高中数学讲义（人教B版2019选择性必修二）第17讲第4章概率与统计

第4章概率与统计时间120分钟，满分150一、单选题1．在建立两个变量y与x的回归模型时，分别选取了4个不同的模型，模型1的相关系数为0.88，模型2的相关系数为0.66，模型3的相关系数为0.945，模型4的相关系数为0.01，其中拟合效果最好的模型是（

）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】C【分析】相关系数的绝对值越接近于1，拟合效果越好，比较即可得．【详解】由已知模型3的相关系数为0.945，最接近于1，因此拟合效果最好．故选：C．2．某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得χ2参考数据如下：Pχ2≥10.828A．低于1% B．低于0.5% C．高于99% D．高于99.5%【答案】C【分析】根据临界值表求得正确答案.【详解】由于χ2而Pχ所以可信度高于99%.故选：C3．已知随机变量X∼N1,σ2A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.9【答案】A【分析】先根据PX>−2=0.8，求P【详解】因为PX>−2=0.8所以P−2<故选:A.4．已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ−σ,μA．477人 B．136人 C．341人 D．131人【答案】B【分析】求得此次考试成绩在区间(105,120]的概率，再求在此区间的人数即可.【详解】根据题意，P105<则1000×0.1359=135.9≈136，故此次考试成绩在区间(105,120]内的学生大约有136人.故选：B.5．从编号为1−20的20张卡片中依次不放回地抽出两张，记A：第一次抽到数字为6的倍数，B：第二次抽到的数字小于第一次，则P(A．819 B．1119 C．811【答案】B【分析】根据条件概率公式直接求解即可.【详解】记事件A：第一次抽到的数字为6的倍数；事件B：第二次抽到的数字小于第一次；则数字为6的倍数的数有：6,12,18，所以PA第二次抽到的数字小于第一次的情况分为：第一次抽到的数字为6，第二次则抽到1,2,3,4,5，共5种；第一次抽到的数字为12，第二次则抽到1∼11，共11种；第一次抽到的数字为18，第二次则抽到1∼17，共17种.则PAB∴P故选：B.6．若样本数据x1,xA．30 B．90 C．300 D．900【答案】D【分析】x1,x2,⋯,x10【详解】已知样本数据x1,x2,⋯,x10的标准差为S=10，则其方差故选：D7．若离散型随机变量X的分布列如下，若E(X)=0,X1012Pabc1A．12 B．25 C．34【答案】D【分析】根据分布列所有概率之和为1，且E(X)=0,【详解】由题意知，a+由E(X)=0得−a由D(X整理得a联立①②③解得a=又因为P所以P(故选：D.8．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID−19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该家庭至少检测了3个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当A．1−22 B．63 C．1【答案】A【分析】先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可．【详解】设事件A为：检测了3个人确定为感染高危户，设事件B为：检测了4个人确定为感染高危户，事件A为第一个人不是阳性，第二个人不是阳性，第三个人是阳性，所以P(同理P即f(设0<x则g(∵当且仅当1−x2=即p=故选：A．二、多选题9．互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家专卖店购买，张三与李四购买国产的概率分别为0.7，0.5，购买价位在8000元左右的的概率分别为0.4，0.6，若张三与李四购买什么款式的相互独立，则（

）A．恰好有一人购买国产的概率为0.5B．两人都没有购买价位在8000元左右的的概率为0.65C．张三购买价位在8000元左右的国产的概率为0.48D．张三与李四至少有一位购买价位在8000元左右的国产的概率为0.496【答案】AD【分析】设出事件，再利用互斥事件概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式求出相关概率，即可判断．【详解】记“张三购买国产”为事件A，“李四购买国产”为事件B，“张三购买价位在8000元左右的”为事件C，“李四购买价位在8000元左右的”为事件D，则PA=0.7，PB=0.5，A选项：恰好有一人购买国产的概率P=（另解：间接法，即“恰好有一人购买国产”的对立事件为“两人都没有购买国产或两人都购买了国产”，所以恰好有一人购买国产的概率P=1−B选项：两人都没有购买价位在8000元左右的的概率P=C选项：记“张三购买价位在8000元左右的国产”为事件E，则PED选项：记“李四购买价位在8000元左右的国产”为事件F，则PF所以张三与李四至少有一位购买价位在8000元左右的国产的概率P=所以D正确．（另解：间接法，即“张三与李四至少有一位购买价位在8000元左右的国产”的对立事件为“张三与李四两人都没有购买价位在8000元左右的国产”，所以张三与李四至少有一位购买价位在8000元左右的国产的概率P=1−故选：AD10．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为（

