2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义-等式性质与不等式性质

专题15等式性质与不等式性质

【知识点梳理】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意xwR,则x>O（x为正数）、％=0或xvO（x为负数）三种情况有且只有一种成立.

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：a>0,b>0=>a-^-b>0；

a<0,b<0=>a-\-b<0

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：a>0,b>0^ab>0；

a<O,b<O^ab>Q

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：a>0,Z?<0=>ab<Q

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0

符号语言：xeR^>x2>0,x=0o%2=0.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数〃、b

①Q-Z?>Ooa>b；

②a-Z?vOoavb；

③a-〃=OoQ=b.

对于任意实数。、b,a>b,a=b,avb三种关系有且只有一种成立.

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明

不等式与解不等式的主要依据.

知识点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

⑴对称性：a>b<=>b<a

(2)传递性：a>b,b>c^a>c

(3)可力口性：a>人oQ+c>Z?+c(c£R)

c>0^>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=0^>ac=be

c<0nac<be

运算性质有：

(1)可力口法贝U：a>b,c>d^a+c>b+d.

(2)可乘法贝!J：a>b>0,c>d>0na・c>b・d>0

(3)可乘方性：a>b>O,HGN*>b“>0

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式〃、b,可以作差a-b后比较a-)与。的关系，进一步比较，与b的大小.

@a-b>O<^a>b；

②Q—人vOoavb；

③a—b=Ooa=b.

作商法：

任意两个值为正的代数式。、b,可以作商a+人后比较0与1的关系，进一步比较。与人的大小.

b

®—>\<=>a>b；

b

®—a<b；

b

(§)—=1oa=b.

b

中间量法:

若且6>c,则“>c（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.

【题型归纳目录】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

题型二：作差法、作商法比较两数（式）的大小

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

题型四：利用不等式的性质证明不等式

题型五：利用不等式的性质比较大小

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

【典例例题】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

例1.（2023・甘肃酒泉•高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺

寸长、宽、高之和不超过130cm,且体积不超过72000cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为。，

b,c（单位：cm）,这个规定用数学关系式可表示为（）

A.<?+Z?+c<130且o/?c<72000B.a+6+c>130且abc>72000

C.a+b+c<130J!Labc<72CXX）D.«+Z?+c>130j=LflZ?c>72000

【答案】C

【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得a+6+c<130,由体积不超过TZOOOcm3得必cW72000.

故选：C.

例2.（2023・四川眉山•高一校考阶段练习）将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm,若

两段绳子长度之差不小于1m,则无所满足的不等关系为（）

f2x-5>0

A.〈八「B.2x-5>1^5-2x>l

[0<x<5

；5-2x>lf|2^-5|>l

'[0<x<5,10〈尤<5

【答案】D

【解析】由题意，可知另一段绳子的长度为（5-x）m.

因为两段绳子长度之差不小于1m,所以FI71，

0<x<5

化简得：

[0<尤<5

故选：D

例3.（2023•西藏林芝•高一校考期中）下列说法正确的是（）

A.某人月收入尤不高于2000元可表示为“x<2000”

B.某变量y不超过。可表示为"yWa”

C.某变量x至少为a可表示为“x>a”

D.小明的身高xcm,小华的身高ycm,则小明比小华矮表示为“x>y”

【答案】B

【解析】对于A,某人收入x不高于2000元可表示为xV2000,A错误；

对于B,变量y不超过a可表示为B正确；

对于C,变量尤至少为。可表示为x'a,C错误；

对于D,小明身高xcm,小华身高Am,小明比小华矮表示为尤<y,D错误.

故选：B.

变式1.（2023•黑龙江双鸭山•高一校考期中）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工

资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是（）

A.5x+4y<200B.5x+4y>200

C.5x+4y=200D.5x+4y<200

【答案】D

【解析】依题意，请工人满足的关系式是50x+40y42000,

即5x+4y<200.

故选：D

变式2.（2023・全国•高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速

度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导

火索的长度龙（单位：厘米）应满足的不等式为（）

XYYY

A.4x——<100B.4x——>100C.4x——<100D.4x——>100

0.50.50.50.5

【答案】B

【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为六秒，

人在此时间内跑的路程为Jx段）米，由题意可得4x去2100.

