2024年中考数学试题分类汇编：三角形（解答题）

2024年中考数学真题知识点分类汇编之三角形(解答题)

—.解答题(共21小题)

1.如图，点C在线段上，AB^AD,NB=ND,BC=DE.

(1)求证：AABC义AADE；

(2)若/BAC=60°,求/ACE的度数.

2.如图，在平行四边形ABC。中，点E在边AQ上，AB=AF,连接BR点。为BE的中点，AO的延长

线交边BC于点E,连接EP.

(1)求证：四边形是菱形；

(2)若平行四边形A8CD的周长为22,CE=1,ZBA£>=120°,求AE的长.

1

3.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,/MAN="BAC,/MAN在/BAC的内部，点M、N在8c上，

点M在点N的左侧，探究线段8M、NC、之间的数量关系.

(1)如图①，当NBAC=90°时，探究如下:

由/8AC=90°,A8=AC可知，将AACN绕点A顺时针旋转90°,得到△A8P,则CN=BP且

=90°,连接PM,易证△AMP之△AMN,可得MP=MN,在RtAPBM中,BM2+BP2^MP2,则有BM2+NC2

=MN2.

(2)当/8AC=60°时，如图②：当NB4c=120°时，如图③，分别写出线段BW、NC、MN之间的

数量关系，并选择图②或图③进行证明.

A

4.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形0A2的边。2在尤轴上，点A在第一象限，的长度是一

元二次方程/-5尤-6=0的根，动点P从点0出发以每秒2个单位长度的速度沿折线04-AB运动,

动点0从点。出发以每秒3个单位长度的速度沿折线。B-8A运动，P、0两点同时出发，相遇时停止

运动.设运动时间为/秒(0<t<3.6),△0PQ的面积为S.

(1)求点A的坐标;

(2)求S与f的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当S=6旧时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N,使得以点0、P、M、

N为顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

5.如图，在口48。中，点。是的中点，连接C。并延长，交D4的延长线于点E.求证：AE=BC.

6.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=3cm,是△ABC的角平分线.动点尸从点A出

发，以次“i/s的速度沿折线AO-DB向终点8运动.过点P作尸。〃A3,交AC于点Q,以尸。为边

作等边三角形PQE,且点C,E在P。同侧.设点尸的运动时间为f(s)。＞0),△PQE与△ABC重合

部分图形的面积为S(cm2).

(1)当点尸在线段上运动时，判断△AP。的形状(不必证明)，并直接写出A。的长(用含/的代

数式表示).

(2)当点E与点C重合时，求/的值.

(3)求S关于，的函数解析式，并写出自变量才的取值范围.

7.己知：AABC.

(1)尺规作图：画出△ABC的重心G.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)

(2)在(1)的条件下，连接AG,BG.已知△ABG的面积等于5cm2,则△ABC的面积是,

8.如图，△ABC的中线8。，CE交于点。，点RG分别是。8,OC的中点.

(1)求证：四边形。斯G是平行四边形;

(2)当BD=CE时，求证：nOEFG是矩形.

9.如图，48是NCAD的平分线，AC^AD,求证：NC=/D.

c

10.数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：

(1)准备测量工具

①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测

角仪(图1),利用它可以测量仰角或俯角；

②皮尺.

(2)实地测量数据

①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点(图2)；

②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为168%，眼睛到地面的距离为1.6m.

(3)计算旗杆高度

①根据图3中测角仪的读数，得出仰角a的度数为；

②根据测量数据，画出示意图4,AB^1.6m,16.8m,求旗杆CD的高度(精确到0.1〃z)；

(参考数据：sin35°^0.57,cos35°"0.82,tan35°^0.70,sin55°弋0.82,cos55°20.57,tan55°

仁1.43)

③若测量者仍站在原处(8点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角a?若能，请写出测量方法；若不

能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角a,请写出测量方法.

