2020-2022年北京市初三一模数学试题汇编：特殊的平行四边形

第1页/共1页2020-2022北京初三一模数学汇编特殊的平行四边形一、单选题1．（2020·北京门头沟·一模）已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F；（2）作直线EF，且直线EF恰好经过点A，且与边CD交于点M；（3）连接BM．根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（

）A．∠ABC=60° B．如果AB=2，那么BM=4C．BC=2CM D．二、填空题2．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是______．（写出一个即可）3．（2022·北京通州·一模）如图所示，某种“视觉减速带”是由三个形状完全相同，颜色不同的菱形拼成，可以让平面图形产生立体图形般的视觉效果．则的度数为______．4．（2021·北京房山·一模）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，则矩形的面积为________．5．（2021·北京大兴·一模）如图，在中，分别为边上的点（不与端点重合）．对于任意，下面四个结论中：①存在无数个四边形，使得四边形是平行四边形；②至少存在一个四边形，使得四边形菱形；③至少存在一个四边形，使得四边形矩形；④存在无数个四边形，使得四边形的面积是面积的一半．所有正确结论的序号是___________．6．（2021·北京大兴·一模）如图，在正方形中，分别是的中点，若，则的长是__________．7．（2020·北京通州·一模）如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点．点D为平面内一个动点．线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q．在点D的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是___．8．（2020·北京顺义·一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，且EF＝2，P是正方形四边上的任意一点．若△PEF是等边三角形，则符合条件的P点共有_____个，此时AE的长为_____．三、解答题9．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．(1)求证：；(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．10．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积．11．（2022·北京大兴·一模）下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程．已知：如图，在△ABC中，，D是AC的中点．求作：四边形ABCE，使得四边形ABCE为菱形．作法：①作射线BD；②以点D为圆心，BD长为半径作弧，交射线BD于点E；③连接AE，CE，则四边形ABCE为菱形．根据小云设计的尺规作图过程．(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明．证明：∵点D为AC的中点，∴．又∵，∴四边形ABCE为平行四边形（______）（填推理的依据）．∵，∴为菱形（______）（填推理的依据）．12．（2022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．13．（2022·北京海淀·一模）如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面积．14．（2021·北京丰台·一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．15．（2021·北京石景山·一模）阅读下面材料：小石遇到这样一个问题：图1，分别是的边上的动点（不与点B重合），与的角平分线交于点P，的周长为a，过点P作于点于点N，求与的周长a的数量关系．小石通过测量发现了垂线段与的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得解决．（1）线段与的数量关系为__________；与a的数量关系是____________．（2）如图2，当时，其它条件不变，判断点P到的距离与的周长a的数量关系，并简要说明理由．16．（2021·北京东城·一模）尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．作法：①作直线m，在m上任意截取线段；②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；④分别连接AB，BC，CD，DA；则四边形ABCD就是所求作的葵形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：，四边形ABCD是_______________．，四边形ABCD是菱形（____________________________）（填推理的依据）．17．（2021·北京平谷·一模）如图，中，，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE//BD，过点B作BE//AC两直线相交于点E.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求四边形的面积.18．（2021·北京房山·一模）已知：在中，，以为斜边作等腰，使得A，D两点在直线的同侧，过点D作于点E．（1）如图1，当时，①求的度数；②判断线段与的数量关系；（2）若，线段与的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．19．（2021·北京门头沟·一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：；（2）当（）时，依题意补全图2，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．20．（2021·北京房山·一模）如图，四边形是平行四边形，过点A作交的延长线于点E，点F在上，且，连接．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，求的长．21．（2021·北京房山·一模）已知：为锐角三角形，．求作：菱形．作法：如图，①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；四边形就是所求作的菱形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵平分，∴________．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是菱形（_______）（填推理的依据）．22．（2021·北京门头沟·一模）已知：，CD平分．求作：菱形DFCE，使点F在BC边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程．作法：①分别以C、D为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点M、N；②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：，为DC的垂直平分线．，．平分，．，__________（

