2024年中考数学 与相似三角形、全等三角形有关的题复习讲义

与相似三角形、全等三角形有关的题复习讲义

解题策略一证明切线的两种思路

1.已知垂直，证半径（或直径）.

2.已知半径（或直径），证垂直.

证明垂直的技法：

（1）两角互余法；

（2）平行垂线法；

（3）全等法;

（4）勾股定理证垂直.

解题策略二证明圆中相似的思路

相似的判定方法中寻找相等的角是相对简单的，在圆中寻找相等的角最常见技法有以下几种：

1.同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等；

2.两条半径所在的等腰三角形中存在等角；

3.垂径定理中构造等腰三角形，能得到等弧，进而得出相等的圆周角；

4.同弧所对的圆周角是该弧所对的圆心角的一半；

5.有直径时要充分利用直径所对的圆周角为90。，结合垂径定理，可构造双垂直模型；

6.圆内接四边形的外角等于与其相邻的内角的对角；

7.同角或等角的余角相等；

8.千万不要忘记对顶角哦.

解题策略三求圆中相关线段的长

求圆中线段的长往往是圆中最难突破的压轴点，需要形成相关的解题策略：

1.解直角三角形.根据三角函数值，依据线段的比值，引入未知数表达线段的长.

2.相似才艮据相似的性质列比例式建立方程.

3.勾股定理.设一段表示另一段，集中条件用勾股定理.

4.等面积法根据同一图形的两种面积表示方法建立方程.

5.线段的和差.将一条线段的长转化为两段来求.

模型一圆幕定理

模型1-1相交弦

场景：已知在圆。内，弦AB,CD相交于点P.

结论:PA-PB=PGPD（证明AAPC—DPB或AAPD-ACPB）.

作辅助线方法:如图，连接AC,BD（连接AD,BC也可）.

拓展：在圆。内，直径AB与弦CD垂直于点P.由垂径定理可知PC=PD.

结论：PC2=PA-PB.进一步可得AC2=AP-AB,BC2=BP-2B.（直角三角形的射影定理哦!）

模型1-2割线

场景：已知：在圆0内，弦AB,CD的延长线相交于点P.

结论：PA-PBPC-PD.

作辅助线方法一：如图，连接AC,BD；

作辅助线方法二：如图，连接BC,AD.

模型1-3切割线

场景：已知在圆。内，PC是圆0的切线，PAB是圆的割线.

结论：PC2=PAPB.

作辅助线方法：如图，连接AC,BC,作直径CD,连接AD.

模型二圆周角与弦切角

场景：已知在圆。内，PC是圆。的切线.

结论：NB=ZPCA.

作辅助线方法：如图，连接CO并延长交圆于点D,连接AD.

此逆定理也是证明PC为切线常用的方法之一，“G4也叫弦切角，也就是同弧所夹的圆周角与该弧所对的圆

周角相等，这个结论也是圆中常用的导角方法之一.此结论的逆用，即NB=4C4也是证明PC为切线常用的方法

模型三圆内接四边形外角与圆周角

场景：已知四边形ABCD是。。内接四边形，4DC是四边形ABCD的一个外角.

结论：NEDC=NB.

模型四切线长

场景:已知P是。。外的一点,PA,PB是。。的两条切线,A,B是切点,P0交AB于点F.

结论：P4=PB,OP垂直平分AB,OP平分NBPA.

模型五三角函数（以正弦为例）

场景：已知在圆。内，直径AB垂直弦CD于点P.

结论：sin^4=—=—.

ACAB

场景：已知在圆。内，直径AB垂直弦CD于点P,点E是圆。上一点,连接ED,EB.

结论：sinNE=sinZPCB—sinZA.

场景：已知在圆。内，直径AB垂直弦CD于点P.

结论：sinNA=sinNPCB=—

模型六圆中勾股定理

模型6-1核心三角形

场景：已知在圆0内，半径为r,圆心到弦AB的距离为d,AB=a.

场景:已知在圆0内,半径为r,CD=b,AB=a.

模型6-2矩形平移线段

场景:已知PC切。0于点C,BE是。0的弦,C至I」弦BE的距离为d,半径为r,BE=a.

场景:已知PC切。。于点C,BE是。。的弦,C至U弦BE的距离为d,半径为r,PB=b.

模型七圆中等边三角形

场景：已知弦CD垂直平分半径AO.

结论：△AC。为等边三角形.

