2024年中考数学二次函数压轴题：面积比例问题

专题03面积比例问题

一、知识导航

除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比例的分析，往往

比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类.

大部分题目的处理方法可以总结为两种：(1)计算；(2)转化.

本文结合19年各地中考题，简要介绍关于比例条件的一些运用方法.

策略一：运用比例计算类

综合与探究：如图，抛物线y=&+/«+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,点。是抛物线

上一个动点，设点。的横坐标为租(1＜加＜4).连接AC,BC,DB,DC.

(1)求抛物线的函数表达式；

3

(2)ABCD的面积等于AAOC的面积的一时，求加的值；

4

【分析】

(1)可重设解析式为交点式：y=〃(x+2)(x-4),展开得：y=ax2-2ax-Sa,常数项对应相等，-8〃=6,

2

解得：a=--,故抛物线解析式为：y=--x+-x+6.

442

(2)考虑△AOC和△BCD并无太多关联，并且△AOC是确定的三角形，面积可求，故可通过面积比推导

△BCD的面积.

S2x6=6,

339

SBCD=工义SAOC=丁6=5,

此问题变为面积定值问题，就不难了.

【小结】利用面积比计算出所求三角形面积，再运用处理面积定值的方法即可解决问题.

策略二：转化面积比

如图，B、D、C三点共线，考虑△A3。和△AC。面积之比.

转化为底：

共高，面积之比化为底边之比：则S钻。：SAS=8D：C£).

更一般地，对于共边的两三角形△A8D和△ACD,连接BC,与交于点E,则

SADRLD)：SArn=BM:CN=BE:CE.

A

B

7M

策略三：进阶版转化

在有些问题中，高或底边并不容易表示,所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，比如常见有：“A

字型线段比、“8”字型线段比.

“A”字型线段比：S^-.SACD=BD-CD=BA:AM.

"8'字型线段比：SABD:SACD=BD:CD=AB:CM.

以2019连云港中考填空压轴为例：

[2019连云港中考】

如图，在矩形A3CD中，AB=4,4)=3,以点C为圆心作C与直线助相切，点尸是C上一个动点,

AP

连接AP交班＞于点T,则一的最大值是.

D

AB

【分析】

AP.AT均为动线段，并不易于分析比值的最大值，故需转化线段.

构造字型线段比：

工丁.pAPAQ

由平行得：一=—

ATAB

BC=3,BM=3x-=-,CM=3x-=—,PM=—+—=—

44444520

“1235414八）419-

MQ=——x—=——,AQ=4+--------=12,

203444

APAQ12

故最大值为——=一三=一=3.

ATAB4

思路2:构造"8"字型线段比是否可行？

4PTPTP

虽然问题是一的比值，为便于构造“8”字，可转化为“土匚+1”，即求」二的最大值,

ATATAT

过点尸作尸0〃A3交8。延长线于。点，可得：IL=fQ；考虑到AB是定线段，故只要尸0最大即可.

ATAB

但是本题尸点在圆上运动，故很难分析出点尸在何位置，尸。取到最大值，若尸点换个轨迹路线，或许就

很容易分析了.

。一、

,、、D

AB

二、典例精析

例一、

已知抛物线y=奴？+bx+3经过点A(1,O)和点5(-3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动

点.

(1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为;

(2)如图，连接OP交BC于点。，当乂。。：5ABM,=1:2时，请求出点。的坐标.

【分析】

(1)y=-x2-2x+3;顶点坐标为(-1,4).

(2)根据&迪：5凶如=1：2可得CD:BD=1:2,

故。点是线段8c靠近点C的三等分点，又8(-3,0)、C(0,3),

二。点坐标为(-1,2).

例二、

如图，抛物线y=a、2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点3(点A在原点的左侧，点3在原点的右侧)，与y

轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图，连接3C,点。是直线3c上方抛物线上的点，连接C®,CD.OD交BC于点、F,当

S&COF:SACDF=3:2时，求点。的坐标•

【分析】

（1）解析式：y=—x2+2x+3

（2）显然△C。尸和△口）/共高，可将面积之比化为底边之比.

