2025年沪科版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、在以下四个命题中；不正确的个数为（）

（1）若

（2）已知不共线的三点A、B、C和平面ABC外任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在x，y，z∈R，且x+y+z=1

（3）空间三个向量若

（4）对于任意空间任意两个向量的充要条件是存在唯一的实数λ，使．

A.1

B.2

C.3

D.4

2、【题文】函数的部分图象如图所示；则。

的值等于()

A.B.C.D.3、【题文】在中,则()A.B.C.D.4、椭圆的长轴为短轴为将椭圆沿y轴折成一个二面角，使得点在平面上的射影恰好为椭圆的右焦点，则该二面角的大小为（）.A.75°B.60°C.45°D.30°5、从编号为1~60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取5枚导弹的编号可能是（）A.1，3，4，7，9，5，B.10，15，25，35，45C.5，17，29，41，53D.3，13，23，33，436、如图，一个质点在第一象限运动，在第一秒钟它由原点运动到点（0，1），而后再按图所示与x轴、y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么经过2000秒后，这个质点所处的位置的坐标是（）A.（24，24）B.（24，44）C.（44，24）D.（44，44）7、F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为（）A.0B.1C.2D.48、设曲线y=xn+1(n隆脢Z*)

在点(1,1)

处的切线与x

轴的交点的横坐标为xn

则x1?x2?x3?xn

的值为(

)

A.1n

B.nn+1

C.1n+1

D.1

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、展开式中的系数为________。（用数字作答）10、设点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则9x＋3y的最小值为________．11、【题文】已知则_____________.12、【题文】扇形OAB的面积是1cm2，半径是1cm，则它的中心角的弧度数为____．13、已知点P在曲线y=ex（e为自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是______．14、已知一组数据4.84.95.25.55.6

则该组数据的方差是______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共12分)20、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍；且以过点M（3，0），求椭圆的标准方程．

21、已知中心在原点的双曲线C的离心率为一条准线方程为x=

（1）求双曲线C的标准方程。

（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）；求k的取值范围．

22、如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．

（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)23、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、已知a为实数，求导数26、求证：ac+bd≤•．评卷人得分六、综合题(共3题，共18分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】

对于（1），由向量垂直的充要条件得：⇔⇔说明①正确．

对于（2），若且x+y+z=1，则

=

由空间向量基本定理，得三个向量共面；说明点P在平面ABC内．

反之，如果点P在平面ABC内，类似地可以证明存在x，y，z∈R，且x+y+z=1；方法同上，因此②正确．

对于（3），若空间三个向量若但是零向量，则不能满足说明③不正确．

对于（4），若两个向量但若但不是零向量，则不存在实数λ，使成立说明④不正确．

故选B．

【解析】【答案】利用“两个向量垂直”等价于“两向量的数量积为零”知①正确；根据空间向量基本定理可以推得②正确；举反例可得③；④不正确，因此可得题中的正确命题有两个．

2、C【分析】【解析】

试题分析：由图像可知函数解析式为周期为8，

考点：三角函数由图像求解析式。

点评：求三角函数的解析式时，A值由函数的最值决定，求要先求出周期值通常代入特殊点求解【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】此题考查正弦定理。

解：在中，由正弦定理得。

答案：C【解析】【答案】C4、B【分析】【解答】易知易得为二面角的一个平面角，在Rt中，所以二面角的大小为60°,选B.

【分析】二面角求解的一般步骤：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形找二面角的平面角。二、“证”：证明所找出的角就是该二面角的平面角。三、“算”：计算出该平面角.5、C【分析】【分析】由于要抽取5枚导弹，因而将60枚导弹分成5等份，每份12枚。按照系统抽样方法，抽取间隔就是12，而选项C中编号都是间隔12，故选C。6、B【分析】解：质点到达（1；1）处，走过的长度单位是2，方向向右；

质点到达（2；2）处，走过的长度单位是6=2+4，方向向上；

质点到达（3；3）处，走过的长度单位是12=2+4+6，方向向右；

质点到达（4；4）处，走过的长度单位是20=2+4+6+8，方向向上；

猜想：质点到达（n；n）处，走过的长度单位是2+4+6++2n=n（n+1）；

且n为偶数时运动方向与y轴相同；n为奇数时运动方向与x轴相同．

所以2000秒后是指质点到达（44；44）后，继续前进了20个单位；

由图中规律可得向左前进了20个单位；即质点位置是（24，44）．

故选B．

归纳走到（n；n）处时，移动的长度单位及方向．

本题考查了学生的阅读理解能力、归纳推理能力，解决本题的关键是读懂题意，并总结出一定的规律，这是高考的常考点．【解析】【答案】B7、C【分析】解：由得a=2b=2；c=2．

