高中数学讲义（人教B版2019选择性必修一）第34讲262双曲线的几何性质

2.6.2双曲线的几何性质TOC\o"13"\h\z\u题型1双曲线的几何性质 4题型2利用几何性质求标准方程 9◆类型1共焦点问题 9◆类型2已知渐近线问题 11题型3离心率问题 15题型4离心率的取值范围 20◆类型1根据a,b,c的不等关系求取值范围 20◆类型2根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围 26◆类型3根据图形位置关系求取值范围 31◆类型4根据题目条件求取值范围 34◆类型5根据直线、椭圆与双曲线的综合求取值范围 40题型5直线与双曲线的位置关系 46题型6双曲线的弦长问题 53题型7双曲线的中点弦问题 57题型8解答题 64知识点一.双曲线的几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c性质范围x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：eq\a\vs4\al(2a)；虚轴：线段B1B2，长：eq\a\vs4\al(2b)；半实轴长：eq\a\vs4\al(a)，半虚轴长：eq\a\vs4\al(b)离心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x知识点二.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝eq\r(2).注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．3.巧设双曲线方程：与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．知识点三.双曲线与渐近线的关系3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，知识点四.离心率相关问题定义：e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))范围：(1，＋∞)拓展：=1\*GB3①e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2题型1双曲线的几何性质【方法总结】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；3.由c2＝a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质。注意：求性质时一定要注意焦点的位置【例题1】（2023·全国·高二随堂练习）求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率．(1)x2(2)y2(3)8x(4)9y【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析；【分析】将双曲线方程化为标准方程，确定焦点所在位置，求出a,b,c，即可求出实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率．【详解】（1）双曲线x2则焦点在x轴上，且a2即a=4,b=25所以实轴长为2a=8，虚轴长为2b=45焦点坐标为±6,0，顶点坐标为±4,0，渐近线方程为y=±5离心率为ca（2）双曲线y2则焦点在y轴上，且a2即a=4,b=25所以实轴长为2a=8，虚轴长为2b=45焦点坐标为0,±6，顶点坐标为0,±4，渐近线方程为y=±2离心率为ca（3）双曲线8x2−8则焦点在x轴上，且a2即a=2,b=2,c=22所以实轴长为2a=4，虚轴长为2b=4，焦点坐标为±22顶点坐标为±2,0，渐近线方程为y=±x，离心率为ca（4）双曲线9y2−则焦点在y轴上，且a2即a=3,b=9,c=310所以实轴长为2a=6，虚轴长为2b=18，焦点坐标为0,±310顶点坐标为0,±3，渐近线方程为y=±1离心率为ca【变式11】1.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）双曲线x2A．π4 B．23π C．3【答案】B【分析】由双曲线的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线x2a2且注意到双曲线的离心率为e=c又在双曲线中有平方关系：c2所以离心率为e=c又由题意e=2，所以有1+b2a即双曲线的渐近线的斜率为ba由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是23π或故选：B.【变式11】2.（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知椭圆C1:xA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据双曲线方程确定a>0，且焦点在x轴上，从而得到方程，求出答案.【详解】C2:x2−由题意得a2−1=1+a，解得故选：B【变式11】3.（2022秋·山西·高二长治市上党区第一中学校校联考期中）已知双曲线C:yA．C的焦点坐标为±4,0 B．C的顶点坐标为0,±3C．C的离心率为43 D．C的虚轴长为【答案】A【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可【详解】因为a2=9,b因为焦点在y轴上，所以C的焦点坐标为(0,±4)，顶点为0,±3，离心率为43，虚轴长为2故选：A.【变式11】4.（2023·江苏·高二假期作业）已知双曲线x29−A．两个双曲线有公共顶点B．两个双曲线有公共焦点C．两个双曲线有公共渐近线D．两个双曲线的离心率相等【答案】C【分析】根据双曲线方程可得答案.【详解】双曲线x2而双曲线y2双曲线x29−双曲线y216−双曲线x29−而双曲线y216−故选：C.【变式11】5.（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知双曲线mx2−y2【答案】3【分析】根据双曲线的渐近线方程求解.【详解】由题得m>0，因为3=ba故答案为：3.题型2利用几何性质求标准方程◆类型1共焦点问题【例题21】（2023·全国·高二专题练习）过点2,3且与椭圆5xA．x2−y23=1 B．x【答案】A【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为±2,0，根据焦点坐标及点2,3可求双曲线的方程.【详解】椭圆的标准方程为x29+y2设双曲线的方程为x2故4a2−故双曲线的标准方程为x2故选:A.【变式21】1.（2022秋·高二单元测试）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0与椭圆A．x2−y24=1 B．x【答案】B【分析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合C与椭圆E有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线C：x2a2−∴设双曲线C：x∵双曲线C与椭圆E有相同的焦点∴4λ+λ=5，解得：λ=1∴双曲线C的方程为x2故选：B.【变式21】2.（2021秋·河南驻马店·高二新蔡县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C：x2a2−yA．x28−y210=1 B．x24−【答案】B【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.【详解】椭圆x210+y2又双曲线C：x2a2所以ca所以b=5，故所求的双曲线方程为x2故选：B.【变式21】3.（2023秋·高二课时练习）若双曲线与椭圆x2A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24【答案】D【分析】由题设，若双曲线为x2－y2＝λ(λ≠0)，由椭圆方程写出焦点坐标，根据曲线共焦点、双曲线参数关系列方程求参数λ.【详解】设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0,±43∴λ<0且−2λ=(4故选：D.【变式21】4.（2023·全国·高二专题练习）与双曲线x216−【答案】x【分析】设双曲线方程为x216−k−y2【详解】解：设双曲线方程为x216−k−y2即1816−k−44+k=1故所求双曲线方程为x2故答案为：x◆类型2已知渐近线问题【例题22】（2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为0,4，且渐近线方程为x=±2y，则其标准方程为（

