抛物线y=d+6x+c与无轴相交于A（-l,0）,B两点，与y轴相交于点

C（0,-3）.

（2*为第一象限抛物线上一点，.P3C的面积与,ABC的面积相等，求直线AP的解析式;

【分析】（1）由待定系数法即可求解;

（2）5"g=5%比得到叱〃5。，即可求解;

l-b+c=0,

【详解】（1）由题意，得

c=-3.

b=—2,

（2）由（1）得抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

令＞=0,贝！1%2-2犬一3=0,得无i=T，尤2=3.

•••8点的坐标为（3,0）.

S&PBC=^AABC，

：.AP//BC.

：8（3,0）,C（0,-3）,

直线3c的解析式为y=x-3.

,?AP//BC,

...可设直线AP的解析式为y=x+m.

A（T,0）在直线AP上，

・・0=-1+171.

m=1.

，直线AP的解析式为y=x+i.

3.（2023•内蒙古呼和浩特•中考真题）探究函数y=-2讨+4国的图象和性质，探究过程如下:

⑵点P是函数y=-2|x「+4忖图象上的一动点，点A（2,0）,点3（-2,0）,当/皿=3时，请直接写出所有

满足条件的点歹的坐标；

【分析】（1）把尤=-1代入解析式，求出〃，的值即可，描点，连线画出函数图形，根据图形写出一条性质即

可；

（2）利用ZMB=B><4X屏|=3,进行求解即可.

【详解】⑴解：当x=-l时，y=-2x卜/+4卜1卜-2+4=2,

m=2,

根据题干中的表格数据，描点，连线，得到函数图象，如下:

由图象可知：图象关于y轴对称；

故答案为：4.

⑵解：：点A（2,0）,点B（-2,0）,

，AB=4,

SAFAB=-x4x|yF|=3,

l^l=|>

力=±1^

当力=|时：-2|X|2+4|X|=|,

XX

解得：玉=~-^2=~~^3=万，%4

••.4±日或尸D

当力=_［时：_2国2+4国=_：

解得：芯=+1,x2=一^~一\,

1222

综上：“土T，一口或或尸］±|目；

4.（2023・辽宁盘锦・中考真题）如图，抛物线y=o?+bx+3与无轴交于点A（-l,0）,以3,0）,与V轴交于点C.

。

\l

图I

(1)求抛物线的解析式.

(3)如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交V轴于点O,AE的延宽线交抛物线于点P,点P在线段CO

上，且CF=OD,连接丛FE,BE,BP,若5人在=%4跖，求R4B面积.

【详解】(1)解：抛物线y=&+fcv+3与x轴交于点A(-1,O),8(3,0),

0+3=0

.•19〃+3。+3=0'

a=-1

解得:

b=2

，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；

(3)解：设点尸卜机-4+2机+3),直线A尸的解析式为＞=区+"

A(-l,0),

\-k+b=G

km+b=-m2+2m+3

k=-(7?1-3)

解得：，

b=-(m-3)，

直线AP的解析式为y=-(m-3)x-(w-3),

当x=0时，3;=-(m-3)=3-m,

/.(0,3-m),

/.OD=3-m,

CF=OD=3—相，

在抛物线y=—尤2+2%+3中，当犬=0时，y=3,

.•.C（0,3）,

OC=3,

/.DF=OC-OD-CF=3-（3-m）-（3-m）=2m-3,

设点£的坐标为（。—（加―3"—（m—3），

A（-1,O）,5（3,0）,

:.AB=4,

■^/\AFE=^AABE，

:.^DF\xA-xE^=^AByE,

；x（2加一3）x（，+l）=/x4x[-（加一3），一（加一3）],

解得：m=1,

二点尸的坐标为（|，£|,

。

sPAB^1~A…Bxyp^~1x4,x7~=7~-

5.（2023・湖南・中考真题）如图，二次函数y=d+6x+c的图象与x轴交于A,8两点，与V轴交于C点,

其中3（1,0）,C（0,3）.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点P,使得S“AC=SAABC?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理

