2024年中考数学复习讲义：二次函数复习讲义

二次函数复习讲义

典例1已知:当x=m或x=n(m*n)时，代数式x2-2x+3的值相等,求当x=x=m+n时代数式%2-2%+

3的值。

解法一

思维导向由代入法联立关于m,n的方程，求解m,n或m,n的关系。

22

由题可得m-2m+3=n—2n+3O

整理彳导(m-n)(m+n-2)=0,

*/m#：n,m+n=2,

/.当x=m+n=2时,——2x+3=3。

解法二

思维导向由二次函数图像的对称性进行求解。

设/(%)=x2-2x+3,

：f(m)=f(n),；.y=f(x)的对称轴x=等=1,

m+n=2,f(m+n)=f(2)=3,BP%2—2x+3=3„

多维评析：以上分别从代数角度及二次函数对称性的几何角度对题目进行了解读。

典例2如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a*0)的图像过(-1，2)且与x轴交点的横坐标为Xi,X2,其中-

2

2<%i<-1,0<%2<求证：b+8a>4ac„

证法一

思维导向由所求证不等式的形式联想抛物线顶点坐标，再由最大值『与抛物线上点的纵坐标比较得证。

4a

由抛物线的顶点(一方，竺子)及抛物线过(—1，2)得曝始>2,::a<0,:Aac-b2<8a,b2+8a>4ac

证法二

思维导向由代入法得参数a、b、c的关系，再将b2+8a与4ac作差比较。

;抛物线过点(-L2)/(-I)=a-b+c=2,2-c=a-b

I2+8十—4ac=b2+4a(2—c)=b2+4am—b)=b2-4ab+4a2=(b—2a,)2,

V-b/a^-l.*.b-2a^0(b-2a)2>0,

2

b+8a>4acc

多维评析：证法中，也可由a—b+c=2得b—ctc—2,代入b2+8a—4ac整理得(a+c—2)2+Set—4ac

=(a—c)?+4(a—c)+4=(a—c+2)2>0,从而i正彳导b?+8a>4ac。

典例3如图，抛物线y=-好+2x+3与x轴交于点A、B与y轴交于点C,顶点为P,直线y=-x+3与抛物

线对称轴交于点M。

(1)求SRCP；

⑵抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使SB叭)=SBMP，若有，请求出点Q的坐标,若没有，请说明理

思维导向由两点间距离公式以及点到直线距离公式求解△BCP的底边及相应的高。

y=-%2+2%+3=-(%-I)2+4,•••P(l，4),

「IBC为y=-x+3,P(l,4),

由点到直线距离公式得P到BC的距离d=片炉=V2,

V2

又•；C(0,3),B(3,0),

•••BC—3Vx•••SBCP=^BC•d=|x3V2xV2=3。

解法二

思维导向将4CPB分割成以PM为公共底边，点C、点B到PM的距离为高的两个三角形，由SCPB=

ScMP+S^MP进仃求解。

V1BC为y=-x+3,P(l,4),AM(1,2),

PM=yP—yM=2,

SX

SM：P=SMPQ+MPB=：MP•(孙-xc；)+:MP(%B-p)