）A．y216−C．x2−y【答案】A【分析】由顶点位置可假设双曲线方程y2a2【详解】∵双曲线顶点在y轴上，∴可设其方程为y2∵顶点坐标为0,4，渐近线方程为x=±2y，即y=±1∴a=4ab=12，解得：故选：A.【变式22】1.（多选）（2022秋·重庆·高二重庆八中校考期中）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x29+y2A．x24−y2=1 B．x【答案】AD【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为x24−y2=λ【详解】解：∵椭圆x29+∴焦距|F∵双曲线C与椭圆x29+∴设双曲线的方程为x24−y2当λ>0时，c=4λ+λ=5∴双曲线的方程为x2当λ<0时，c=−λ−4λ=5∴双曲线的方程为y2综上，双曲线的方程可能为x24−故选：AD.【变式22】2.（2023秋·湖南永州·高三校联考开学考试）已知双曲线E的一个焦点为F，点F到双曲线E的一条渐近线y=33x【答案】x23【分析】分焦点在x轴和y轴上时，分别列方程求解计算即可.【详解】点F到双曲线E的一条渐近线的距离为d=当焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2点F到双曲线E的一条渐近线y=33x的距离为1，即b所以此时双曲线E的标准方程为x2当焦点在y轴上时，设双曲线方程为y2a2点F到双曲线E的一条渐近线y=33x的距离为1，即a所以此时双曲线E的标准方程为y2综上，双曲线E的标准方程为x23−故答案为：x23【变式22】3.（2023秋·云南保山·高三统考期末）已知双曲线M:x2a【答案】x【分析】求出焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为−2,0,渐近线方程为y=±bax则2ba2+则a2所以M的标准方程为x2故答案为：x2

【变式22】4.（2022秋·江西宜春·高二校考期中）已知双曲线C与椭圆E:x216(1)求椭圆E的焦点坐标；(2)求双曲线C的标准方程．【答案】(1)(±2,0)；(2)x2【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为x2−3y【详解】（1）由题设，c=a2−所以椭圆E的焦点坐标为(±2,0).（2）由题设，令双曲线C为x2由（1）知：λ+λ3=所以双曲线C的标准方程为x2【变式22】5.（2023秋·高二课时练习）已知双曲线过点P4,3，它的一条渐近线的方程为y=

【答案】y2【分析】先确定双曲线的焦点位置，利用待定系数法求出双曲线方程.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y=1当x=4时，渐近线上对应点的纵坐标为12×4=2，小于点所以双曲线的焦点在y轴上．设双曲线的方程为y2由y=12x，可知ab=又因为点P4,3在双曲线①上，所以9解得k2=5．因此，所求双曲线的方程为题型3离心率问题【方法总结】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合c2【例题3】（2023·全国·高三专题练习）双曲线x2a2A．5 B．3C．52 D．【答案】D【分析】根据渐近线方程得到b=2a，再利用a,b,c的关系和离心率公式即可得到答案.【详解】由双曲线的渐近线方程为y=±2x，可知ba=2，即又c2=a2+故选：D.【变式31】1.（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）双曲线C：x2a2−y25A．62 B．355 C．3【答案】C【分析】根据已知可得出a−43=23，a=2【详解】由已知可得，Aa,0且a−43=又b2=5，所以c2所以，e=c故选：C.【变式31】2.（2023秋·河北·高三统考阶段练习）已知双曲线x2a2−yA．2或233 B．233 C．3【答案】A【分析】由双曲线的性质求解．【详解】由题意得双曲线的渐近线为y=±b而两条渐近线的夹角为π3，故y=bax的倾斜角为π3或πe=1+故选：A【变式31】3（2023·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2bA．113 B．C．333 D．【答案】C【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，AF2=3a，AF1=a，BF1=4a，AB【详解】

4F2A=设AF2=k，则BM因为BF2平分∠F1BM又AF即有AF2=3a，AF1=a，在△AF1Fcos∠F1由cos∠BA可得e=33故选：C.【变式31】4.（2023春·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2A．3 B．33 C．3 D．【答案】A【分析】根据题意，先求得焦点F1到渐近线的距离为b，在直角△MOF1中，求得cos∠OF1M=【详解】由双曲线C:x2a2−如图所示，则焦点F1到渐近线y=−ba在直角△MOF1中，可得在△MF1F即3b2=4又由b2=c2−所以双曲线的离心率为e=c故选：A.

