2020年普通高等学校招生全国统一数学考试大纲

2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲湖北卷数学学科考试说

明.考试性质根据教育部考试中心《2020普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版》结合我省高中基础教育的实际情况，制定了《2020年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷考试说明》的数学科部分.I、考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度.II、命题指导思想.普通高等学校招生全国统一考试是为高校招生而进行的选拔性考试.命题遵循“有助于高校选拔人才，有助于中学实施素质教育，有助于推动高中数学新课程改革”的原则，确保安全、公平、公正、科学、规范..命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生对数学本质的理解水平，体现课程目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）的要求..命题遵循《普通高中数学课程标准（实验）》和《2020普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，试题在源于教材的同时又具有一定的创新性、探究性和开放性，既考查考生的共同基础，又考查考生的学习潜能，以满足选拔不同层次考生的需求.III、考核目标与要求一、知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次.分别用A,B,C表示.⑴了解⑴要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能解决相关的简单问题.（2）理解（B）要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，并加以解决.（3）掌握（C）要求系统地掌握知识的内在联系，能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分析、研究、讨论，并加以解决.二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.（1）空间想象能力能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质.（2）抽象概括能力能在对具体的实例抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从足够的信息材料中，概括出一些合理的结论.（3）推理论证能力会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性（4）运算求解能力会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找和设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似运算（5）数据处理能力会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题（6）应用意识能够运用所学的数学知识、思想和方法，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.（7）创新意识能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题三、考查要求（1）对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合.（2）数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.（3）对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性.突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向.（4）注重试题的基础性、综合性和层次性.合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查.W.考试范围与要求层次根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据教育部2020年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》，结合我省高中基础教育的实际，确定文史类高考数学科的考试范围为必修课程数学1、数学2、数学3、数学4、数学5的内容、选修课程系列1（选修1-1、选修1-2）的内容，选修课程系列4中的《不等式选讲》的部分内容（详见下表）；确定理工类高考数学科必做题的考试范围为必修课程数学1、数学2、数学3、数学4、数学5的内容、选修课程系列2（选修2-1、选修2-2、选修2-3）的内容，选修课程系列4中的《不等式选讲》的部分内容；选做题的考试范围为选修课程系列4中的《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》的部分内容.具体内容及层次要求详见下表.内容知识要求了解(A)理解（B）掌握（C）集合与常集合集合的含义V集合的表示V集合间的基本关系V

用逻辑用语集合的基本运算V常用逻辑用语“若P，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，及其相互关系V充分条件、必要条件、充要条件V简单的逻辑联结词V全称量词与存在量词V对含一个量词的命题进行否定V函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幕函数）函数函数的概念与表示V映射V简单的分段函数及其应用V单调性与最大（小）值及其几何意义V奇偶性V指数函数有理指数幕的含义V实数指数幕的意义V幕的运算V指数函数的概念、图象及其性质V对数函数对数的概念V对数的运算性质V换底公式V对数函数的概念、图象及其性质V指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a>0，且a丰1）V幂函数幕函数的概念V幕函数y=x,y=x2,y=x3,y=1,y=x2的图象x及其变化情况V函数的模型及其应用方程的根与函数的零点V二分法V函数模型的应用V基本初等函数n（三角函数）、角恒三角函数任意角的概念、弧度制V任意角的正弦、余弦、正切的定义V诱导公式、同角三角函数的基本关系式V周期函数的定义、三角函数的周期性V三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质V函数y=Asin®x+①）的V

等变换、解角形图象和性质三角函数模型的简单应用V三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式V二倍角的正弦、余弦、正切公式V简单的三角恒等变换V解三角形正弦定理、余弦定理V解三角形及其简单应用V数列数列的概念数列的概念V数列的简单表示法（列表、图象、通项公式、递推公式）V■等^差数列、等比数列等差数列、等比数列的概念V等差数列、等比数列的通项公式与前口项和公式V等差数列、等比数列的简单应用V不等式（含4-5《不等式选讲》）元二次不等式一兀二次不等式解法及应用V一兀二次不等式与相应的二次函数、二次方程的联系V简单的线性规划用二兀一次不等式组表示平面区域V简单的线性规划问题V基本不等式不 等 式2>Oab（a,b>0）及其简单应用V不等式的性质、证明与解法不等式的基本性质V绝对值不等式V不等式的证明（比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法）V用数学归纳法证明一些简单的不等式（仅限理科）V不等式>加（a,b,c>0）及其简单应用（仅限理科）V柯西不等式及其简单应用（仅限理科）V推理与证明合情推理与演绎推理合情推理V演绎推理V直接证明与综合法V分析法V反证法V

间接证明数学归纳法（仅限理科）V平面向量平面向量平面向量的相关概念V向量的线性运算平面向量的线性运算及其几何意义V平面向量的线性运算的性质及其几何意义V平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理V平面向量的正交分解及其坐标表示V用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算V用坐标表示平面向量共线的条件V平面向量的数量积平面向量数量积的概念V数量积与向量投影的关系V数量积的坐标表示V用数量积表示两个向量的夹角V用数量积判断两个平面向量的垂直关系V向量的应用用向量方法解决简单问题V导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念V导数的几何意义V导数的运算常见基本初等函数的导数公式V常用的导数运算法则V求简单复合函数的导数（仅限理科）V导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数一般不超过三次）V函数的极值、最值（其中多项式函数一般不超过三次）V利用导数解决某些实际问题V定积分与微积分基本定理（仅限理科）定积分的概念V微积分基本定理V数系的扩充与复数的概念与运算复数的基本概念，复数相等的条件V复数的代数表示法及几何意义V复数代数形式的四则运算V