■

图1

P

X

AQT-------

5

—-----------------#----------］读数为55.BC

A

图2图3图4

n.【探究】

(1)已知△ABC和△AOE都是等边三角形.

①如图1,当点。在8C上时，连接CE.请探究CA,CE和CO之间的数量关系，并说明理由；

②如图2,当点。在线段的延长线上时，连接CE.请再次探究CA,CE和之间的数量关系，

并说明理由.【运用】

(2)如图3,等边三角形A8C中，AB=6,点E在AC上，CE=25点。是直线2C上的动点，连

接。E,以。E为边在。E的右侧作等边三角形OEF,连接CF.当为直角三角形时，请直接写

(1)在71,/2所在的平面内求作直线I,使得1//11//12,且/与人间的距离恰好等于I与12间的距离;

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若/1与/2间的距离为2,点A,B,C分别在/,h,/2上，且△ABC为等腰直

角三角形，求AABC的面积.

13.如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF,BC=EF.

(1)求证：AABC^ADEF；

(2)若/A=55°,/E=45°,求/尸的度数.

14.如图，在△ABC和△&££)中，AB=AE,/BAE=/CAD,AC^AD.求证：AABC^AAED.

A

15.【问题背景】

某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：

①如图，在△ABC中，AD±BC,BD=CD,则有NB=NC；

②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC,即知AB+BO=AC+CD.若把①

中的8£>=CD替换为4?+8Z)=AC+C。，还能推出/8=NC吗？

基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出并分别提供了不同的证明

方法.

小军小民

证明：分别延长。8,证明：

DC至E,B两点，使.•.△AO2与△AOC

得……均为直角三角形

根据勾股定理，

得……

【问题解决】

(1)完成①的证明；

(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.

16.【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点尸之间的距离.

p・

A

【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具

【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点艮测量A,B两点间的距离以及/

PAB^WZPBA,测量三次取平均值，得到数据：43=60米，ZPAB=79°,ZPBA=64°.画出示意图，

如图1：

【问题解决】(1)计算A,尸两点间的距离.

(参考数据：sin64°~0.90,sin79°=0.98,cos79°-0.19,sin37°心0.60,tan37°心0.75)

【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：

如图2,选择合适的点DE,F,使得A,D,E在同一条直线上，5.AD^DE,ZDEF^ZDAP,当F,

D,尸在同一条直线上时，只需测量跖即可.

(2)乙小组的方案用到了.(填写正确答案的序号)

①解直角三角形

②三角形全等

【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案.

17.如图，点。、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且8D=CE,BE与AO交于点尸.求证:

AD=BE.

A

18.如图，在AABC中，点。为BC边的中点，过点8作BE〃AC交的延长线于点E.

(1)求证：△BDEgACDA.

(2)AD±BC,求证：BA=BE.

19.如图，△ABC是O。的内接三角形,AB是。。的直径，过点B作O。的切线与AC的延长线交于点D,

点“在。。上，AC^CE,CE交AB于点、F.

(1)求证：/CAE=ND；

(2)过点C作CG_LAB于点G,若。4=3,BD=3五,求BG的长.

20.如图1,在△ABC中，AB=6,BC=8,点尸为AB上一点，AP^x,过点尸作PQ〃8C交AC于点。.点

P,。的距离为yi,ZkABC的周长与△AP。的周长之比为”.

(1)请直接写出yi,”分别关于x的函数表达式，并注明自变量尤的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数yi,中的图象，并分别写出函数yi,”的一条性质；

(3)结合函数图象，请直接写出yi>”时x的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2).

9

8

7

6

5

4

3

2

1

~0123456789力

图1图2

21.如图，在△ABC中，A8=6,5C=8,点尸为A3上一点，过点P作PQ〃8C交AC于点Q.设AP的

长度为羽点尸，。的距离为yi,△ABC的周长与△AP。的周长之比为”.