精选例题

例1.如图,AB为。。的直径，点C为。。上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心。

重合，连接0C,CD,BD,过点C的切线与线段BA的延长线交于点P,连接AD,在PB的另一侧作NMPB=N

ADC.

(1)判断PM与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若PC=百,求四边形OCDB的面积.

解析

(1)判定PM与圆的位置关系，可由圆心到直线PM的距离与半径比较来判断，所以需要作过点0垂直PM

的辅助线，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心。重合,也就是BC是半径0D的垂直平

分线，由模型七，可得到等边三角形，从而得到角度关系，进而求解；

(2)求四边形OCDB的面积,可考虑利用对称性求AOCD或AOBC的面积.

解Q)PM与。。相切.

理由：

如图，连接DO并延长交PM于点E.

•:弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心0重合,

.­.OC=DC,BO=BD.

.-.OC=DC=BO=BD.

..四边形OBDC为菱形.

.-.OD±BC.

."OCD和《BD都是等边三角形.

..NCOD=NBOD=60°.

.•.zCOP=zEOP=60°.

•.zMPB=zADC,

而NADC=NABC,

.•.zABC=zMPB.

.-.PMllBC.

.■.OE±PM.

•••OE=-0P.

2

•••PC为。。的切线，

.•.OC±PC.

OC=-0P.

2

.QE=OC.

而OEUC,

..PM是。。的切线；

(2)在RfOPC中,OC=曰PC=/x百=1.

，四边形OCDB的面积=2SaCD=2xfxF=噂.

例2.如图，四边形ABCD中,AB=AD=CD,以AB为直径的。O经过点G连接AC,OD交于点E.

⑴证明QDIIBC；

(2)若tan/ABC=2,证明:DA与。。相切；,

⑶在⑵条件下，连接BD交。。于点F,连接EF,若BC=1,求EF的长.(/

解析

DC

(1)根据模型4,利用切线长定理可得OD^AC,根据AB是直径/C=90°,可得BC^AC,因此ODllBC;

(2)已知0A是半径，所以只需证明OA_LAD;

(3)解题思路1：题目中AB为直径，构造直径所对的圆周角，连接AF,应用模型1-3,可得DF-BD=4。彳由

△AEDSAOAD,可得(。。=4。可得DF-BD=OD-DE,结合公共角，得至山EDFdBDO,利用相似的性质和相

似比可求EF的长.

解题思路2:因为EF没有在任何一个直角三角形中，所以过F点作FGJ_AC构造直角三角形，利用三角形

相似和勾股定理求出EF的长.

解题思路3:通过观察，发现线段EC=1，如果能够证明AEFC为等腰直角三角形，则问题可以迎刃而解.所以，

连接FC,证明MFC当EFD,得到AEFC为等腰三角形，即可解之.

解⑴如答图L连接0C.

­.OC=OA,AD=DC,

.■.0D是AC的垂直平分线.

.•.OD±AC.

.AB为。。的直径，答图1

..NACB=90。,即BC±AC.

.-.ODllBC;

AT

(2)•.・tanzABC=—=2,

―BC

.•.设BC=a，则AC=2a.

•••AD=AB=y/AC2+BC2=V5a.

.OEllBG且AO=BO,

111

OE=-BC=-a,AE=CE=-AC=a.

222

在AAED中，DE=y]AD2-AE2=2a,

2

在AAOD中,AO2+AD2-+(VSa)2=a2,

OD2=(OF+DF)2=(|a+2a)2=

A02+AD2=OD2.

.•.zOAD=90°.

则DA与。0相切；

(3)解法一:如答图2,连接AF.A

「AB是。。的直径，

.-.zAFD=zBAD=90o.

•.zADF=zBDA,

.".AAFD-'ABAD.答图2

—="，即2

ADBDDF-BD=AD.........①7

又.NAED=NOAD=90°/ADE=NODA,

AEDOAD,,=言，即OD-DE=AD2...@

由①②可得DF-BD=OD.DE,即需=器.

又.,NEDF=NBDO,..AEDFSABDO.

•.BC=L

•••AB=AD=V5,OD=^,ED=2,BD=410,OB=y.

・・布一访hJ逅一而.

一2

解得EF=^.

解法二:设AC与BD相交于点H.如答图3,过点F作FG1EC于点G,由⑵得当BC=1时，可以求得ED=2,

EC=1.由题知ABHCADEH,设HC=x.