\U.J）U.D

故选：B.

变式3.（2023.安徽蚌埠•高一蚌埠二中校考开学考试）在数轴上点AI对应的数分别是“6,点A在表示-3

和-2的两点之间（包括这两点）移动，点8在表示T和0的两点（包括这两点）之间移动，则以下四个代数式

的值，可能比2021大的是（）

1

baab

【答案】D

【解析】由题意一34a4—2,-14匕40.可知：3<b-a<l,-'—^1,1，而是负数，只有工一：的值可以

b-aLbaab

超过2021,如a=-2.5,b=-0.0001,

故选：D.

题型二：作差法、作商法比较两数（式）的大小

例4.（2023•高一课时练习）比大小：2-6亚-2.

【答案】>

【解析】因为2-g>0,乔-2>0,

所以（2-括『=7-4括，（75-2）2=7-4A/5,

因为7-4--（7-4司=4如-4凤0,

所以2-百>百-2.

故答案为：>.

例5.（2023・湖南郴州•高一校考阶段练习）已知服=d+5x+6,N=2i+5x+8,则MN的大小关系是

【答案】M<N

【解析】由于N-M=X2+2>0,

所以M<N.

故答案为：M<N

例6.（2023・四川成都•高一校考阶段练习）已知”=必-3,N=2x-5,则M与N的大小关系为

【答案】M>N!N<M

【解析】因为〃=，一3,N=2x-5,

所以M—N=X2—3—（2X_5）=JC2—2X+2=（X—1）2+1>0,

所以M>N.

故答案为：M>N

变式4.（2023・吉林长春•高一校考阶段练习）设。、6为实数，比较两式的值的大小：a*2+b2

2a-2b-2（用符号＞,2,＜4或=填入划线部分）.

【答案】＞

【解析】^a2+b2-（2a-2b-2）=（a-1）2+（Z＞+1）2＞0,a=1,6=-1时等号成立，

所以/+/22。-2）-2.

故答案为：＞

变式5.（2023•全国•高一专题练习）P=a2+a+l,Q=一一则P,Q的大小关系为_______.

a—a+1

【答案】＞

【解析】因为P=a2+a+l=]a+g[+；＞o,+i=+|＞0则Q＞0

所以P2Q

故答案为：＞

变式6.（2023・上海宝山•高一校考期中）如果x＜0,0＜y＜l,那么上，工!从小到大的顺序是

【答案】。＜上＜广

XXX

9

2

【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以上=ye（0,l）,所以匕＞上；

yxx

X

2

同理牛=ye（0,l）,所以

XX

X

综上：—

XXX

故答案为：

XXX

题型三：利用不等式的性质判断命题真假

例7.（多选题）（2023・高一单元测试）如果。,瓦。满足cvbva,且acv。，那么下列不等式中一定成立的是

()

A.ab>acB.(b-a)c>0

C.cb2=ab2D.ac(a-c)<0

【答案】ABD

【解析】由实数dc满足c<6<a,且ac<。，可得a>O,c<。，

对于A中，由6>c,a>0,可得必>ac,所以A正确；

对于B中，由，<。，可得b-a<0,因为c<0,所以（6-a）c>0,所以B正确；

对于C中，当匕=0,则>2=0,可得劭2=话2,所以c不正确；

对于D中，由c<。，可得a-c>0,因为oc<0,所以ac（a-c）<0,所以D正确.

故选：ABD.

例8.（多选题）（2023•全国•高一专题练习）下列命题为真命题的是（）

Qb

A.若a>6>0,贝1」〃02>历2B.若d>6>0,则〃+：>/?+—

ba

C.若a<b<0,贝!Ja?</D.若a<Z?<0,贝!!!>:

ab

【答案】BD

【解析】对于A,当。=0时，不等式不成立，故A是假命题；

0bnh

对于B,若a>5>0,则：〉1,0<-<1,所以，+=>人+±,故B是真命题；

baba

对于C,若a<b<0,贝1J/，〃。，〃匕〉/,

所以故c是假命题;

对于D,若a<Z?<0,则一>不成立，故D是真命题.

ab

故选：BD.