(1)请直接写出yi,"分别关于x的函数表达式，并注明自变量％的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数yi,”的图象；请分别写出函数山，"的一条性质；

(3)结合函数图象，直接写出yi>”时］的取值范围.(近似值保留一位小数，误差不超过0.2)

%

9"--「--r--T--T--R--R--R--T-

8

7

6

BC

O123456789%

2024年中考数学真题知识点分类汇编之三角形(解答题)

参考答案与试题解析

一.解答题(共21小题)

1.如图，点C在线段AD上，AB=AD,NB=/D,BC=DE.

(1)求证：AABC义AADE；

(2)若NBAC=60°,求/ACE的度数.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；运算能力；推理能力.

【答案】(1)证明见解答；

(2)/ACE的度数是60°.

【分析】(1)由BC=OE,ZB=ZD,AB=AD,根据"SAS”证明

(2)由全等三角形的性质得AC^AE,ZBAC^ZDAE=60°,贝(INAEC=NACE,^ZAEC+ZACE

=2ZAC£=120°,求得/ACE=60°.

【解答】(1)证明：在△ABC和△AOE中，

BC=DE

乙B=乙D,

AB=AD

：.AABC^AADE(SAS).

(2)解：由(1)得△ABC会ZkAOE,

：.AC=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

・•・ZAEC=NACE,

VZAEC+ZACE=2ZACE=180°-ZZ)AE=120°,

AZACE=60°,

；./ACE的度数是60°.

【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明aABC四△ADE

是解题的关键.

2.如图，在平行四边形ABC。中，点P在边上，AB=AF,连接8尸，点。为的中点，AO的延长

线交边BC于点E,连接EE

(1)求证：四边形A8所是菱形；

(2)若平行四边形ABC。的周长为22,CE=1,ZBAD=120°,求AE的长.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质;菱形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力;推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)2.5.

【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；

(2)证明△A2E是等边三角形，求出A8可得结论.

【解答】(1)证明：•..四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,

：.NAFO=NEBO,

是8P的中点，

：.OB=OF,

在△AOP和AEOB中，

/.AFO=AEBO

Z.AOF=Z-BOE,

,OF=0B

:.AAOF沿AEOB(A4S),

：.OA=OC,

'：OB=OF,

...四边形ABEF是平行四边形，

'：AB=AF,

...四边形A8所是菱形；

(2)解：,：AD//BC,

：.ZBAD+ZABC=180°,

\9ZBAD=120°,

ZABE=60°,

・・・△ABE是等边三角形，

：.AE=AB,

'：AD=BC,AF=BE,

：.EC=DF=\,

。：DF〃EC,

・・・四边形EFDC是平行四边形,

：.CD=EF,

9：AB+BC+CD+AD=12,

・•・AB+BE+1+CD+AF+1=12,

・・・4AB=10,

：.AB=AE=2.5.

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

1

3.已知△ABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/A/4N在/8AC的内部，点A/、N在8C上，

点M在点N的左侧，探究线段8M、NC、之间的数量关系.

(1)如图①，当NBAC=90°时，探究如下：

由NBAC=90°,AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°,得到△4BP,则CN=BP且

=90°,连接PM,易证△AMP0ZXAMN,可得MP=MN,在RtAPBM中，BM2+BP2=MP2,则有BM2+NC2

=MN2.

(2)当/8AC=60°时，如图②：当NBAC=120°时，如图③，分别写出线段NC、MN之间的

数量关系，并选择图②或图③进行证明.

A

MN

【考点】三角形综合题.

【专题】证明题；几何直观.

【答案】图②的结论是8序+NC2+8M・NC=MN2,图③的结论是：BM2+NC2-BM'NC^MN1.证明过

程详见解析.

【分析】类比（1）中示例方法在图②③中构造辅助线，先证△ACN经△AB。（SAS）,再证△AQMgA

ANM,最后利用勾股定理转化等线段即可.

【解答】解：图②的结论是8M2+NC2+BM・NC=MN2.

