工程数学线性代数课后答案-同济第五版

习题解答

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:

201ab

⑴1-4-1a

-183b

1y工十)

⑶b(4)yN+丁x

b：2x+yy

解(1)原式=2x(-4)x3+0x(-1)x(-。+1X1X8

-lx(-4)x(-l)-2x(-l)x8-0xix3=-4；

(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3

=3abc-a3-Z?3-c3;

(3)原式=1•b*c2+c*a2+1•a*b2-1*b*a2-1*c*b2-1•a9c2

=be2+ca2+ab2—ba2-cb2-ac2

=c2(b-a)ab(b-a)--c(b2-a2)=(a-b)(b-c)(c-a);

(4)原式=x(x+y)y+yx(xy)(xy)yx-(x+y)3-x3-y3

=-2(x3+>3).

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

(1)1234；(2)4132；

(3)3421；(4)2413;

(5)13…(2n-1)24…(2〃)；

(6)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.

解(1)此排列为自然排列，其逆序数为"

(2)此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1；第3位元

素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1+1+2=4；

(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末

位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0+0+2+3=5;

(4)类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,

1,故它的逆序数为0+0+2+1=3；

(5)注意到这In个数的排列中，前〃位元素之间没有逆序对.第，+1位

元素2与它前面的n-1个数构成逆序对，故它的逆序数为n-1;同理，第〃+2

倍元素4的逆序数为〃-2;…；末位元素2n的逆序数为0.故此排列的逆序数

为(〃-1)+(〃-2)+…+0=2-1);

(6)与(5)相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第〃+2位元素

(2w-2)的逆序数为2;第n+3位元素2〃-4与它前面的2Tl-392n-lt2n,

2n-2构成逆序对,故它的逆序为4;…；末位元素2的逆序数为2(〃-1),故此

排列的逆序数为2+4+…+2(〃-1)=「(7-1).

3.写出四阶行列式中含有因子QU03的项.

解由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素，

而它们又分别位于第2列和第4列，即叼2和或。乂和•注意到排列1324

与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有即仆”的项为-an。23a32a44

与aua、a34a42.

4.计算下列各行列式:

4124241

1202-121

⑴

520⑵I232

0175062

a100

ae

一血b10

bdde(4)

0--11

bfcf一ef

00-1

解⑴

12021202

4124•「2-4〃0-72-4

D

10520n-10rt0-152-20

01170117

12021202

0117㈡:15t.0117

0-152-20r/7n001785

02-400945

=0(因第3、4行成比例);

2141

r+f|5?：f=0(因有两行相同);

(2)D=2^=

232

062,

一bT11

C|T6

r\~ra=*7=1-11

(3)D=rjv=dadfb•eabcdef

rd/b1-1

-111

n+ri

------abcdef002：=abcdef;

r：+r

x020

0I+aba0

1+Qba0

按j展开

•r•\+吟-1b.10二，•・・・■・■

⑷D❷(-D(-l)3c1

0-1c1

40-Id

00-Id

1+aad

按「3展开,1+ab

。+dcz-15

一i+caI-1)(-I)

1c-1

0-10

=(l+a6)(l+cd)+ad

5.求解下列方程:

⑴2x+11=0X2)222

2=。,其中Q,6,C

11.工2Q?必

-11/1

?a?b3

互不相等.

110

解⑴左式=^F(N+3)2E

1

x+1

100

1

，f+3)22-11

-12x+1

X-11

5t3)2/]=(—).

于是方程的解为:£1=-3,工2=内,工3=-H；

(2)注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例12的结果得

(Z一.)(2-6)(z-c)(a—6)(〃—c)(6—c)=0.

因a,6,c互不相等，故方程的解为：叫=a,i2=。，l3=c.

6.证明:

a2ahb2

(1)2aa+b2b=(a-b)3;

111

axbyay+bzaz+bxyz

ay+bzaz+bxax+byzX

az+bxax+byay+bzy

a1(a+D2(a+2)2(a+3产

b2("I)?(6+2)2(6+3)2

(3)=0;

c2(c+1)2(c+2)2(C+3)2

d2(d+l)2(d+2)2(d+3)2

111

abcd

(4)

a2b2c2d2

=(a-6)(a-c)(a-d)(b-c)(6—d)(c-d)(a+6+c+d);

•••

X-1000

•••

0X-100

**•*

(5)•.•*•**

000•••X-1

•••

a。aia?an-ia.

a2一b2ab

Ci一Cy

七十——_—

4UX£(/1\)左五।2(a-Z>)a-b

00

=(a-5>=右式;

