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文档简介

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图,抛物线y=-d+2x+3与无轴交于A、B两点、(点A在点8左侧),与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段2C上方部分取一点P,连接尸8、PC,若△P2C面积为3,求点P坐标.

思路1:铅垂法列方程解.

根据8、C两点坐标得直线BC解析式:y=-x+3,

设点P坐标为^m,—m2+2〃z+3),

过点P作PQy_x轴交于点。,

则点Q坐标为(m,-m+3),

PQ=加?+2m+3)—(一〃?+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3词=3,

分类讨论去绝对值解方程即可得相的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取8C作水平宽可知水平宽为3,根据△PBC面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点。使得CQ=2,过点。作BC的平行线,

交点即为满足条件的P点.

当点。坐标为(0,5)时,解析式为:y=-x+5,

耳夫五方:—厂+2x+3=—x+5,解即可.

当点。坐标为(0,1)时,解析式为:y=-x+\,

联立方程:-X2+2X+3=-X+1,解之即可.

在平面直角坐标系中,直线y=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y-ax2+bx+c(。<0)经过

点A、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)如图,当。=-1时,在抛物线上是否存在点P,使的面积为1?若存在,请求出符合条件的所

有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),

代入解析式可得:c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、8水平距离为2,△B48的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当。二-1时,可得b=-l,抛物线解析式为y=-N-x+2.

取点C(0,3)作A5的平行线,其解析式为:产X+3,

联立方程-%2_1+2=%+3,解得X=-1,故点《坐标为(-1,2)

取点。(0,1)作A3的平行线,其解析式为:y=x+l,

联立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真题演练

1.(2023•浙江湖州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=Y-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形ABCD的顶点。与原点。重合,顶点A,C分别在x轴,y轴上,

(2)如图2,将矩形ABC。沿无轴正方向平移f个单位(0</<3)得到对应的矩形AB'C'D.已知边C'。',A!B'

分别与函数y=--4x+c的图象交于点P,Q,连接尸2,过点尸作PGLAF于点G.

请画出该函数图象的另一部分.观察图象,写出该函数的一条性质;

⑵点P是函数、=-2|城+4kl图象上的一动点,点4(2,0),点8(-2,0),当/皿=3时,请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标;

4.(2023・辽宁盘锦・中考真题)如图,抛物线>=加+法+3与x轴交于点A(-l,0),*3,0),与,轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式.

(3)如图2,点E是第一象限内一点,连接AE交V轴于点D,AE的延宽线交抛物线于点P,点b在线段CO

上,且CV=OD,连接E4FE,BE,BP,若名人氏=,求面积.

5.(2023・湖南・中考真题)如图,二次函数y=x2+6x+c的图象与x轴交于A,8两点,与V轴交于C点,

其中8(1,。),。(0,3).

⑴求这个二次函数的表达式;

⑵在二次函数图象上是否存在点P,使得&MC=SAABC?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理

由;

6.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与探究

如图,抛物线,=-/+法+。上的点A,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交于点8,点/

为y轴负半轴上一点,且OM=2,连接AC,CM.

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点,连接AP,CP,当时,求点P的坐标;

7.(2023・四川泸州・中考真题)如图,在平面直角坐标系尤0Y中,已知抛物线、=依2+2》+。与坐标轴分另(!

相交于点A,B,C(0,6)三点,其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式;

(2)点尸是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线AF分别与,轴,直线BC交于点E.

①当CD=CE时,求CD的宽;

②若CAD,CDE,的面积分别为S,邑,邑,且满足S|+S3=2S2,求点尸的坐标.

专题04面积定值问题

一、知识导航

二、典例精析

如图,抛物线y=—x2+2x+3与无轴交于A、8两点(点A在点2左侧),与y轴交于点C,连接BC,抛物

线在线段8c上方部分取一点P,连接PB、PC,若△P8C面积为3,求点P坐标.

思路1:铅垂法列方程解.

根据8、C两点坐标得直线BC解析式:y=-x+3,

设点尸坐标为[tn,-nT+2m+3),

过点P作PQLx轴交8C于点。,

则点Q坐标为(机,-5+3),

PQ=|(一〃,+2m+3)—〃z+3)|=>+3/«|,

2

SPBC=万x3x|—m+3m|=3,

分类讨论去绝对值解方程即可得〃2的值.