证明：'：AB=AC,ZBAC=60°,

.1.△ABC是等边三角形，

AZABC=ZACB=60°,

以点B为顶点在△ABC外作NABK=60°,在8K上截取BQ=CN,连接Q4、QM,过点Q作

垂足为H,

_N\~cB

D/\

/图②'

：AB^AC,ZC=ZABQ,CN=BQ,

：./\ACN^AABQ(SAS),

:.AN=AQ,NCAN=/QAB,

又•.•/CAN+/8AM=30°,

：.ZBAM+ZQAB=30°,

AAQM^AANM(SAS),

：.MN=QM；

9：ABQ=60°,ZABC=60°,

：.ZQBH=60°,

：.ZBQH=30°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

1

・•・HM=BM+BH=BM+jBQ,

在Rt/XQHM中，可得：。3+8序=。加2,即(BQ)-+(BM+^BQ)2^QM2,

整理得B研+BG+BM，BQ=QM1.

：.BM2+NC2+BM-NC=MN2.

图③的结论是：BW+NG-BM・NC=MM.

证明：以点8为顶点在△ABC外作NABK=30°,在8K上截取BQ=CN,连接Qi、QM,过点0作

QH±BC,垂足为X,

N।_______\________

BV/MjvV

图③'

,：AB^AC,ZC^ZABQ,CN=BQ,

：.AACN^AABQ(SAS),

:.AN=AQ,ZCAN^ZQAB,

又：/CAN+/BAM=60°,

：.ZBAM+ZQAB=6Q°,即/QAM=NMAN,

又：

:.AAQM沿4ANM(SAS),

：.MN=QM,

在RtZXBQH中，NQBH=60°,NBQH=30°,

：.BH=^BQ,QH=^-BQ,

HM=BM-BH=BM-^BQ,

在中，可得：QH2+HM2=QM,即(?B。)2+(BM-^BQ)2^QM2,

整理得BM^BQ2-BM-BQ=QM2.

：.BM2+NC2-BM'NC^MN1.

【点评】本题主要考查全等三角形得判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股

定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键.

4.如图，在平面直角坐标系中，等边三角形。48的边。8在无轴上，点A在第一象限，。4的长度是一

元二次方程，-5尤-6=0的根，动点尸从点。出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA-AB运动,

动点。从点。出发以每秒3个单位长度的速度沿折线。3-运动，P、0两点同时出发，相遇时停止

运动.设运动时间为/秒(0</<3.6),△。尸。的面积为S.

(1)求点A的坐标；

(2)求S与f的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当S=6旧时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N,使得以点。、P、M、

N为顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.

【专题】三角形；几何直观；推理能力.

【答案】(1)点A的坐标为A(3,3V3)；

f|V3t2(0<t<2)

(2)<-1V3t2+6V3t(2<t<3)；

「宁百t+2773(3<t<3.6)

2

(3)点N的坐标为N(2,4+2遮)，N(2,2V3-4),N(-2,2百)，N4(2,&«)♦

【分析】(1)运用因式分解法解方程求出0A的长，根据等边三角形的性质得出OA=O8=OC=6,Z

OAB=ZAOB^ZABO=60°,过点A作AC_L尤轴，垂足为C,求出AC的长即可；

(2)分0<fW2,2</(3和3<f<3.6三种情况，运用三角形面积公式求解即可；

(3)当5A遍时求出t=2,得OP=4,分OP为边和对角线两种情况可得点M的坐标；当

-|V3?+6V3/=6V3,-竽俗+278=68时，不存在以点。、P、M、N为顶点的四边形是菱形.