(2)将左式按第1列拆开得

axay+bzaz+bxbyay+bzaz+bx

=aD1+

左式二ayaz+bxax+by+bzaz+1)JCax+bybD2,

azax+byay+bzbxax+byay+bz

xay+bzaz+bxxay+bzz

C3-姐

其中5=yaz+bxax+by，ayaz+bxx

*CJlT*<*1

zax+byay+bzzaxbyy

yay+bzaz+bxynaz+bx

D-zaz+bxax+bybzxcue+by

2+b

xax+byay+bzLyay+bz

于是

2a+12a+32a+5

2b+12"326+5

2c+12c+32c+5

2d+12d+324+5

2a+122

2a+122

-=0(因有两列相同);

2c+I22

2d十122

111

(4)左式」*二:b-ac-acl-a

白-ar2。b(b-a)c(c-a)d(d—a)

及(b2-a2)c2(c2-a2)dz(dz-a2)

111

按门展开

(b-a)(c~~a)(d-a)bed

各列提取公因子

b2(ba)c2(ca)d2(d+a)

111

「3-6(〃+口)/2”、

....iI)-a){c-a)(d-a)0c-bd-b

r?-brt

0xy

c-ba—b

=(b-a)(c-a)(d-a),

iy

其中：N=c'(c+a)-(&7)(6+a)=c(c2+砒-b2-ab)=c(a+6+c)(c-6);

y=d2(d+a)-bd{ba)—d{a+b+d)(d—b).

,,c-bd-b/、，、11

故=(c-b)(d-b)

zyc(a+6+c)d(a+b+d)

=(c-b)(d-b)[d(a+b+d)-c(a+b+c)]

=(c-6)(r/-Z>)[(J-c)(a+6)+i/2-c2]

=(c-b)(d-6)(d-c)(a+6+c+d),

因此，左式=(6-a)(c-a)(d-a)(c-6)(d-Z>)(d-c)(a+6+c+d)=右式.

(5)证一递推法.按第1列展开，以建立递推公式，

-1

x-10

+....

*

x-1

22

=JCD„+(-l)"<a0=xD„+a0.

又，归纳基础为：口=%(注意不是#),于是

D..|=血+a0

=x(xD,_|+。|)+a。

2

=XD„.|+QjX+a0

=x"D)+a„_1x**1+…+即<1：+。0

2

=a0+Ujx+a2j：++arr".

证二按最后一行展开得

n

*

21

=2Ja/=a。+。］工+a2x+…+a„.jx"_+anx".

7.设n阶行列式。=€1或4）,把D上下鼠转、或逆时针旋转90•、或依副

对角线翻转,依次得

%…%即.…%.%“…4・

D,=::,D2=::,D3=::,

«II0八J•八«n

证明。=。2=（-1）与％,。3=。.

证（1）先计算介，为此通过交换行将D.变换成D.从而找出。与D

的关系.

D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1

行,共进行〃-1次交换；这时殿后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交

换,直至换到第2行,共进行〃-2次交换；……，直至最后一行是D的第〃-1

行,再通过一次交换将它换到第H-1行，这样就把D,变换成D,共进行

（H-1）+（H-2）+-+1=-1）

次交换，故D,=（-1）7'（--0D.

注r上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时，经常用到.它的特点是

在把最后一行换到某一行的同时，保持其余〃-1个行之间原有的先后次序（但

行的序号可能改变）.2・同理把D左右翻转所得行列式为（-1）如“

（2）计算）•注意到孙的第1,2,…，〃行恰好依次是D的第%1,…，

1列,故若把D2上下翻转得力；，则D2的第1,2,-,n行依次是D的第1,

2,…，”歹八即8z=DT•于是由（I）

（,TU,）

D2=（-1）%…）万2=（-1）T---*D=（-1）T'"D.

（3）计算.注意到若把D）逆时针旋转90•得方一则D3的第1,2.….〃

列恰好是D的第〃，〃-1,…，1列，于是再把D,左右翻转就得到D.由（1）之注

及⑵，有

Dj=（firs=D.

注本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线翻转、旋转

180°所得行列式不变;作上下翻转、左右翻转、逆（顺）时针旋转9（r所得行列式为

（-1）T"（--0D.

8.计算下列各行列式（R为k阶行列式）：

a1

（1）。“二，其中对角线上元素都是叫未写出的元素都是0;

⑵D.二

a

an(a-l)rt

a*"1(a-I)"'1

⑶/产：i

aa-1…

11…

提示:利用范德蒙德行列式的结果.