BC_CH

"ED-HE'

1x1

••_,—,A■y.——■

21-x3

在RfBAD中，可以解得BD=V1O.

BF=|V10.

在Rt^BCH中解得BH^-VW.FH

36

答图3

由ABHC-AGHF彳导至

-=咫，可得GF=i.

GFHF2

同理,可求得GE=

・•・EF=—.

2

解法三：如答图4,连接AF,FC.由题得.AF=FDfED=AC=2fZCAF=ZBAF-ZBAC=45°-30°=15°/E

DF=zADB-zADO=45°-30°=15°r

ZCAF=NEDF.

.*.△AFC=△DFE.

「.EF二FC.

「NECF=NABF=45。，

.”EFC为等腰直角三角形.

答图4

EF=—EC=—.

22

反思：第3问求一条线段的长是本题的压轴点.本题三种求法分别采用了解题策略三中的相似、勾股、线段的

和差方法.方法一解答简单，变形复杂；方法二思路简单，解答复杂；方法三容易观察，巧妙应用全等来解答.

例3已知AB是。0的直径,AM和BN是。。的两条切线,DC与。。相切于点E,分别交AM,BN于D,C两点

Q)如图L求证:AB2=4AD-BC;

(2)如图2,连接0E并延长交AM于点F,连接CF.若NADE=2NOFC,AD=1,求图中阴景?部分的面积.

2

⑴由AB2=4AD-BC,可得(Y)=AD-BC,即0E2=0A2=AD-BC,由模型四，可得0E2=DE-CE,从而问

题得证；

(2)由模型四和题目中条件，结合双垂直模型，推导出角的关系和度数，最后根据面积和差关系

=

Sg1ale”“石—S1ale启角电

解(1)证明:如答图1,连接。DQCQE.

•.AD,BC,CD是。。的切线，

.•.OA±AD,OB±BC,OE±CD.

AD=ED,BC=EC,

11

NODE=-ZADC,ZOCE=-ZBCD.

22

ADBC.：.NODE+NOCE=|^ADC+/BCD)=90

答图1

•.zODE+zDOE=90°,

.-.zDOE=zOCE.

X-.zOED=zCEO=90°,

.,.△ODESACOE.

=—,0E2=ED-EC.

EDOE

.­-40E2=4AD-BC.：.AB2^4AD-BC;

(2)解:如答图2,由⑴知NADE=NBOE.

•.zADE=2zOFC,zBOE=z2COF,

.-.zCOF=zOFC.

."COF等腰三角形.

.OE，CD,..CD垂直平分OF.

.•.zAOD=zDOE=zOFD=30°,zBOE=120°.

r=0A=AD=V3,答图2

tan30°

BC=OB-tan60°=3.

•••S___=2S—S..=3V3—n.

可逆OBC加水OBE

例4.如图,AB是。。的直径,AB=48点E为线段0B上一点(不与0、B重合)，作,CE_L0B,交。。于点C,垂

足为E,作直径CD,过点C的切线交DB的延长线于点P,AF±PC于点F,连接CB.

(1)求证:CB是NECP的平分线；

(2)求证:CF=CE;

⑶当*=|时，求劣弧BC的长度(结果保留TT).U/

解析

⑴利用等角的余角相等证明即可；

(2)欲证明CF=CE,只要证明AACFVAACE即可;根据模型二，易得NFCA=NACE,从而解决问题.

⑶作BMJLPF于点M.贝!|CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性质求出BM,

求出tanzBCM的值即可解决问题.

解⑴证明:如答图L连接AC.

■.AB为直径，

.-.zACB=90o.

.•.zECB+zEBC=90°,zEBC+zCAB=90°.

.,.zECB=zCAB.

又rCP为切线，

答图1

..NOCP=90。.

•DC为直径，

.•.zDBC=90°.

.•.zBCP+zDCB=90o,zDCB+zD=90°.

..NBCP=ND.

又BC=BC,

；.NCAB=ND.

"ECB=NBCP,即CB是NECP的平分线；

(2)-.zACB=90°,

.•.zFCA+zBCP=90o,zACE+zECB=90°.

由(1)得NECB=NBCP,

，NFCA=NACE.在RfAFC和RfAEC中,

(zF=ZAEC=90",

]NFCA=ZECA,

IAC-AC,

.'.△AFC^AEC.

.-.CF=CE；

⑶方法一:如图，延长CE交DB于点Q.

,,CF_3

•CP~4r

...设CF=3x,CP=4x.

由⑵得CF=CE=3x.