【解答】解：(1)x2-5x-6=0,解得xi=6,X2=-L

・・・OA的长度是x2-5x-6=0的根，

：.0A=6f

VAOAB是等边三角形，

：.0A=0B=0C=6,ZOAB=ZAOB=ZABO=60°,

.\ZOAC=30°,

11

・•・0C=件=.x6=3,

：.AC=y/OA2-OC2=V62-32=3V3,

・••点A的坐标为A(3,3V3)；

(2)当0V/W2时，过P作轴，垂足为点。,

：.PD=y/OP2-OD2=V（2t）2-t2=V3/,

：.S=^OQ'PD=1又3txV3r=|V3?,

AZAQE=3Q°,

又A0=12-3t,

A£=6-子，QE=JAQ2_4E?=6A/3---Z,

又0P=2t,

••S—2x2?XX（6V3=-2V3^+6V3f;

当3<f<3.6时，过。作。尸_LA8,垂足为R

1

同理可得，BF=^OB=3,

：.OF=<OB2-BF2=3V3,

/.S=1x3V3x(18-5t)=一号Wr+27后

f|V3t2(0<t<2)

综上所述5=<-|g/+6bt(2VtW3)；

、一号同+2773(3<t<3,6)

3

(3)当5«及=60g时，

解得£=2,

・•・OP=2X2=4,

过点P作PG±x轴于点G,则0G=尸=2,

：.PG=70P2-0G2=V42-22=2V3,

，点尸的坐标为(2,2V3)；

当OP为边时，将OP沿轴向下平移4个单位得N(2,2V3-4),此时M(0,4),四边形POMN是菱

形；将。尸沿y轴向上平移4个单位得N(2,2V3+4),此时M(0,4),四边形POMN是菱形；如图，

作点尸关于轴的对称点N(-2,2V3),当M(0,4V3)时，四边形PMN。是篓形;

当。尸为对角线时，设OP的中点为T,过点T作力轴，交y轴于点延长MT到M使77V

：.0N=2TN,

：.ON2=OT2+TN2,

1

即ON2=21+(-ON)2

2

4

解得

3-

2

：.NH=^y[3,08=2,

N(2,|V3)；

当-4V3r+6V3/=6A/3，

解得f=2,不符合题意，此情况不存在;

1q

当-亨百什27遥=6次时，

4

解得/=2-<3,

不符合题意，此情况不存在；

2

综上，点N的坐标为N(2,4+2V3),N(2,2百一4),N(-2,2百)，N4(2,

【点评】本题是三角形综合题，主要考查运用因式分解法解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定

理，30。角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积，菱形的判定与性质，解答本题的关键是正确

作出辅助线和分类讨论.

5.如图，在口428中，点。是42的中点，连接C。并延长，交D4的延长线于点E.求证：AE=BC.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；推理能力.

【答案】见解析.

【分析】根据A4s证明△4。£0/\2。。即可得出结论.

【解答】证明：♦..点。是A8的中点，

：.AO=OB,

•/四边形ABCD是平行四边形，

C.AD//BC,

：.ZE^ZBCO,

又/AOE=/BOC,

：.AAOE^ABOC(AAS),

C.AE^BC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明AAOE四△BOC是解题的关

键.

6.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30",AC=3cm,是△ABC的角平分线.动点尸从点A出

发，以旧61/5的速度沿折线4。-。8向终点8运动.过点尸作PQ〃A3,交AC于点Q,以尸。为边

作等边三角形PQE,且点C,E在尸。同侧.设点P的运动时间为f(s)(f>0),△PQE与△ABC重合

部分图形的面积为S(cm2).

(1)当点尸在线段AO上运动时，判断△AP。的形状(不必证明)，并直接写出A。的长(用含t的代

数式表示).

(2)当点E与点。重合时，求f的值.

(3)求S关于，的函数解析式，并写出自变量f的取值范围.

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；应用意识.

争2,(0<t<|)

【答案】(1)△AP0是等腰三角形，AQ=t；(2)I；(3)S=,—孥12+6百竽，(1<t<2).