复数的引入复数代数形式加、减法的几何意义V立体几何初步空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体V简单空间图形的三视图V用斜二侧法画简单空间图形的直观图V柱、锥、台、球的表面积和体积V点、直线、平面间的位置关系空间直线、平面的位置关系V公理1、公理2、公理3、公理4、定理V空间直线、平面平行或垂直的判定V空间直线、平面平行或垂直的性质V证明直线、平面位置关系的简单命题V空间向量与立体几何空间直角坐标系空间直角坐标系V空间两点间的距离公式V空间向量及其运算（仅限理科）空间向量的概念V空间向量基本定理V空间向量的正交分解及其坐标表示V空间向量的线性运算及其坐标表示V空间向量的数量积及其坐标表示V运用向量的数量积判断向量的共线与垂直V空间向量的应用（仅限理科）空间直线的方向向量V空间平面的法向量V用向量方法计算直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角V用向量方法证明直线、平面位置关系的简单命题V平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率V过两点的直线斜率的计算公式V两条直线平行或垂直的判定V直线方程的点斜式、斜截式、截距式、两点式及一般式V两条相交直线的交点坐标V两点间的距离公式、点到直线的距离公式V

两条平行线间的距离V圆与方程圆的标准方程与一般方程V直线与圆的位置关系V两圆的位置关系V用直线和圆的方程解决一些简单的问题V圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程V椭圆的简单几何性质V抛物线的定义及标准方程V（文科）V（理科）抛物线的简单几何性质V（文科）V（理科）双曲线的定义及标准方程V双曲线的简单几何性质V直线与圆锥曲线的位置关系V曲线与方程曲线与方程的对应关系（仅限理科）V算法初步算法及其程序框图算法的含义V程序框图的三种基本逻辑结构V基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句V框图（仅限文科）流程图流程图V结构图结构图V计数原理（仅限理科）加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理V用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题V排列与组合排列、组合的概念V排列数公式、组合数公式V用排列与组合解决一些简单的实际问题V二项式定理用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题V概率与统计随机抽样简单随机抽样V分层抽样和系统抽样V用样本估计总体频率分布表，直方图、折线图、茎叶图V样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差）及其意义V朝本的频率分布估计总体分布，朝本的基本数字特V

征估计总体的基本数字特征变量的相关性最小二乘法V线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）V事件与概率随机事件的关系与运算V随机事件的概率V两个互斥事件的概率加法公式V古典概型古典概型V用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率（文科）V计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率（理科）V几何概型几何概型V概率（仅限理科）取有限个值的离散型随机变量及其分布列V超几何分布V条件概率V事件的独立性Vn次独立重复试验模型与二项分布V取有限个值的离散型随机变量的均值、方差V正态分布V坐标系与参数方程（仅限理科）极坐标系用极坐标表示点的位置V极坐标和直角坐标的互化V圆、直线的极坐标方程V参数方程直线的参数方程V圆的参数方程V椭圆的参数方程V几何证明选讲（仅限理科）相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义与性质V平行截割定理V直角三角形射影定理V直线与圆的位置关系圆周角定理V圆的切线判定定理与性质定理V相交弦定理V圆内接四边形的性质定理与判定定理V切割线定理V公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补V、考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式.考试时间为120分钟，全卷满分为150分.湖北省2020年普通高等学校招生全国统一考试仍不允许使用计算器.二、试题类型与试卷结构全卷分选择题、填空题、解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推证过程；解答题包括计算题、证明题，解答题要写出文字说明、演算步骤或推证过程文、理科全卷题型、题量和赋分分别如下：文科卷：.全卷22道试题均为必做题；.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题7道，每道5分，共35分；解答题5道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共65分.理科卷：.全卷22道试题，分为必做题和选做题.其中，20道试题为必做题，在填空题中设置2道选做题（需要考生在这2道选做题中选择一道作答，若两道都选，按前一道作答结果计分），即考生共需作答21道试题；.试卷结构为选择题10道，每道5分，共50分；填空题6道，每道5分，考生需作答5道，共25分；解答题6道，每道分值不低于10分同时不高于14分，共75分；试题按难度（难度二实测平均分/满分）分为容易题、中等题和难题.难度在0.70以上的题为容易题，难度在0.40〜0.70之间（包括0.40和0.70）的题为中等题，难度在0.40以下的题为难题.控制三种难度的试题的合适分值比例，试卷总体难度适中.W.题型示例为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（湖北卷）和其他省市的高考试题中选择了部分试题编制成题型示例.题型示例中的试题与2020年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有任何对应关系理科题型示例一、必考内容题型示例（一）选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项【试题1】（2020年湖北卷理科卷第2题）已知U={yIy=log%,%>1）,P={yIy=-,%>2},贝UP=2 % UA.[1,+8) B.(0,2)C.(0,+8)D.(—8,0]U[2,+8)【答案】A【说明】本题主要考查集合、对数函数和幕函数的基本概念和性质.本题属于容易题【试题2】(2020年湖北卷理科第1题)设a=(1,—2),b=(—3,4), c=(3,2),则(a+ 2b)-c =A.(—15,12) B.0 C. —3 D.—11【答案】C【说明】本题考查向量的加法、实数与向量的积和平面向量的数量积等向量的有关概念本题属于容易题.【试题3】(2020年安徽卷理科第7题)命题”所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是..A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【说明】本题考查正确地对含有一个量词的命题进行否定.本题属于容易题.【试题4】(2020年湖北卷理科第8题)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为A.2000元 B.2200元 C.2400元 D.2800元【答案】B【说明】本题考查简单的线性规划.本题属于容易题.【试题5】(2020年湖北卷理科第7题)如图，用K、A、A三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A、A至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K、A、A正常工作的概率依次为0.9、028、0.8,则系统正常工作的概率为 "—Lrp 2A.0.960 B.0.864 C. 0.720D.0.576【答案】B【说明】本题主要考查相互独立事件和互斥事件的概率计算本题属于容易题.【试题6】(2020年湖北卷理科第5题)已知随机变量自服从正态分布N(2,。2),且Pg＜4)=0.8，则P(0＜：＜2)=