思路2:构造等积变形

同底等高三角形面积相等.

取8c作水平宽可知水平宽为3,根据△P8C面积为3,

可知铅垂高为2,

在y轴上取点Q使得CQ=2,过点Q作BC的平行线,

交点即为满足条件的尸点.

X

当点。坐标为(0,5)时,解析式为:y=-x+5,

联立方程:-尤2+2x+3=-x+5,解之即可.

当点Q坐标为(0,1)时,P。解析式为:y=-x+l,

联立方程:-x1+2x+3=-x+i,解之即可.

在平面直甭坐标系中,直线y=尤+2与x轴交于点A,与y轴交于点3,抛物线y=办?+bx+c(a<0)经过

点A、B.

(1)求a、6满足的关系式及c的值.

(2)如图,当。=-1时,在抛物线上是否存在点尸,使的面积为1?若存在,请求出符合条件的所

有点P的坐标;若不存在,请说明理由.

A

/。|\

【分析】

(1)点A坐标为(-2,0),点8坐标为(0,2),

代入解析式可得:c=2,4a-2b+2=0

(2)考虑A、5水平距离为2,△B48的面积为1,故对应的铅垂高为1.

当〃二-1时,可得b=-l,抛物线解析式为y=R_x+2.

取点C(0,3)作A5的平行线,其解析式为:y=x+3,

联立方程-N-X+2=X+3,解得X=-1,故点《坐标为(-1,2)

取点。(0,1)作A8的平行线,其解析式为:y=x+l,

联立方程-承-x+2=%+1,解得玉=-1+^2,x?——1—\/2.

三、中考真题演练

1.(2023•浙江湖州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系X。〉中,二次函数y=V-4x+c的图象与y轴的

交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形ABCD的顶点。与原点。重合,顶点A,C分别在x轴,y轴上,

(2)如图2,将矩形A3CD沿尤轴正方向平移f个单位(0<r<3)得到对应的矩形A'B'C'D.已知边。力,A'B'

分别与函数y=/-4x+c的图象交于点P,Q,连接P。,过点尸作PGLAB'于点G.

①当7=2时,求QG的宽;

②当点G与点。不重合时,是否存在这样的右使得△户口的面积为1?若存在,求出此时f的值;若不存

在,请说明理由.

【分析】(1)把(0,5)代入抛物线的解析式即可求出c,把抛物线转化为顶点式即可求出顶点坐标;

(2)①先判断当/=2时,£>0,A的坐标分别是(2,0),(3,0),再求出x=3,x=2时点。的纵坐标与点尸

的纵坐标,进而求解;

②先求出0G=2,易得P,。的坐标分别是一期+5),然后分点G在点。的上方与点

G在点。的下方两种情况,结合函数图象求解即可.

【详解】(1)•••二次函数y=f-4x+c的图象与y轴的交点坐标为(0,5),

••c=5,

••y=~4x+5=(x-2y+1,

;•顶点M的坐标是(2,1).

(2)①在x轴上,8的坐标为(1,5),

;•点A的坐标是(1,0).

当/=2时,A的坐标分别是(2,0),(3,0).

当x=3时,>=(3-2『+1=2,即点。的纵坐标是2,

当x=2时,y=(2-2j+l=l,即点尸的纵坐标是1.

•;PGlArBr,

・'•点G的纵坐标是1,

/.QG=2-1=1.

②存在.理由如下:

:△PGQ的面积为1,PG=1,

QG=2.

根据题意,得P,Q的坐标分别是(,,r-4「+5),«+“-2f+2).

如图1,当点G在点。的上方时,。6=/一十+5-92-27+2)=3-2/=2,

=22—3=2,

此时r=g(在0<r<3的范围内).

•一1十5

・・/或7.

22

2.(2023•四川甘孜•中考真题)已知抛物线y=d+6x+c与无轴相交于A(-l,0),B两点,与y轴相交于点

C(0,-3).

(2*为第一象限抛物线上一点,.P3C的面积与,ABC的面积相等,求直线AP的解析式;

【分析】(1)由待定系数法即可求解;

(2)5"g=5%比得到叱〃5。,即可求解;

l-b+c=0,

【详解】(1)由题意,得

c=-3.

b=—2,

(2)由(1)得抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

令>=0,贝!1%2-2犬一3=0,得无i=T,尤2=3.

