2024年中考数学复习讲义：一次函数复习讲义

一次函数复习讲义

典例1将一次函数y=2x-4向上平移2个单位长度，求平移后的函数解析式。

解法一

思维导向将直线的平移化归为直线上任意一点的平移，通过寻找平移后的点，从而求得平移后的直线解析

式。

令x=0,则y=-4,令y=0,则x=2,；.(0,-4),(2,0)在一次函数y=2x-4的图象上,

•••(0,-4),(2,0)向上平移2个单位对应的点分别为(0,-2),(2,2),设过点(0,-2),(2,2)的一次函数解析式为y

=kx+b,则由

L/T；b=2解得｛:二，2;.平移后的函数解析式为丫=20。

解法二

思维导向由平移的性质可得平移后的直线与原直线保持平行，从而得平移后直线的斜率k与平移前相等。

设平移后的直线解析式为y=2x+b,

又：y=2x-4上的点(0,-4)向上平移两个单位后对应点(0,-2),

将(0,-2)代入y=2x+b得b=-2,平移后的函数解析式为y=2x-2o

解法三

思维导向由直线平移的特征直接求解。

y=2%-4y=2%-4+2,即平移后的函数解析式为y=2x-2o

多维评析：解法一将直线的平移化归为点的平移，通过研究平移后的点从而求得平移后的直线；解法二

是根据平移不改变直线的斜率，先设直线解析式，再利用待定系数法代入一个点的坐标即可求解；解法三巧

妙地根据向上平移即任意一点的纵坐标都对应增加相等的量，从而直接在平移前的直线解析式中变形求解。

典例2如图,矩形AOBC的两个顶点A,B在坐标轴上,顶点C的坐标(6,8),点P是BC边上一动点,连接

AP,将小ACP沿AP折叠，点C落在点C处,当/CAP=30。时.求点C的坐标。

解法一

思维导向在坐标系中求点的坐标，可过点作x轴或y轴的垂线，通过求点到坐标轴的距离进一步确定点的

坐标。

图①

如图①,过点c作C1M±y轴，交y轴于点M,

VZCAP=30°=ZPAC,ZCAO=90°,ZC'AM=30°,

X•/CA=CA=6,/.iSdRtEP△C'MA中,CM=3,AM=3V3,

•••OMOA-AM=8-3V3,•••C<3,8-3次）。

解法二

思维导向类比解法一，还可过点C作AC的垂线，在速t®AAMC中,通过求AM,MC确定点C的坐标。

如图②,过点C作CMXAC交AC于点M,VZCAP=30°,ZCAP=ZC'AP,ZMA

C'=60。,又；CA=C'A=6,...在①Rt④△AMC中，AM=3,MC=3g，xCt=3

,yC'=8-3V3,.-.C'^8-3百）。

解法三

思维导向利用“①字型”相似及含有特殊角的直角三角形求解线段长。

如图③，过点C作x轴的平行线分别交y轴于点M,交CB于点N,

•?ZAC'P=90°,AZAC'M+ZPC'N=90°,

又：ZAC'M+ZC'AM=90°,ZPC'N=ZC'AM,

又：^AMC=乙C'NP=90。，：.AMC>C'NP,华=半

''C，PC'N

,在①Rt®）AAC'P中，会=tan乙4PC',又；4CAP=30。,NC=90°,

•••乙CPA=^C'PA=60°,.•・牛=tan60°=V3,

又：竿=AM=b，又•.•①RtgzXAMC'中,华=tan/AC'M=V3,AAM=V3MC,

C'NMN-MCr6-MCr6-MC'-1?MCr，，

亘”=wMC=3,2M=3V3,OM=8-3其

6-MC'