）（填推理依据）同理可证，四边形DFCE为平行四边形．又____________________，四边形DFCE为菱形．23．（2021·北京顺义·一模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．24．（2020·北京·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接EF并延长，交AD的延长线于点G，若∠CEG=30°，AE=2，求EG的长．25．（2020·北京延庆·一模）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．（1）求证：四边形DEGF是菱形；（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的面积．26．（2020·北京平谷·一模）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接、，若，，求的长．27．（2020·北京通州·一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，连接DE并延长，交CB的延长线于点P，连接PA，∠DPA＝2∠DPC．求证：DE＝2PA．28．（2020·北京房山·一模）如图，矩形ABCD，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E．过点D作DH⊥BE于H，G为AC中点，连接GH．（1）求证：BE＝AC．（2）判断GH与BE的数量关系并证明．29．（2020·北京平谷·一模）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON．30．（2020·北京顺义·一模）如图，AM∥BC，且AC平分∠BAM．（1）用尺规作∠ABC的平分线BD交AM于点D，连接CD．（只保留作图痕迹，不写作法）（2）求证：四边形ABCD是菱形．

参考答案1．B【分析】连接AC，根据线段重直平分线的性质及菱形的性质即可判断A选项正确；根据线段垂直平分线的性质及菱形的性质求出∠BAM=90°，利用三角函数求出AM，即可利用勾股定理求出BM，由此判断B选项；根据线段垂直平分的性质和菱形的性质可得BC=2CM，由此判断C选项；利用同底等高的性质证明△ABM的面积=△ABC的面积=△ACD的面积，再利用线段垂直平分线的性质即可判断D选项．【详解】如图，连接AC，由题意知：EF垂直平分CD，∴AC=CD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=BC=CD，∴AC=AD=CD=AB=BC，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴∠BAC=∠CAD=∠ABC=60°，故A正确；∵AM垂直平分CD，∴∠CAM=∠DAM=30°，∴∠BAM=90°，∴S△ABM=S△ABC=S△ABD=2S△ADM，故D项正确；∵AB=2，∴AC=CD=2，∴AM=AC·cos30°=2×=，∴BM===，故B项错误；由AM垂直平分CD可得CM=CD，又∵BC=CD，∴CM=BC，即BC=2CM，故C项正确；故选：B．【点睛】本题考查线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，菱形的性质，三角函数，勾股定理，是一道综合题，掌握知识点是解题关键．2．或【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可．【详解】解：分别是的中点，，当时，四边形DFGE是平行四边形，，四边形DFGE是矩形；当时，四边形DFGE是平行四边形，，四边形DFGE是矩形；故答案为：或．【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键．3．【分析】如图是由三个形状完全相同的菱形拼成的一个平面图形，根据平面图形的镶嵌的定义可知，以点A为顶点的三个角之和为，根据题意又可知这三个角相等，所以，然后再利用菱形对角相等的性质即可得到答案．【详解】解：∵如图是由三个菱形拼成的一个平面图形；∴以点A为顶点的三个角之和为，又∵这三个菱形的形状完全相同；∴以点A为顶点的三个角相等，∴∴．故答案为：【点睛】本题考查了平面图形的镶嵌和菱形的性质．解答本题的关键是理解平面图形的镶嵌的定义．4．【分析】由题意易得OA=OB=2，进而可得，则，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵点O是BD的中点，，∴，∵点E是的中点，∴，，，∴，∵，∴，∴在Rt△OEB中，，∴，∴矩形的面积为；故答案为．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握矩形的性质、三角形中位线、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．5．①②④．【分析】根据平行四边形的判定与性质、菱形的判定、矩形的判定逐条判断即可．【详解】解：只要满足AB∥EF，四边形是平行四边形，这样的EF有无数条，故①正确；因为，可在AD上截取AE=AB，再满足AB∥EF，四边形是菱形，故②正确；因为是任意，∠B不一定是直角，矩形不一定存在，故③错误；当EF经过对角线交点时，四边形的面积是面积的一半，故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形、矩形的判定，解题关键是熟练运用所学四边形的性质与判定，准确进行推理判断．6．4．【分析】连接BD，根据中位线性质求出BD，再根据正方形对角线相等可求AC．【详解】解：连接BD，∵分别是的中点，∴BD=2EF=4，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD=4；故答案为：4．【点睛】本题考查正方形的性质和中位线性质，解题关键是连接对角线，构建中位线．7．①②③【分析】根据中点四边形的性质：一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，由此即可判断．【详解】解：∵一般中点四边形是平行四边形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂线的中点四边形是矩形，对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形，∴存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形，存在无数个中点四边形MNPQ是菱形，存在无数个中点四边形MNPQ是矩形．故答案为：①②③【点睛】本题考查中点四边形，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．