OF:DF=S,COF：S、CDF=3:2,

思路1:转化底边之比为"A”字型线段比

在y轴上取点E（0,5）,（为何是这个点？因此此时OC:CE=3:2）

过点E作BC的平行线交无轴于G点，

EG与抛物线交点即为所求。点，

根据平行线分线段成比例，OF:FD=OC:CE=3:2.

直线EG解析式为：y=-x+5,

与抛物线联立方程，得：一/+2》+3=-》+5,

解得：%,=1,x2=2.

故。点坐标为（1,4）或（2,3）.

思路2:转化底边之比为“8”字型线段比

过点。作。G//y轴交8C边于点G,则一=——,又0c=3,故点G满足。G=2即可.这个问题设。点

FDDG

坐标即可求解.

也可以构造水平"8"字，过点。作。G//x轴交3c于点G,则为=器,又。2=3,...■DGMZ即可.但此

处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议.

y

其实本题分析点的位置也能解：

思路3:设点D坐标为+2m+3）,

/QOAQ、

根据。尸：DF=3:2,可得尸点坐标为一八一―m2+-m+-

[5555y

点、F在直线BC上,将点坐标代入直线3C解析式：y=-x+3,

3693。

——m2+—m+—=——m+3,

5555

解得叫=1,m2=2,

故。点坐标为（1,4）或（2,3）.

这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由。点坐标如何得到F点坐标.

三、中考真题演练

1.（2023•山东青岛・中考真题）许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察

撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y

轴上，坐标原点。为伞骨。4,的交点.点C为抛物线的顶点，点A,8在抛物线上，OA,08关于y

轴对称.OC=1分米，点A至晨轴的距离是0.6分米，A,8两点之间的距离是4分米.

图①图②

⑴求抛物线的表达式；

（2）分别延长A。，3。交抛物线于点RE,求E,尸两点之间的距离；

（3）以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S-将抛物线向右平移；”（加＞0）个单位，得到一条

3

新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为邑.若S2=：d，求”的值.

【答案】⑴y=-0.1Y+i；

⑵10

(3)2或4；

【分析】(1)根据题意得到CQD,42,0.6),B(-2,0.6),设抛物线的解析式为＞=。(彳-⑶?+%代入求解

即可得到答案；

(2)分别求出AO,8。所在直线的解析式，求出与抛物线的交点凡E即可得到答案；

(3)求出抛物线与坐标轴的交点得到S-表示出新抛物线找到交点得到邑，根据面积公式列方程求解即可

得到答案；

【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x-/z)2+A,由题意可得，

C(0,l),A(2,0.6),8(-2,0.6),

「・/?=0,k=lJ

把点A坐标代入所设解析式中得：4々+1=0.6,

解得：a=-0.1,

y=-0.lx2+1；

(2)解：设AO的解析式为：y=kxx,8。的解析式为：y=k2x,

分另1J将42,0.6),5(—2,0.6)代入〉=匕%,y=左2兀得，

2kl=0.6,—2左2—0.6,

解得：履=0.3,k2=-0.3,

・・・AO的解析式为：y=0.3x,50的解析式为：y=-0.3x,

联立直线解析式与抛物线得：0.3九=-O.lf+1,

解得玉=-5,x?=2(舍去)，

同理，解—0.3%=—O.L?+i,得七=5,5=-2(舍去)，

AF(-5,-1.5),灰5,—1.5),

产两点之间的距离为：5-(-5)=10；

(3)解：当＞=0时，-0.1x2+l=0,

解得：x=±A/10，

：.S]=?[加_（_如）卜1=而，

抛物线向右平移m（m>0）个单位，

y=-0.1（%-mf+1,

当x=0时，y=-0.1m2+1,

当>=。时，一0.1（兀一w）2+1=0,解得：x=±V10+m,

22

/.S2=|x[710+m-（-y/i0+m）]x|-0.1m+1|=Vw|-0.1m+1|,

3

**$2=S5,

；.|X师=啊一0.1疗+",

解得：叫=2,”=-2（不符合题意舍去），，%=4,m4=-4（不符合题意舍去），

综上所述：相等于2或4；

2.（2023•吉林长春•中考真题）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线>=-/+次+2"是常数）

经过点（2,2）.点A的坐标为（加,0）,点8在该抛物线上，横坐标为其中〃7<0.