•••8点的坐标为(3,0).

S&PBC=^AABC,

:.AP//BC.

:8(3,0),C(0,-3),

直线3c的解析式为y=x-3.

,?AP//BC,

...可设直线AP的解析式为y=x+m.

A(T,0)在直线AP上,

・・0=-1+171.

m=1.

,直线AP的解析式为y=x+i.

3.(2023•内蒙古呼和浩特•中考真题)探究函数y=-2讨+4国的图象和性质,探究过程如下:

⑵点P是函数y=-2|x「+4忖图象上的一动点,点A(2,0),点3(-2,0),当/皿=3时,请直接写出所有

满足条件的点歹的坐标;

【分析】(1)把尤=-1代入解析式,求出〃,的值即可,描点,连线画出函数图形,根据图形写出一条性质即

可;

(2)利用ZMB=B><4X屏|=3,进行求解即可.

【详解】⑴解:当x=-l时,y=-2x卜/+4卜1卜-2+4=2,

m=2,

根据题干中的表格数据,描点,连线,得到函数图象,如下:

由图象可知:图象关于y轴对称;

故答案为:4.

⑵解::点A(2,0),点B(-2,0),

,AB=4,

SAFAB=-x4x|yF|=3,

l^l=|>

力=±1^

当力=|时:-2|X|2+4|X|=|,

XX

解得:玉=~-^2=~~^3=万,%4

••.4±日或尸D

当力=_[时:_2国2+4国=_:

解得:芯=+1,x2=一^~一\,

1222

综上:“土T,一口或或尸]±|目;

4.(2023・辽宁盘锦・中考真题)如图,抛物线y=o?+bx+3与无轴交于点A(-l,0),以3,0),与V轴交于点C.

\l

图I

(1)求抛物线的解析式.

(3)如图2,点E是第一象限内一点,连接AE交V轴于点O,AE的延宽线交抛物线于点P,点P在线段CO

上,且CF=OD,连接丛FE,BE,BP,若5人在=%4跖,求R4B面积.

【详解】(1)解:抛物线y=&+fcv+3与x轴交于点A(-1,O),8(3,0),

0+3=0

.•19〃+3。+3=0'

a=-1

解得:

b=2

,抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;

(3)解:设点尸卜机-4+2机+3),直线A尸的解析式为>=区+"

A(-l,0),

\-k+b=G

km+b=-m2+2m+3

k=-(7?1-3)

解得:,

b=-(m-3),

直线AP的解析式为y=-(m-3)x-(w-3),

当x=0时,3;=-(m-3)=3-m,

/.(0,3-m),

/.OD=3-m,

CF=OD=3—相,

在抛物线y=—尤2+2%+3中,当犬=0时,y=3,

.•.C(0,3),

OC=3,

/.DF=OC-OD-CF=3-(3-m)-(3-m)=2m-3,

设点£的坐标为(。—(加―3"—(m—3),

A(-1,O),5(3,0),

:.AB=4,

■^/\AFE=^AABE,

:.^DF\xA-xE^=^AByE,

;x(2加一3)x(,+l)=/x4x[-(加一3),一(加一3)],

解得:m=1,

二点尸的坐标为(|,£|,

sPAB^1~A…Bxyp^~1x4,x7~=7~-

5.(2023・湖南・中考真题)如图,二次函数y=d+6x+c的图象与x轴交于A,8两点,与V轴交于C点,

其中3(1,0),C(0,3).

(1)求这个二次函数的表达式;

(2)在二次函数图象上是否存在点P,使得S“AC=SAABC?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理

由;

【详解】(1)解:将点3(1,0),C(0,3)代入y=>+6x+c,得

fl+Z?+c=O

[c=3

[b=-4

解得:,

[c=3

•••抛物线解析式为y=f-4x+3;