例9.（多选题）（2023•江苏南京・高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知。，b,ceR,则下列结论正

确的是（）

11

A.若ac>be,则a>6B.若a〈b<0,则/>ab

(ih

C.若c>a>b>0,则----<----D.6?>Z?>1,贝ljQ—>b

c-ac-bba

【答案】ABD

【解析】对于A：因为ac2>8c2,所以。2>0,所以〃>>，故A正确；

对于B：因为所以—a>—Z?>0,两边同乘以-〃得/>ab，故B正确;

对于C：因为。>a>b>。，所以0<。一〃<。一人，所以1又a>b

0,两式相乘得

c—ac-b

3>一J,故c错误；

c-ac—b

a-bab-\\

对于D：=(Q_/7)一（〃一。）

ababJ

因为a>b>l,所以必>1,所以（"6）（约]>。，所以“-：”二，故D正确.

yab）ba

故选：ABD

变式7.（多选题）（2023・湖南长沙•高一校联考阶段练习）下列不等式成立的是（）

A.若a>b,贝!]〃。2>儿2B.若a>0>b,则abv/

C.若就=4,则a+Z?>4D.若a>b,c>d,贝

【答案】BD

【解析】对于A,当。=0时，贝1」改2=庆2,故A错误；

对于B,由。>0〉/?,则就<0,a2>0,故B正确；

对于C,当〃=/?=一2,贝iJa+b=Y,故C错误；

对于D,由c>d,则a+c>Z?+d,所以a—d〉b—c,故D正确.

故选：BD.

变式8.（多选题X2023•宁夏吴忠・高一统考期中）若。,4。是不为0的实数，且。<b,则下列不等式一定成

立的是（）

A.ac>bcB.c—3a>c—3bC.—>—D.a\a\<b\b\

ab

【答案】BD

【解析】对于A,当a〈b,c>。时，ac<be,故A不正确；

对于B,因为c—3Q—（c—3Z?）=30—a）>0,BPc—3a>c—3b,故B正确；

对于C,当a<0</?时，故C不正确；

ab

对于D,由可得。<8<0或OvavZ?或a<0<Z?,

当a<b<0时，IJJlj-a>-b>0,|a|>|Z?|>0,t^-a\a\>-b\b\,^a\a\<b\b\,

当Ovavb时,则0<|4<网,t^a\a\<b\b\,当avOeb时,则a|a|<A|6|,

所以由可得〃1。1<6|6|,故D正确.

故选：BD.

变式9.（多选题）（2023•辽宁丹东•高一统考期末）若3>5>0,m>0,则下列不等式成立的是（）

A.a2>b2B.a3+b^<ab2+a2b

1.1—a+ma

C.a——<b——D.--------<—

abb+mb

【答案】AD

【解析】对于A,由<3>6>0,则/>〃，故A正确；

332112

对于B,a+b-^ab+ab^={<a+b]^a-ab+b^-ab^a+b）=^a+b][a-b^,

由d>6>0,所以〃+〃3>"2+々2。，故B错误;

对于C,由a>3>0,可得所以二>",

abab

所以。-故c错误；

ab

a+mab^a+m)-a{b+m)m(b-a)

b+mbb(b+m)b[b+m)1

,,.a+maa+ma,,_

由a>6>0,则n-------<0,a即n----<—,故D正确.

b+mbb+mb

故选：AD.

题型四：利用不等式的性质证明不等式

例10,（2023•高一课时练习）证明下列不等式：

（1）已知。e>f,c>0,求证/一比<6-儿

（2）已知a>6〉0,c<d<0,求证：行<「.

【解析】⑴证明：a>b,c>0,

/.ac>bc,—ac<—be,

又因为e>九即/<«,

所以bj

(2)证明：Qc<d<0,—<0,/.—>—>0；

acac

「，abab

又a>6>0,「•一-->—~d<~c；

ac

Y1

例11.（2023•河北石家庄•高一校考期中XD比较（尤+1），+]+1）与（尤+万乂f+x+l）的大小.

⑵已知求证：

[解析]⑴(尤+1)(/+■|+l)-(x+f(尤?+x+l)

+，+1一廿+4+二+7」>0

=X3+-3X2

22I2222

所以(1+1)(X2+楙+1)>(%+[)(兀2+1+1).