【变式31】5.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线C:x2a设点F2关于一条渐近线y=−ba由题意知，−ba×又知bmam−c=所以c2=a所以双曲线C的离心率是e=故选：C.【变式31】6.（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）设点F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，以OFA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】作出图形，分析可知，四边形OAFB为正方形，可得出∠AOF=π4，求出【详解】如下图所示：连接AF、BF，设AB∩OF=M，由对称性可知，M为AB的中点，AB⊥OF，因为AB=OF，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则故M为OF的中点，又因为AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，所以，四边形OAFB为正方形，则∠AOF=π4，所以，所以，该双曲线的离心率为e=c故选：A.【变式31】7.（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考期末）已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0与双曲线C2:x

A．3 B．2+3 C．1+3【答案】D【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解.【详解】不妨设P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：PF1+在△PF1F化简得a12+3a2故选：D题型4离心率的取值范围◆类型1根据a,b,c的不等关系求取值范围【例题41】（2023·全国·高三专题练习）若m>0，双曲线C1：x2m−y22=1与双曲线A．e1e2的最小值为94 C．e1e2的最大值为94 【答案】B【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求得最小值.【详解】由题意可得e12=m+2m由基本不等式，e1e2当且仅当2m=m8，即m=4时等号成立，故故选：B.【变式41】1.（2023·全国·高三专题练习）若1<m<4，椭圆C:x2m+y2=1A．e1e2的最小值为12 C．e1e2的最大值为12 【答案】C【分析】根据椭圆、双曲线离心率定义及其方程写出e1【详解】由已知e1=m−1所以e1当且仅当m=2时等号成立，故e1e2故选：C【变式41】2.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2m−y2m+1A．1,2 B．2,+∞ C．1,2【答案】A【分析】先将双曲线方程化为标准方程，再根据离心率的定义，用m表示出离心率，进而可得其取值范围.【详解】由双曲线C:x2m得y2则双曲线C离心率e=−λ因为m>0，所以m+1>1，则0<1所以1<2−1所以1<e<2，即双曲线C离心率的取值范围为1,故选：A.【变式41】3.（2023·全国·高二专题练习）已知二次曲线x24+【答案】5【分析】当m∈[−2,−1]时，曲线为双曲线，得到a,b,c，再根据离心率公式可求出结果.【详解】当m∈[−2,−1]时，∴曲线方程化为x2所以a2=4，b2所以e=ca=4−m2故答案为：52【变式41】4.（多选）（2023秋·高二课时练习）双曲线x2a2−y2b2=1A．3 B．22 C．145 【答案】CD【分析】根据双曲线的离心率表示e1【详解】∵==2+=2+≥2+2+22+2当且仅当b2a2所以e1故选：CD.【变式41】5.（多选）（2023·江苏·高二假期作业）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（