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】C【说明】本题主要考查正态曲线的性质及正态分布相关概率的计算本题属于容易题.【试题7】(2020年湖北卷理科第8题)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A.54 B.90C.126D.152【答案】C【说明】本题考查有限制条件下的排列组合问题.本题属于中等题.【试题8】(2020年全国卷理科第11题)设函数f(%)=sin®%+①)+cos®%+①)(3>0,|①|<n)的最小正周期为n，且f(-x)=f(x),2则A.f(x)在(0,n)单调递减 B.f(x)在(n，型)单调递减2 44C.f(x)在(0,n)单调递增 D.f(x)在(n，型)单调递增2 44【答案】A【说明】本题考查三角函数的性质，三角恒等变换以及图象本题属于中等题.【试题9】(2020年江西卷理科第6题)变量X与丫相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),示变量Y与X之间的线性相关系数，,表示变量V与U之间的线性相关系数，则(可参考两个变量的相关系数的计算公式:r=r<r(可参考两个变量的相关系数的计算公式:r=r<r<0【答案】C0<r<rr<0<rD.r=r【说明】本题考查两个变量的线性相关.本题属于中等题.【试题10】(2020年湖北卷理科第4题)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n>3【答案】C【说明】本题考查直线与抛物线的位置关系.本题属于中等题.【试题11】(2020年山东卷理科第8题)2 2已知双曲线三-『=1(。>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：%2+y2一6x+5=0相切，且双ab曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为

A,上一出二1A,上一出二1B.54【答案】A三-二二1C,三-匕=1D,三-匕二136【说明】本题考查双曲线、圆的方程和圆的切线的性质.本题属于中等题.【试题12］（2020年湖北卷理科第6题）a2若数列｛a｝满足f=p（p为正常数，neN*），则称｛a｝为“等方比数列”.n a2 nn甲：数列U｛an｝是等方比数列；乙：数歹U｛an｝是等比数列.则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案］B【说明】本题以新定义”等方比数列”为载体，考查充分条件与必要条件的判断.本题属于中等题.【试题13］（2020年湖北卷理科第4题）函数y=em一|%—1|的图象是【答案］D【说明］本题考查绝对值的概念、对数运算、函数的图象与性质，同时考查分类讨论和数形结合的思想.本题属于中等题.

【试题14］（2020年湖北卷理科第10题）0810.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道n绕月飞行，最终卫星在p点第三次变轨进入以f为圆心的圆形轨道m绕月飞行.若用2C和2C分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2a和2a分别表示椭圆轨道I和n的长轴的长，给出下列式子： 1 2TOC\o"1-5"\h\z… … … ccc①a+c=a+c:②a一c=a一c;③ca>ac;@—<一.1 1 2 2 1 1 2 2 12 12aa其中正确的式子序号是 1 2A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案］B【说明】本题考查椭圆的定义、几何图形及简单的几何性质本题属于中等题.【试题15］（2020年湖北卷理科第9题）设球的半径为时间t的函数R（t）.若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径A.成正比，比例系数为c B.成正比，比例系数为2cC.成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为2c【答案］D【说明］本题考查导数概念、求导公式、球的体积和表面积公式本题属于难题.【试题16］（2020年全国卷理科第12题）函数y=—的图像与函数y=2sin忒（-2<x<4）的图像所有交点的横坐标之和等于-xA.2 B.4C.6个 D.8个【答案］D【说明］本题考查函数的图象与性质.本题属于难题（二）填空题：把答案填在题中横线上.【试题17］（2020年湖北卷理科第12题）复数z=a+bi,a,beR，且b丰0，若z2-4bz是实数，则有序实数对（a,b）可以是.（写出一个有序实数对即可）【答案］（2,1）（或满足a=2b的任一个非零实数对（a,b））【说明］本题考查复数的概念和运算.本题属于容易题.【试题18］（2020年天津卷理科第11题）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为和.甲乙甲乙98 19 7 10 13 20 2 1 4 2 41 15 3 0 2 0［解析］本题主要考查茎叶图的应用.本题属于容易题.

【试题19］（2020年湖北卷理科第11题）（x-1=）18的展开式中含x15的项的系数为.（结果用数值表示）34x【答案】17【说明】本题考查二项式定理.本题属于容易题.【试题20］（2020年浙江卷理科第12题）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是.【答案］5【说明］本题考查算法的基本逻辑结构中的顺序结构、条件结构、循环结构.本题属于中等题.【试题21］（2020年湖北卷理科第13题）已知函数f（x）=x2+2x+a,f（bx）=9x2-6x+2,其中xgR,a,b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为.【答案］0【说明］本题考查函数的概念、待定系数法以及二次方程的解集等内容本题属于中等题.【试题22］（2020年陕西卷理科第13题）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y），则点M取自阴影部分的概率为.【答案］13【说明］本题与定积分结合，考查几何概型本题属于容易题.【试题23］（2020年湖北卷理科第14题）n已知函数f（x）=f（4）cosx+sinx，贝U 的值为.【答案］1【说明］本题主要考查函数导数的概念、求法和特殊的三角函数的值和导数.本题属于中等题.【试题24］（2020年天津卷文科第10题）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积为m3.【答案］n+6Ay【说明］本题考查简单组合体的三视图及其体积.本题属于中等题.