LY(t-l)2,(2<t<4)

【分析】(1)根据角平分线+平行线可得△APQ是等腰三角形，再用特殊角即可求AQ的长；

(2)当E、C重合时，AE=2AQ,即2f=3,求/值即可；

(3))①当点尸在上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形尸。E,如图作PGLQE于点G,

②当点尸在上，点E在AC延长线上时，重合部分时四边形尸。CF.③当点尸在DB上，重合部分

时直角三角形PQC,分类讨论画出图形计算求解即可.

【解答】解：(1)如图，过。作于点8,

'：PQ//AB,

：.ZBAD=ZQAP,

'：AD是角平分线，

./CAD=NBAD,

：.ZCAD=ZQAP9

:・QA=QP,

：.AAPQ是等腰三角形.

：.AH=^AP=^t,

VZCAD=30°,

故△AP。是等腰三角形，AQ=t.

(2)如图所示，E、C重合时图形.

•••△PQE是等边三角形，

：.QE=QP,

由(1)得QA=QP,

：.AE=2AQ,即2r=3,

t=亍

(3)①当点尸在上，点E在AC上时，重合部分是等边三角形尸。E,如图作PGLQE于点G,

：.PG=/尸=苧3

「△PQE是等边三角形，

QE=PQ=AQ=t,

；.S=WQE，PG=*Z.

由⑵知当点EC重合时，/=9，

：.S=^-t2(0</<|).

②当点尸在A。上，点E在AC延长线上时，重合部分时四边形PQC尸.

在RtZ\FCE中，CE=2t-3,ZE=60°,

；.CF=CE・tan60°=V3(2f-3),

:.S»CE=3⑵-3)•百(2-3)=空(2f-3)2,

:.S=SAPAC-SAPCE=$2一噂(2r-3)2=一挛户+6W，一挈(-<?<2).

4L4L2

③当点尸在。2上，重合部分时直角三角形尸0C,

S=^CQ-CP=^Ct-1)«V3(/-1)=芽(?-1)2,(2W/W4).

(0<t<|)

综上所述，S=._苧/+6®_孥，(|<t<2).

/o

I受(t-1)2,(2<t<4)

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的

性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识点和分类讨论思想是解题关键.

7.已知：AABC.

(1)尺规作图：画出AABC的重心G.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)

(2)在(1)的条件下，连接AG,BG.已知的面积等于5c”，，则△ABC的面积是15cm2.

【考点】三角形的重心；作图一复杂作图；三角形的面积.

【专题】作图题；三角形；运算能力.

【答案】(1)图形见解析过程；

(2)15.

【分析】(1)根据三角形的重心是三角形三条中线的交点即可解决问题.

(2)根据三角形重心的性质即可解决问题.

【解答】解：(1)分别作出A8边和8c边的垂直平分线，与A8和BC边分别交于点N和点M,

(2)•.•点G是△ABC的重心,

：.AG^2MG,

,?AABG的面积等于5cm2,

：.ABMG的面积等于25cm1,

：.AABM的面积等于7.5c机2.

又是△ABC的中线，

.,.△ABC的面积等于15cm2.

故答案为：15.

【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形的面积及作图一复杂图形，熟知三角形重心的定义及性

质是解题的关键.

8.如图，△ABC的中线8。，CE交于点。，点RG分别是。8,OC的中点.

(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；

(2)当BO=CE时，求证：nOEFG是矩形.

【考点】三角形的重心；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定.

【专题】三角形；多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【答案】(1)证明见解析过程；

(2)证明见解析过程.

【分析】(1)利用三角形的中位线定理可得出。E与EG平行且相等，据此可解决问题.

(2)由CE可得出DF=EG,再根据矩形的判定即可解决问题.

【解答】(1)证明：：8。和CE是△ABC的中线，

/.点E和点。分别为AB和AC的中点，

是△ABC的中位线，

1

：.DE//BC,DE=^BC.

同理可得，

1

FG//BC,FG=^BC,

J.DE//FG,DE=FG,

四边形DEFG是平行四边形.

(2)证明：:△ABC的中线8。，CE交于点O,

.•.点。是△ABC的重心，

.•.80=20。，C0=20E.