(2)因为ci>b,ub>0,所以—>0,所以〃x—>Z?x—,

ababab

所以/即“

例12.（2023•内蒙古呼和浩特•高一统考期中）证明不等式.

(l)bc-ad>0,bd>0,求证：；

ba

bbc

(2)已知〃>Z?>c>0,求证：------>------->-------.

a—hQ—cQ—c

【解析】(1)证明：

bdbdbd

因为，bc-ad>0,所以，ad-bc<0,

又bd>0,所以，竺伊40，

ba

(2)证明：因为〃>Z?>c>0,

所以有，~b<—c90<Q—Z?<Q—c,/?—c>0,

则bbZ?(6z-c)-Z?(a-Z?)Z?(Z?-c)

、a—ba—c—Z7)(tz—c)(4Z—/?)

即有，一b、>—hL成立；

a-ba-c

因为，a-c>0,所以，—^―>0,

a-c

hc

又b>c,所以，一>—成立.

u—cci—c

所以，有刍>上>工.

a-ba—ca-c

变式10.(2023•高一课时练习)阅读材料：

(1)若x>y>0,J!Lm>0,贝!J有上<^^

xx+m

(2)若av》,cvd,贝!J有。+cvZ?+d.

请依据以上材料解答问题：

nhc

已知。，b,。是三角形的三边，求证：=+—下<2.

b+ca+ca+b

【解析】因为m6,c是三角形的三边，则b+c>a>0,由材料(1)知，二<4上二=-—

b+cb+c+aa+b+c

同理_h\<一2b^,三c<一2u^,由材料⑵得：

a+ca+b+ca+ba+b+c

abc2a2b2c2(a+b+c).

----+----+----<-------+-------+-------=---------=2,

b+ca+ca+ba+b+ca+b+ca+b+ca+b+c

所以原不等式成立.

变式11.（2023•河北衡水•高一校考阶段练习）已知12v〃v60,15<&<36,求，-2b,学的取值范围.

b

【解析】因为15<h<36,所以—72<—2匕<—30.

又12V。<60,

所以12—72<〃—2b<60—30,

即一60<〃一2/?<30.

因为12v〃v60,所以24v2〃vl20,

因为15<36,所以

36b15

…242a120

所以——<丁<—，

36b15

即沁<8.

所以a-26的取值范围是（-60,30）,彳的取值范围是，8

题型五：利用不等式的性质比较大小

例13.（2023•高一课时练习）已知。>6>c>d>0,则下列结论不正确的是（）

abac

A.a+c>b+dB.ac>bdC.—>—D.—>—

cddb

【答案】C

【解析】c>d,.\a+c>b+d,故A正确；

c>d>0,ac>bd,故B正确；

取a=4,6=3,c=2,d=0.1,则@=2,§=30,此时故C错误；

caca

则>0,又a>b>0,则—,故D正确.

acac

故选：C.

例14.(2023・高一课时练习)若a>b,则()

A.cr>b2B.ac2>be2C.|。|>网D.\a\>b

【答案】D

【解析】对于A,C,令a=l,b=-2,满足而片<廿，|°|<|切，AC错误;

对于B,令c=0,ac2-be2,B错误；

对于D,|。色。>人，D正确.

故选：D

例15.（2023・广东深圳•高一深圳外国语学校校考期中）设a、b、c为实数，且a<6<0,则下列不等式正

确的是（）

A.~<TB.ac2Vbe2C.—D.同>同

1111

abab

【答案】D

【解析】因为〃、b、。为实数，且〃<b<0,

所以一>7，同>同，a2>b2ab>0,故A错误，D正确；

ab

当。=0时分="2,故B错误，

因为2一2=仁4<0,所以2<9,故C错误；

ababab

故选：D

变式12.（2023・福建泉州•高一校考期中）若一定成立的是（）

A.a+ob+cB.a2>b2

C.ac2>be2D.—<-r

ab

【答案】A

【解析】若a>。，则a+c>"+c,故A正确；

当q=l,6=_2时，a2=l<4=b2,-=l>-^-=^,故BC错误；

a2b

当。二0时，ac2=bc2=0,故C错误.