∵b=c=2；

∴以原点为圆心；c为半径的圆与椭圆有2个交点．

∴PF1⊥PF2的点P的个数为2．

故选C．

由椭圆方程求出a，b；c，判断椭圆的形状，确定满足题意的点的个数．

本题考查椭圆的基本性质，垂直体积的应用是解题的关键，考查计算能力．【解析】【答案】C8、C【分析】解：对y=xn+1(n隆脢N*)

求导得y隆盲=(n+1)xn

令x=1

得在点(1,1)

处的切线的斜率k=n+1

在点(1,1)

处的切线方程为y鈭�1=(n+1)(x鈭�1)

不妨设y=0xn=1鈭�1n+1=nn+1

则x1?x2?x3?xn=12?23?34nn+1=1n+1

．

故选：C

．

欲判x1?x2??xn

的值；只须求出切线与x

轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1

处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.

从而问题解决．

本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想.

属于中档题．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】【解析】试题分析：∵展开式中的系数为故填-6考点：本题考查了二项式展开式的性质【解析】【答案】-610、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于点P(x，y)在函数y＝4－2x的图象上运动，则可知2x+y=4，由于9x＋3y故可知当y=2,x=1时取得等号，故答案为18.考点：均值不等式【解析】【答案】1811、略

【分析】【解析】

试题分析：因为α是锐角。

所以sin(π－α)＝sinα＝

考点：同角三角函数关系，诱导公式.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】213、略

【分析】解：∵曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数；其图象关于y=x对称；

故可先求点P到直线y=x的最近距离d

设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b；

∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1

∴d==

∴丨PQ丨的最小值为2d=

故答案为

考虑到两曲线关于直线y=x对称；求丨PQ丨的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线方程，从而得此距离。

本题主要考查了互为反函数的函数图象的对称性，导数的几何意义，曲线的切线方程的求法，转化化归的思想方法【解析】14、略

【分析】解：数据4.84.95.25.55.6

的平均数为：

x.=15隆脕(4.8+4.9+5.2+5.5+5.6)=5.2

隆脿

该组数据的方差为：

S2=15隆脕[(4.8鈭�5.2)2+(4.9鈭�5.2)2+(5.2鈭�5.2)2+(5.5鈭�5.2)2+(5.6鈭�5.2)2]=0.1

．

故答案为：0.1

．

根据平均数与方差的公式计算即可．

本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．【解析】0.1

三、作图题(共5题，共10分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共12分)20、略

【分析】

设椭圆的短轴为2b（b＞0），长轴为a=6b；

所以椭圆的标准方程为+=1或+=1

把M（3，0）代入椭圆方程分别得：=1或=1，解得b=1或b=3

所以椭圆的标准方程为+y2=1或+=1．

【解析】【答案】根据长轴是短轴的3倍，设出短轴2b，表示出长轴6b，然后分焦点在x轴上和y轴上两种情况写出椭圆的标准方程，把M的坐标分别代入椭圆方程即可求出相应b的值；然后分别写出椭圆的标准方程即可．

21、略

【分析】

（1）∵

∴a=c=2；

∴双曲线方程为=1．（4分）

（2）

∴（1-3k2）x2-6kx-9=0；

由直线l与双曲线交于不同的两点得。

=36（1-k2）=0；

即k2≠且k2＜1①（6分）

x1+x2=

由＞2，得x1x2+y1y2＞2；

而

=（k2+1）x1x2+

=．（8分）

于是＞2，即

∴＜3；②（10分）

由①②得＜1；

．

【解析】【答案】（1）由得由此能求出双曲线方程．

（2）由知．由直线l与双曲线交于不同的两点得。

=36（1-k2）=0；再由韦达定理结合题设条件进行求解．

22、（Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA1；

∵CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°

∴OC⊥AB，OA1⊥AB；

∵OC∩OA1=O；

∴AB⊥平面OCA1；

∵CA1⊂平面OCA1；

∴AB⊥A1C；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B；交线为AB；

所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1；OC两两垂直．

以O为坐标原点，的方向为x轴的正向；建立如图所示的坐标系；

可得A（1，0，0），A1（0，0），C（0，0，）；B（﹣1，0，0）；

则=（1，0，），==（﹣1，0），=（0，﹣）；

设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量；

则

可取y=1，可得=（1，﹣1），故cos＜＞=﹣

又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值；

故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：﹣．

【分析】【分析】（Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA1，得出OC⊥AB，OA1⊥AB，运用AB⊥平面OCA1，即可证明．（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB1C1C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．五、计算题(共4题，共12分)23、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、解：【分析】【分析】由原式得∴26、证明：∵（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）•（c2+d2）≥（ac+bd）2；

∴|ac+bd|≤•

∴ac+bd≤•【分析】【分析】作差（a2+b2）•（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0，即可证明．六、综合题(共3题，共18分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD