2024年中考数学试题分类汇编：图形的平移与旋转（一）

2024年中考数学真题知识点分类汇编之图形的平移与旋转（一）

选择题（共19小题）

1.定义新运算：

①在平面直角坐标系中，{a,%}表示动点从原点出发，沿着无轴正方向（。20）或负方向（a<0）平移

同个单位长度，再沿着y轴正方向（b20）或负方向（6<0）平移族|个单位长度.例如，动点从原点出

发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（-2,1）.

②加法运算法则：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a,b,c,1为实数.

若{3,5}+{%，〃}={-1,2},则下列结论正确的是（）

A.m—2,”=7B.m--4,n--3C.m—4,n—3D.m--4,n—3

2.在平面直角坐标系中，将点尸（3,5）向上平移2个单位长度后得到点P'的坐标为（）

A.(1,5)B.(5,5)C.(3,3)D.(3,7)

3.下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（）

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.下面图形中，中心对称图形的个数有（）

6.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.B.

7.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到点8,C的对应点分别为点。，E,连接CE,点

。恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为（）

8.下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点。

对称的是（）

9.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

10.下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A.Z____\B.\\C.D.

11.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）

12.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.平行四边形B.等腰三角形

C.圆D,菱形

13.下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.A

TD.

14.如图，点A的坐标是（-4,6）,将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点的坐标是（）

C.(-6,-4)D.(-4,-6)

15.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

A匚B.

16.如图，△ABC中，ZB=30°,将△A8C绕点C顺时针旋转60°得至［「△。后。点A,8的对应点分别

为。，E,延长A4交。E于点R下列结论一定正确的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DEC.AB=EFD.BFLCE

17.如图，在菱形ABC。中，NBA0=6O°,。为对角线的交点.将菱形ABCD绕点0逆时针旋转90°

得到菱形A'B'CD',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形8尸"GDHD'E给出下面四

个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点。到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A

上

飞广

C

A.①③B.①④C.②③D.②④

18.1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立.下列是中科院部分研究所的图

标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

*

A.、二」山西煤炭化学研究所

东北地理与农业生态研究所

19.一个正比例函数的图象经过点A（2,m）和点8（”，-6）.若点A与点2关于原点对称，则这个正

比例函数的表达式为（)

y=

A.y=3无B.y=-3xC.gD.y=

填空题（共2小题）

20.如图,点A(0,-2),B(1,0),将线段AB平移得到线段。C,若/ABC=90°,BC=2AB,则点

D的坐标是

(1,1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B,

则点B的坐标为

2024年中考数学真题知识点分类汇编之图形的平移与旋转（一）

参考答案与试题解析

一.选择题（共19小题）

1.定义新运算：

①在平面直角坐标系中，{a,b}表示动点从原点出发，沿着x轴正方向（。20）或负方向（。<0）平移

⑷个单位长度，再沿着y轴正方向（b'O）或负方向（6<0）平移|回个单位长度.例如，动点从原点出

发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作（-2,1）.

②加法运算法则：{a,b}+{c,d}={a+c,b+d],其中a,b,c,d为实数.

若{3,5}+{m,«}={-1,2},则下列结论正确的是（）

A.m—2,n=7B.m--4,n--3C.m—4,n—3D.m--4,n—3

【考点】坐标与图形变化-平移；实数的运算.

【专题】新定义；实数；运算能力.

【答案】B

【分析】根据题中所给定义，建立关于机和〃方程即可解决问题.

【解答】解：由题知，

3+m—-1,5+n—2,

解得m=-4,n=-3.

故选：B.

【点评】本题考查坐标与图形变化-平移及实数的运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于m

和n的方程是解题的关键.

2.在平面直角坐标系中，将点尸（3,5）向上平移2个单位长度后得到点P'的坐标为（）

A.（1,5）B.（5,5）C.（3,3）D.（3,7）

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；推理能力.

【答案】D

【分析】根据点平移时坐标的变化规律即可解决问题.

【解答】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2,

所以点P的坐标为（3,7）.

故选：D.

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，熟知图形平移的性质是解题的关键.

【考点】生活中的平移现象；生活中的旋转现象.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【答案】c

【分析】依次对选项中的现实运动作出判断即可.