Ay【试题25］（2020年湖北卷理科第15题）设a〉0,b〉0，称—为a,b的调和平均数.如图，C为线段AB上a+b的点，且AC=a,CB=b,O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD,AD,BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数，线段的长度是a,b的几何平均数，线段的长度是a,b的调和平均数.【答案］CD；DE【说明］本题主要考查算术平均、几何平均的概念与即时定义的理解运用.本题属于中等题.【试题26］（2020年湖北卷理科第15题）观察下列等式：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"V®. 1 1\o"CurrentDocument"乙I=—n2+—n,2 2i=1\o"CurrentDocument"T. 1 1 1\o"CurrentDocument""i2=—n3+—n2+—n,3 2 6i=1\o"CurrentDocument"T. 1 1 1—i3=—n4+—n3+—n2,\o"CurrentDocument"4 2 4i=1\o"CurrentDocument"T.1 1 1 1，i4=—n5+—n4+-n3 n,5 2 3 30i=1\o"CurrentDocument"T.1 1 5 1—i5=—n6+—n5+—n4一一n2,\o"CurrentDocument"6 2 12 12i=1\o"CurrentDocument"T.1111 1"i6=—n7+—n6+—n5——n3+——n,\o"CurrentDocument"7 2 2 6 42i=1Tik=ank+1+ank+ani+ank-2+L+an+a,i=1可以推测，当k>2（可以推测，当k>2（kgN*）时,1a= k+1k+1a=kak-1【说明］本题考查学生的创新思维，通过观察、综合进而合情推理得到答案.本题属于难题.(三)解答题【试题27］(2020年全国卷理科第17题)等比数列｛a｝的各项均为正数，且2an(I)求数列｛a｝的通项公式.

n所以当n>2时，a=r(r+1)n-2a.(II)设(II)设b=loga+loga+L1+loga,求数列｛丁｝的刖n项和.3n bn【答案］(I)设数列【答案］(I)设数列｛a｝的公比为q,由a21=9aa得a2=9a2，所以q2=—.—— 4 9由条件可知q>0，故q=3.由2a+3a=1得2由条件可知q>0，故q=3.由2a+3a=1得2a+3aq-1故数列｛aj的通项式为an(II)b=loga+loga+L+loga=-(1+2+L口1— 2 —1 1故——- =-2(—— b n(n+1) nn+1)，1 1T1 1、J1、tJ1—I +L+—-2[(1—)+( )+L+( bbb 2 23nn+1...1 2 n所以数列｛7｝的前n项和为———-.b n+1【说明］本题考查等比数列、等差数列的通项公式与前n项和公式.本题属于容易题.【试题28］(2020年湖北卷理科第19题)已知数列｛a｝的前n项和为S,且满足：G1=a(a丰0)，a广rS(eeN*,reR,rw-1).(I)求数列｛an｝的通项公式;(II)若存在keN*，使得Sk1,amjam,am+2是否成等差数列，,Sk+2成等差数列，试判断：对于任意的meN*，且m>2,并证明你的结论.【答案］(1)由已知a=rS，可得aa-a=r(S-S)=ra,即当+r=01时，数列ia｝n即为：n+a，0，…，0，•=rS.J两式相减可得an=(r+1)an.又a=raI=ra，所以当rW-1,0时，由已知a丰0，所以a产0(neN*)，于是由a,2=(r+1)a讨可得a7+2--r+1(neN*)，由定义知a，a，…，a 2 3n+1an,…成等比数列U,n=1,n=1,n>2.综上，可得数列｛a｝的通项公式为a=1a,n nIr(r+1)n-2a,(II)对于任意的mgN*，且m>2,a/a，a2成等差数列.证明如下：当r=0时，由(I)知，a=[a,n=1，,S=a，即数列｛S｝是等差数列，且对于任意n[0,n>2.n J的mgN*，且m>2,a-a,a成等差数列；当rw-1,0时，二七=Saa"aa"+,S=Saa.若存在kgN*，使得SJS；S；成+等差数列：则S：+S^2=2Sk,•.2S+2aaa=2S，即a=-2a.由(I)知，a,a，…，a，…的公比r+1=—2，于是对于任意的mgN*，且m>2,a=-2a，从而a=4a,m+1 m m+2 m•・aaa=2a，即a,a,a成等差数列.【说明1m题考查等差数列、等比数列2的基础知识本题属于难题.【试题29](2020年湖北卷理科第16题)设^ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a=1,b=2,cosC=L4(1)求4ABC的周长；(II)求cos(A-C)的值.【答案](I)Vc2=a2ab2-2abcosC=1a4-4x—=4,4•・△ABC的周长为aabac=1a2a2=5.(n)vcosc=—4(n)vcosc=—4sinC=4.4asin.4asinC