ii

=-x2xl+-x2x2=l+2=3

22o

解法三

思维导向延长PC与x轴交于点N,将^CPB置于△NPB中利用SPBC=SNPB-SANCB求解。

图①

如图①,延长PC交X轴于点N,・・・P(1,4),C(0,3),・・・1PC为y=%+3,.・.N(—3,0),

XX

•••SBCP=SNPB-SNCB=1-K)'yp~~(B~久N)•yc-

11

=-x6x4--x6x3=12-9=3

22o

多维评析：对于直角坐标系中求解三角形的面积，可利用面积公式寻找底和高直接计算，也可间接通过割或

补的方法求解，此题也可采用过点c横向分割，或过点P作y轴垂线段，将ABCP置于梯形中，利用作差求解

等。

⑵解法一

思维导向利用平行线间距离处处相等，以及点M为PN中点可联想过点P、点N作BM的平行线从而寻找点

Q,再联立直线与抛物线方程求点Q的坐标。

由题可得SBMP=3M尸,%p)=^x2x2=2,

VBM为定长，且SBM(Q=SBMP，

，点Q与点P到BC的距离相等。

如图②过点P作liIIBC交抛物线于点Qi,且11为y=-x+5,

设PM与x轴交于点N且N(1,0),

又:xM=xp=1,点M在直线BC上,2),

；.M为PN的中点，，点N到BC的距离等于点P到BC的距离，

过点N作BIIBC交抛物线于点Q2,Q3,且以V=r+1,

联立7得(Q1(2,3),P(1,4),

VV—AI乙人ID

(y=-x+l./3-V17V17-l\Z3+V17-V17-l\

联以b=_/+2%+3,付------}

综上，存在点Q使SRM()=^BMP>

且Q(2,3),Q2(号t号1),Q3(手，中)。

解法二

思维导向直接设点Q的坐标，由SBMP=2建立方程求解参数。

如图③,过点Q作QN，x轴交BC于点E(Q点可在BC下方)，设点-/+2a+3),

・•・3-a)SDHM=||y0-狗区一%“)=1|一M+3a|x2=|一彦+3叫

・••SBMP=2,

.e.I-a2+3a|=2.•・—a2+3a=±2,即-a2+3a—2=0或一/+3a+2=0,

yr3+V173-V17

的=1,g=2,=---,。4=-2-，

又：a1=1时，点Q即为点P,故舍去，

Q。，3),Qz(手空),(23呼告)。

解法三

思维导向类比解法二，直接设点Q的坐标，由SBMQ=SBMP=2建立方程。设点Q(a，-a?+2a+3),

SBM(Q=SBMP，

当以公共边BM为底边时，点Q到BM的距离等于点P到BM的距离，XV1BC为y=-x+3,

由点到直线距离公式得d=—1+3-3|=V2,.-.|-a2+3a|=2,

V2

23+

•••—a+3a=+2,­•-a1=l,a2=2,a3=^^,a4=~~~>

又的=1时，点Q即为点P,故舍去，

Q1(2,3),Q2(三，与内,Q3呼军)。

解法四

思维导向由点Q到BC的距离等于点P到BC的距离，从而设点Q进一步通过距离公式寻求关于点Q的动点

轨迹方程，与抛物线方程联立求符合题意的点Q的坐标。设动点Q(x,y)0

VIBc为y=-x+3且点P到BC的距离等于点Q到BC的距离，

由点到直线距离公式得d=空*=V2,

V2

%+y—3=±2,，动点Q满足方程y=—X+5和y=—x+1,

―(y=-x+5(y=-%+1

"ly=-x2+2%+3~ly=—%2+2%+3，

可得Q1(2,3),Qz(三，当二),Q3(三，宇)。

多维评析：解法一和解法四是从几何的角度先寻求动点Q的轨迹方程，再联立抛物线方程求解；解法二、三

是从代数角度设点的坐标，按一般求面积的方法，由面积为定值建立关于参数的方程进而求解。几何法较代数法

更直观、简捷，但同时也对思维的要求比较高。

典例4在平面直角坐标系中，抛物线y=-3/一久+4与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=

%+4经过A、C两点，在AC上方的抛物线上有一动点P,当点P运动到某位置时，以AP、AO为邻边的平行四

边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求此时点P的坐标。

思维导向利用平行四边形对边平行且相等的性质，设点P、Q，代入抛物线建立方程组求解。

如图,设P(m,n),VPQXAO,A0=4,Q(m+4,n),

VPSQ都在抛物线上，

ni=-3

/1<_，*'*P(-3,彳)。

——m2—m+4=n"一方\乙)

•••】2，解得〔2

I--(m+4)2—(m+4)+4=n

解法二

思维导向利用点P、Q关于对称轴对称的特点，由中点坐标公式求解。

如图，设P(m,n),则Q(m+4,n),

VP.Q关于对称轴x=-l对称，

由中点坐标公式得守=-1,即时『=-1,

解得m=-3,将其代入y=—*-力+4得n=P(一3，|)。

多维评析：解法一由平行四边形的性质表示各顶点的坐标，再将坐标代入抛物线建立关于参数的方程进而求

解，而解法二更进一步巧妙地由抛物线的对称性及中点坐标公式求点的坐标，运算上较解法一更简捷。

典例5如图,已知点A(4.0),O为坐标原点,P是线段OA上异于点0、A的一点，过P、0两点的二次函数y1

,，过P、A两点的二次函数yz的图像开口均向下，及它们的顶点分别为B、C,OB与AC的延长线交于点D,当

(OD=AD=3时，求这两个二次函数的最大值之和。

解法一

思维导向由结论出发可联想分别过抛物线的两顶点作X轴的垂线，过点D作X轴的垂线，由三角形全等及矩

形的性质转换线段，再用勾股定理求解。

如图①,过点D作DG±x轴于点G,过点C作CHXDG于点H,过点B作BE1x轴于点E,过点C作CF±x轴

于点F,易得四边形HCFG为矩形，

：B、C分别为外,y2的顶点,由二次函数图像的对称性得OE=EP,PF=FA,.\EC+CF=OE+FAOA,.-.