）A．与x2aB．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率为e1,D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】CD【分析】根据共轭双曲线的定义可判断A；分别求得互为共轭的双曲线的渐近线判断B；根据双曲线离心率定义可得1e12+1【详解】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与x2a2对于B，x2a2y2b2对于C，由题意可得e1故1e由于e1>1,e2当且仅当e1对于D，x2a2其共轭双曲线y2b2显然这4个焦点在以原点为圆心，a2故选：CD【变式41】6.（2021·北京·高三强基计划）设实数k1,k2满足k2>k1>0，且k1k2=4，双曲线CA．16+k1216+16k22【答案】C【分析】根据渐近线的斜率可求离心率，故可得两者的比值.【详解】考虑到k于是双曲线C1有上下支，双曲线C2有左右支，进而e1于是e1故选：C【变式41】7.（多选）（2023春·浙江·高二校联考期末）已知F1−c,0，F2c,0c>0是椭圆C1:x2a12+A．△F1B．若∠F1C．若∠F1MFD．若∠F1MF【答案】ABD【分析】由椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式可判断A；由m+n=2a1和mn=2【详解】设MF1=m，M不妨设点M是C1，C2在第一象限内的交点，则m+n=2a1，m−n=2a2，所以在△F1M即4c一方面4c所以mn=2a1S=1另一方面，4c所以mn=2c2S=1对于A，因为S2=b对于B，因为m>n且m+n=2a1，所以所以2b所以e12>1−cos2所以e1当∠F由4c2=即3a12+a22对于C，令1<t=1则1e所以(e1e对于D，e1记m=e22函数y=3m+1m是对勾函数，在所以e1即e12+故选：ABD◆类型2根据渐近线与双曲线的位置关系求取值范围【方法总结】1.若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，则（1）当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的斜率为（2）当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该直线的斜率满足（3）当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直线的斜率满足kϵ(−∞,−b若直线恒过的定点不落在双曲线内，则当直线与双曲线只有一个交点时，有或△=0当直线与双曲线有两个交点时，有△>0当直线与双曲线的左右两支都有交点时，有x当直线与双曲线的左支有两个交点时，有当直线与双曲线的右支有两个交点时，有【例题42】（2022秋·高二课时练习）已知直线l:x+y=0与双曲线C:xA．1,3 B．3,+∞ C．1,【答案】C【分析】利用直线与双曲线的渐近线的位置关系即可求得结果.【详解】由题意得，l:x+y=0的斜率为−1，而C:x2a由于直线l与双曲线C没有公共交点，如图，所以−ba≥−1，即ba≤1，故c故1<e≤2，即e∈故选：C.【变式42】1.（2021秋·福建龙岩·高二统考期末）若双曲线C:x2a2−A．(1,3] B．[3,+∞) C．【答案】A【解析】由题可得ba【详解】双曲线的渐近线为y=±b∵双曲线与直线y=−2则ba≤2，则e=∴1<e≤3故选：A.【变式42】2.（2023·高二课时练习）已知双曲线x2a2A．(1,2] B．(1,3] C．(2,+∞【答案】D【分析】根据题意可得ba【详解】由题可得渐近线y=bax所以离心率e=c故选：D.【变式42】3.（2020秋·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1【答案】2【解析】根据题意，确定直线与渐近线的关系，得到ba【详解】记过点F的直线为l，因为过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是45°，从而ba≥tan故答案为：2,【点睛】本题考查了双曲线的离心率范围，意在考查学生的计算能力，属于基础题.【变式42】4.（2021秋·全国·高二专题练习）已知双曲线x2a2A．1,2 B．1,3 C．2,【答案】A【分析】由题意可得双曲线x2a2【详解】由题意知双曲线x2a2即b故选：A【变式42】5.（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）已知双曲线x2a2【答案】(1,【分析】根据题意可知双曲线的渐近线方程y=bax的斜率需小于直线的斜率，得b<【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±b要使直线与双曲线的右支有两个交点，需使双曲线的渐近线方程y=b即ba<tan30°得c2−a2<因为双曲线中e>1，所以双曲线的离心率的范围是(1,2故答案为：(1,2【变式42】6.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）已知斜率为13的直线l经过双曲线y2a2−【答案】e【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围．【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±a过双曲线上焦点F且平行于渐近线y=abx的方程为y=abx+c，此直线只与双曲线的上支有一个交点，要使斜率为13的直线l经过双曲线的上焦点F的直线y=故答案为：e

◆类型3根据图形位置关系求取值范围【例题43】（多选）（2022秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．65 B．54 C．43【答案】ABC【分析】根据双曲线的定义及其有界性可得PF【详解】由双曲线定义知：PF1−所以43≥ca=e>1，故65、故选：ABC【变式43】1.（2021·北京·高二北京市十一学校校考期末）若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A．1<e<2 B．1≤e≤2 C．1<e≤2 D．1≤e<2【答案】C【分析】利用双曲线的定义求出PF【详解】由双曲线的定义可得PF由PF1 =3P又PF2≥c−a，即有a≥c−a，可得c≤2a，即有e=ca又∵e>1，∴双曲线的离心率的取值范围是1<e≤2.故选：C.【变式43】2.（2021秋·云南昆明·高二校考阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1，(a>0,b>0)的左，右焦点分别为FA．43 B．32 C．2 【答案】B【分析】根据双曲线的定义结合已知条件可得PF2=a2【详解】根据双曲线的定义可得PF因为PF1=5PF因为点P在双曲线的右支上，所以PF2≥c−a所以32a≥c，所以离心率所以双曲线的离心率e的最大值为32故选：B.【变式43】3.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上下焦点分别为F1,F2，点A．1,53 B．53,2 C．【答案】A【分析】过点F2作渐近线的垂线，垂足为E，则EF2=b，再根据双曲线的定义得【详解】如图，过点F2作渐近线的垂线，垂足为E设|F1F2|=2c，则点F由双曲线的定义可得MF1−所以MD+MF1=|MD|+因为MD>所以|MD|+MF1所以，b>2c−2a，即b2>4c所以，3c2+5a2故选：A.