(2)Vy=x2-4x+3=(X-2)2-1,

顶点坐标为(2,1),

当y=0时,x2-4x+3=0

解得:尤i=l,%=3

A(3,0),则。4=3

VC(0,3),则OC=3

AOC是等腰直角三角形,

••V—V

•°APAC-

/.P到AC的距离等于B到AC的距离,

•••4(3,0),C(0,3),设直线AC的解析式为了=履+3

3左+3=0

解得:k=-l

直线AC的解析式为>=-尤+3,

如图所示,过点8作AC的平行线,交抛物线于点尸,

设BP的解析式为y=-x+d,将点3(1,0)代入得,

-l+d=0

解得:d=l

/.直线BP的解析式为y=f+1,

(y=-X+l

[y=x2-4,r+3

二或元=2

解得:

y=oy=-i

P(2,-l),

•/PA=^(3-2)2+12=J2,PB=,J(2-1)2+12=y[2,AB=3-l=2

P^+PB1=AB1

AB尸是等腰直角三角形,且/APB=90。,

如图所示,延宽R4至。,使得小>=24,过点。作AC的平行线DE,交x轴于点E,则D4=R4,则符

合题意的点尸在直线OE上,

「△APB是等腰直角三角形,DE//AC,ACYPD

:.ZDAE=ZBAP=45°PD±DE

VADE是等腰直角三角形,

AE=^AD=-fiAP=2

:.E(5,0)

设直线DE的解析式为V=-x+e

•**-5+e=0

解得:e=5

直线DE的解析式为y=-x+5

y=-x+5

联立

y=x2-4x+3

3-A/173+717

x=---------x=----------

2

解得:或,

7+V177-V17

-V=­

.「3—历7+g卜/3+而7一口

综上所述,取-1)或尸^^,心,尸]”,。);

6.(2023•黑龙江齐齐哈尔•中考真题)综合与探究

如图,抛物线》=-炉+云+。上的点A,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交于点8,点M

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式;

(2)点P是抛物线位于第一象限图象上的动点,连接AP,CP,当%MC=SMCM时,求点尸的坐标;

【分析】(1)根据点M在y轴负半轴且加=2可得点M的坐标为M(0,-2),利用待定系数法可得抛物线

7

的解析式为y=-Y+5x+2;

(2)过点尸作依轴于点R交线段AC于点E,用待定系数法求得直线AC的解析式为y=-:x+2,

设点尸的横坐标为P(0<P<4),则尸[p,-p2+:p+2),+,故尸E=-p2+4p(0<p<4),先

求得S^CM=8,从而得至l]S&Ac=;PE-OC=-2p2+8p=8,解出p的值,从而得出点尸的坐标;

【详解】(1)解::点M在y轴负半轴且31=2,

将4(0,2),C(4,0)代入了一+匕尤+,,得

c=2

-16+4b+c=0

b=一

解得2

c=2

7

抛物线的解析式为y=~x2+~x+2

(2)解:过点尸作轴于点F,交线段AC于点E,

设直线AC的解析式为y=kx+m(k中0),

将4(0,2),。(4,0)代入广红+利,得

「0L1

\m=2k=——

八,解得2,

\4k+m=0。

i\m=2

直线AC的解析式为〉=-;x+2

设点尸的横坐标为M°<0<4)

则尸[p,-p2+(p+2],E[p,_gp+2),

PE=_p2+gp+2-+=_p2+4p(0<p<4)

2

SAACM=8,SAPAC=1PE.OC=-2p+8p=8,解得P1=p?=2,

•••P(2,5)

7.(2023・四川泸州・中考真题)如图,在平面直角坐标系尤中,已知抛物线y=2+2%+。与坐标轴分另1J

相交于点A,B,C(o,6)三点,其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式;

(2)点P是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线"分别与y轴,直线BC交于点o,E.

①当CD=CE时,求8的宽;

②若CAD,CDE,△CEF的面积分别为H,色,S3,且满足耳+S3=2SZ,求点P的坐标.

【答案】⑴丁=-豆/+2工+6

⑵①8-2虎;②尸(4,6)

【分析】(1)根据抛物线对称轴为尤=2,可得一或9=2,求得。=一:1,再将C(0,6)代入抛物线,根据待定系

数法求得c,即可解答;

(2)①求出点3,点A的坐标,即可得到直线BC的解析式为y=r+6,设CD=a,则£>(0,6-。),求得

AD的解析式,列方程求出点E的坐标,最后根据CD=CE列方程,即可求出8的宽;

②过E『分别作A3的垂线段,交A3于点G,”,过点。作

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