sinA= c/.cosA='%：1-sin2A=78<15一丁玉~2~~8：a<c，,A<C,故A为锐角，71<15<1511cos(A-C)=cosAcosCacos(A-C)=cosAcosCasinAsinC=84 8 4 16【说明]本题考查三角函数的基本知识，包括余弦定理、正弦定理、和角差角公式的综合应用.本题属于容易题.【试题30](2020年湖北卷理科第16题)g(xg(x)=cosx-f(sinx)asinx•f(cosx),xg(兀,(I)将函数g(x)化简成Asin(3x+6+B(A>0,3>0”［0,2n))的形式;(II)求函数g(x)的值域.【答案】(I)解法1：g(x)=cosx,1-【答案】(I)解法1：g(x)=cosx,1-sinx. +sinx•1+sinx1-cosx1+cosx■(1-sinx)2=cosx•j +sinx•ccos2x(1-cosx)2 1-sinx =cosx sin2xcosx17k12cosx=-cosx,sinx=-sinx.1-cosx+sinx sinx1-sinx,. 1-cosxg(x)=cosx +sinx sinx+cosx-2=v2sin(x+—)-2.TOC\o"1-5"\h\z-cosx -sinx 417n/5兀 兀,5n(II)解法1：由兀<x<，得下<x+<—,12 4 4 3.一，5兀3兀一 3n5兀一 .sint在(--,--］上为减函数，在(--,—］上为增函数，42 23..5兀一...5兀一.5兀又sin——<sin一，所以当xg(n,3417n123n 兀 5n，、.］时，恒有sin—<sin(x+)<sin成立，2 4 4即一1<sin(x+—)<-^-，.'一三''2-2<v'2sin(x+—)-2<-3,

4 2 4故g(x)的值域为［7工—2,-3).解法2：:g(x解法2：:g(x)r'2sin(x++2「 5n［兀， )417xG(k，—k］，•••gJL乙5n(x)=<2cos(x+—),

45n 17―(—,-tt-14 12f'(x)极小值f(x)极小值5n，、厂人.17 1 ., 1 J2所以得到当x二7时，g(xI：-、2-2；又sin(^兀+4储<sin(n+4n)=-F,.., 1故、'2sin(兀+-n)-2=-3,因此函数g(x)的值域为［f；2-2,-3).【说明】本题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.本题属于中等题.【试题31］(2020年湖北卷理科第18题)如图，在三棱锥V-ABC中，VC1底面ABC,AC1BC,D是AB的中点，且AC=BC=a,八 71zvdc=o(0<e<-2).(I)求证：平面VAB1平面VCD；

(II)当角9变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围.【答案]解法1：(I)VAC=BC=a，二AACB是等腰三角形，又D是AB的中点，,CD1AB.又VC1底面ABC，,VC1AB,于是AB1平面VCD,又ABu平面VAB，二平面VAB1平面VCD.(II)过点C在平面VCD内作CH1VD于H，则由(1)知CH1平面VAB.连接BH，于是ZCBH就是直线BC与平面VAB所成的角.在RtACHD中，CH=上2asin9；2设ZCBH=甲，在RtABHC中，CH=asin①，/. sin9=sin^.•0<9<n,TOC\o"1-5"\h\z2 2_2一n- n••0<sin9<1,0<sin中<——.又0<^<—,••0<甲<—.2 2 4即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,：).解法2：(I)以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、aa <2 -直角坐标系,则C(0,0,0)，4a,0,0)，B(0,a,0),D(2,2,0)，V(0,0万atan9)，uuraaJ2 uuraauur于是VD=(—,—, atan9),CD=(—,—,0),AB=(—a,a,0).\o"CurrentDocument"22 2 22uuruur aa1 1从而AB-CD=(—a,a,0)•(-,-,0)=——a2+a2+0=0，即AB1CD.22 _2 2uuruur aa ：2 1 1同理AB-VD=(—a,a,0)•(—,—,—atan9)=——a2+a2+0=0，即AB1VD.22 2 2 2又CDIVD=D，二AB1平面VCD.又ABu平面VAB,・•・平面VAB1平面VCD.uuruurn-AB=0,n-VD=0,一ax+ay=0,a a 近 八八—x+—y aztan9=0.〔2 2 2可取n=uuruurn-AB=0,n-VD=0,一ax+ay=0,a a 近 八八—x+—y aztan9=0.〔2 2 2可取n=(1,1,氏cot9)uur又BC=(0,-a,0),于是sin①=1uurn-BC,