【解答】解：因为工作中的雨刮器的运动方式属于旋转,

所以A选项不符合题意.

因为移动中的黑板的运动方式属于平移，

所以8选项不符合题意.

因为折叠中的纸片的运动方式属于翻折，

所以C选项符合题意.

因为骑行中的自行车的运动方式属于平移，

所以。选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了生活中的平移现象及生活中的旋转现象，熟知平移、旋转及翻折的性质是解题

的关键.

4.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°,

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心，

进行逐一判断即可.

【解答】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；.

故选：B.

【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心

对称图形的定义.

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】C

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.把一个图形绕某一点旋转180°,

如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

【解答】解:左起第四个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，

所以不是中心对称图形；

第一、第二和第三个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以

是中心对称图形.

所以中心对称图形有3个.

故选：C.

【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

6.下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.B.

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】C

【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重

合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分

完全重台，这样的图形叫做轴对称图形.根据定义依次对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

B,是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意;

。、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解

题关键.

7.如图，将AABC绕点A顺时针旋转90°得到点8,C的对应点分别为点。，E,连接CE,点

D恰好落在线段CE上，若CD=3,BC=1,则AD的长为（）

E

B.V10C.2D.2V2

【考点】旋转的性质.

【答案】A

【分析】连接3。，根据旋转的性质得出/88=90°,AB=AD,NA4£>=90°,再根据勾股定理求出

BD的长，最后在等腰直角三角形48。中解直角三角形求出AD的长即可.

【解答】解：如图，连接BD,

:将AABC绕点A顺时针旋转90°得到△AOE,点8,C的对应点分别为点。，E,连接CE,点。恰

好落在线段CE上，

：.ZBCD=9Q°,AB=AD,ZBAD=90°,

又CZ)=3,BC=1,

：.BD=y/CD2+BC2=V32+I2=V10,

：.AD=骨。=孝xV10=V5,

故选：A.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键.

8.下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点。

【考点】中心对称；全等三角形的性质；正方形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】C

【分析】根据中心对称的性质解答即可.

【解答】解：由题可知，A、B、。不是中心对称图形，C是中心对称图形图形.

故选：C.

【点评】本题考查的是中心对称，正方形的性质及全等三角形的性质，熟知把一个图形绕着某个点旋转

180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做

对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点是解题的关键.

9.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可.

【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B,是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

。、既是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

10.下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A.

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】C

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线

对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形

绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

11.下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（）

【考点】利用旋转设计图案；七巧板；中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】C

【分析】根据中心对称图形的定义即可得出结论.

【解答】解：选项4。中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；

选项8中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

选项C中的图形是中心对称图形，符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了中心对称图形的定义，正方形的性质，熟知正方形是中心对称图形是解题的关键.

12.下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.平行四边形B.等腰三角形

C.圆D.菱形

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.

【解答】解：A.平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

B.等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项符合题意；

C.圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D.菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部

分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

13.下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

MA

TH

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意;

B.是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形.故本选项不合题意；

D.既是轴对称图形又是中心对称图形.故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

14.如图，点A的坐标是（-4,6）,将线段OA绕点。顺时针旋转90°,点A的对应点的坐标是（）

【考点】坐标与图形变化-旋转；全等三角形的判定与性质.

【专题】平面直角坐标系；推理能力.

【答案】B

【分析】根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题.

分别过点A和点B作无轴的垂线，垂足分别为M和N,

由旋转可知，

OA=OB,ZAOB=90°,

ZAOM+ZBON=ZA+ZAOM=90°,

：.ZA=ZBON.

在△AOM和△03N中，

24=乙BON

AAMO=乙ONB,

.OA=OB

:.AAOM沿LOBN（AAS）,

:.BN=MO,0N=AM.

,点A的坐标为（-4,6）,

：.BN=MO=4,ON=AM=6,

点B的坐标为（6,4）.

故选：B.

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解

题的关键.

15.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】B

【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可.

【解答】解：A、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

8、图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；

C、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

。、图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，

故选：B.

【点评】本题考查的是中心对称图形和轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后

的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直

线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键.

