2024年中考数学复习：函数与图形的最值复习讲义

函数与图形的最值复习讲义

知识必备

线段的最值

⑴点与点之间的最小值一利用“两点之间，线段最短”构造“共线”的情况，从而确定最值；

⑵点与线之间的最小值一利用“点与直线上各点的连线中，垂线段最短”构造“垂直”的情况，从而确定最值.

特别提醒：（1）在解决线段的最小值问题时，一定要注意是求两点之间的最小值，还是求点与线之间的最小值；

⑵如果计算两条线之间的最小值，可以从一条线上取一点向另一条线作垂线段，利用勾股定理或函数的最值计算

求解.

方法技巧

1.求线段最值的方法

⑴利用几何模型：首先利用将军饮马、胡不归等几何模型确定最短路径，再利用勾股定理等几何知识求解.

模型图示基本问题作法

在直线1上找一点P,使作点A（或B）关于直线1的对称

将军饮马得其到直线同侧两点点，再连接另一点与对称点，

1:.力

A,B的距离之和最小与1的交点即为P点

A'

A作NMBN,使得sin/MBN=k，则

/1

/

//在直线BM上找一点P,PA+kPB=PA+PQ.当A,P,Q三

胡不归使得PA+kPB（O<k<l）最点共线，即过点A作BN的垂

小线，垂足为Q.BM与AQ交于

Q'QN点P时,PA+PQ最小

⑵构造函数模型：首先构造函数模型，再根据自变量的取值范围及函数的性质确定最值.

2.求面积最值的方法

先确定图形的形状是规则图形，还是不规则图形.如果图形是规则图形，就利用面积公式构造出函数模型；如

果图形是不规则图形，就利用割补的方法来构造函数模型求解.再根据函数值的变化规律及自变量的取值范围来确

定最值.

3.铅垂法求面积

如图，过AABC的三个顶点分别作x轴的垂线，其中过A,C的两条垂线与x轴交于点E,F,而过点B的垂

如图，过点A,C分别作AG1BD,CH1BD,,垂足分别为G,H,则有SABC=SABD+SBCD=^BD-AG+

\BD.CH=IBD.{AG+CH}=\BD.EF.

题型一：利用几何模型求线段的最值

例1：如图直线y=x+l与抛物线y=x2-4x+5交于A,B两点，点P是y轴上的一个动点，当APAB的周长最小时,

SpAB=--

解题步骤

1.确定两个函数图象的交点坐标；

2.利用将军饮马模型确定P点位置；

3.确定面积公式及相关的边长与高；

4.计算面积.

【解析】联立直线与抛物线的解析式得方程组

解得忧网;著

；•点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(4,5),

•••AB=J(5—24+(4-1尸=3V2.

如图，作点A关于y轴的对称点A；则A<-1,2),连接A'B与y轴交于P,则当点P与P重合时,4PAB的周长最小.

设直线A'B的解析式为y=kx+b(k¥O)则席:二押得.k

直线A'B的函数解析式为y=|x+y.

当x=0时,y=装，即点P的坐标为(0,装).

SPAB=SAAB-SAAv=142-(yB-%)=|x2x(5_£)=£,

.,.当APAB的周长最小时，SPAB=y.

例2在平面直角坐标系中，将二次函数y=aY(a>0)的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，

得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，OA=1,经过点A的一次函数

y=kx+b(kR0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,AABD的面积为5.

⑴求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求AACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

⑶若点P为x轴上任意一点，在⑵的结论下，求PE+|PA的最小值.

【解析】⑴将二次函数.y=aY(a'O)的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的

解析式为y=a(x-I)2-2.

抛物线的解析式为y=j(x-l)2-2,即y=2/一久一|.

令y=0解得.xi=-1,X2=3,AB(3,0),

・・・AB=OA+OB=4,

XAABD的面积为5,.:SABD=^AB-yb=5,yD=j.

代入抛物线的解析式，得|=#-x-|,解得xi=-2,X2=4,

又：A在x轴负半轴上，C在y轴正半轴上，且D为直线AC与抛物线的另一个交点，

二代).

