2024年中考数学复习：一次函数与二次函数的综合题复习讲义

一次函数与二次函数的综合题复习讲义

二次函数是刻画实际生活中数量关系的又一种重要模型.在实际生活中，二次函数的应用更为广泛，特别是解决

实际生活中的最值问题，二次函数更有其用武之地.中考时，常常将二次函数与方程（组）、不等式（组）、其他函数等

知识结合在一起，考查同学们数形结合中的理解能力、推理计算中的思考能力、构建模型中的建模能力等，是中考

中难度较大的问题.

一次函数与二次函数的综合题是中考数学常考的压轴题型，主要考查一次函数的性质、二次函数的性质、用待

定系数法求一次函数与二次函数的关系式、勾股定理、交点问题与线段长度问题、三角形的面积问题等，考查的知

识点较多，综合性较强.

2.1与两个函数的性质有关的题型

解题策略

1.判断一个点是否在函数图象上，只需把该点的坐标代入解析式中，看等式两边是否成立即可.满足等式的点在

函数图象上，等式不成立则点不在函数图象上.

2.比较两个函数值的大小，如果两个点在对称轴的同侧，则利用增减性直接判断；如果在对称轴的异侧，可充

分利用二次函数的对称性，找到一点关于对称轴的对称点，然后利用增减性进行判断.

3.求抛物线yax2+bx+c（a丰0）的对称轴、顶点坐标有两种方法，一是利用顶点公式（（-蒋节卢），二是

通过配方得到y=a[x-牙+k的形式.

4.比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：

⑴利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较；

（2）当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；

（3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越

近，点的纵坐标越大”比较大小.

模型求与一元二次方程有关的不等式的解集

场景：一次函数y=kx+n与二次函数yax2+bx+c有关的不等式解集.

结论：kx+n>ax2+bx+c,表示一次函数图象在二次函数图象上方的部分，如图中的函数图象红色部分，

此时的解集为当<久<%B（X轴上红色线段表示的部分）；

kx+n<ax2+bx+c表示一次函数图象在二次函数图象下方的部分，如图中的函数图象黑色部分，此时的解

集为.久<孙或久〉久B，（X轴上黑色线段表示的两部分部分）.

探究：当a<。时，其解集又是什么情况呢?

精选例题

例1已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点((一2,4).

(1)求b,c满足的关系式；

⑵设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；

(3)若该函数的图象不经过第三象限，当-5SXS1时，函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.

T解析

(1)代入点A的坐标，整理即可得到b,c的关系式；

(2)在⑴的基础上，将(m,n)代入y=x2+bx+c,然后利用对称轴方程得到m与b的关系式，最后代入消去b即

可得到n关于m的函数解析式；

(3)由于对称轴的位置不固定，所以要分情况讨论，根据对称轴的不同位置，利用二次函数的变化趋势求解.

解(1)将点(24)代入y=x2+bx+g得4=(-2)2—2b+c.

c=2b.

・・・b,c满足的关系式是c=2b;

⑵把c=2b代入y=x2+bx+c得y=x2+bx+2b.

:顶点坐标是(m,n),n=m2+bm+2b,S,m=—b=-2m.

.・.n=—m2—4m.

•♦.n关于m的函数解析式为n=-m2-4m;

(3)由(2)的结论，画出函数y=必+匕％+c和函数y=-x2-4%的图象.

函数y=/+匕％+。的图象不经过第三象限,

-4W—40.

-2-

①当—4<—^<—2,即4<b<8时，如答图1,

x=l时，函数取到最大值y=l+3b;

X=-2时，函数取到最小值y=巴卢

2

即b+4b-60=0,.-.bi=6,b2=-10(舍去).

②当-2。，即0Sb<4时,如答图2,

x=-5时，函数取到最大值y=25-3b;

久=—?时，函数取到最小值y=四兰

即b2-20b+36=0.

bi-2,b2=18(舍去).

综上所述，b的值为2或6.

例2.已知点M为二次函数y=-(尤—b)2+46+1的图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴肆由2

y轴于点

A.B.

⑴判断顶点M是否在直线y=4x+l上,并说明理由；

(2)如答图1,若二次函数图象也经过点A,B,且加久+5>-(久-by+4b+1,根据图象，写出x的取值范

围；

(3)如图2,点A的坐标为(5,0),点M在△力。B内，若点都在二次函数的图象上，试比较％与

治的大小.

(1)把二次函数的顶点坐标代入.y=4x+1中，看等式两边是否相等即可；

(2攻口图，二次函数与一次函数相交于点A,B,由点B的坐标求出二次函数与一次函数的解析式，可以得到

点A的坐标，然后利用函数图象得到取值范围；

(3)此问有两个关键点，一个是顶点在.y=4x+1上，且点M在.AAOB内，所以需要确定顶点的范围，即求

出b的取值范围；第二个是讨论对称轴与点C,D的位置关系.