由；

【详解】(1)解：将点3(1,0),C(0,3)代入y=>+6x+c,得

fl+Z?+c=O

[c=3

[b=-4

解得：,

[c=3

•••抛物线解析式为y=f-4x+3；

（2）Vy=x2-4x+3=（X-2）2-1,

顶点坐标为（2,1）,

当y=0时，x2-4x+3=0

解得：尤i=l,%=3

A（3,0）,则。4=3

VC（0,3）,则OC=3

AOC是等腰直角三角形，

••V—V

•°APAC-

/.P到AC的距离等于B到AC的距离，

•••4（3,0）,C（0,3）,设直线AC的解析式为了=履+3

3左+3=0

解得：k=-l

直线AC的解析式为>=-尤+3,

如图所示，过点8作AC的平行线，交抛物线于点尸,

设BP的解析式为y=-x+d,将点3（1,0）代入得,

-l+d=0

解得：d=l

/.直线BP的解析式为y=f+1,

(y=-X+l

[y=x2-4,r+3

二或元=2

解得:

y=oy=-i

P（2,-l）,

•/PA=^（3-2）2+12=J2,PB=,J（2-1）2+12=y[2,AB=3-l=2

P^+PB1=AB1

AB尸是等腰直角三角形，且/APB=90。，

如图所示，延宽R4至。，使得小＞=24,过点。作AC的平行线DE,交x轴于点E,则D4=R4,则符

合题意的点尸在直线OE上，

「△APB是等腰直角三角形，DE//AC,ACYPD

：.ZDAE=ZBAP=45°PD±DE

VADE是等腰直角三角形，

AE=^AD=-fiAP=2

：.E（5,0）

设直线DE的解析式为V=-x+e

•**-5+e=0

解得：e=5

直线DE的解析式为y=-x+5

y=-x+5

联立

y=x2-4x+3

3-A/173+717

x=---------x=----------

2

解得：或，

7+V177-V17

-V=­

.「3—历7+g卜/3+而7一口

综上所述，取-1）或尸^^,心,尸］”,。）；

6.（2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）综合与探究

如图，抛物线》=-炉+云+。上的点A,C坐标分别为（0,2）,（4,0）,抛物线与x轴负半轴交于点8,点M

（1）求点M的坐标及抛物线的解析式;

（2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当％MC=SMCM时，求点尸的坐标;

【分析】（1）根据点M在y轴负半轴且加=2可得点M的坐标为M（0,-2）,利用待定系数法可得抛物线

7

的解析式为y=-Y+5x+2；

（2）过点尸作依轴于点R交线段AC于点E,用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-：x+2,

设点尸的横坐标为P（0<P<4）,则尸［p,-p2+：p+2）,+,故尸E=-p2+4p（0<p<4）,先

求得S^CM=8,从而得至l］S&Ac=；PE-OC=-2p2+8p=8,解出p的值，从而得出点尸的坐标；

【详解】（1）解：：点M在y轴负半轴且31=2,

将4（0,2）,C（4,0）代入了一+匕尤+,,得

c=2

-16+4b+c=0

b=一

解得2

c=2

7

抛物线的解析式为y=~x2+~x+2

（2）解：过点尸作轴于点F,交线段AC于点E,

设直线AC的解析式为y=kx+m（k中0）,

将4(0,2),。(4,0)代入广红+利，得

「0L1

\m=2k=——

八，解得2,

\4k+m=0。

i\m=2

直线AC的解析式为〉=-;x+2

设点尸的横坐标为M°<0<4)

则尸[p,-p2+(p+2],E[p,_gp+2),

PE=_p2+gp+2-+=_p2+4p(0<p<4)

2

SAACM=8,SAPAC=1PE.OC=-2p+8p=8,解得P1=p?=2,

•••P(2,5)

7.（2023・四川泸州・中考真题）如图，在平面直角坐标系尤中，已知抛物线y=2+2%+。与坐标轴分另1J

相交于点A,B,C（o,6）三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式；

（2）点P是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线"分别与y轴，直线BC交于点o,E.

①当CD=CE时，求8的宽；

②若CAD,CDE,△CEF的面积分别为H，色，S3,且满足耳+S3=2SZ,求点P的坐标.

【答案】⑴丁=-豆/+2工+6

⑵①8-2虎；②尸（4,6）

【分析】（1）根据抛物线对称轴为尤=2,可得一或9=2,求得。=一：1，再将C（0,6）代入抛物线，根据待定系

数法求得c,即可解答；

（2）①求出点3,点A的坐标，即可得到直线BC的解析式为y=r+6,设CD=a,则£>（0,6-。），求得

AD的解析式，列方程求出点E的坐标，最后根据CD=CE列方程，即可求出8的宽；

②过E『分别作A3的垂线段，交A3于点G,”，过点。作