故选：A.

变式13.（2023・全国•高一专题练习）已知。也Gd£R,且a>b,c>d,则下列结论中正确的是（）

A.a+c>b+dB.a—c>b—d

ab

C.ac>bdD.—>—

dc

【答案】A

【解析】由Q,6,c,d£R,且a>b,c>d,可得a+c>>+d,A正确；

取a=3,b=2,c=l,d=0,满足条件，\^a-c=b-d,B错误；

（1h

取。=3*=2,。=一2,1=—3,满足条件，但ac=Z?d,—=-,C,D错误；

ac

故选：A

变式14.（2023・安徽合肥•高一校考期末）下列命题为真命题的是0

A.若a>6>0,贝”的2>儿2B.若a>6>0,则〃之〉/

C.若贝!JQ2<〃2D,若贝

aD

【答案】B

【解析】对于A,若a>b>0,则ac?〉历2,当。=0时不成立，故A错误；

对于B,若a>6>0,所以/一吟3+琐。——）〉。,则a?〉/,故B正确;

对于C,若。<6<0,则/<凡取.=-2,6=-1,计算知不成立，故C错误；

对于D,若a<b<0,贝1jL<\,取。=-2,。=-1,计算知不成立，故D错误.

ab

故选：B.

题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

例16.（2023•高一课时练习）已知0Wa+6<l,2Va-6<3,则8的取值范围是.

【答案】GT

【解析】由题意，

在2<a—Z?<3中，

—3<b—a<—2

*.*0<a+b<l,

31

—3<2b<-1,解得：—<b<—,

22

故答案为：卜;口

TTJT

例17.（2023•江西赣州•高一上犹中学校考周测）若a,乃满足-1<a,则a-4的取值范围是

【答案】（-无⑼

【解析】因为—gvaW/wg,所以—gvawg,<~!3<,

222222

-Tt<a-/3<TI,

又a-尸<。，

-7i<a—6<0.

故答案为：（-兀⑼

例18.（2023・贵州贵阳•高一校联考期中）已知l<q<3,-2<b<l,则a+2b的取值范围是.

【答案】（—3,5）

【解析】V-2<b<l,：.-4<2b<2,

1<a<3,-3<a+2b<5.

故答案为：（-3,5）.

变式15.（2023•黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知lVa+bV4,-l<a-b<2,贝|3a+2Z;的

取值范围是.

【答案】[2,11]

【解析】设3。+2b=x（a+b）+y（a—Z?）=（x+y）a+（x-y）b,

5

%+y=32

所以…一解得

因为lWa+b«4,-l<a-b<2,则:+一6）V1,

因止匕，2W3a+2人W1L

故答案为：[2,11].

变式16.（2023・上海宝山•高一上海市吴淞中学校考阶段练习）若1<。+8<4,-2<a-b<4,贝1」。+36的取

值范围是.

【答案】（-2,10）

I^2+〃=]IfYl—2

【解析】令a+3b=m（。+6）+”（。一6）,贝"°,解得<,

[m-n=3[n=-l

因为2<2（a+b）<8,—4<—（a—b）<2,故a+3Z>e（—2,10）,

故答案为：（-2,10）

变式17.（2023•湖南衡阳•高一衡阳市一中校考阶段练习）已知lWa-〃<2,2<a+bW4,则5a-38的取值范

围是•

【答案】[6,12]

【解析】由题意可得5a-3人=4（。-6）+（。+勿，

因为1Wa-/W2,2〈a+/V4,所以4V4m-6）W8,

故644（。-，）+（a+6）412,

即5a-3b的取值范围是[6,12],

故答案为：[6,12]

JTJT

变式18.（2023•高一课时练习）若a、夕满足一]贝"2a-夕的取值范围是.

【答案】[（丁3兀兀'J、

【解析】因为—巴〈尸〈巴，则—二<。<二，且。—尸<0,所以，—兀va—£v。，

222222

所以，一弓<（0_尸）_"

故2"分的取值范围是1-萼，乳

故一答山案d.为、，：[I-彳3K，5711I

、-fl<x+y<2

变式19.（2023•吉林・高一吉林毓文中学校考阶段练习）若实数%,>满足八7『则力+y的取值范

[0<x-J<1

围为一

【答案】（2,5）

【解析】由不等式的性质求解即可.