【变式43】4.（2021·北京·高三强基计划）已知双曲线x2a2−y2b【答案】1,【分析】根据焦半径的范围可得离心率的取值范围.【详解】设F1为双曲线的左焦点，则根据中位线定理，P于是14c≥c−a>0，解得因此双曲线的离心率的取值范围是1,4故答案为：1,4【变式43】5.（2023·全国·高二专题练习）如果双曲线x2【答案】(2,+【分析】根据双曲线的对称性即可得xA【详解】如图，因为OA=AF，F点坐标为所以xA所以c2>a，所以故答案为：(2,+◆类型4根据题目条件求取值范围【例题44】（2023秋·全国·高二期中）已知点F是双曲线x2a2−yA．(1,+∞)C．(2,1+2) 【答案】B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得△ABE为等腰三角形，由此可得|AF|<|FE|，进而得到关于a,b,c的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知AE=BE即△ABE为等腰三角形，

故△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45将x=−c代入x2a2故在Rt△AFE中，|AF|=b2则|AF|<|FE|,∴b2a∴e2−e−2<0，∴又e>1，∴1<e<2，故选：B.【变式44】1.（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）设过原点且倾斜角为60°的直线与双曲线C：x2a2−y2bA．(1,7) B．(2,7) C．【答案】D【分析】首先得出直线AB的方程，与双曲线方程联立得出点A和B的坐标，并得出不等式关系b2>3a2，再表示出S△ABF【详解】不妨设F是双曲线C的左焦点，由题可知，直线AB的方程为y=3由y=3xx2a所以yA=−3因为S△ABF=12×所以3abc所以bb2−3又因为b2>3a所以2<c故选：D．【变式44】2.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2【答案】(1,【分析】以F1F2为直径的圆的方程为x联立可得P，Q两点坐标，再由AQ≥3【详解】依题意可得，以F1F2不妨设双曲线的这条渐近线方程为y=b由y=baxx2+y双曲线的左顶点为A，则A(−a,0)，所以AQ=(a+a)2因为AQ≥3AP，所以4a所以a2≥2(c2−又e>1，所以e∈(1,6故答案为：(1,

【变式44】3.（2023春·四川成都·高二成都七中校考期末）双曲线H:x2a2−y2b2=1(a,b>0)其左、右焦点分别为【答案】5【分析】设△F1PF2内切圆C与△F1PF【详解】设△F1PF2内切圆C与△且F1所以Rt△CMF2≅Rt所以∠CF2M=60°因为F1M由双曲线的定义可知，PF1−即2c−r3−过点P作PH⊥x轴于点H，设Px则xP由双曲线的焦半径公式可得：PF则PF2=c2则e+11−e2≥6则双曲线H的离心率的取值范围为54故答案为：54【变式44】4.（2023秋·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）双曲线H：x2a2−y2b2=1(a,b>0)其左、右焦点分别为F1、F2，倾斜角为π3的直线PF【答案】5【分析】设PF2=m，则PF1=2a+m，然后在【详解】设PF2=m因为直线PF2的倾斜角为π3在△PF1F(2a+m)24得m=2因为PF2得c+a2a−c≥3，所以(4c−5a)(2a−c)≥02a−c≠0所以(4e−5)(2−e)≥02−e≠0解得54即双曲线H的离心率的取值范围为5故答案为：5【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根据题意在△PF1F【变式44】5.（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F2【答案】1,【分析】△APF的周长不小于18，可得PA+PF的最小值不小于13，设F2为双曲线的左焦点，则PA+PF2+2a的最小值不小于13，分析可得【详解】由右焦点为F26,0，点A坐标为0,1因为△APF的周长不小于18，所以PA+设F2为双曲线的左焦点，可得PF故PA+当A,P,F2三点共线时，PA+PF所以5+2a≥13,即a≥4.因为c=26,所以e=又e>1,所以e∈1,故答案为:1,6◆类型5根据直线、椭圆与双曲线的综合求取值范围【例题45】（2023春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考阶段练习）已知双曲线C:x2aA．62,2C．62,+∞【答案】D【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，即可得到a2【详解】由x2a2−y即1−a2≠0Δ=4则1+1a2故选：D【变式45】1.（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1,F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以A．19,+∞ B．1,+∞ C．【答案】B【分析】根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得c的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用c表示出e1,e2，从而得到【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴为a2，PF∵△PF1F2是以∴P即r1=24，r2=2c，且2c<24，4c>24，解得：6<c<12．在双曲线中，PF1−在椭圆中，PF1+∴e∵6<c<12，∴36<c2<144，则1<可得：1144∴3e1e故选：B.【变式45】2.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）如图，椭圆的中心在原点，长轴AA1在x轴上．以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于C、D、D1、C1四点，且CD