EF=-0A,

2，

-1

又：OD=AD,DG^\OA,.-.OC=EF=OG,OE=GF=HC,

XVCH/7OA,/.ZHCD=ZOAD=ZEOB,

XVZDHC=ZBEO=90°,AAOEB^ACHD,.*.DH=BE,

22

BE+CF=DH+HG=DG=y/DA-GA=b即％与y2的最大值之和为瓜

解法二

思维导向由点B、C分别在直线OD、直线AD上，可联想利用已知线段长得点D的坐标，从而得直线OD、

AD的解析式,再通过参数设点B、点C坐标从而表示出力与y2的最大值之和。

：DO=DA=3,OA=4,；.D(2,V5),

.♦.loD为y=为y=-yx+2V5,

设B(m，亨,C-9n+2伺,由解法一可知EF=卯4=2,

n—m=-0A=2,

2

•"•yi与y2的最大值之和为ym-yn+2逐=y(m-n)+2通=-V5+2V5=V5,

两个二次函数的最大值之和为瓜

解法三

思维导向由等腰△及抛物线的对称性联想构造相似三角形，△OBP〉△ODA-APCA,再利用对应线段

成比例转换线段，最终求得DG=BE+CFQ

图②

如图②，连接BP、CP,过点B、D、C分别作x轴的垂线交x轴于点E、G、F,

B、C分别为yi,y2的顶点,BO=BP,CP=CA,

：.AOBP,APCA、△ODA为等腰三角形，

XVDO=DA,AZDOA=ZDAO,

ZDOA=ZBOP=ZBPO=ZDAO=ZCAP=ZCPA,

AOBP^>AODA<^APCA,

BE_CF_DG.BE+CF_BE+CF_DG

•,OP-P4—02'OP+PA-OA~0A

BE+CF=DC=V5,gpY1与y2的最大值之和为显

解法四

思维导向类比解法三利用三角形相似得对应线段成比例，通过设参数将BE和CF表示。

如图③，过点B、D、C分别作x轴的垂线交于点E、G、F,

BE\\DC\\CF,^"：DODA=3,0C=CA^2,DC=V5,

易证ABEO-ADGO-△CFA,

.BE_DG_CF

''OF~OC~AF~2

设。P=a则OE=|a,4F=”，

BE=—a,CF="-a)巡

44

BE+CF==瓜

4

•••两个函数的最大值之和为瓜

多维评析：解法一通过构造全等转换线段，解法二通过函数解析式设点表示线段之和，解法三和解法四通过

构造相似三角形得线段之比，解法三巧妙地利用了相似三角形对应高与底边之比相等实现了证明DG=BE+CF的

目的，而解法四则利用设而不求的方法表示BE和CF,在运算中消去参数。本题的综合性比较强，但就根据题目

的目标添加辅助线却是顺理成章的，而通过全等相似转换线段从而求线段之和也是比较常规的解法。

典例6如图I,在平面直角坐标系xOy中，抛物线C:y=a久2+法+c与x轴相交于A,B两点,顶点为D(0,

4),AB=4vx设点F(m,0)是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180。得到新的抛物线Co

⑴求抛物线C的函数表达式。

(2)如图2,P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C，上的对应点为P'„

设M是C上的动点,N是C，上的动点，试探究四边形PMPW能否成为正方形?若能，求出m的值；若不能，请说

(1)抛物线的解析式为：y=-3久2+虱(解法略)

⑵解法一

思维导向若四边形PMPN能成为正方形，则由正方形的性质可联想.APF"必是等腰直角三角形，因此可作

PE±x轴于点E,MH±x轴于点H,进一步证明.△PFE=AFMH,又由P(2,2)可得PE=FH=2,分类讨论点F与直

线PM的位置可得EF=HM=2-m或m-2,即点M坐标为(m+2,m-2)或(m-2,2-m),利用待定系数法将点M的坐标

代入抛物线C的解析式建立关于m的方程最终解决问题。

结论：四边形PMPN能成为正方形。

理曲如图①，作PE±x轴于点E,MHLx轴于点H。

由题可设P(a,a),代入抛物线C,可得a=-fa?+4,解得a=2,则p(2,2)0

当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMPW是正方形，

PF=FM/PFM=90°,

易证△PFE=A可得PE=FH=2,

当点F在直线PM左边时，如图①，EF=HM=2-m,

M(m+2,m-2),

:点M在y=—12+4上，

2

m-2=—|(m+2)+4,解得m1=-3+V17,m2=-3—V17(舍)，

m=—3+旧时,四边形PMPN是正方形。

当点F在直线PM右边时(图略),EF=HM=m-2,

•点乂在丫=-|x2+4上，

2

2—m=—|(m—2)+4,解得=0(舍),m2=6.

m=6时,四边形PMP'N是正方形。

综上