解⑴点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点，

；.M的坐标是((。46+1).

把x=b代入y=4%+L得y=4b+1.

，点M在直线.y=4久+1上；

⑵如答图1直线y=mx+5交y轴于点B,

•••点B的坐标为(0,5),又•.•点B在抛物线上，

5=-(0-bY+4b+1,解得b=2.

•••二次函数的解析式为y=-(%-2)2+9.

当y=0时,-(x-2)2+9=0,解得%i=5,x2=-1.

.♦.点A的坐标为(5,0).

由图象，可得当mx+5>-(x-b)2+4b+1时，x的取值范围是.x<0或x>5;

⑶如答图1,

:直线y=4x+l与直线AB交于点E,与y轴交于点F,

由A(5,0),B(0,5)得直线AB的解析式为y=-x+5,

联立EF,AB彳导方程组［解得

点E的坐标为&芝)，点F的坐标为(0,1).

•点M在小AOB内，:1<4b+1<系

4

0<b<-.

当点c,D关于抛物线的对称轴对称时，b-1=1-b,.-.b=^.

442

且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上,如答图2、3.

综上所述,①当0<b<粗寸,yi>y2;

②当b=2时，yi=y2;

③当|<b<［时,yi<y2-

精选练习

2

1.已知抛物线yi=-x+mx+n,直线y2=kx+6,%的对称轴与必交于点4(-1,5),点A与月的顶点B

的距离是4.

⑴求yi的解析式；yi

(2)若以随着x的增大而增大，且外与段都经过x轴上的同一点，求力的解析式.

2.如图.一次函数丫=丘-1的图象经过点力(3有，m)(MO),与y轴交于点B点C在线段AB上，且BC=

2AC,,过点C作x轴的垂线，垂足为点D.若.AC=CD.

⑴求这个一次函数的解析式；

(2)已知一开口向下、以直线CD为对称轴的抛物线经过点A,它的顶点为P,若过点P且垂直于AP的直线

与x轴的交点为Q(-等，0),求这条抛物线的函数解析式.

2.2与两个函数的交点有关的题型

解题策略

这里的交点问题是指二次函数与直线或线段的交点问题.

1.抛物线y=ax?+6%+。与x轴的有无交点是通过判别式判断的，若抛物线与x轴无交点，则4<0；抛物线

与x轴有一个交点，则△=0；抛物线与x轴有两个交点，则4>0反之，若△<0,贝U抛物线与x轴无交点；△=(),

则抛物线与x轴有一个交点；△>0,则抛物线与x轴有两个交点.

2.当k加时求y=kx+b与抛物线的交点，则把两个函数的解析式联立，消元化简为一个一元二次方程，求解得

到交点的横坐标，进而求出纵坐标即可.判定两个函数是否有交点，则把两个函数的解析式联立，消元化简为一个一

元二次方程，利用判别式即可，若无交点，贝必<0；有一个交点，贝必=0;有两个交点，则△>0.

3.当直线与y轴垂直或平行于x轴也可以转化为一元二次方程进行求解.此时可以充分利用二次函数的对称性,

即两个交点的横坐标之和等于对称轴横坐标的2倍.

5.当线段与二次函数相交时，注意端点的范围，并分类讨论.

模型求函数的交点

场景：一次函数y=kx+n(k中0)与二次函数y=ax2+bx+c的交点.

策略：联立后消元，得kx+n-ax2+bx+c,整理得ax2+(b-k)x+c-n-0.

结论：当△>。时，有两个交点(如图)；当小=0时，有一个交点；当△<。时，无交点.

例1.在平面直角坐标系中，已知抛物线Cy=ax2+2x-l(a*0)和直线1：y=kx+b,点4(一3,一-1)

均在直线1上.

⑴若抛物线C与直线1有交点，求a的取值范围；

(2)当a=一1,二次函数yax2+2x-1的自变量x满足血WxWm+2时，函数y的最大值为一4,求m的

值；

(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围.

解析

(1)先求出直线的解析式，然后将二次函数的解析式与一次函数的解析式组成方程组，利用根的判别式/>。，求

出a的取值范围；

⑵对自变量的取值范围在对称轴的左、右两侧进行分类，结合增减性求出m的值；

(3)由于抛物线经过(0,-1)这一定点，将抛物线分开口向上和开口向下两种情况求出a的取值范围.讨论时注意

两个临界点A和点B,同时注意排除抛物线和直线AB没有交点的情况.

解⑴将.4(-3,-3)"-1)代入y=依+4中，得

「汽督=丁,解得「飞

Ik+b=-1,b=

直线1的解析式为y=

答图1

•••抛物线C与直线1有交点，

GIX2+2x-1=|x-|有实数根.

•••2ax2+3%+1=0,

9

**•=9-8aN0.ct

•••a的取值范围是aW，且a#0;

o

⑵当a=-l时，抛物线为y=—尤2+2x—1=—（久—1产对称轴为x=l.

当m<x<m+2在对称轴的左侧时,如答图1,即m+2<l时,

m<-l,y随x的增大而增大.

当x=m+2时，函数y的最大值为4

m=-3.

当m<x<m+2在对称轴的左侧时,如答图2,即m>l时，

y随x的增大而减小.

当x=m时，函数y的最大值为-4,m=3;答图3

(3)当a<0时,对称轴x=-->0.

a

将B(1,-1)代入y=ax2+2%—L得a=-2.

・•・当a<-2时，抛物线C与线段AB有两个不同的交点.

当a>0时，对称轴%=--<0.

a

将A(-3,-3)代入y=ax2+2x—L得a=[.

当gWaW看时，抛物线C与线段AB有两个不同的交点.

综上所述，抛物线C与线段AB有两个不同的交点时，：WaW1或a<-2.

例2在平面直角坐标系xOy中直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y="答I图)4-3a经过点A,

将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

⑴求点C的坐标；

⑵求抛物线的对称轴；

⑶若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

解析

⑴求出点B的坐标，利用平移的性质即可得到点C的坐标；

(2)求出点A的坐标，代入y=ax2+bx-3a中，化简整理，求出一方即可；

⑶分类讨论a>0,a<0时的情况，这里要注意BC垂直y轴，顶点在BC上的情况

解⑴令x=0,代入直线y=4x+4彳导y=4..•.点B的坐标为(0,4).

•.•点B向右平移5个单位长度得到点C，，点C的坐标为(5,4)；

⑵令y=0,代入直线y=4x+4得x=--l.，点A的坐标为((-1，0).

将点A(-l,0)代入抛物线y=ax2+bx—3a中，得0=。一b—3a,即b=—2a

抛物线的对称轴%=-捺=一子=1;

(3)•.•抛物线始终过点A(-l,0)且对称轴为直线.久=1,

由抛物线对称性可知抛物线也一定过点A的对称点(3,0).

①a>0时,如答图1.

将x=0代入抛物线得.y=-3a.

•••抛物线与线段BC恰有一个公共点，

4

-3aV4,ct>—.

3

将x=5代入抛物线得.y=12a.

11

・•・12a>4,aa>

②a<0时，如答图2.

将x=0代入抛物线得y=-3a.

•••抛物线与线段BC恰有一个公共点,

答图3

4

-3a>4.，a<—.

3

③当抛物线顶点在线段BC上时，则顶点为(1,4),如答图3.

将点(1,4)代入抛物线得4=a—2a—3a,a=—1.

综上所述，a21或a〈一;或a=-l.

精选练习

1.已知二次函数y=-^x2+bx+c的图象经过A(0,3),B(一4,一两点.

⑴求b,c的值;

(2)二次函数y=-^-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求公共点的坐标；若没有，请说明情况.

16

2.已知k是常数，抛物线y=x2+(fc2+fc-6)x+3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.

⑴求k的值;

⑵若点P在抛物线y=x2+(^k2+k-6~)x+3k上，且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.

2.1与两个函数的性质有关的题型

精选练习

2

1.解:⑴：抛物线以=-x+mx+n,直线y2=kx+b,y"的对称轴与y2交于点A(-l,5),点A与yi的顶点B

的距离是4.

二点B的坐标为(-1,1)或(-1,9).

mq

-；~T=—1

2x(-1)

22

4x(-l)n-m_._ii4x(-l)n-m_Q

4x(-1)—-1或-4x(-1)—-

解得m=-2,n=0或n=8.

."■Y1的解析式为yi=-X2-2x或yi=-%2-2%+8;

⑵①当yi的解析式为人=-x2-2x时，抛物线与x轴交点是(0,0)和(-2,0).

Vyi的对称轴与y2交于点A(-l,5),

•••yi与y?都经过x轴上的同一点(-2,0).

把(-1,5),(-2,0)代入得

—k+b=5,,解得Co.

—2k+b=0：

•••=5%+10.

②当.yi=—%2—2%+8时，解—x2—2第+8=0得x=-4或x=2.

随着X的增大而增大，且过点A(-l,5),

•­yi与y2都经过x轴上的同一点(-4,0).

—k+b=5,

把(-1,5),(-4,0)代入得

—4fc+b=0.

k7=-5,

3

解得720

3

2.解:⑴如图过点A作AF，x轴过点B作BFLCD于点H,交AF于点F,过点C作CEXAF于点E.

设AC=n，则CD=n.

•，点B的坐标为（0,-1）,

CD=n+1,AF=m+1.

VCH/7AF,BC=2AC,

.CH_BC_2

''AF~AB~3

.AC_CE_1

''AB_BF~3

即可得（CE=V5.

在RtAAEC中，

CE2+AE2=AC2,

・••5+（m—几）2=n2.

m

把九=等1代入5+（m—殁B=（乂^），解得i=5,m2=一3（舍去）.

n