uur|=InIIBCIa-\-2+2cot29…n 2•.•0<9<—，,0<sin9V1,0<sin中<——2 2/.0<甲<—.4=——sin9,2即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0,：).【说明】本题考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识.考查应用向量知识解决数学问题的能力.本题属于容易题.【试题32](2020年湖北卷理科第17题)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度%(单位：cm)满足关系：C(%)= (0<%<10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(%)为隔热层建3%+5造费用与20年的能源消耗费用之和.(I)求k的值及f(%)的表达式；(II)隔热层修建多厚时，总费用f(%)达到最小，并求最小值.【解题思路与方法】首先在C(%)的表达式中，令%=0，求出常数k，得到每年的能源消耗费用函数C(%).然后分别写出隔热层建造费用与20年的能源消耗费用的表达式，得到f(%).再利用导数或均值不等式求出f(%)的最小值点与最小值.解：(I)设隔热层厚度为%cm,由题设，每年能源消耗费用为C(%)= ,3%+5再由C(。)=8,得k=40,因此C(%)=恚.而建造费用为Ci(%)=6%.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为20C(%)+C(%)=20x-^0-+6%=-800-+6%(0<%<10).(II)f(%)=由平均值不等式有:1 3(II)f(%)=由平均值不等式有:-800-+6%=-800-+2(3%+5)-10>2/'-800-x2(3%+5)-10=703%+5 3%+5 \'3%+5当且仅当幽-=2(3%+5)即%=5时，等式成立，此时函数f(%)取得最小值，最小值3%+5为f(5)=-800-+6x5=70.15+5当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.【说明】本题主要考查函数、导数及最值等基础知识.本题属于容易题【试题33](2020年湖北卷理科第20题)水库的蓄水量随时间而变化，现用才表示时间，以月为单位，年初为起点.根据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为y(t)=I(-12+141-40)e4t+50,0<t<10,(4(t-10)(3t-41)+50, 10<t<12.(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,L,12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(I)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).【答案](I)①当0<t<10时，y(t)=(-12+141-40)e：t+50<50,化简得12-14t+40>0,解得t<4,或t>10,又0<t<10,故0<t<4.②当10<t<12时，y(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,化简得(t-10)(3t-41)<0,解得10<t<，又10<t<12，故10<t<12.3综上得0<t<4，或10<t<12,故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月.(II)由(I)知，V(t)的最大值只能在(4,10)内达到.+.1 3 1+.由Vf(t)=e4t(--12+-t+4)=—e4t(t+2)(t-8),4 2 4令V'(t)=0，解得t=8(t=-2舍去).当t变化时，V'(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4,8)8(8,10)V'(t)+0V(t)一极大值由上表，V(t)在t=8时取得最大值V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【说明】本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数知识分析和解决实际问题的能力.本题属于难题.【试题34](2020年安徽卷理科第20题)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人.现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为VP2,P3.假设PjP2，P3,互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立(I)如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？(II)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为％q2,q3,其中埠q2,q3是p「P2,P3的一个排列，求所需派出人员数目乂的分布列和均值(数字期望)EX；(III)假定1＞巳＞2＞g，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小.【答案](I)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1-q)(1-p2)(1-p3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1-(1-p)(1-p)-(1-p)=p+p+p-pp-pp-pp+ppp-(I)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2,q3时，随机变量X的分布列为X 1 2 3P q1 (1-q)q2 (1-“(1-q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是EX=4+2(1-qi)q2+3(1-“(1-q2)=3-2q「q2+%q2.(ni)(方法一)：由(ii)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX=3-2p-p+pp.根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值下面证明：对于p1，p2,p3的任意排列q1，q2,q§，都有3-2q-q+qq>3-2p-p+pp(X)事实上，A=(3-2q-q+qq)-(3-2p-p+pp)=2(p1-q)+(p2-q2)-p1p2+q1q2=2(p1-q)+(p2-q2)-(p1-q)p2-q1(p2-q2)=(2-p2)(p1-q)+(1-q1)(p2-q2)>(1-q)t(p1+p2)-(4+q2)]>0即(派)成立.(方法二)：①可将(II)中所求的EX改写为3-(q「q2)+4q2-4，若交换前两人的派出顺序，则变为3-(q1+q2)+q1q2-q2.由此可见，当q2>4时，交换前两人的派出顺序可减小均值.②也可将(II)中所求的EX改写为3-2q1-(1-q1)q2若交换后两人的派出顺序，则变为3-2q1-(1-q1)q3.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当外>q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.综合①②可知，当(q1，q2,q3)=(p1,p2,p3)时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.【说明】本题考查相互独立事件的概率计算，离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识.本题属于难题.【试题36](2020年湖北卷理科第20题)X2V2设A、B分别为椭圆—+1=1(a，b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且a2b2 ——•x=4为它的右准线.

(I)求椭圆的方程；(II)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.【答案】a=2C, roIa=2, l(I)解：依题意得《a2解得1 1从而b=6，—=4, 〔c=1.〔c，…一、一,x2y2故椭圆方程为-+9=1.(II)由(I)得A(-2,0),B(2,0).设M(x0,y0).:M点在椭圆上，y2=3(4-x2). ①o4 0又M点异于顶点A、B，・・・-2<x0<2.r由P、A、M三点共线可得P4,Ir2,Iuuur uuorr2,I从而BM=(x0-2,y0),BP=uuuoruuor・•・BM•BP=2x0ouruur5将①式代入②式化简得BM.BP=y2-x0).uuurruur•・•2-x0>0,・•.BM•BP>0.于是/MBP为锐角，从而/MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内.【说明】本题考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.本题属于中等题.【试题37](2020年湖北卷理科第19题)在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于A、B两点.(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求AANB面积的最小值；(I)是否存在垂直于y轴的直线l,使得l被以AC

为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.【答案】(I)依题意，点N的坐标为N(0,-p)，可设A(5,甲,B(x2,y2)，直线AB的x2=2py,方程为y=kx+p，与x2=2py联立得< 消去y得x2-2pkx-2p2=0.y=kx+p.由韦达定理得x+x=2pk,xx=-2p2. ①1 2 12由①式，得到三角形的面积函数表达式有以下途径：方法1:利用弦长公式和三角形面积公式AB=J1+k2Ix-x1=J1+k2•J(x+x)2—4xx=J1+k2•J4p2k2+8p2二2p*；1+k2•、/k2+2,. 2p又由点到直线的距离公式得d=-=L=,1+k2从而S=1•d•IABI=1•2p、1+k2•、卡2+2•2pAABN2 2 1+k2方法2：利用面积和的方式一一一1一.. . .二 : : S=S+S=•2pIx-xI=pIx-xI=p、j(x+x)2-4xxAABN ABCN AACN 2 12 1 2 *1 2 12=p、：'4p2k2+8p2=2p2、.'k2+2,方法3：利用向量形式的三角形面积公式kx+2p kx+2p•・•kAN=-1 ,k=-2•・•kANTOC\o"1-5"\h\zx BN x12tanANB=k-k—AN BN—1+kAN,tanANB=k-k—AN BN—1+kAN,kBN(1+k2)xx+2pk(x+x)+4p2 k2+12k2k2+2

