2024年中考数学二次函数压轴题：矩形的存在性问题（学生版）

专题11矩形的存在性问题

一、知识导航

矩形的判定：(1)有一个角是直角的平行四边形；

(2)对角线相等的平行四边形；

(3)有三个角为直角的四边形.

【题型分析】

矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角“，因此相比起平行四边形，坐标系

中的矩形满足以下3个等式：

XA+XC=XB+XD

<%+〃:=%+%(AC为对角线时)

J(尤A-2)2+(%-%)2=Q(XBf)2+(力一力)

因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代人可以得到三元一次方程组，可解.

确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个.

题型如下：

(1)2个定点+1个半动点+1个全动点；

(2)1个定点+3个半动点.

【解析思路】

思路1:先直角，再矩形

在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三

角形，再确定第4个点.对“2定+1半动+1全动”尤其适用.

二、典例精析

引例：已知A(1,1)、B(4,2),点C在x轴上，点。在平面中，且以A、B、C、。为顶点的四边形是

矩形，求。点坐标.

【分析】

点C满足以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆''可得满足条件的点C有614

y,OkC3（2,0）,C4（3,0）

在点C的基础上，借助点的平移思路,可迅速得到点。的坐标.

八y

【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求。点坐标，也是因

为这两个图形之间的密切关系方能如此.

思路2:先平行，再矩形

当AC为对角线时，A、B、C、。满足以下3个等式，则为矩形:

xA+xc=xB+xD

%+Yc=%+yD

其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形.表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可.

无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组.

已知A(1,1)、B(4,2),点C在x轴上，点。在坐标系中，且以A、B、C、。为顶点的四边形是矩形,

求。点坐标.

【分析】

设C点坐标为(a,0),。点坐标为(6,c),又A(1,1)、B(4,2).

先考虑平行四边形存在性：

(1)AB为对角线时，[+4="+',满足此条件的C、。使得以A、B、C、。为顶点的四边形是平行四边

[l+2=c+0

形，另外AB=C。，得：^/(4-1)2+(2-1)2=^(0-*)2+(0-^2,

a=3a=2

综合以上可解：=2或1b=3.故。(3,0)、D(2,3)或C(2,0)、D(3,3).

c=3c=3

(2)AC为对角线时，另夕卜AC=B£>,<y/(a-l)2+(O-l)2=^(Z?-4)2+(c-2)2,综合以上可

14

Q=---

3

14

解得：b=-.故。,。、。加.

3

c=-1

(3)AZ)为对角线时，另外AQ=8C,得耳—1)2+"_1)2=而_4)2+(0—2)2,

4

ci———

3

13

综合以上可解得:b=T.故c][,o

3

c=1

【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算的故事.

三、中考真题演练

1.(2023•辽宁丹东•中考真题)抛物线>=江+法-4与X轴交于点A(TO),B(2,0),与y轴交于点C.

备用图

⑴求抛物线的表达式；

(3)若点尸是抛物线上的一个动点(点P不与顶点重合)，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平

面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P的横坐标.

2.（2023海南•中考真题）如图1,抛物线y=/+6x+c交x轴于A,以3,0）两点，交y轴于点C（0,-3）・点

（3）当动点尸在直线8C上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q,使得以8,C,P,。为顶点的四边形是

矩形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

3.（2023•内蒙古•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-/+次+。与x轴的交点分别为A和

8（1,0）（点A在点8的左侧），与y轴交于点c（o,3）,点p是直线AC上方抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式;

⑶如图2,设点/为抛物线对称轴上一动点，当点P,点M运动时，在坐标轴上确定点N,使四边形PMCN

为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.

4.(2022•辽宁丹东.中考真题)如图1,抛物线y=aN+x+c(在0)与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点,

与y轴交于点C,点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点尸作轴，垂足为。，交直线BC

于点E,设点尸的横坐标为根.

⑴求抛物线的表达式;

(4)如图3,连接CP,当四边形OCPO是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点0,使原点。关于直线C。的

对称点O'恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点。的坐标.

5.(2022•贵州黔西・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线AB与y轴交于点B(0,4).经

过原点。的抛物线丁=-/+/+。交直线48于点4,C,抛物线的顶点为D

(1)求抛物线y=-x1+bx+c的表达式；

(3)P是抛物线上一动点，。是平面直角坐标系内一点.是否存在以点A,C,P,。为顶点的四边形是矩形?

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

6.（2022•黑龙江绥化•中考真题）如图，抛物线产加+bx+c交y轴于点A（0,T）,并经过点C（6,0）,过点

A作48,y轴交抛物线于点8,抛物线的对称轴为直线x=2,。点的坐标为（4,0）,连接A。，BC,BD.

点E从A点出发，以每秒0个单位长度的速度沿着射线AZ）运动，设点£的运动时间为加秒，过点E作

EF_LAB于E以EF为对角线作正方形EGFH.

（1）求抛物线的解析式；

（3）在运动的过程中，是否存在以B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出

点G的坐标，如果不存在，请说明理由.

7.（2022・贵州黔东南・中考真题）如图,抛物线、=»2+2芯+。的对称轴是直线*=1,与方轴交于点人，3（3,0），

与V轴交于点C,连接AC.

⑴求此抛物线的解析式；

（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点使以点8、C、E、厂为顶点的四边形

为矩形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理