（1）求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；

（2）当点8在x轴上时，求点A的坐标；

（3）该抛物线与x轴的左交点为尸，当抛物线在点P和点2之间的部分（包括P、8两点）的最高点与最低点

的纵坐标之差为2-机时，求加的值.

（4）当点8在无轴上方时，过点B作轴于点C,连结AC、BO.若四边形AQBC的边和抛物线有两个

交点（不包括四边形AOBC的顶点），设这两个交点分别为点E、点/，线段8。的中点为。.当以点C、

E、。、D（或以点C、F、。、D）为顶点的四边形的面积是四边形AQBC面积的一半时，直接写出所

有满足条件的机的值.

【答案】(l)y=-x2+2x+2；顶点坐标为(1,3)

⑵

(3)机=-1或m=—2

(4)m=—2+\/2或=2—2-J3或m=——

【分析】(1)将点(2,2)代入抛物线解析式，待定系数法即可求解；

(2)当＞=0时，-X2+2X+2=0,求得抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线上的点8在x轴上时，横坐标

为1-"2.其中7"＜。，得出冽=-即可求解；

(3)①如图所示，当1＜1一切＜1+JL即一步＜根＜0时，②当I-WJNI+JL即时，分别画出图

形，根据最高点与最低点的纵坐标之差为2-%，建立方程，解方程即可求解；

(4)根据8在x轴的上方，得出-6＜加＜6,根据题意分三种情况讨论①当E是AC的中点，②同理当尸

为4。的中点时，③gsAoc=SsF，根据题意分别得出方程，解方程即可求解.

【详解】(1)解：将点(2,2)代入抛物线〉=一/+云+2,得，

2=T+2"2

解得：b=2

J抛物线解析式为y=-幺+2%+2；

,**y——x2+2x+2=—(%—1)+3,

・・・顶点坐标为(1,3),

(2)解：由y=—X2+2x+2,

当＞=0时，-%2+2尤+2=0,

解得：*1=1-6＞,12=1+6，

•・•抛物线上的点5在X轴上时，横坐标为1-相.其中"＜0.

l-m＞l

1—m=1+^3

解得：m=,

:点A的坐标为(〃?,0),

4(—指,。)；

(3)①如图所示，当1<1一根<1+JL即一指<〃2<0时,

抛物线在点尸和点8之间的部分(包括P、8两点)的最高点为顶点，最低点为点。

:顶点坐标为(1,3),尸(1-后0)

则纵坐标之差为3-0=3

依题意，3=2-m

解得：，"=-1；

②当1—相21+>/3，即机V-垂!时，

•：B(l-/n,-(l-w)2+2(l-/7i)+2),即80-加,—m2+3),

依题意，3-(-m2+3)=2-m,

解得：加=—2或相=1（舍去）,

综上所述，m=-1或/=-2；

••1—y/3<1—nz<1+y/3

-y/3<m<5/3

・・,以点C、E、0、。为顶点的四边形的面积是四边形AO5C面积的一半，线段3。的中点为。

••UBCD-°COD

•••^ACOBC-—°CAOCTIuCBOC->°CBOC一—°CBCD丁c0COD

贝1JS^OBC—2SCEOD,

(2

」m—m+3

E—,------彳弋y——x2+2x+2,

(22

2

即一“2+3cmc

+2x—F2,

22

解得：m=—y/2—2（舍去）或加=一2+0;

②同理当尸为A0的中点时，如图所示，SACF=S_CFO,sBCD=S.COD，则点C、F、0、O为顶点的四边

解得：加=2-2百，

③如图所示,

:以点C、E、0、。为顶点的四边形的面积是四边形AQBC面积的一半，线段3。的中点为。

••/S+SCDF=SFDB+SA0C

SCDF=_S—SCDF+S

即'_2+Sl-L/r2.C-ZJFA(yA(_O-C

,・5sAOC=sCDF,

：.CF=AO,

尸(-+3),

■:昆尸关于x=l对称，

.-m+1—m

解得：m=—1,

综上所述，加=—2+&或/"=2-2百或％=—].

