上海市静安区2024-2025学年高三第一次月考（9月）数学检测试题（含答案）

上海市静安区2024-2025学年高三第一次月考（9月）数学检测试题一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）1．已知全集，集合，则________．2．函数的最小正周期是________．3．在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________．5．在中，，，，将绕边所在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为________．6．已知的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____．7．双曲线的渐近线与直线交于，两点，且，那么双曲线的离心率为________．8．已知的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________．10．已知函数，则不等式的解集为________．11．已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是________．12．已知数列的前项和为，满足，函数定义域为，对任意都有，若，则的值为.二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．14．已知是定义在上的可导函数，若，则（）A． B． C．1 D．15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要16．已知实数、、、、、同时满足：①，，；②；③，则下列选项中恒成立的是（）A． B．C． D．三、解答题（本大题共5题，共分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱中，，，，．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数，为常数．（1）若为偶函数，求的值；（2）设，，为严格减函数，求实数的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：喜欢网上买菜不喜欢网上买菜合计年龄不超过45岁的市民401050年龄超过45岁的市民203050合计6040100（1）能否有95%的把强认为社区的市民是否喜欢网上头菜与年龄有关？（2）M社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率；（3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求、的期望和方差．参考公式：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第(3)小题满分6分)已知常数，抛物线的焦点为．（1）若直线被截得的弦长为4，求的值；（2）设为点关于原点的对称点，为上的动点，求的取值范围；（3）设，直线、均过点，且，与相交于、两点，与相交于、两点，若，求四边形的面积．21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数的导函数为．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：． 答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知函数，若关于的不等式有且仅有一个正整数解，则实数的取值范围是________．【正确答案】由题意得,,当时,单调递减,当时,单调递增,当时,;当时,;,且时,,作出函数的图象，如图所示：直线过定点,要使不等式有且仅有一个整数,只需解得,故答案为:.二、选择题13.B14.C15.D16.A14.C15.D16.A15．设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【正确答案】D等比数列中,前项和为,当时,若,则,数列严格单调递减,充分性不成立;若数列严格递增,则数列是正项等比数列,只需满足即可,若,则,必要性不成立;所以甲是乙的既不充分也不必要条件.故选:.三．解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）有关（2）（3）20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第(3)小题满分6分)已知常数，抛物线的焦点为．（1）若直线被截得的弦长为4，求的值；（2）设为点关于原点的对称点，为上的动点，求的取值范围；（3）设，直线、均过点，且，与相交于、两点，与相交于、两点，若，求四边形的面积．【正确答案】（1）（2）（3）(1)由得,由,得.(2)点是关于原点的对称点,则,设过的直线联立抛物线方程得,由直线与抛物线相切得,过作轴的垂线，则该垂线为抛物线的准线，过点作准线的垂线，垂足为,由抛物线的对称性,不妨取可得切线的倾斜角为,则取由抛物线定义可得,,即,取值范围.(3)由题知抛物线为,焦点,且直线的斜率都存在且不为0,直线的方程可设为,则直线的方程,设,由得,.由韦达定理得.,同理可得,即,则,,由抛物线的定义知,,,即,,代入方程,得,在上,,化简得,解得故四边形的面积为.21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)已知函数的导函数为．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明：．【正确答案】（1）（2）（3）见解析（1