•.CB是NQCB的角平分线，

CB±PQ,

;.CP=CQ=4x.答图2

/.EQ=4x-3x=x.

oo

-.CE±EB/zCBQ=90/zECB+zCQB=90/zECB+zCBE=90°z

/.zCBE=zCQB.

..ACEB^ABEQ.

.CE_EB

''EB~EQ，

・•.EB2=CE-EQ〃即3x-x=EB2.

「.EB二V3x.

在ACEB中，tan/CBE=济竟=百，

.•.zCBE=60°.

.•.zCOB=180o-60°-60o=60°.

OB=2A/3.

弧BC的长度为黑〃x2V3=|V3TT.

loUD

方法二:作BM，PF于点M.则CE=CM=CF,设CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,

,.,△BMOAPMB,

.BM_CM

''PM~BM

・•.BM2=CM-PM=3a2.

.・.BM—V3a

」cBM

tan/BCM=—=—A/3.

CM3

/.zBCM=30°.

/.zOCB=zOBC=zBOC=60°.

60-7T-2V32A/3

「.BC的长-------------=-------7T,

1803

反思本题第三问求出NBCM或者NBOC的度数即可.求角的度数通常通过解直角三角形来解决.运用射影定理，

可以得到BM2=CM-PM=3a号再根据角平分线的性质在直角三角形BEC中通过解直角三角形解决问题.

例5.如图，在AABC中,AB=AC,以AB为直径的。。与边BC,AC分别交于D,E两点，过点D作DH^AC于点

H.

(1)判断DH与。0的位置关系，并说明理由；

⑵求证:点H为CE的中点；

⑶若BC=10,cosC=，，求AE的长.

解析

(1)连接AD,0D,由直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的"三线合一"，可得点D是BC中点,0D是△

ABC的中位线QDllAC,则OD^DH,可判断出DH与。。的位置关系；

(2)由模型三和等腰三角形的“三线合一"，可得到结论；

(3)由点D是中点,CD=5,根据cosC可求出CH,AC^!JAE=AC-CE=AC-2CH.

解(1)DH与。。相切理由：

如答图L连接OD,AD.

/AB为直径，,NADB=90。,即AD±BC.

•.AB=AC/.BD=CD.

而AO=BO,/.OD为AABC的中位线.

.-.ODllAC.

•.DH±AC,

.-.OD±DH.

■■.DH为。。的切线；

答图1

⑵证明如答图2,连接DE.

1•四边形ABDE为。。的内接四边形,

..NDEC=NB.

.AB=AC,

.,.zB=zC.

.,.zDEC=zC.

•.DH±CE,答图2

.-.CH=EH.

即H为CE的中点；

⑶解在RbADC中，CD=\BC=5.

cCD

COSC=—=y,.-.XC=5V5.

AC

在RbCDH中,

cCHV5

•••COSC=—=

CD

.-.CH=遮

•••CE=2CH=2V5.

.,.AE=AC-CE=5V5-2V5=3V5.

例6.(2018深圳)如图，在。。中,BC=2,AB=AC,D为弧AC上的动点，且cosS=詈.

⑴求AB的长度；

(2)求AD-AE的值;

(3)过A点作AH^BD,求证:BH=CD+DH.

解析

(1)根据三角形外接圆圆心为三条边的垂直平分线的交点，和等腰三角形"三线合一”的性质，作BC的垂线,

再利用三角函数的定义即可解决；

(2)从点A出发有AB,AC,AD,AE等线段，如果AD-AE=AC2ag.AD-AE=AB彳然后利用⑴的结论即可解决，想到

母子型相似的结论，如果证明△EAJ"AD或△ABD-△AEB,问题即可解决

(3)欲证明BH=CD+DH,连接CD后，发现NABD=NACD,AB=AC,应用截长补短法，在BD上截取与CD相等的

线段，等到全等三角形，然后再证明截余的线段与DH相等即可；或者在CD的延长线上截取DG=DH彳导到AA

DH当ADG,然后证明RtSBH合RbACG即可.

解(1)如答图L作AM±BC.

■.AB=AC,AM±BC,BC=2BM,

CM=-BC=1.

2

nBMV10

•••cosB=—=——,

AB10

在RbAMB中,BM=1,

AB=^-=V10；

cosB

(2)解法一:如答图2,连接DC.

.AB=AC,

.,.zACB=zABC.

••・四边形ABCD内接于圆0,

..NADC+NABC=180°.