【点睛】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的性质，面积问题，根据题意画出图形，分类讨论，熟

练掌握二次函数的性质是解题的关键.

3.(2023•黑龙江•中考真题)如图，抛物线丁="2+灰+3与.丫轴交于4(-3,0),3(1,0)两点，交V轴于点C.

(1)求抛物线的解析式.

BC

(2)抛物线上是否存在一点P,使得S.=；5ABc，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理

由.

【答案】(l)y=-f—2%+3

（2）存在，点尸的坐标为（-2,3）或（3,-12）

【分析】（1）采用待定系数法，将点A和点3坐标直接代入抛物线>="2+法+3,即可求得抛物线的解析

式.

（2）过线段A3的中点且与8c平行的直线上的点与点8,点C连线组成的三角形的面积都等于;S“c，

则此直线与抛物线的交点即为所求；求出此直线的解析式，与抛物线解析式联立，即可求得答案.

【详解】（1）解：因为抛物线>=西+法+3经过点A（-3,0）和点3（1,0）两点，所以

俨-36+3=0

[〃+/?+3=0'

解得

Jtz=—1

[b=-2f

所以抛物线解析式为：J=-X2-2X+3.

（2）解：如图，设线段A3的中点为。，可知点。的坐标为过点。作与BC平行的直线/,假设与

抛物线交于点月，P2（月在8的左边），（鸟在图中未能显示）.

设直线8C的函数解析式为y=履+4(左w0).

因为直线8C经过点3(1,0)和C(0,3),所以

肚+4=0

］伪=3，

12=—3

解得八2,

也=3

所以，直线BC的函数解析式为：y=-3x+3.

又学V/BC,

可设直线PA的函数解析式为y=-3尤+%,

因为直线经过点。(-1,0),所以

3+a=0.

解得仇=-3.

所以，直线＜2的函数解析式为y=-3尤-3.

根据题意可知,

C—Av

°DBC-2uABC•

又P\P$BC,

所以，直线々心上任意一点尸'与点8,点C连线组成的一P'BC的面积都满足Sp，Bc=gs.c-

所以，直线4鸟与抛物线y=-Y-2x+3的交点4即为所求，可得

—3x—3=-—2%+3,

化简，得

%2—%—6=0,

解得玉=3,%2=-2,

所以，点《的坐标为（-2,3）,点2的坐标为（3,-12）.

故答案为：存在，点尸的坐标为（-2,3）或（3,-12）.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、一元二次方程、一元一次方程等,

灵活结合二次函数和一次函数图象特点是解题的关键.

4.（2023・湖北十堰•中考真题）已知抛物线”加+法+8过点/4,8）和点C（8,4）,与V轴交于点A.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接A5,BC,点。在线段AB上（与点不重合），点厂是。4的中点，连接阳，过点。作

尸。交于点E,连接政，当防面积是面积的3倍时，求点。的坐标；

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解;

（2）待定系数法求得直线5c的解析式为y=-尤+12,设E（m,f7+12）（4＜加＜8）,过点E作EG_L交A8

的延长线于点G,则NG=9O。，则G的坐标为（祖,8）,得出△BGE是等腰直角三角形，设。«,8）,则

AD^t,DG=m-t,证明~AFQsGDE,相似三角形的性质得出m-t=4,则DG=AF,可得AFD^GDE,

当面积是△包>产面积的3倍时，即:。产=[ADXA尸x3,即=12AD，在RtADb中,

DF2^AD2+AF2^t2+42,解方程即可求解；

【详解】（1）解：：抛物线>=加+灰+8过点3（4,8）和点6（8,4）,

.J16Q+4Z?+8=8

・・164。+80+8=4

b=-

2

解得：J

18

•••抛物线解析式为丁=一1—+:龙+8；

o2

（2）•..抛物线尤+8与y轴交于点A,

82

当x=0时，y=8,

A（0,8）,则OA=8,

；3（4,8）,

AAB//x,AB=4,

:点尸是。4的中点，则尸（0,4）,

AB=AF=4,

设直线BC的解析式为y=依+"