4

或【分析】当点P在AD上时，过点PH⊥EF于H，由等边三角形的性质可求PH＝，由正方形的性质可求∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，可得AH＝PH，可求AE＝﹣1，同理可求点P在AB，CD，BC上时，AE的值，即可求解．【详解】解：如图，当点P在AD上时，过点PH⊥EF于H，∵△PEF是等边三角形，PH⊥EF，∴∠PEF＝60°，PE＝PF＝EF＝2，EH＝FH＝1，∴PH＝，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴∠DAC＝45°，AC＝AB＝4，∵PH⊥AC，∴∠APH＝∠PAH＝45°，∴AH＝PH＝，∴AE＝﹣1，同理可得：当点P在AB上时，AE＝﹣1，当点P在CD或BC上时，AE＝4﹣2﹣（﹣1）＝4﹣﹣1，故答案为：4，或．【点睛】考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解题关键是灵活运用其性质．9．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）根据正方形的性质可得依据SAS证明即可得出结论；（2）①根据题中作图步骤补全图形即可；②连接EG，证明,得GE=BE,，由（1）得再运用勾股定理可得出结论．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，∵AC是正方形的对角线，∴∠在△和△中，∴△∴（2）①补全图形如下：②连接GE，如图，∵∴∠∴∠∴，，又∴△∴∴，由（1）知：△，∴∠∴∠即∠，∴∠由勾股定理得，，∴，∴【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键．10．(1)见解析(2)菱形BFCD的面积为120．【分析】（1）先证四边形BFCD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AB=BD，即可得出结论；（2）由题意推出DE是△ABC的中位线，从而得到∠BDE=∠A，再由余弦的定义，及勾股定理可求出菱形的两条对角线的长度，从而得到菱形的面积.（1）证明：∵点E为BC的中点，∴CE=BE，又∵EF=DE，∴四边形BFCD是平行四边形，∵D是边AB的中点，∠ACB=90°，∴CD=AB=BD，∴平行四边形BFCD是菱形；（2）解：∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∵cosA=，∴cos∠BDE==，∵DE=5，∴BD=13，∴BE=12，∴DF=2DE=10，BC=2BE=24，∴菱形BFCD的面积=×10×24=120．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BFCD为菱形是解题的关键．11．(1)见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形为平行四边形【分析】（1）作射线BD后，以点D为圆心，BD长为半径作弧，交射线BD于点E，连接AE，CE，即可；（2）先证明四边形为平行四边形，再由一组邻边相等即可得到．（1）解：根据题中步骤作图如下：（2）证明：证明：∵点D为AC的中点，∴．又∵，∴四边形ABCE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵，∴为菱形（一组邻边相等的四边形为平行四边形），故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的四边形为平行四边形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定，作图的基本方法，解题的关键是掌握菱形的判定定理．12．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题目所给条件得到三角形是等腰三角形，由角平分线的条件，根据“三线合一”的知识，从而得到点D为中点，再利用中位线的性质，从而得到，再根据平行四边形判定定理即可证明；（2）根据等腰三角形“三线合一”的知识，从而得到为直角三角形，根据题目所给条件，得出的长，再根据直角三角形斜边中线的性质以及平行四边形的性质，得到的长度，从而得到最后结果．（1）证明：∵在△ABC中，AB＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∴，又∵BD为∠ABC的角平分线，∴，又∵，∴，∴，∴D为中点，又∵点E为AB的中点，∴为中位线，∴，即，又∵，∴四边形DEFB是平行四边形．（2）解：∵由（1）得，∴，又∵点E为AB的中点，∴为的中线，∴，∵在中，AD＝4，BD＝3，∴，∴，又∵四边形DEFB是平行四边形，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的判定定理和性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的知识，解决本题的关键是利用好中点的条件以及平行四边形的性质．13．(1)见解析(2)【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，再结合已知即可证明结论；（2）设，根据题意，求出，，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可．（1），D是BC的中点，，，四边形BECF是菱形；（2）设，，，，，，，，在中，，即，解得，，菱形BECF的面积．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．14．(1)见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10－4＝6，在Rt△ABE中，由勾股定理得:，在Rt△ACE中，由勾股定理得：，

∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．15．（1）PM=PN，；（2）（或），理由见解析．【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边距离相等可证PG=PM=PN，再根据HL定理可证明DM=DG，GE=EN，最后根据矩形的性质和判定以及线段的和差可得结论；（2）由（1）可得PM=PH=PN，的周长a=PM+BN，根据角平分线的判定定理可得BP为∠ABC的角平分线上，根据含30°角的直角三角形的特点可得结论．【详解】解：（1）作PG⊥DE与DE交于G，∵DP为的平分线，，PG⊥DE，∴PM=PG，同理可证明PG=PN，∴PM=PN，在Rt△PDM和Rt△PDG中，∵PM=PG，PD=PD，∴Rt△PDM≌Rt△PDG（HL），∴DM=DG，同理可证GE=EN，∴，∵，，，∴，∴四边形BNPM为矩形，∴PN=BM,PM=BN，∴故答案为：PM=PN，；（2）（或），理由如下：作PH⊥DE，连接BP，与（1）同理可证PM=PH=PN，的周长a=BM+BN，∴P在∠ABN的角平分线上，∵，∴∠ABP=∠PBN=30°，∴在Rt△BPM中，BP=2PM，根据勾股定理,同理可证，∴（或）．【点睛】本题考查角平分线的性质和判定，HL定理，矩形的性质和判定，含30°角的直角三角形，勾股定理等．本题主要是角平分线的性质和判定定理的应用，理解角平分线上的点到角两边距离相等和在角内部到角两边距离相等的点在角平分线上是解题关键．16．（1）作图见解析；（2）平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形【分析】（1）根据题干中提示的步骤，逐步作图即可；（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明即可．【详解】（1）按照步骤，作图如图所示：（2）证明：，四边形ABCD是平行四边形．，四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．故答案为：平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【点睛】本题考查尺规作图-作菱形，以及理论证明，掌握基本作图的方法，以及菱形的判定定理是解题关键．17．（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据两组对边平行和直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证出（2）连接DE交BC于F，先根据直角三角形性质和菱形性质先求出，根据已知边长，求出，进而求出四边形面积．【详解】（1）证明：过点C作CE//BD，过点B作BE//AC四边形BECD是平行四边形在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，D是AC中点∴BD=DC四边形是菱形；（2）连接DE交BC于F，四边形是菱形；∴

．【点睛】本题考察了直角三角相关性质和菱形判定和性质等知识点，准确记住相关的判定和性质是解题关键．18．（1）①；②，理由见详解；（2）图见详解，线段与的数量关系保持不变，理由见详解．【分析】（1）①由题意易得，，则有，进而可得，然后问题可求解；②由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，过点C作CH⊥AB，并延长，然后过点D作DF⊥CH的延长线于点F，则，然后可得四边形是矩形，进而可得△CFD≌△BED，则四边形是正方形，由此可得，最后问题可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CG⊥ED，交ED延长线于点G，EG交AC于点F，由题意易证，进而可得，，，然后问题可求解．【详解】解：（1）①∵△BDC是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②，理由如下：由①可得：∠CDE=∠EBD=25°，过点C作CH⊥AB，并延长，然后过点D作DF⊥CH的延长线于点F，如图所示：∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，∴CH∥DE，∴∠FCD=∠CDE=∠EBD=25°，∵△BDC是等腰直角三角形，∴，∴△CFD≌△BED（AAS），∴DE=DF，CF=BE，∴四边形是正方形，∴HF=HE，∵∠A=45°，∴△AHC是等腰直角三角形，∴AH=CH，∵，∴，∴；（2）线段与的数量关系保持不变，理由如下：由题可得如图所示：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CG⊥ED，交ED延长线于点G，EG交AC于点F，如图，∴，∵∠A=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∠AFE=45°，∴∠GFC=∠AFE=45°，∴△GFC是等腰直角三角形，∴GF=GC，∵△BDC是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定及矩形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定及矩形的判定是解题的关键．19．（1）证明见解析，（2）补图见解析，FE=DG+AH；证明见解析．【分析】(1)证四边形FABG是平行四边形，根据平行四边形性质和等腰三角形性质可证；(2)按题意画图，作AM⊥BE于M，交BG、CD于点L、K，证四边形ABLE是菱形，得出四边形FELG是平行四边形，证△ADK≌BAH，再证GL=GK即可．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形FABG是平行四边形，∴∠FAB=∠FGB，∵∠FAB+∠AEB+∠ABE=180°，∠CGB+∠FGB=180°，∴∠CGB=∠AEB+∠ABE，∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，∴；（2）补图如图3，线段之间的数量关系为：FE=DG+AH；作AM⊥BE于M，交BG、CD于点L、K，连接EL，∵AE=AB，∴EM=MB，∵，∴∠AEB=∠EBL，∠AME=∠LMB，∴△AME≌△LMB，∴AE=LB，∴四边形ABLE是平行四边形，∵AE=AB，∴四边形ABLE是菱形，∴EL∥AB，AB=BL，∵AB∥FG，∴EL∥FG，∴四边形FGLE是平行四边形，∴FE=GL，∵AB=BL，∴∠LAB=∠BLA，∵AB∥FG，∴∠GKL=∠LAB，∴∠GKL=∠BLA，∵∠ALB=∠GLK，∴∠GKL=∠GLK，∴GL=GK，∴FE=GK，∵∠DAK+∠BAK=90°，∠ABH+∠BAK=90°，∴∠DAK=∠ABH，∵∠ADK=∠BAH，AD=AB，∴△ADK≌△BAH，∴DK=AH，∴FE=GK=DG+DK=DG+AH；【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形和平行四边形．20．（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意易得，，则有，，进而可证，则有，然后问题可求证；（2）由（1）可得，由勾股定理可得，设BF=x，则，进而可得，最后根据勾股定理可求解．【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是矩形；（2）由（1）可得：四边形是矩形，∵，∴，∴在Rt△AEB中，，设BF=x，则，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，在Rt△DFB中，由勾股定理可得，∴，即，解得：，∴．【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理，熟练掌握矩形的性质与判定、平行四边形的性质、三角形全等及勾股定理是解题的关键．21．（1）图见详解；（2）BO，一组邻边相等的平行四边形是菱形【分析】（1）根据题意可直接进行作图；（2）由题意易得，进而可得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可求解．【详解】（1）解：由题意可得如图所示：∴四边形就是所求作的菱形；（2）证明：∵平分，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；故答案为BO，一组邻边相等的平行四边形是菱形．【点睛】本题主要考查尺规作图、菱形的判定、平行四边形的判定及等腰三角形的性质，熟练掌握尺规作图、菱形的判定、平行四边形的判定及等腰三角形的性质是解题的关键．22．（1）作图见解析；（2）DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．【分析】（1）根据题目作法可以得到求作图形；（2）由题意可以推得四边形DFCE为平行四边形，再由DE=EC可以得到四边形DFCE为菱形．【详解】（1）根据题目作法可以得到下面图形：其中四边形DFCE为所求作的菱形；（2）证明：，为DC的垂直平分线．，．平分，．，DEFC（内错角相等，两直线平行