设直线AD的解析式为y=kx+b(krO),

.••产+匕♦解得人=?

l—k+b=0,b=-,

I2，

直线AD的解析式为y="+1.

(2)如图1过点E作EM〃y轴交AD于M.

设E(a,|a?-a-1),则M+0,

111r31rq

EM=一aH--------M+。~|—=—心-\—a+2,

222222

,-^ACE—S/ME—Scuk=^EM-(xc—x4)=[(_]a2+|a+2)xl=

—}(a2-3a-4)=-[(a-1)+1|.

又_1<a<4,.・.当a=泄，AACE的面积有最大值，最大值是,此时点E的坐标为(|，-胡.

(3)如图2,作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点F作FH±AE于点H,交x轴于点P.

「Eg弋)Q=l，

・•,4G=1+；如。=M•嚏=本=?

又：ZAGE=ZAHP=90°,

.—.-PHEG3err3p.

・•.smZ.EAG=——=—=-,・••PH=-A4P.

APAE55

VE,F关于x轴对称,，PE=PF,

•••PE+14P=PF+PH=FH,此时PF+PH最小，即PE+|&P最小.

1515

■.■EF=-x^-^AEG=^HEF,

・•・sin"EG=sinNHEF.即祭=借=之

415

FH=-x—=3.

54

，PE+|P4的最小值是3.

三角形的周长为三条线段的和，确定周长的最小值即确定线段和的最小值，一般情况下都有一条线段的长度

固定，求其他两条线段和的最小值即可.

解决线段和的最值问题，先确定哪些点是定点，哪些点是动点，再利用将军饮马模型或胡不归模型确定动点

的位置，最后计算求解.

1--1.如图直线y="+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点点P为0A上一动点，当

PC+PD最小时，点P的坐标为()

A.(-3,0)B.(-6,0)4

C.(—1，0)

1-2.已知抛物线y=aY+bx+c(a40)过点A(1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,OC=3.乂\D

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；/

Z4PO\X

⑵过点A作AM_LBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形：I

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当APBC的面积最大时，求点P的坐标；

⑷若点Q为线段OC上的一动点，问：4Q+[QC是否存在最小值?若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明

理由.

题型二：构造二次函数模型求线段的最值

例:如图，若b是正数，直线1::y=b与y轴交于点A；直线a::y=x-。与y轴交于点B；抛物线(：y=-x2+bx的

顶点为C,且L与x轴的右交点为D.

(1)若48=8,,求5的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

⑵当点C在I下方时，求点C与1距离的最大值.

【解析】⑴当x=。时,y=x-b=-b,

•••B(O-b).

：AB=8,而A(0,b),

；.b-(-b)=8,解题步骤

，b=4.1.确定二次函数的解析式.

，L的解析式为y=-x2+4x,2.构造距离的函数关系式

••.L的对称轴为直线x=2.3.根据自变量的取值范围，确定最值.

当x=2时,y=x-4=-2,

•••L的对称轴与a的交点为(2,-2).

⑵...y--X2+bx=_(X-|)+p

••.L的顶点C的坐标为("?).

:点C在1下方，

•••C与1的距离d=b-9=一式6-2)2+1,

又b是正数，,当b=2时，d取得最大值1,

即点C与1距离的最大值为1.

解决此类问题的步骤：①确定点到直线的距离，过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离即为点到直线

的距离；②根据点到直线的距离构造函数模型；③根据自变量的取值范围及函数的变化规律来确定最值.

2-1.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于.4(-1，0),B(3,0)两点与y轴相交于点C(0,-3).

⑴求这个二次函数的表达式；

⑵若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH1x轴于点H,与线段BC交于点M,连接PC,求线段

题型三：构造二次函数模型求面积的最值

例：如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(-5,0)网-4,-3)两点与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.

⑴求该抛物线的表达式；

(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合)，设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时，求APBC

的面积的最大值.

【解析】⑴：抛物线y=ax2+bx+5经过点A(-5,0),B(-4,-3),二,曾=0；解得H

该抛物线的表达式为y=无2+6x+5.

⑵如图，过点P作PE±x轴于点E,交直线BC于点F.在抛物线y=炉