16.如图，△ABC中，NB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,2的对应点分别

为。，E,延长8A交。E于点后下列结论一定正确的是()

A.ZACB^ZACDB.AC//DEC.AB=EFD.BF1CE

【考点】旋转的性质；平行线的判定.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【答案】D

【分析】先根据旋转性质得/BCE=/ACZ)=60°,结合/8=30°,即可得证BFYCE,再根据同旁

内角互补证明两直线平行，来分析AC〃Z)E不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得

出A和C选项是错误的.

【解答】解：设8尸与CE相交于点”，如图所示：

:AABC中，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到

：.ZBCE=ZACD=60a,

0=30°,

.•.在中，ZB//C=180°-ZBCE-ZB=90°,

：.BF±CE,故。选项正确；

设/ACH=x°,

/.ZACB=60°-x,

VZB=30°,

.•.Z£DC=ZBAC=180°-30°-（60°-尤。）=90°+x°,

：.ZEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°,

Vx°不一定等于30°,

.,./EOC+NACZ）不一定等于180°,

；.AC〃/）E不一定成立，故B选项不正确；

VZACB=60°-x°,ZACD=60°,x°不一定等于0°,

.../ACB=/ACr>不一定成立，故A选项不正确；

将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,

:.AB=ED=EF+FD,

：.BA>EF,故C选项不正确；

故选：D.

【点评】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关

性质内容是解题的关键.

17.如图，在菱形4BCD中，ZBAD=60°,。为对角线的交点.将菱形4BC。绕点。逆时针旋转90°

得到菱形A'B'CD',两个菱形的公共点为E,F,G,H.对八边形即由‘GDHD'E给出下面四

个结论：

①该八边形各边长都相等；

②该八边形各内角都相等；

③点。到该八边形各顶点的距离都相等；

④点。到该八边形各边所在直线的距离都相等.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A

A.①③B.①④C.②③D.②④

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角

形的判定与性质；菱形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】B

【分析】通过△A。'Hg△C。H和△A8Eg△C。H可判断①；根据角平分线的性质定理判断④；通过

角度计算判断②；通过长度计算判断③.

【解答】解：延长BD和连接08,

:菱形ZBAD=60°,

：.ZBAO=ZDAO=2>0o,ZAOD=ZAOB=90°,

:菱形ABC。绕点。逆时针旋转90°得到菱形A'B'CD',

.•.点A',D',B',C一定在对角线AC,BD上,且OD=OD'=OB=OB',OA=OA'=OC=OC,

C.AD'^CD,ND'AH=NDCH=30°,

'：ZD'HA=ZDHC',

AAD'H^AC'DH(A4S),

：.D'H=DH,CH=AH,

同理可证D'E=BE,BF=B'F,B'G=DG,

'：ZEA'B=ZHCD=30°,A'B=CD,ZA'BE=ZCDH=120°,

A(ASA),

:.DH=BE,

:.DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=B'G=DG,

该八边形各边长都相等，故①正确；

根据角的平分线的性质定理，得点。到该八边形各边所在直线的距离都相等，故④正确；

根据题意，得/即汨=120°,

,/OD'H=/ODH=60°,

：.ZD'HD=150°,

该八边形各内角不相等，故②错误；

•：OD=OD',D1H=DH,OH=OH,

:.△D'OgADOHCSSS'）,

：.ZD'OH=ZDOH=45°,ZD'HO=ZDHO=15°,

ODWOH,

...点。到该八边形各顶点的距离不相等，故③错误；

故选：B.

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等，掌握全等三

角形的性质与判定是解题的关键.

18.1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立.下列是中科院部分研究所的图

标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

C.西安光学精密机械研究所

D.生态环境研究中心

【考点】中心对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】A

【分析】根据中心对称图形的定义解答即可.

【解答】解：A中的图形是中心对称图形，符合题意；

B、C、。中的图形不是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与

原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键.

19.一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点8(%-6).若点A与点8关于原点对称，则这个正

比例函数的表达式为()

11

A.y=3尤B.y-—3尤C.y—g.vD.y—--^x

【考点】关于原点对称的点的坐标；待定系数法求正比例函数解析式.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【答案】A

【分析】由点A,2关于原点对称，可求出机的值，进而可得出点A的坐标，再利用一次函数图象上点

的坐标特征，即可求出正比例函数的表达式.