3x+y=2（x+y）+（x-y）,

、fl<x+y<2

因为实数尤，y满足八',,

[0<x-y<1

所以2<2（%+））+（%->）<5,

即3》+》的取值范围为（2,5）.

故答案为：（2,5）.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023・四川眉山・高一眉山市彭山区第一中学校考期末）已知l<x<3,-3<y<l,则尤-3卫的取值范围是

()

A.(0,12)B.(-2,10)C.(-2,12)D.(0,10)

【答案】C

【解析】,一3<》<1,

-3<-3y<9,又l<x<3,

—2<x—3y<12

故选：C

2.(2023・山东济宁•高一曲阜一中校考期末)已知0<a—6<2,2<a+b<4,则3a+人的范围是()

A.(4,8)B.(6,10)C.(4,10)D.(6,12)

【答案】C

【解析】设3a+6=x(a-6)+y(a+b)=(x+y)a+(y-x)b,

[x+y=3(x=l

得，，解得：c，

[丫_尤=11y=2

所以3o+6=(a->)+2(a+b),

因为0<a-b<2,2<a+b<4,所以4<2（a+b）<8,4<（a-Z?）+2（a+Z?）<10,

所有3。+》的范围是（4,10）.

故选：C

3.（2023•高一课时练习）下列各式中，不能判断其符号的是（）

A.a2+a+\B.a2-a+1C.\a\+a+lD.a2+\a\-1

【答案】D

【解析】tz2+a+l=^«+^+：>0,故A正确；

+l=+［〉（），故B正确；

当a20时，|Q|+Q+1=2Q+1>0；当〃<0时，\a\+a+l=l>0,故C正确；

当a=0时，6/2+|tz|-1=-1；当a=l时，片+时―1=1；当〃=一1；时,片+问―1=0,则〃2+时_］的值

可正，可负，也可能为0,故D错误.

故选：D.

4.（2023・高一课时练习）若4，则（）

ab

A.a>Z?>0B.b<a<QC.a<0<bD.ab2<a2b

【答案】D

【解析】若工<:，则’一；=?<0,则h（6—a）<0,即"2—°%<。，即而2</人

ababab

故选：D.

5.（2023.高一单元测试）设M=2a（a-2）+7,N=（a-2）（a—3）,则有（）

A.M>NB.M>N

C.M<ND.M<N

【答案】A

【解析】M-N=（2a2-4a+l）-（a2-5a+6）=a2+a+l=^a+^+|>0<：.M>N.

故选：A.

6.（2023・广西•高一校联考期中）下列命题为真命题的是（）

A.若a<Z?<0,则ac2VA2B.若则/〈々〃〈廿

C.若a>b,c>d,贝ljac>bdD.若a〉b>c>0,贝lj£<£

ab

【答案】D

【解析】对于A：当。=0时，ac2=bc2=0,A错误；

对于B：当a</?v0时，a2>ab>b2B错误；

对于C：取1=2,。=1,。=一2,1=-3满足">/?,c>d,而ac=-4,bd=-3,止匕时acvbd,C错误；

1111cc

对于D：当d>6>0时，贝lj而〉0,所以即上〈匕又c>0,所以一D正确.

abababab

故选：D.

7.（2023・高一校考课时练习）下列说法中，错误的是（）

A.^a>b>0,c<d<0,则一定有B.若之>乂,则“>b

cdcc

/7+n7n

C.若Z?>a>0,根>0,则---->—D.^a>b,c<d,贝—

b+mb

【答案】A

【解析】对于A,若a=2,6=l,c=-2,d=-l,则0=与，故A错误.

ca

nh

对于B,由=>=,可知。2。0,所以，〉o,所以故B正确.

cc

a+maab+bm-ab-am_m(b-a)

对于C,因为〃>。>0,m>。，

b+mbb-(b+m)b•(b+m)

「一、，m(b-a)八„a+ma十

所以,,>o,所以lkl;——.故C正确.

b-(.b+m)b+mb

对于D,因为。<2,所以一c>—d.又a，所以Q—。>b—d.故D正确.