仇

，其中未写出的元素都是0;

%

(5)D.=det(a“)，其中％=Ii-jI;

⑹D„=，其中即以…。*工0・

(1)解一把Q.按第一行展开得

0a

D.=a”+(-l)…°/

*.a

10

按第一列“

展开

(2)本题中D,是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列

式，在以后各章中有不少应用.

解利用各列的元素之和相同，提取公因式.

(3)解把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻

转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻

转(相当于转180,，参看题7)其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果，可得

(4)解本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.

由例I。,“,

即有递推公式

D21t=(a,<一

a,bi

另一方面，归纳基础为D2=j利用这些结果，递推得

Cidx

D21t=-bq)…(aid]-6|Cj)=口(为&-dQ).

(5)解

(6)解将原行列式化为上三角形行列式.为比，从第2行起，各行均减去

第1行，得与例1.3相仿的行列式

其中6=1+Qja&a=*卜十冬办于是

D.=a小卜+冬H

31-12

-513一：，。的(i,j)元的代数余子式记作A,j,求

9.设D=

20(1-1

1-53-3

A”+3A32—2A33+2AJJ.

解与例13相仿，八八+3人32-24、+2434等于用1,3,-2,2替换D的第

3行对应元素所得行列式，即

3172]I311

-5137j+q-513-1

A31+3A»~2A33+2八乂=]3

-2213-20

3-3|I1-5

1-530

3I-「I1

-1-1

~2220r,4-(-2)

―—^-213-2

I3-20按。展开

-53

-530|

=24.

10.用克拉默法则解下列方程组：

X|4-x2+x3+x4=5;+6x2=1,

x,+2x:-x3+414=-2;=0,

⑴〈+6x4=0,

2xx一3工2一工3-514=-2,

X

3x,+X；+2n+11-r4=0；+54=1.

解

11

1-28

=-142;

0-1314

0-5

1111

-1405

-1-50-4

21109

-2732

=-142;

23-22

15111511

-2-14ri-r0-7-23

5=t

2-2-1-5「3-2小0-12-3-7

小-3ri

302110-15-18

-7-23230-13

-2rj

—-12-3-7——33C-31

「2-3r)

-15-18-15-18

按r展开23-13

=-284;

33—31

1151151

12-2

4'「I01-73

2-3-2-5"-明0-5-12-7

r-3rl

310Ill410-2-158

5

-73_11-478

=-426;

-478-01-2914

-2914

1I151115

12-1-201-2-7

D、=

2-3-1-2b-2人0-5-3-12

…

31200-2-1-15

11151

rj+5，？01-2-7-13-47

==142

rt+2r300-13-47-5-29

00-5-29|

由克拉默法则，得

D44=-1;

工3=方3=3，-

5600

560600

560按j版开

⑵标；156=15656

015015

00I5

560

60

而156=5=65;(*)

1

015

600

156=114,

015

于是0=325-114=211；

1600

560600

0560技j展开]

D,=5660

0156

01556

1015

由（・）式

=65-216=-151;

5100

160500

1060按C?展开

056+160

0056

015056

0115

=-19+180=161；

5610

150560

1500按C3展开

D=-------016150

30106

005016

0015

=5-114=-109;

5601

156560

1560按J展开

015十156

~0150

001015

001

由（»）式

-1+65=64.

由克拉歌法则，得

Dt_151_D2__161_D3_109_D4_64

~D~一示，“2=方=示，外=方=一方—二方=2IT

1L间入，〃取何值时，齐次线性方程组

Ax|+x2+=0,

vXi+4八+x3=0,

Xi+2仪2+=0

有非零解？

解由定理5',此时方程组的系数行列式必须为0.

故只有当幺=0或4=1时，方程组才可能有非零解.

•当〃=0,原方程组成为

fAxj+x2+以=0,

Vl+工3=0，

显然工I=1,5=1-4,马=-1是它的一个非零解；

当;1=1,原方程组成为

X）+叫+=0，

«X）+fix-i+Xj=0,

,x1+2/zz2+x3=0,

显然=-1,叫=0,工3=1是它的一个非零解.

因此，当〃=0或4=1时，方程组有非零解.

注定理5（或定理5'）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列

式必为零.至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应脸证它有非

零解.下题也是同样情形.

12.问A取何值时，齐次线性方程组

)(1-4)叫-2X2+4X3=0,

2x,+(3-A)x2+x3=0,

+x2+(1-A)x3=0

有非零解？

解若方程组有非零解，由定理5',它的系数行列式D=0.