又；点尸，G分别是。3,0C的中点，

：.0F=FB,OF=GC,

22

：.DF=^BD,EG=^CE.

；BD=CE,

：.DF=EG.

又：四边形DEFG是平行四边形，

平行四边形DEPG是矩形.

【点评】本题主要考查了三角形的重心、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质及矩形的判定,

熟知三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质及矩形的判定是解题的关键.

9.如图，A8是/C4D的平分线，AC=AD,求证：ZC=ZD.

【考点】全等三角形的判定与性质.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】见解答过程.

【分析】由角平分线的定义可得/CAB=/D48,利用SAS可判定△ABC会△A8D从而可求得/C=

ZD.

【解答】证明：「AB是/CAD的平分线，

；./CAB=NDAB,

.•.在△ABC和△ABO中,

AC=AD

Z.CAB=/-DAB,

AB=AB

：.AABC^AABD（SAS'）,

.,.NC=ND

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件与性质并灵

活运用.

10.数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：

（1）准备测量工具

①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测

角仪（图1）,利用它可以测量仰角或俯角；

②皮尺.

（2）实地测量数据

①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿着测角仪的直径刚好到达旗杆的最高点（图2）；

②用皮尺测出所站位置到旗杆底部的距离为16.8/n,眼睛到地面的距离为1.6根.

（3）计算旗杆高度

①根据图3中测角仪的读数，得出仰角a的度数为35。；

②根据测量数据，画出示意图4,48=1.6m，BC=16.8m,求旗杆CD的高度（精确到0.1M；

（参考数据：sin35°心0.57,cos35°仁0.82,tan35°仁0.70,sin55°"0.82,cos55°20.57,tan55°

F.43）

③若测量者仍站在原处（8点），能否用三角板替代测角仪测出仰角a?若能，请写出测量方法；若不

能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角a,请写出测量方法.

图1

【考点】三角形综合题.

【专题】常规题型；运算能力.

【答案】(1)35°；(2)13.4m；(3)不能，向右走5m,用45°直角三角板测量即可(答案不唯一,

向左走用30°三角板测量也可以).

【分析】(1)根据测角仪得出度数为55°,所以a为90°-55°=35°；

(2)解直角三角形AQE即可求出答案.

(3)由三角板的度数可知没有35。，所以直接测量不出，根据三角板的度数为45。或者30°可知,

向右走或者向左走一定距离就可用三角板测量，再利用特殊角求长度即可.

【解答】(1)根据测角仪得出度数为55°,所以a为90°-55°=35°；

故答案为：35°；

(2)VBC=16.8m,

.,.AE—16.8m,

在Rt/VIOE中，tana=器，

£\E=A_E・tana=16.8X0.7^11.76m,

・・・CD=CE+DEm3.4m.

即旗杆的高度CO为13.4%

(3)•..三角板只有30°、60°的三角板和45°的三角板，而8点的仰角为35

三角板测不出仰角a的度数；

如图，作EF=DE,则△DEB为等腰直角三角形，ZDFE=45°,

：.DE=EF^11.8m,

16.8m,

：.AF=AE-EF=5mf

・•・向右走5根，用45°直角三角板测量即可(答案不唯一，向左走用30。三角板测量也可以).

D

，✓

✓

,Z/

,///

三’------cE

B~产C

【点评】本题主要考查了三角形综合和锐角三角函数的实际应用，掌握解直角三角形和三角板的特征是

解题关键.

11.【探究】

(1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形.

①如图1,当点。在8C上时，连接CE.请探究CA,CE和CO之间的数量关系，并说明理由；

②如图2,当点。在线段8c的延长线上时，连接CE.请再次探究CA,CE和之间的数量关系，

并说明理由.【运用】

(2)如图3,等边三角形A2C中，AB=6,点E在AC上，CE=2<3.点。是直线2C上的动点，连

接。E,以。E为边在。E的右侧作等边三角形OER连接CF.当△CEF为直角三角形时，请直接写

【考点】三角形综合题.