）（填推理依据）同理可证，四边形DFCE为平行四边形．又，四边形DFCE为菱形．故答案为DE；FC；内错角相等，两直线平行；DE=EC（或DF=FC）．【点睛】本题考查菱形的判定及作图，熟练掌握菱形的判定方法及作图要领是解题关键．23．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）由平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC=OD，根据菱形的判定得出即可．（2）解直角三角形求出BC=2，AB=DC=2，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF=BC=1，求出OE=2OF=2，求出菱形的面积即可．【详解】（1）证明：，，四边形OCED是平行四边形，矩形ABCD，，，，，平行四边形OCED是菱形；（2）在矩形ABCD中，，，，，，连接OE，交CD于点F，四边形OCED为菱形，∴F为CD中点，为BD中点，，，．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．24．(1)见解析(2)4【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，从而得到AB=AD，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）利用平行四边形的性质得到∠G=30°，∠EAG=90°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，又∵BE=DF，∴≌，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CEG=∠G，∠AEB=∠EAG，∵∠CEG=30°，AE⊥BC，∴∠G=30°，∠EAG=90°，又∵AE=2，∴EG=2AE=4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．25．（1）见解析；（2）20【分析】（1）由轴对称的性质可得FD＝ED，FG＝EG，可证△FDG≌△EDG，可得∠EDG＝∠FDG，由平行线的性质可得∠EGD＝∠FDG＝∠EDG，可得ED＝EG，可得结论；（2）连接FC，EC，先证四边形ABCF是矩形，可得AB＝CF，由轴对称的性质可得CE＝CF＝10，由勾股定理可求BE，AE，DF的长，即可求解．【详解】证明：（1）∵点E与点F关于直线CD对称，∴FD＝ED，FG＝EG，且DG＝DG，∴△FDG≌△EDG（SSS），∴∠EDG＝∠FDG，∵EG∥AF，∴∠EGD＝∠FDG，∴∠EGD＝∠EDG，∴ED＝EG，∴FD＝ED＝FG＝EG，∴四边形DEGF是菱形；（2）连接FC，EC，则CE＝CF∵∠A＝∠B＝90°，∴AF∥CB，且AF＝BC＝8，∴四边形ABCF是平行四边形，且∠A＝90°，∴四边形ABCF是矩形，∴CE＝CF＝AB＝10，在中，∴，∴AE＝4，设FD＝ED＝FG＝EG＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5．∴S＝5×4＝20．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）先根