•.zACE+zACB=180°,

.,.zADC=zACE.

••zCAE为公共角，

.,.AEAJACAD.

.AC_AE

"AD~AC'

AD-AE=AC2=10;

解法二：如答图3.

•.zBAD=zEAB,

NADB=NABE=NACB,

△ABD-'AAEB.

_AB_AE

"AD-AB'

：.AD-AE=AB2=10;

(3)解法一：用截长法.如答图4.

在BD上取一点N,使得BN=CD.

在AABN和AACD中,AB=AC/ABD=NACD,BN=CD,

."ABN%ACD(SAS).

.-.AN=AD.

■.AN=AD,AH±BD,/.NH=HD.

.BN=CD,NH=HD,

.-.BN+NH=CD+HD=BH.

解法二：用补短法.

如答图5,在CD的延长线上取一点G，使得DG=HD.

•••四边形ABCD内接于圆0,

.-.zADC+zABC=180o.

•.zADG+zADC=180°,

.,.zADG=zABC.

■.AB=AC,

.,.zACB=zABC.

•.zADB=zACB,

.,.zADG=zADB.

•.AD=AD,DH=DG,

."ADH斗ADG(SAS).

.­.AG=AH,zAHD=zAGD=90°.

•.AB=AC,

.-.RtAABH^RtAACG(HL).

..CG=BD即BH=CD+DH.

精选练习

1.如图，在AABC中,AB=BC以AABC的边AB为直径作。。，交AC于点D,过点D作DE^BC,垂足为E.

⑴试证明DE是。。的切线；

⑵若。0的半径为5,.AC=6同,求此时DE的长.

2.如图，已知AB是。。的直径C是。。上的点，点D在AB的延长线上,NBCD=NBAC.

(1)求证:CD是。。的切线；

(2)若ND=30°,BD=2,求图中阴影部分的面积.

D

O

ArC

3.如图，点D在以AB为直径的。。上,AD平分.ZBAC.DCLAC,,B作。。的切线交AD的延长线于点E.

(1)求证:直线CD是。。的切线；

⑵求证：(CDBE=AD-DE.

4.如图,AB是。。的直径,CD与相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE14B于点E.

⑴求证：NBCE=NBCD;

(2)若AD=10,CE=2BE,求。O的半径.

5.如图,AB是。。的直径,AM和BN是它的两条切线，过。。上一点E作直线DC,分别交AM,BN于点D,C,

且=DE.

Q）求证:直线CD是。0的切线;

⑵求证：（0A2=DE-CE.

6.如图，△ABC内接于CD是直径，NCBG=^BAC„CD与AB相交于点E,过点E作EF1BC,垂足为点

F,过点0作OH14C,垂足为点H,连接BD,OA.

Q）求证:直线BG与。。相切;

7.如图,AB是。。的直径,ED切。。于点C,AD交。。于点F,AC平分./BAD,连接BF.

⑴求证:AD1ED;

(2)若CD=4,AF=2,,求。。的半径.

8.如图,AB为。0的直径,C,D为。0上的两个点，AC=CD=瓦D,连接AD,过点D作DE14C交AC的延长

线于点E.

(1)求证:DE是。。的切线；

(2)若直径AB=6,求AD的长.

9.如图，在。。中,B是。。上一点，480=120：弦2。=2声,弦BM平分NABC交AC于点D,连接MA,MC.

(1)求。。半径的长；

(2)求证：AB+BC=BM.

10.如图，在A/IBC中，AC=BC„D是AB上一点,。O经过点A,C,D,交BC于点E,过点D作DF〃BC,交。O

于点F.

求证：⑴四边形DBCF是平行四边形；

(2)2F=EF.

A

B

E

精选练习

解题策略一

解:⑴证明:由折叠的性质，可知NDAE=/DAiE=90。,NEB”=NEB/=90°,AAED="止。/BEH=/BiE

Z-DEAr+乙HEB、=90°.

又：乙HEBi+乙EHB[=90°,

•••Z-DEA1=乙EHBL

:•△AiDE^ABtEH;

(2)结论:△DEF是等边三角形.

理由：

•直线MN是矩形ABCD的对称轴，

点Ai是EF的中点即AiE=AiF.

在4AiDE和小AiDF中，

，DAr=DAlf

Z.DArE=£.DArF=90°,

、ArE=ArF,

:•△AiDE^AAiDF(SAS).

・・・DE=DF,

，D为的AC中点.