•.•点8（4,8）和点C（8,4）,

.J8=4左+6

••14=8%+6

解得：U12

•••直线BC的解析式为y=-x+12,

设_E（办—根+12）（4<m<8）,

如图所示，过点E作前，回交45的延长线于点6,则NG=90。，则G的坐标为（根,8）,

图1

,GE=8—(—机+12)=机—4,BG=m-4

：.BG=GE,

・・・△5GE是等腰直角三角形，

设,则AD=t,DG=m-t,

*.*DE1FD,

・・・NFDE=90。,

,：ZFAD=ZG=ZFDE=90°f

JZAFD=90。—ZADF=NGDE,

：.-AFDs工GDE

.AD_AF

^~GE~~DG

.％_4

••一

m-4m-t

即(一4)%=(-4)(f+4)

m>4

m=Z+4

即m-t=4,

：.DG=AF,

:.AFD—.GDE

：.DF=DE,

又DELDF,

・•・.DEF是等腰直角三角形，

—DEF的面积为产，

:△ADF的面积为歹

2

当跖面积是面积的3倍时

1.1

BP-DF2=-ADxAFx3

22

即2=12旬

在RtAD尸中，DF2^AD2+AF2^t2+42

AD2+AF2=12AD

八八⑵

解得：f=6-2岔或t=2百+6（舍去）

AD（6-2A/5,0）；

5.（2023・湖南永州•中考真题）如图1,抛物线y=0^2+bx+c（。，人c为常数）经过点尸（0,5）,顶点坐

⑴求抛物线的表达式；

（2）如图1,直线。尸:y="x交所于点G,求的最大值；

【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出。，b,C值，即可求出抛物线解析式.

（2）利用抛物线的解析式可知道3点坐标，从而求出直线8尸的解析式，从而设G（%,T〃+5）,根据直线。P

的解析式y=上》可推出从而可以用玉,%表达GT长度，在观察图形可知沁^=等-1,将其

GT和PH长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据P横坐标取值范围以及此二次函数的图像

性质即可求出》迄的最大值.

'△BOG

【详解】（1）解：抛物线丁=加+法+。（Q,b,C为常数）经过点尸（0,5）,顶点坐标为（2,9）,

<b4ac-b2八

「.c=5,--=2,----------=9,

2a4。

b=-4a

・J20a-b2八，

-----=9

、4a

[b=4

，抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5.

故答案为：y=-x2+4x+5.

（2）解：过点G作GTLx轴于点T,如图所示,

抛物线的解析式为：y=-x2+4x+5,且与无轴交于A,3两点,

..3(5,0),

尸（0,5）,

5左+〃=0

设直线，的解析式为：y=kx+b',则

b'=5

k=-i

b'=5

直线的解析式为：y=-x+5.

G在直线BF上，G（m,-m+5）,

G在直线O尸上，。尸的解析式为：V="x,

为

-m+5=—m,

再

5M

m---------

%+%.

GT=-m+5=--包—+5=与-

%%%+%

Q—Q—S

aBPG-QBPO°BOG，

S.BOGSB0CSBOG-x5xGTGT

2

PH=%=占+%

GT--5

尤i+%

.SBPG_PH_]=X]+%_]

"SBOG~GT-5

尸（为,—x；+4X]+5）,

.S、G_.+1].一尤；+4%+5]：]八_5?+5

■'SBOG_5一5一5T2）4'

—1<0,

.•.当x=：时，4有最大值，且最大值为：.

2SBOG5（22）44

故答案为：Y.

4

6.（