【解答】解：：点A(2,m)和点8(%-6)关于原点对称，

•.5=6,

.,.点A的坐标为(2,6).

设正比例函数的表达式为＞=丘1/0),

:点4(2,6)在正比例函数y=&的图象上，

：.6=2k,

解得：k=3,

...正比例函数的表达式为y=3尤.

故选：A.

【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及待定系数法求正比例函数解析式，由点A,8关于原

点对称，求出点A的坐标是解题的关键.

—.填空题(共2小题)

20.如图，点A(0,-2),B(1,0),将线段4B平移得到线段。C,若/ABC=90°,BC=2AB,则点

【考点】坐标与图形变化-平移；相似三角形的判定与性质；矩形的判定与性质.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】(4,-4).

【分析】过点。作轴于点E,利用点A,8的坐标表示出线段04OB的长，利用平移的性质

和矩形的判定定理得到四边形ABCD是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段DE,AE的长，

进而得到。E的长，则结论可得.

【解答】解：过点。作QELy轴于点E,如图，

.♦.04=2,02=1.

:线段48平移得到线段DC,

：.AB//CD,AB=CD,

...四边形ABCD是平行四边形,

VZABC=90°,

四边形ABCD是矩形,

：.ZBAD=9Q°,BC=AD,

;BC=2AB,

：.AD=2AB,

,：ZBA0+ZDAE^9Q°,ZBAO+ZABO^90°,

：.ZABO=ZEAD.

VZAOB=ZAED=90°,

AABO^ADAE.

.OAOBAB1

"DE~AE~AD~2

：.DE=2OA=4,AE=2OB=2,

：.OE=OA+AE=4,

：.D（4,-4）.

故答案为：（4,-4）.

【点评】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用

点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

21.在平面直角坐标系中，将点A（l,1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点8,

则点B的坐标为（3,4）.

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】（3,4）.

【分析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可.

【解答】解：将点A（1,1）向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点8,

则点8的坐标为（1+2,1+3）,即（3,4）.

故答案为：（3,4）.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标

上移加，下移减.

考点卡片

1.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，

又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算

加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、暴的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三

角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运

算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

2.待定系数法求正比例函数解析式

步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方

程，求出待定系数依④将求得的待定系数的值代人所设的解析式.

3.七巧板

（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一

块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形.

（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具

体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号.

（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格.②再从左上角到右下

角画一条线.③在上面的中间连一条线到右面的中间.④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就

可以停了.⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就

可停.⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了.

4.平行线的判定

(1)定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等,

两直线平行.

(2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，

两直线平行.

(3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角

互补，两直线平行.

(4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

(5)定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

5.全等三角形的性质

(1)性质1：全等三角形的对应边相等

性质2：全等三角形的对应角相等

说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等

②全等三角形的周长相等，面积相等

③平移、翻折、旋转前后的图形全等

(2)关于全等三角形的性质应注意

①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.

②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对

边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角.

6.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

7.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，

在NAOB的平分线上，C£>_LOA,CE工OB：.CD=CE

8,线段垂直平分线的性质

(1)定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)

垂直平分线，简称“中垂线”.

(2)性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段.—②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的

距离相等.—③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距

离相等.

9.等边三角形的判定与性质

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性

质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性

质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的

直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一

般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60°

的角判定.

10.菱形的性质

(1)菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

(2)菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=2浦.(。、b是两条对角线的长度)

11.矩形的判定与性质

(1)关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步

研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.

(2)下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△O8C都是等腰三角形；②/0AB=N054,ZOCB

=/OBC；③点。到三个顶点的距离都相等.

12.正方形的性质

(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

(2)正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称

轴.

13.轴对称图形

(1)轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称.

(2)轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对

称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条.

(3)常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

14.生活中的平移现象

1、平移的概念

在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移.

2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等.

3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离.

15.坐标与图形变化-平移

(1)平移变换与坐标变化

①向右平移。个单位，坐标P(x,y)nP(x+a,y)

①向左平移。个单位，坐标P(x,y)nP(x-a,y)

①向上平移》个单位，坐