）A．M={掷出偶数点}，N={B．M={掷出偶数点}，N={C．M={掷出偶数点}，N={D．M={掷出偶数点}，N={【答案】ABD【分析】根据独立事件的概念可知，若事件A与事件B相互独立，则必须满足P(【详解】对于A，因为P(M)=此时P(MN)≠P(对于B，因为P(M)=此时P(MN)≠P(对于C，因为P(M)=此时满足P(MN)=P(对于D，因为P(M)=此时P(MN)≠P(综上可知，不是独立事件的组数为ABD.故选：ABD.11．下列说法正确的有（

）A．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立B．若随机变量X∼BC．若随机变量X∼N1,σD．以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，求得线性回归方程为z【答案】BCD【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A选项；由二项分布可直接得出方差D(再利用D(利用线性回归方程分析，先将y=ce【详解】由对立事件和互斥事件定义可得，对立事件是互斥的，互斥事件不一定对立，所以A选项错误；由二项分布X∼B10,13D3正态分布X∼N1,σ2，对称轴x得P(X>4)=1−0.79=0.21，又因为x=−2与x=4所以C选项正确；将y=cekx两边同时取ln得，则lnc=4，即c=故选：BCD12．当下新能源汽车备受关注，某校“绿源”社团对“学生性别和喜欢新能源汽车是否有关”做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢新能源汽车的人数占男生人数的45，女生喜欢新能源汽车的人数占女生人数的35，若有P0.0500.010k3.8416.635附：K2=n(ad−bc)【答案】CD【分析】设男女生总人数为2a，根据题目得到列联表，计算K【详解】设男女生总人数为2a，则男生喜欢新能源汽车的人数45a类别喜欢新能源汽车不喜欢新能源汽车小计男生41a女生32a小计75352a所以K2=2a8故选：CD三、填空题13．某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》PK赛（共4局），A､B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为34【答案】27【分析】根据题意得到比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有三种，分别是A队全胜，A队三胜一负，A队胜第三局，另外三局一胜二负，再分别计算概率求解即可.【详解】比赛结束时A队的得分高于B队的得分的情况有三种，第一种：A队全胜，概率为34第二种：A队三胜一负，概率为C4第三种：A队胜第三局，另外三局一胜二负，概率为：34所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为81256故答案为：2714．已知一个不透明盒子中装有5个完全相同且编号依次为0，1，2，3，4的小球，现逐次有放回地从盒子中取5次球，记xi为第i次取出的球的编号i∈1,2,3,4,5，假设每次取球前充分搅拌均匀，则在x1，x2，x【答案】17【分析】首先列表，求出所有平均数为2的基本事件以及个数，以及其中方差不超过1的基本上事件的个数，再利用条件概率求解.【详解】记事件A=“x1，x2，x3，x4，x5的平均数为2”，事件B=“x1，组号分组依据数字类型样本点个数方差15个22，2，2，2，21023个21，2，2，2，3A2530，2，2，2，4A8542个21，1，2，2，4C6550，2，2，3，3C6561个20，1，2，3，4A271，1，2，3，3C4580，0，2，4，4C16590个20，1，3，3，3A85100，1，1，4，4C145111，1，1，3，4A85120，0，3，3，4C145合计381由上表可知，事件A中样本点的个数nA=381，其中第1组、第2组和第7组中的样本点组成的全体是交事件AB，则交事件AB中样本点的个数nAB故答案为：1715．为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取kk∈N*包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布N(u，σ2).假设生产状态正常，记ξ表示每天抽取的k包食品中其质量在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的包数，若附：若随机变量X服从正态分布N(u，σ2)，则P(【答案】19【分析】根据正态分布的对称性，求得概率，根据二项分布的均值计算，可得答案.【详解】依题意P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973，所以在(μ-3σ,μ+3σ)故答案为：19.16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按k1<k≤10人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k参考数据：0.92=0.810，0.93=0.729，0.94≈0.656，0.95≈0.590，0.96【答案】4【分析】设每个人检测次数为X，若混合为阴性，则X=1k依次求出PX=1k、PX=1【详解】设每个人检测次数为X，若混合为阴性，则X=1k则PX=1k=故当EX当k=2时，EX=0.69；当k=3时，EX=0.604；当k=4时，EX=0.594当k=7时，EX=0.665；当k=8时，EX=0.695；当k=9故当k=4时，E故答案为：4四、解答题17．教育部印发的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》指出，自2022年秋季开始，劳动课将成为中小学一门独立课程．消息一出，“中小学生学做饭”等相关话题引发大量网友关注，儿童厨具也迅速走俏．这类儿童厨具并不是指传统意义上的“过家家”，而是真锅真铲真炉灶，能让孩子煎炒烹炸，把饭菜做熟了吃下肚的“真煮”儿童厨具．一家厨具批发商从2022年5月22日起，每10天就对“真煮”儿童厨具的销量统计一次，得到相关数据如下表所示．