【答案】7【分析】由题意设A−c,0,A1c,0，则可设D【详解】设A−c,0,A1c,0，则设D∵AEEC=λ，则∴∴x即E点坐标为cλ−2设双曲线的方程为x2a2−y将C(c2,ℎ)，Ec消去ℎ2b2，得2λ+由于23≤λ≤34.所以故答案为：7【变式45】3.（2022·高二单元测试）设F1,F2是椭圆C1:x2a12A．1,2 B．1,3 C．3,+【答案】A【分析】根据椭圆和双曲线的定义求出MF1,【详解】由题意可得，MF1+MF2=2a1，MF1−MF2故选：A．【变式45】4.（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）已知椭圆C1和双曲线C2有共同的左、右焦点F1,F2，M是它们的一个交点，且∠F1M【答案】2【分析】根据椭圆和双曲线定义可用a1,a2表示出【详解】设椭圆C1:x2a12由椭圆定义知：m+n=2a不妨设M位于双曲线右支，由双曲线定义知：m−n=2a由m+n=2a1m−n=2a2在△F1M∴m+n2−3mn=4∴1=12e1+∴12e1+故答案为：2.【变式45】5.（2022秋·江西上饶·高二上饶市第一中学校考期中）设F1，F2分别为椭圆C1：x2a12+y2b12=1a【答案】2【分析】由题意，根据椭圆和双曲线的定义，表示出焦半径，整理齐次方程，根据离心率定义以及二次函数的性质，可得答案.【详解】由椭圆及双曲线定义得MF1+MF因为∠F1MF2=90°，所以因为e1∈34,223，因为a2>b2，b2a2故答案为：214【变式45】6.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C1和双曲线C2有相同的焦点F1和F2，设C1和C2的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且【答案】(【分析】根据向量的减法运算得出PO=c，从而得出∠F1PF2=90∘，利用椭圆、双曲线的定义以及离心率的公式，求得e【详解】设椭圆C1：x2a12F1(−c,0)，F2(c,0)为C1与C由PF1−PF2=2所以OF1=P为两曲线的一个公共点，设|PF1|=m则m2+n2=4c2，①

m+n=2②2+③2得，2m2+2n2所以2c2=a1又因为e1=ca1，e所以④化为1e12因为e2∈2,5又因为1e所以15<2−1所以59<e12<2故答案为：(【变式45】7.（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设a>b>0，椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为e【答案】2【分析】首先由椭圆标准方程和双曲线标准方程的定义，得出椭圆与双曲线共焦点，再分别表示出离心率，根据e1e2<1及【详解】解：由题意知椭圆的c12=则椭圆与双曲线共焦点，设c1=c2=c∴e1e∵e∴c设ab=t>0，则解得0<t<1+52又∵a2−2∴a故e2e1故答案为：2题型5直线与双曲线的位置关系【方法总结】将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程x若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点．【例题5】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）直线l过点(0,1)与双曲线x2A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【分析】设出直线l的方程，与双曲线方程联立，由方程只有一个解即可判断作答.【详解】依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+1，由y=kx+1x2−当1−k2=0，即k=±1时，方程(1−此时直线l与双曲线只有一个公共点，直线l有两条，当1−k2≠0时，Δ=4k2−12(此时直线l与双曲线只有一个公共点，直线l有两条，综上得这样的直线有4条，D正确.故选：D【变式51】1.（2023·全国·高二专题练习）直线y=kx−1与双曲线x2−y【答案】−【分析】联立直线与双曲线方程，消元得(1−k2)【详解】由y=kx−1x2−y2因为该方程有两个不等且小于−1的根，所以1−k解得−2所以实数k的取值范围为−2故答案为：−【变式51】2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线x2−y(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．【答案】(1)−233<k<−1或(2)k=±1或±(3)k>23【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则Δ>0（2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由Δ=0（3）根据直线与双曲线没有交点，得Δ<0【详解】（1）联立y=k(x−1)x消y整理得1−k因为直线l与双曲线C有两个公共点，所以1−k2解得：−233<k<−1或（2）当1−k2=0方程（*）化为2x−5=0，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．当1−k则Δ=44−3k综上，k=±1或k=±2（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以1−k解得：k>233【变式51】3.（2023秋·湖北·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线y=kx−2与双曲线C相交于不同两点，求k的取值范围．【答案】(1)x(2)−2【分析】（1）依题意可得a=1，再由双曲线的渐近线求出b，即可得解；（2）联立直线与双曲线方程，消去y得到关于x的方程，依题意可得4−k【详解】（1）由双曲线C:x2a2∵实轴长为2，∴2a=2，即a=1，∵直线2x+y=0为双曲线C的一条渐近线，∴ba=2，∴故双曲线C的标准方程为x2（2）解：双曲线x2−y24消去y整理得4−k因为直线y=kx−2与双曲线C相交于不同两点，所以有4−k2≠0Δ=16即−22<k<−2或−2<所以k的取值范围为：−22【变式51】4.（2022秋·新疆昌吉·高二统考期中）已知双曲线E的两个焦点分别为F1−2,0,(1)求双曲线E的方程；(2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.【答案】(1)x(2)y=±3x+1【分析】（1）根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可；（2）分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可.【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为x2a2−则c=24a2所以双曲线E的方程为x2（2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设直线l的方程为y=kx+1，如图，