因

故D=0=>A=0或久=2或2=3,并且不难验证:

当久=0时,斗=-2,叫=1,l3=1;当；1=2时，f=-2,壬=3,与=1；当

2=3时，以=-1,叫=5,Zj=2均是该方程组的非零解.所以当a=0,2,3时

方程组有非零解.

习题解答

1.计算下列乘积:

431732

⑴1-232(2)(1,2,3)2⑶.1(-1,2);

570113

131

140072

⑷C-1341-31

40-2

(5)(X),x2,x3)

«1333叫，

431735

解⑴1-2326

570.1493xi

3

(2)(1,2,3)IX32=(10)lxl=10;

a\\x\+a\lx2+al3x3

ax+ax+ax

=(,X2)ixj\2l222233

al3xl+a23x2+a33x3Jjx|

=。］|工：+aHl+Q”工；+即用与+

+刖134+即31；

=aHx?+anxl+ajjxJ+2al2x(x2+2a|3Z|X3+2a23x2x3.

112

2.设A=-1,B=-1-2

11-1105

求3AB-2A及A’B.

解

1

AB=1

1

于是3AB-2A

1322

-1720;

29-2

因AT=A,即A为对称阵，故

058

AB=AB0-56

290

3.已知两个线性变换

j=2y+%，

-x2=-2>(+3y2+2%,4

工3=4川+»+5%,

求从Z1,Zz到N1,工2，13的线性变换.

解依次将两个线性变换写成矩阵形式：

X=AY,Y=BZ,

-310

,B=201分别为对应的系数矩阵；*二

0-13

在这些记号下，从孙，叼，叼到叫，q，耳的线性变换的矩

X=AY=A(BZ)=(AB)Z=CZ,

这里矩阵

C=AB=

即有

』=一6Z[+22+3Z3

x2=12Z|-4Z2+9Z5

孙=一IO?)-z2+16Z3.

12

4.设A=

13)-(:胃阿

(1)AB=BA吗？

⑵(A+b)2=A2+2AB+B2吗？

(3)(A+S)(A-B)=A2-B2吗？

340

解(1)因AB=,BA

CSIC3462)C3)

12

，故AB^BA;

38

(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+4B+BA+B2,

但由(1),ABWBA,故AB+5AK2AB，从而

(A+B)2HA2+2A5+叫

(3)(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-3?,但由([),ABHBA,故BA-

A5WO,从而

(A+B)(A-B)^A2-B2.

5.举反例说明下列命题是错误的：

(1)若42=0,则A=O;

(2)若1=4则4=0或4=后；

(3)若AX=AY,且A卢O,则*=Y.

解(1)取A=(：：),有T=O,但AKO;

(2)取A=(；：),有A?=A,但AHO且A声E;

⑶取T》*=(：…有A*…，且AKO,

但*WY.

6.设A=（；：）,求A?,A、，…，A".

解直接计:Y：）（：:

Y：）（：°J=（L°X

一般可得A*=（l°J,（2.3）

\kX

事实上，当A=1时，（2.3）式显然成立；

设当4=〃…时，（2.3）式成立，那么机当；左=；"卜十1［时二，

由归纳法，知（2.3）式成立.

A10

7.设A=0A1,求A".

00A.

解把A写成两个矩阵之和

00010

A0+001=AE+B,

0A000

・°10001

其中三阶矩阵8=001满足B2=000,B'=O(43).

,000000

于是A"=(AE+B)*=O"E++…+C：B'

=O"E+Ck7B+◎…B2

=0V%…=A"

00A"

8.设A,5为”阶矩阵，且A为对称阵，证明STAB也是对称阵.

证根据矩阵乘积的转置规则.有

（BTAB）T=BTAT（BT）T=BTAB（因A为对称阵），

故由定义，知BTAB为对称阵.

9.设都是〃阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB=SA.

证因=，故

AB为对称阵0（AS尸=A3

<=PBTAT=AB^BA=AB.

10.求下列矩阵的逆阵：

解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得

cos6-sin\'1_1{cos6sin0

⑵

sin0cos8Icos29+sin26\—sin0cos0

Icos0sin0\

\-sin0cos6/,

12-1

⑶因IAl=34-2=2W0,故A可逆，并且

5-41

4-22

.=-4,

4

1

3

1

MLM"=5_4…，

3

于是

-M21

，=，=-M-MA

A-T7TAT12

10

-42

=y-1363；

[-3214

7-L

(4)因ai。2…a”H0，故a,工0,，=1,2,…，〃.于是矩阵B=

diag信心）是有意义的,并且因