【专题】压轴题；存在型；模型思想；应用意识.

【答案】(1)①CE+CD=C4,理由详见解析；@CA+CD=CE,理由详见解析；(2)6-百或6+2b.

【分析】(1)①根据条件易证△A3。gAACE(SAS),再进行线段转化易得答案；②与第①小问思路一

样，证出△A3。g(SAS)即可；

(2)由△CEF为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点。的位置关系去

讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨

论求解即可.

【解答】解：(1)①CE+CZ)=CA.理由如下，

:AABC和△ADE是等边三角形，

：.AB=AC=BCfAD=AE=DE,ZBAC=ZDAE=60°,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,

：.ZBAD=ZCAEf

在△A30和△ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z.CAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

・•・CE=BD

•；BD+CD=BC,

：.CE+CD=CA.

@CA+CD=CE.理由如下，

•・・AABC和△4£>£是等边三角形，

：.AB=AC=BCfAD=AE=DE,ZBAC=ZDAE^60°,

・•・/BAC+/DAC=ZDAE+ZDAC.

：.ZBAD=ZCAE,

在△A3。和△ACE中，

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.CE=BD,

■:CB+CD=BD,

:.CA+CD=CE.

(2)过E作即〃A3,则△即。为等边三角形.

①当点。在H左侧时，如图1,

;ED=EF,ZDEH=ZFEC,EH=EC,

：.^EDH^/\EFC(SAS),

；./ECF=NEHD=120°,

此时△CEF不可能为直角三角形.

A

②当点。在H右侧，且在线段CH上时，如图2,

同理可得.,.△£!汨名(SAS),

：.ZFCE=ZEHD=60°,ZFEC=ZDHE<Z//£C=60°,

此时只有/PCE有可能为90°,

当NFCE=90。时，ZEDH=90°,

C.EDLCH,

,:CH=CE=2同

：.CD=^CH=V3,

又：4B=6,

:.BD=6一痘.

图2

③当点。在H右侧，且HC延长线上时，如图3,

此时只有/CEP=90°,

:/DEF=60°,

:./CED=30°,

；NECH=60°,

:./EDC=CED=30°,

：.CD=CE=243,

.•.BD=6+2V3.

图3

综上：8。的长为6-百或6+2W.

【点评】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键.

12.如图，已知直线

(1)在/I,/2所在的平面内求作直线/,使得/〃且/与/I间的距离恰好等于/与/2间的距离；

(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若与/2间的距离为2,点A,B,C分别在/,Z1,及上，且△A8C为等腰直

角三角形，求△ABC的面积.

【考点】三角形综合题.

【专题】几何综合题；几何直观；推理能力.

【答案】(1)图形见解答；

5

(2)△ABC的面积为1或-.

2

【分析】(1)利用尺规作图方法，过直线上任意一点作/1的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作

出直线I;

(2)分三种情况画出图形分别计算即可.

【解答】解：(1)如图1,直线/即为所求作的直线；

(2)①当NA4c=90°,时，如图2,

•：l//h//l2,直线人与h间的距离为2,且/与人间的距离等于/与h间的距离，

根据图形的对称性可知：BC=2,

：.AB=AC=42,

图2

②当/ABC=90。，BA=BC时，

如图3,分别过点A,C作直线/i的垂线，垂足为N,

:./AMB=NBNC=90°,

•：l//h//l2,直线/1与12间的距离为2,且/与间的距离等于/与12间的距离,

：.CN=2,AM=1,

VZMAB+ZABM=9Q°,NNBC+/ABM=9Q°,

:.AAMB冬二BNC(AAS),

：.BM=CN=2,

在心△ABM中，由勾股定理得4解=4序+8序=12+22=5,

：.AB=V5,

15

••S"BC~2"8.BC—2»

l2

图4

SAABC=o'