联立y=kx+1x2−①当3−k2=0，即k=所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为y=±3②当3−k2≠0则Δ=−2k2此时，直线l的方程为y=±2x+1.综上所述，直线l的方程为y=±3x+1或【变式51】5.（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）过双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的左焦点F【答案】(1,【分析】求出直线l垂直于x轴时线段AB长，再根据这样的直线有且仅有两条列出不等式，求出ba【详解】令双曲线半焦距为c，则F(−c,0)，由x=−cx2a2−y2由于过左焦点F作直线l与双曲线交A,B两点，使得AB=3b则当直线l与双曲线两支相交时，3b>2a2b2a>3b当直线l与双曲线左支相交于两点时，3b>2b2a2a>3b所以离心率e的取值范围是(1,13故答案为：(1,【点睛】【变式51】6.（多选）（2022秋·辽宁·高二校联考阶段练习）过双曲线x2a2−y23=1a>0A．0,1 B．1,2C．2,3 D．3,+【答案】AD【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线AB只与双曲线右支相交，②直线AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【详解】解：过双曲线x2a2−y23=1(a>0)的右焦点如果AB在同一支上，则有|AB|min=2b又6a与2a要使得|AB|=6，这样的直线有且只有两条，则2a>66a<6或2a<66a则实数a的取值范围是0,1∪故选：AD．【变式51】7.（2020春·安徽芜湖·高三芜湖一中校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y212=1a>0，过其右焦点F的直线l与双曲线C交于A．34,8 B．32,8 C．【答案】B【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线AB只与双曲线右支相交，②直线AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案．【详解】Fc,0，令x=c，得y=±过双曲线x2a2−y23=1(a>0)的右焦点如果AB在同一支上，则有|AB|如果AB在两支上，则|AB|因为AB=16这样的直线l所以24a<162a<16即实数a的取值范围是32故选：B.题型6双曲线的弦长问题【方法总结】设直线交双曲线于点两点，则==同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【例题6】（2023·全国·高三专题练习）以双曲线C:x23A．22 B．23 C．25【答案】D【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b，结合垂径定理运算求解.【详解】由双曲线C:x23∵双曲线的焦点±c,0到渐近线bx±ay=0的距离d=bc故所得弦长l=2r故选：D.【变式61】1.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2bA．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】根据渐近线方程和焦点坐标可解得a2【详解】∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=2x，∴ba=2，即b=2a.∵左焦点F−3,0，∴c=3，∴c故选：D【变式61】2.（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）曲线x2+(y−a)2=1与双曲线yA．2 B．±2 C．3±52【答案】B【分析】由双曲线方程可求得渐近线方程，由圆心到渐近线距离和半径，结合勾股定理，可表示弦长，列出等式，即可求得a的值.【详解】由双曲线方程可求得一条渐近线方程为：y=ax，圆心为(0,a)，半径为r=1，则圆心到直线的距离为：d=|a|由勾股定理求弦长：2r2−故选B.【点睛】本题考查渐近线方程和直线与圆相交所得的弦长问题，求渐近线方程时注意此双曲线焦点在y轴，圆求弦长时，选择几何法结合勾股定理会使计算更加简便，注意本题对a的符号无限制，无需取舍.【变式61】3.（2023·全国·高二专题练习）过双曲线x2−y【答案】8【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解）【详解】由双曲线x2−y2=4焦点为F(22,0)，倾斜角法一：直线斜率k=33，直线方程为联立x2−y2=4由韦达定理知y1代入弦长公式AB=得AB=2法二：AB=故答案为：8.【变式61】4.（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C的渐近线为y=±3x，且过点(1)求双曲线C的方程；(2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长AB．【答案】(1)3(2)a=±1，AB【分析】（1）根据渐近线方程可设双曲线方程为3x2−y2（2）联立直线与双曲线的方程，设Ax1,y1，Bx2,y2，故可得【详解】（1）由双曲线渐近线方程为y=±3x，可设双曲线方程为：又双曲线过点M1,2∴双曲线的方程为：3（2）设Ax1,y1，Bx2∵直线y=ax+1与双曲线C相交于A，B两点，∴Δ=4a2∴x1+x∵OA⊥OB，∴OA⋅又y1=ax1+1把（*）代入上式得−21+a23−a2+由弦长公式可得AB【变式61】5.（2022·全国·高三专题练习）过双曲线x24−y28=1【答案】AB【分析】利用公式AB=【详解】解：双曲线x24−y28=1利用公式AB=2ab题型7双曲线的中点弦问题【方法总结】双曲线中点弦的斜率公式：设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有证明：设，，则有，两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以：，所以【例题7】2023秋·高二课时练习）设A，B为双曲线x28−A．x+y−3=0 B．2x+y−3=0 C．x−y+1=0 D．x−2y+3=0【答案】C【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.【详解】设Ax则有x128因为线段AB的中点为M1,2所以x1因此由x1即直线AB的斜率为1，方程为y−2=x−1⇒x−y+1=0，代入双曲线方程中，得y2因为−42所以线段AB存在，故选：C【变式71】1.（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：x2−yA．−94 B．−1 C．1 【答案】D【分析】运用点差法，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解判断即可.【详解】设该弦为AB，设Ax则有x12−因为双曲线C的一条弦的中点为−1,−4，所以x1因此由x1即这条弦所在直线的斜率为94，方程为y+4=代入双曲线方程中，得63x因为1262所以该弦存在，故选：D【变式71】2.（2023·全国·高二专题练习）如图，双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l