：.(7(3,8-3⑸。

解法四

思维导向利用翻折的性质，直接求解包含特殊角30。、60。的直角三角形。

如图④,过点C作x轴的平行线交y轴于点M,交BC于点N,

•••NC4P=30。4=90°,ACPA=^C'PA=60°L

.•.①Rt④ZkCNP中，NC'PN=60°,

'."@RtEDAACP中，.AC=6,.-.CP=AC-tan30°=2®

■：CP=CP,

在①Rt①△CNP中,PN=CP-cos60°=2V3x|=V3,

•••CN=CP+PN=2V3+V3=3V3,

■.■AM=CN,AM=3V3,OM=OA-AM=8-3V3,

/.©RtEPAAMC'中，MC=AM-tan^C'AM,

■■■^CAP=^C'AP=30°,^MAC=30°,

•••MC=AM-tan30°=3V3X—=3,

C[3,8—3V3)O

解法五

思维导向由翻折的性质可连接对应点c、c得等边△acu将点L转化为直线ac，、cc'的交点，利用函数

解析式联立方程求解。

如图⑤，连接CC并延长交X轴于点M,延长.4C咬X轴于点N，则点。为直线与直线CC的交

AN点。

•.,ZCAP=ZC'AP=30°,ZCAC'=60°,

又：CA=CA,.♦.△ACC为正三角形，

ZACC'=60°,ZMCB=30°,

(ERt@ACBM中,CB=8,MB=CB-tanzMCF=8X弓=第,

...OM=6-第,M(6-第，0),又「C(6,8),

•••直线CM的解析式为y=V3x+8-6V3,

同理①Rt(g)aAON中,AO=8,ON=0A-tan^OAN=竽,

...ON=嗫・•.N(»,又,：A(0,8),

直线AN的解析式为y=-V3x+8,

x=3

C(3,8-3月)。

y=V3x+8-6^3'得Iy=8-3J3

联立

.y=-43x+8'