...OD//BC.A—」/

VDE±BC,\7

ADEXOD.~/

VOD为半径,

ADE是。。的切线；

(2)由(1)知BD是AC的中线，

•••AD=CD==3V10.

VO的半径为5,

AAB=10.

・•.BD=7AB2-AD?=J102-(3V10)2=V10.

VAB=AC,

AZA=ZC.

ZADB=ZCED=90°,

:•△CDES/XABD.

CD_DE日n3屈_DE

•.・布=茄，即GT=丽.

・・・DE=3.

2.解:⑴如图，连接OC.D

VOA=OC,/~^^7

.,.ZBAC=ZOCA./

・・・ZBCD=ZBAC,

：.ZBCD=ZOCA.4^/C

〈AB是直径，

・•・ZACB=90°.

・•・NOCA+OCB=NBCD+NOCB=90。.

・•・ZOCD=90°.

VOC是半径，

・・・CD是。。的切线；

(2)设。O的半径为r.

・・・AB=2r.

VZD=30°,ZOCD=90°,

.*.OD=2r,ZCOB=60o.

r+2=2r.

・・・r=2,NAOC=120。.

・・・BC=2.

・•・由勾股定理，可知AC=2V3.

易求得SMx=1X2V3X1=y/3,

c1207TX447r

5,=-----------=—.

加水ouC3603

••・阴影部分面积为

3.解:⑴证明:如图，连接OD.

•.•在。。中，有OA=OD,

ZOAD=ZODA.

又：AD平分/BAC,

ZOAD=ZCAD.

ZODA=ZCAD.

；.OD〃AC.

又：DC_LAC,

/.ODXCD.

直线CD是。O的切线；

(2)如图，连接BD.

VAB为。。的直径，

ZADB=ZBDE=90°.

又；DC_LAC,

ZACD=ZBDE.

：BE为OO的切线,DC_LAC,AD平分NBAC,

ZE=ZADC.

AACD^ABDE.

.CD_DE

''AD~BE，

・・・CDBE二ADDE.

4.解:⑴如答图1,连接OC.

・.・CD与。。相切于点C,

・•・(OCD=90°.

・•・ZOCB+ZBCD=90°.

VCEXAB,

.,.ZOBC+ZBCE=90°.

VOC=OB,

.\ZOCB=ZOBC.

AZBCE=ZBCD;

⑵如答图2,连接AC.

VAB是直径,

・•・ZACB=90°.

.\ZA+ZABC=90o.

ZABC+ZBCE=90°,

AZA=ZBCE.

・・・NBCE=NBCD.

・・・NA=NBCD.

•:ZD=ZD,

AAACD^ACBD.

.AC_AD_CD

"BC~DC~BD

ZA=ZBCE,ZBEC=ZAEC=90°,

・•・AACE^ACBE.

AC_CE

"BC-BE'

VCE=2BE,

AC-

•••—=2.

BC

ADCDc

.・.一=—=2.

DCBD

VAD=10,

ADC=5.

设。O的半径为r,则BD=10-2r.

。=2

10-2r

解得r=?

4

所以，的半径为

OOy4.

5.解:⑴如答图1,连接ODQE.

在^OAD和^OED中，

0A=0E,

AD=ED,

QD=0D,

：.AOAD^AOED(SSS).

JZOAD=ZOED.答图1

VAM是。。的切线，

・•・ZOAD=90°.

JZOED=90°.

・,・直线CD是。。的切线;

(2)如答图2,过点D作DFXBC于点F.

则NDFB二NDFO90。,

VAM,BN都是。。的切线,

JZABF=ZBAD=90°.

・・・四边形ABFD是矩形.

DF=AB=2OA,AD=BF.

〈CD是。。的切线，

・・・DE=DA,CE=CB.

・・・CF=CB-BF=CE-DE.

•••DF2=CD2-CF2,

.­-40A2=(CE+DE)2-(CE-DE)2.

即WA2=WE-CE,

OA2=DE-CE.

6.解:⑴如图，连接OB.

；CD是。。的直径，

ZDBC=90°.

ZD+乙BCD=90°.

•••OB=OC,

Z.OCB=Z-OBC.

・•.LD+乙OBC=90°.

•・•乙

D=^BACf^BAC=ZCBG,

・•・乙CBG+Z.OBC=90°.

gpZOBG=90°.

直线BG与。O相切；

(2)VOA=OC,OH±AC,

Ii

・•