k2+1而SAABN\o"CurrentDocument"1uuuruur 1而SAABN=-1AN•BNtanANBI=—[(1+k2)•(-2p2)+4p2(1+k2)]•^2 ^2=2p2\/k2+2,由此可见，当k=0时，(S )=2<2p2.AABNmin(II)假设满足条件的直线l：y=a存在，AC的中点为O',l与以AC为直径的圆相交于点P、Q,PQ的中点为H，则O'H±PQ,O'点的坐标为(x-,gp).

W+(W+(yi-p)2•・•|OP|=—|ACl=-1|二一|2a-y-p|2i・・・lPH|2二|OP|2—|O'H|211=-(y2+P2)-(2a-y-p)24i4ip二(a--)y+a(p-a),2i・•・PQ2=(2|PH|)2=4[(a-。)y+a(p-a)].令a--y—°，得a—，此时|PG|—p为定值，故满足条件的直线/存在，其方程为y―。，即抛物线的通径所在的直线.【说明】本题考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查代数化研究解析几何问题的思想和方法，以及综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力本题属于难题.【试题38](2020年湖北卷理科第21题)已知m,n为正整数.(I)用数学归纳法证明：当x〉-1时，(1+x)m>1+mx；对于n>6,已知(1 )n<一，求证(1 )n<(―)m,m=1,2,L,n;n+3 2 n+3 2(III)求出满足等式3n+4n+L+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数n.【答案](I)证：用数学归纳法证明：(i)当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x,因为x2>0，所以左边>右边，原不等式成立；(ii)假设当m=k时，不等式成立，即(1+x)k>1+kx，则当m=k+1时，:x〉-1,・•・1+x>0.于是在不等式(1+x)k>1+kx两边同乘以1+x得(1+x)k-(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,所以(1+x)k+1>1+(k+1)x,即当m=k+1时，不等式也成立.综合(i)、(ii)知，对一切正整数m，不等式都成立.于是(1---)n<(1-

n+3TOC\o"1-5"\h\z(II)证：当n>6,m<n时，由(I)得(1-—1—)m>1-m>0,n于是(1---)n<(1-

n+3 )mn=[(1 )n]m<(―)m,m=1,2,L,n.n+3 n+3 2(I)解：由(I)知，当n>6时，2 , n<—+(—)2+L+(—)n=1— <1,(1 <—+(—)2+L+(—)n=1— <1,n+3 n+3 n+3.,n+2 n+1 3、1••( )n+( )n+L+( )n<1,n+3 n+3 n+3即3n+4n+L+(n+2)n<(n+3)n.即当n>6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形：当n=1时，3丰4，等式不成立；当n—2时，32+42=52，等式成立；当n―3时，33+43+53—63，等式成立；当n—4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64丰74,等式不成立；当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的n只有n=2,3.【说明】本题考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识，考查观察、猜测等数学方法的运用以及方程思想.本题属于难题.【试题39](2020年湖北卷理科第21题)设％=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x(xgR)的一个极值点.(I)求a与b的关系(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；(II)设a〉0，g(x)=(a2+至)ex.若存在&,〈g［0,4］使得If©)-g(m)1<1成立，求a的4 1 2 1 2取值范围.【答案］(I)f'(x)=-x2+(a-2)x+b-ae3-x.由f'(3)=0得b=-2a-3.所以f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x,f'(x)=-［x2+(a-2)x-3a-3］e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x.令f'(x)=0得x=3,x=-a-1.由于x=3是f(x)的极值点，故xwx,即aw-4.TOC\o"1-5"\h\z当a<-4时，x<x.故f(x)在(18,+3］上为减函数，在［3,-a-1］上为增函数，在［-a-1,+s)上为减函数；1 2当a>-4时，x>x.故f(x)在(-8,-a-1］上为减函数，在［-a-1,3］上为增函数，在［3,+s)上为减函数.1 2(II)解法1：(顺向思考方法)当a>0时，-a-1<0,故f(x)在［0,3］上为增函数，在［3,4］上为减函数,因此f(x)在［0,4］上的值域为［min{f(0),f(4)},f(3)］=［-(2a+3)e3,a+6一.25 ［ 25 25 -而g(x)=(a2+学ex在［0,4］上为增函数，所以值域为a2+y,(a2+-4)e4.25 1注意到(a2+)—(a+6)=(a--)2>0，故由假设知4 2,(a2吟)-(a+6)<1,解得0<a<I.故a的取值范围是(0,|).a>0.(I)解法2：(逆向思考方法)”存在〈「%g［0,4］使得|f(〈J-g(〈2)<1成立”的否定是“对任意的x,tg［0,4］,都有|f(x)-g(t)|>1成立"，同解法1的推理可得到f(0)-g(4)<f(x)-g(x)<f(3)-g(0).从而应有Jf(0)-g(4)l>在a>0的前提下，可解得a>3,Ilf(3)-g(0)l>1. 2