解法六

思维导向由翻折的性质，对应点的连线段被折痕垂直平分可联想利用中点坐标公式及函数解析式进

行求解。

如图⑥,连接CC并延长交X轴于点M,交AP于点Q,延长AP交X轴

于点N。

,/点C与点C关于直线AN对称，；.CC'±AP,点Q为CC中点，

/.(ERtEPACQA中，乙4CQ=90°-LCAQ=90°-30°=60°,

又：AC〃OB,，/CMB=60。，

①Rt④ACBM中，CB=8,.-.MB=CB-tanzMCB=第，

•••GM=OB-MB=6-竽.••M(6-啜。)，

又：C(6,8),

直线CM',y=V3x+8-6A/3,

设点Cr(^afV3a+8—6V3),

由中点坐标公式X(2=竺子,%=皆得Q(等，壬31)，

在①Rt④Z^AON中,ZNAO=90°-4CAP=90°-60°=30°,0A=8,

ON=OA-tanZOAN=8xV3=8V3,

・•.N(8/，0),又：A(0,8),

直线4N:y=-yx+8,

•••点Q在直线AN上,••・一+；-68=一空•卓+&

a=3,y/3a+8—6\/3=8—3^/3,

•••广(3,8-38)。

解法七

思维导向由轴对称的性质及中点坐标公式求解。

如图⑦,连接CC并延长交x轴于点M,交AP于点Q。

①RtEDAACP中,AC=6,ZCAP=30°,

CP=2V3,BP=8-2V3,

••・。(6,8-2遍),又；人(0,8),

直线AP的解析式为:y=—日x+8也p=—中，

又：CC'^AP,：.KCX.-KAP=-1,

he=V3,

又：C(6,8),

直线CC'的解析式为:y=V3x+8-6A/3,

联立［y=*“+8,可得|“一七

y=V3x+8-6V3(y=8--

即Q（2子）,

%c+Xc

又；Q为CC中点，由中点坐标公式2

2

得C'（3,8—3百）。

解法八

思维导向利用角平分线性质联想过点c作AP及y轴的垂线，在①RtHDAACP中利用等面积法求解线段长。

如图⑧，过点C作y轴、AP的垂线分别交于点M、N,

：/CAP=NC'AP=30。，；.2]\1\©=30。，平分/PAO,

.1.C'N=C'M,

（ERt（gAACP中,AC=6,AP=4c=4=4百,CP=AC-tan/G4P=6x—=2V3,

COSZ.CAPV33

2

又；AC=AC=6,CP=CP=2V3,

.,.（ERt@AACP中.-C'N=|aCPC,

6,nrAC'PC'6X2V3

CN=--------=—一=3o,

AP4V3

.•.C'M=3,①Rt④△AMC'中易得.AM=3®：.OM=8-3y[3,

C13,8-3向。

多维评析：解法一、二、三、四是常规的几何法，由特殊角通过向X轴或y轴作垂线构造特殊直角三角形

求解关键线段长从而求点的坐标，•解法五、六是解析法，其实质都是联立两直线解析式求交点，不同的是，解

法五通过将点转化为两条特殊直线的交点，先由待定系数法求出两条直线，再联立方程求交点；解法六根据点

关于直线的对称性，两点若关于某一直线对称，则两点连线段的中点必在该直线上，从而可设点的坐标，利用

中点坐标公式，将中点坐标代入直线解析式直接求解。解法七是在解法六的基础上先求出中点Q的坐标，再由

中点坐标公式求得点(Q'的坐标，与解法六不同的是，这里应用了AP和(CC两直线垂直时K「Kz=-1这一结

论求直线斜率，再由点斜式求直线解析式，较解法六而言简便一些；解法八是由角平分线性质及等面积法求解。

典例3如图，四边形ABCD为矩形，点C在x轴上，点A在y轴上，点D坐标(0,0),点B坐标(3,4),矩形

ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的点G处,E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标(2,4)。

⑴求点G的坐标；

⑵求直线EF的解析式。

(1)解法

由已知得AF=FG=2,AB=3BF=1,

①Rt④△FBG中，BC=VKG2-BF2=百,6C=BC-BC=4—展

G(3,4-⑹。

⑵解法一

思维导向利用①Rt④4FBG的特殊性求得.NBFG=60。,再利用对称性求得乙4FE=60。,在①Rt④4EAF中

求解AE的长,即得点E的坐标,由E、F点坐标利用待定系数法求得直线EF的解析式。

由⑴得BF=1,AF=2,

VBC=V3,®Rt®AFBC中,sinzSFC=—=Z.BFC=60。，

FG2

XVZAFE=ZGFE,AZAFE=60°,

在①Rt④Z\EAF中,AE=AF-tanzXFf=2V3,

OE=4-2V3,•••F(0-4-2何

设EF的解析为y=kx+b,由待定系数法得

,2k+b=匕，解得(fc=V3,

1/9=4-2遮i/)=4-2V3,

,直线EF的解析式为:y=V3x+4-2vx

解法二

思维导向由方法一可得/BFG=/AFE,易证△EAF^AGBF相似,运用相似所得线段成比例求出AE，得点

E坐标，由待定系数法求直线EF的解析式。

由解法一得NBFG=/AFE,又：ZFBG=ZFAE=90°,

.•.△FBG^AFAE,又：在①Rt①4FBG中,BF=AB-AF=1,ZAFE=60°,

BG=V3,

*6・4E=甯=等=2WE(0,4—2V3),XVF(2.4),

由待定系数法可得EF解析式为：y=+4-2百。

解法三

思维导向过点E可作BC的垂线,通过在Rt©AEMG中设线段长GM表示EG,又由EG=AE=BG+GM建设

关于GM的方程,求解GM,进而求得点E的坐标,再由点E、F的坐标通过待定系数法求直线EF的解析式。

如图①,过点E作EMLBC交BC于点M,

:①RtEDAFBG中，ZFGB=30°,FB=1,.".BG=V3,

又,?ZFGE=ZEAF=90°,

ZEGM=60°,

设GM=x,；.EG=2x=AE,

又：AE=BM=百+x,.-.2x=V3+x,

•••%=V3,BPCM=V3,.'.BM=2V3

AE=2V3,OE=4-2V3,.­.E(0,4-2百)又：F(2,4),

由待定系数法可得EF的解析式为：y=百久+4-

解法四

思维导向利用轴对称性得AG与EF互相垂直，再由kEF-kAG=-1解得品尸,结合点F的坐标利用待定系数

法确定直线EF的解析式。

图②

如图②,连接AG,

,/AEAF与4EGF关于直线EF对称，

•••XC0EF,kAG-kEF=-1,

V(gRt@AFBG中，BC=V3,:.GC=4-^3,・•.G(3,4一份,

、c,-\A(4-V3)-4%/3T/

「''kAc=rrr=—0—==，•1-kE=j—=v3

又：A(0,4),.x(；x,\JUJFK.u:

又,/F(2,4)；.直