A．3 B．2 C．22 D．【答案】B【分析】利用直角三角形的性质，结合双曲线渐近线的方程和性质、双曲线离心率的性质进行求解即可.【详解】因为F1Q⋅F2Q=0，则Q所以OQ是直角△F1F2Q斜边中线，因此F所以△F1OQ∠F1OP=∠因为双曲线渐近线的方程为：y=±bba故选：B.【变式71】3.（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线x2−yA．1,1 B．−1,2C．1,4 D．1,3【答案】C【分析】根据点差法分析可得kAB【详解】设Ax1,y1,Bx2,可得kAB因为A,B在双曲线上，则x12−所以kAB对于选项A：可得k=1,kAB=9联立方程y=9x−8x2−此时Δ=所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得k=−2,kAB=−联立方程y=−92x−此时Δ=所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：k=4,kAB=联立方程y=94x+此时Δ=对于选项D：可得k=3,kAB由双曲线方程可得a=1,b=3，则AB:y=3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查点差法，解题的关键是根据点差法得到kAB【变式71】4.（2023秋·四川乐山·高二统考期末）已知F1､F2是双曲线C:x2a2−y2A．y=±72x B．y=±102x【答案】B【分析】由题干条件得到AF2=BF2，设出AF1=x【详解】因为P为AB的中点，且F1P⋅PF即AF因为F1设AF1=x由双曲线定义可知：AF所以AF2=2a+x又BF所以5x−2a+x解得：x=a，则F1P由勾股定理得：F2在三角形F1PF即3a2+5a2所以双曲线的渐近线方程为y=±10故选：B【变式71】5.（2023秋·全国·高二期中）经过点M2,2作直线l交双曲线x2−y24=1(1)求直线l的方程．(2)求线段AB的长．【答案】(1)y=4x−6(2)2【分析】（1）利用点差法，设Ax1,（2）将直线方程代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得结果.【详解】（1）设Ax代入双曲线方程得x1两式相减得x12−因为M为AB的中点，所以x1所以4(x1所以l的方程为y−2=4x−2，即y=4x−6经验证y=4x−6符合题意，所以直线l的方程为y=4x−6；（2）将y=4x−6代入x2−y故x1所以AB=1+16题型8解答题【例题8】（2021秋·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知双曲线x2a2−y2=1的渐近线倾斜角分别为30°(1)求双曲线方程．(2)过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为Q,R，求证：|PQ|⋅|PR|为定值．【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）由渐近线方程求解b，即可得双曲线方程；（2）设点P(x0,y0)，由点线距离公式用【详解】（1）双曲线渐近线方程为y=±33x，又b=1双曲线的标准方程为x2（2）设P(x0,则|PQ|⋅|PR|=又x023−y【变式81】1.（2023·江苏·高二假期作业）在直角坐标系xOy中,直线y=2x是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线,点A1,0在双曲线C上,设Mm,nn≠0为双曲线上的动点,直线AM与y轴相交于点(1)求双曲线C的方程;(2)在x轴上是否存在一点T,使得TP+TQ=(3)求M点的坐标,使得△MPQ的面积最小.【答案】(1)x(2)存在T2,0或(3)M的坐标是2,2或2,−2或−【分析】（1）根据渐近线方程得ba=2,点A1,0在双曲线C（2）假设Tt,0,由直线AM,AN方程得P,Q坐标,由向量的数量积运算可得TP⋅TQ=0,用坐标表示这个结论可得t与（3）直接计算△MPQ的面积,用基本不等式可得最小值,从而得点坐标.【详解】（1）由已知得ba=21a2=1,解得（2）设Tt,0

根据题意得:AM:y=nm−1x−1,令x=0因为点M关于y轴的对称点为N,所以N−m,n则AN:y=n−m−1x−1