故取补集可得问题(II)所求a的取值范围为(0,2).【说明】本题将函数与不等式有机整合，主要考查函数的单调性和值域的概念，围绕着这个概念，重点考查函数的单调区间和最值的求法.考点涉及到复合函数的求导、函数性质、不等式解法、集合关系等.本题属于难题.【试题39](2020年湖北卷理科第21题)(1)已知函数f(x)=lnx-X+1,xg(0,+8)，求函数f(x)的最大值;(II)设ak,bk(==1,2,L,n)均为正数，证明:贝Uab1ab2Labn<1；贝Uab1ab2Labn<1；(2)若b+b+L+b=1,则［<bb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b2.1 2 n n1 2n1 2 n【答案](I)解：f(x)的定义域为(0,+8).令f(x)=1-1=0，解得x=1.当0<x<1时，xf(x)>0，所以f(x)在(0,1)内是增函数；当x>1时，f(x)<0，所以f(x)在(1,+8)内是减函数；故函数f(x)在x=1处取得最大值f(1)=0.(I)证法1：(1)由(I)知，当xg(0,+8)时，有f(x)<f(1)=0，即lnx<x-1.•/a，b>0，从而有Ina<a-1(k=1,2,L,n)，得bIna<ab-b.求和得X求和得XInabk<Xk=1 k=1-Xbkk=1即ab1ab2Labn<1./.ln(a即ab1ab2Labn<1.TOC\o"1-5"\h\zk=1 k=1(2)①先证bb1bb2Lbbn>—.12nn令a=—(k=1,2,L,n)，则Eab=X1=1=Xb,knb kkn kk k=1 k=1 k=111 1 1<nb1+b2+L+bn于是由(1)得(<nb1+b2+L+bnnbnbnb bb1bb2Lbbn1 2 n 1 2n・•・bb1bb2Lbbn>-.12nn②再证bb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b2.1 2n1 2 n记S=Xb2，令a=匕(k=1,2,L,n),则Eab=1Xb2=1=Xb,kkS kkSk kk=1 k=1 k=1 k=1于是由(1)得(S-)b1(-S2-)b2L(-nr儿<1,即bb1bb2Lbbn<Sb1+b2+l+bn=S,Abb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b2.1 2n 1 2n1 2 n综合①②，(2)得证.证法2：(1)由(I)知，当xg(0,+8)时，有f(x)<f(1)=0，即lnx<x-1.因为a>0(k=1,2,L,n)，所以lna<a-1(k=1,2,L,n).又由ab+ab+L+ab<b+b+L+b，得b(a.-1)+b(a-1)+L+b(a-1)<0.于是由b>0(k=1,2,Lnn),1可得n11 22 ""kln(ab1ab2Labn)=blna+blna+L+blna即ab1ab2Labn<1.<b(a-1)+b(即ab1ab2Labn<1.(2)①先证b4bb2Lbbn>—.12nn由(I)知，当xg(0,+8)时，有f(x)<f(1)=0，即lnx<x-1.所以当xg(0,+8)时，有ln—<工-1,即lnx>1--.从而由nb>0(k=1,2,L,n)，有Innb>1-1nbk=1所以ln(bb1bb2Lbbn)+lnn=bInb+bInb+L+bInb+(b+b+1nbk=1所以ln(bb1bb2Lbbn)+lnn=bInb+bInb+L+bInb+(b+b+L+b)lnn12n112 2nn12=b(Inb+Inn)+b(Inb+Inn)+L+b(Inb+Inn)=bInnb+bInnb+L+bInnb11>b(1---nb122 n11)+b(1 )+L+b(1-—nb nnb2 n)=b+b+L+b-1=0，nn即ln(bb1bb2L②再证bb1bb21 2bbn)>-lnn=ln—，故bb1bb2Lbbn>—.Lbbn<b2+b2+L记S=工b2，则同前可得lnb<kk=112nn+b2.nb—k—1(k=1,2,L,n)，S于是于是ln(bb1bb2Lbbn)-InS=bInb+bInb+L+bInb-(b+b+L+b)lnSTOC\o"1-5"\h\z12n 1 1 2 2 nn1 2 nbb b=b(lnb-lnS)+b(lnb-lnS)+Lb(lnb-lnS)=blnr+bln2-+Lbln-n-1 1 2 2 nn 1S2SnS<b(b-1)+b(b-1)+L+b(b-1)=L(b2+b2+Lb2)-(b+b+L+b)1S2S nSS1 2 -12n=1-1=0，即ln(b4bb2Lbbn)-lnS<0，故bb1bb2Lbbn<b2+b2+L+b212n综合①②，（2）得证.【说明】本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.本题属于难题.

二、选考内容题型示例【试题1】（2020年广东卷理科第14题）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为卜="5；0s°（0<6<力和[y=sin°2\ 4（teR），它们的交点坐标为.、y=t"5【答案】（1,仝）5【试题2】（2020年陕西卷理科第15题）（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点a，b分别在曲线g：F=3+c0s°（°为参数）和曲线C:p=1上，则同|1[y=4+sin° 2的最小值为.【答案】3【试题3】（2020年陕西卷理科第15题）（几何证明选做题）如图，/B=/D,AE1BC,/ACD=90o，且AB=6,AC=4,AD=12，则BE=4<2.【试题4】（2020年广东卷理科第15题）（几何证明选讲）如图，过圆。外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，/BAC=/APB，则AB=.【答案】、玉文科题型示例一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项【试题1】（2020年湖北卷文科第1题）已知U={1,2,3,4,5,6,7,8} ，