时间5月22~5月31日6月1~6月10日6月11~6月20日6月21~6月30日7月1~7月10日7月11~7月20日7月21~7月30日时间代码x1234567销量y/千件9.49.69.910.110.611.111.4(1)从这7次统计数据中随机抽取2次，求这2次的销量之和超过21千件的概率．(2)根据表中数据，判断y与x是否具有线性相关关系？若具有，试求出y关于x的线性回归方程；若不具有，请说明理由．（结果保留两位小数）附：线性回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=i【答案】(1)2(2)有，y【分析】（1）计算从7种中任取两种的方法总数，再列举合题意的取法，计算所求概率；（2）根据表中数据，计算相关系数r，根据是否接近1，判断变量线性相关性强弱，利用回归方程公式求回归方程.【详解】（1）从7次统计数据中任意选取2次有C7其中满足条件的有9.9,11.4，10.1,11.1，10.1,11.4，10.6,11.1，10.6,11.4，11.1,11.4，共6种，所以所求概率P=（2）由表格数据，得x=y=所以i+−1i=1i=17y所以相关系数r=因为相关系数r≈0.99因为b=所以a=所以y关于x的线性回归方程为y=0.3518．课外体育活动中，甲､乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为12，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为12，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为35(1)记甲3次投篮得分为X，求X的概率分布列和数学期望；(2)求乙3次投篮得4分的概率．【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：3(2)8【分析】（1）根据投篮投进次数与相应得分概率相同，用二项分布的概率计算公式求解即可；（2）先把乙3次投篮得4分这个事件划分为几个互斥事件，再根据互斥事件概率和的公式计算即可．【详解】（1）解：设甲3次投篮投进的次数为ξ，则ξ∼ξ=0，1，2，3，X所以X的所有可能取值为0，2，4，6．PXPXPXPX所以X的概率分布列为X0246P1331∴E（2）解：设“乙3次投篮得4分”为事件A，“第i次投进”为事件Bi则A=∵B1B2B∴=1故乙3次投篮得的概率为82519．从《唐宫夜宴》火爆破圈开始，河南电视台推出的“中国节日”系列节目被年轻人列入必看节目之一.从某平台“中国节日”系列节目的粉丝与游客（未注册的访客）中各随机抽取200人，统计他们的年龄（单位：岁，年龄都在[5,55]内），并按照[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]分组，得到粉丝年龄频率分布直方图及游客年龄频数分布表如下所示.年龄/岁[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55]频数1060504535(1)估计粉丝年龄的平均数x及游客年龄的中位数x0(2)以频率估计概率，从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝与游客中各随机抽取2人，记这4人中年龄在[25,35)内的人数为X，求X的分布列与期望.【答案】(1)x=28，(2)分布列见解析，数学期望9【分析】（1）由频率分布直方图和频数分布表结合平均数和中位数的定义求解即可；（2）利用二项分布概率公式求分布列，进而求数学期望即可.【详解】（1）由粉丝年龄频率分布直方图知x=10×0.1+20×0.4+30×0.2+40×0.2+50×0.1=28由游客年龄频数分布表知25<x所以10200+60（2）从该平台“中国节日”系列节目的所有粉丝中随机抽取1人，该粉丝年龄在25,35内的概率为15从该平台“中国节日”系列节目的所有游客中随机抽取1人，该游客年龄在25,35内的概率为14由题可得X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且PXPXPXPXPX所以X的分布列为X01234P9217371EX20．2022年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和B区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图．不受影响受影响合计A区B区合计(1)求A区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；B区7月的供电量与需求量的比值的平均数；(2)当供电量与需求量的比值小于0.84时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：K2临界值表：P3.8416.63510.828k0.050.010.001【答案】(1)中位数为0.86，平均数为0.798(2)列联表见解析，没有【分析】（1）根据中位数和平均数的定义直接求解即可；（2）根据茎叶图中的数据完成列联表，然后根据公式K2=n【详解】（1）A区供电量与需求量的比值由小到大排列为0.76,0.79,0.81,0.84,0.85,0.87,0.88,0.90,0.91,0.92则第5个数，第6个数分别为0.85,0.87，故所求中位数为0.85+0.872B区供电量与需求量的比值平均数为110（2）由2×2列联表为：不受影响受影响合计A区7310B区4610合计11920K∴没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.21．某电视厂家准备在五一举行促销活动，现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x（万元）和销售量y（万台）的数据如下：年份2012201320142015201620172018广告费支出x1246111319销售量y1.93.24.04.45.25.35.4(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程（其中i=17xi(2)若用模型y=c+dx拟合y与x的关系，可得回归方程y(3)已知利润z与x，y的关系为z=200y−x．根据（2）的结果回答：当广告费x【答案】(1)y(2)选用y=1