故选：A.

8.（2023•江苏盐城•高一统考期中）设p=&,。=币-6,R=显&,则P,Q,R的大小顺序是（）

A.P>Q>RB.P>R>Q

C.R>P>QD.Q>R>P

【答案】B

【解析】P-7?=V2-(A/6-V2)=2A/2->/6=A/8-A/6>0,

:.P>R,

R_Q=娓一亚_(不一而=(娓+6)_(币+A/2),

而(遥+后=9+2万，(近+")2=9+2函，

而18>14,

.-.A/6+A/3>V7+V2,即A>Q,

综上，P>R>Q.

故选：B.

二、多选题

9.(2023•浙江•高一校联考期中)已知实数a>10>c>d,则下列不等式正确的是()

A.ab>cdB.a+ob+dC.ad2>be2D.—<^―

bead

【答案】BCD

【解析】对于A项，取a=2,b=l,c=-3,d=Y,

则必=2,cd=12,所以ab<cd,故A项错误；

对于B项，由已知可得，a>b,c>d,所以a+c>〃+d,故B项正确；

对于C项，因为d<c<0,所以屋>02>0

因为a>6>0,所以〃储>仇:2,故C项正确；

对于D项，因为d<c<0,所以一d>—c>0.

因为a>6>0,所以-ad>-be,

所以〃v〃c,所以以/-〃cvO.

又abed>3所以，」-々=牛牛<0,所以故D项正确.

beadabcabead

故选：BCD.

10.（2023•云南玉溪•高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知。力,c,deR,则下列结论正确的为（）

A.若a>b,c>d,贝！|ac>6dB.若6<a<0,c<0,则（a—6）c>0

C.若ac2>be2,则°>bD.若a>b,c>d,贝!|a-d>b—c

【答案】CD

【解析】对于A：当a>6>0,c>d>0,则ac>6d,

若。=10,6=1,c--\,d--2,显然满足。>6,c>d,但是ac=-10、bd=-2,止匕时ac<6d,故选项

A错误；

对于B：因为若6<a<0,所以a—b>0,又c<0,贝U（a-6）c<0,故选项B错误；

对于C：因为a?〉知?,所以cwO,BPc2>0,所以。>b,故选项C正确；

对于D：若c>d,贝i|-d>-c,又因为。>>，所以根据不等式的同向可加性，得a-d>b-c,故选项D正

确；

故选：CD

11.（2023・云南昆明•高一昆明一中统考期末）已知为实数，贝1］（）

A.若a>b,则ac?〉》/B.若a>b,贝！|a+c>b+c

/7/7+r»be

C.若a>b>c>0,贝！J—>------D.若a>b>c>0,贝!J------>-------

bb+ca-ba-c

【答案】BCD

【解析】当c=0时，ac2=bc2,A错误；

a>b,则（a+c）-（》+c）=a—〃>。，即a+c>6+c,B正确；

a>b>c>0,贝|〃一/?〉0,b+c>0,

.aa+cQ(/?+C)—仅a+c)c(a-b).a+c〃十普

•­T—j-=----一~~;-----=777~~..ya>--，C正确；

bb+cb(b+c)b(b+c)bb+c

a>b>c>Qf贝！Ja-Z?>0,a-c>Q,b-c>Q,

.bcb(a-c)-c(a-b)a(b-c)bc

・・---------------=-----------------------=----------------->0,即---->----

a-ba-c(a-b)(a-c)(a-b)(a-c)a-ba-c

故选：BCD.

12.（2023・吉林长春•高一校考阶段练习）已知-2<〃+b<4,2<2a—b<8,则下列不等式不正确的是（）

A.0<a<4B.0<&<2

C.-6<a+2b<6D.0<Q+2b<8

【答案】BD

【解析】.一2va+Z?v4,2<2a-b<8,

~2+2va+Z?+2a—Z?v4+8,.,.0v3avl2,/.04,AZE^I；

2V2a—Z?v8,—8VZ?—2av—2,

~2va+Z?v4,.,.-4v2a+2bv8,

J-8<b—2a<—2

.[~4<2a+2b