数学物理方法期末试题(5年试题含答案)

学院姓名学号任课老师选课号/座位号………密………封………线………以………内………答………题………无………效……第1页共6页一二三四五六七八九十合计复核人签名得分签名附：拉普拉斯方程在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系： 球坐标系：得分得分一、填空题36分（每空2分）数量场在点(2,0,-1)处沿方向的方向导数是。矢量场在点(1,3,3)处的散度为。面单连域内设有矢量场，若其散度，则称此矢量场为。高斯公式；斯托克斯公式。将泛定方程和结合在一起，就构成了一个定解问题。只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为。是l次勒让德多项式，则；时，。已知和分别为n阶贝塞尔函数和n阶诺依曼函数(其中n为整数)，那么可知。。定解问题的本征函数为，本征值为。已知定解问题的解为，则定解问题的积分解为，称为。一维波动方程的初值问题，其达朗贝尔解为。得分二、(8分)利用递推公式证明得分得分三、(14分)利用本征函数展开法求定解问题(只要求写出展开系数满足的方程和条件)得分得分四、(14分)求下列定解问题得分得分五、(14分)半径为、高为L的圆柱体，下底和侧面保持零度，上底温度分布为，求柱体内各点的稳恒温度分布。此题的定解问题为：得分得分六、(14分)在半径为1的球形域内和球形域外分别求调和函数u，使它在球面上满足。（）得分题号一二三四五六七八九十合计得分得分得分一、简答题（共25分，共5题，每题5分）1．矢量场的分析中引入标量位函数和矢量位函数的条件是什么？分别给出标量位函数和矢量位函数的定义。若一无旋场的标量位函数，则该矢量场和各为多少？2．什么叫定解问题的适定性？试举出一个非适定的定解问题的例子。3．球贝塞尔函数与贝塞尔函数的关系是什么？亥姆霍兹方程在球坐标系中进行变量分离时，分别说明在条件：有限，有限，和时，满足的方程(或方程名称)及通解形式。4．写出泊松方程第一类边值问题的Green函数满足的方程和边界条件。并用该Green函数表示出定解问题的积分解。（要求写出积分表达式中体、面积分的体积元、面积元和积分限）。5．写出一维波动方程柯西问题的达朗贝尔解，并说明其物理意义。得分得分二、写出下列本征值问题的本征函数和本征值（共20分，共4题，每题5分）1．2．3．4．得分得分三、证明题（共10分，共2题，每题5分）1．2．得分得分三、计算题（共45分，共3题，每题15分）1．求解下列定解问题2．求解下列定解问题3．求解下列定解问题（提示：=1\*GB3①用本征函数展开法。=2\*GB3②利用前面第三题（证明题）第1小题结论。=3\*GB3③常微分方程的通解为，其中A、B为常数，c为待定系数）

附：标量场的梯度和拉普拉斯运算、矢量场的散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式梯度运算： 柱坐标系： 球坐标系：拉普拉斯运算： 柱坐标系： 球坐标系：矢量场的散度： 柱坐标系： 球坐标系：题号一二三四五六七八九十合计得分得分得分一、填空题（共24分，共12题，每题2分）若矢量场，则产生该矢量场的源分别为；和。在矢量场A中引入矢量位函数B的条件是，A的位函数表示为；在矢量场A中引入标量位函数u的条件是，A的位函数表示为。满足区域V(边界为S)内的泊松方程，且，若区域内的格林函数已知，则V内任意一点的函数值，格林函数满足定解问题。波动方程初值问题的解为。二阶常微分方程称为l阶勒让德方程。已知，，则；函数按的展开式为。得分得分二、选择题（共12分，共4题，每题3分）偏微分方程和结合在一起，称为初值问题A．定解问题 B.初始条件 C.边界条件 D.初始条件和边界条件定解问题满足适定的条件是。A.存在唯一的解 B.存在稳定的解 C.存在唯一且稳定的解 D.存在解下列说法错误的是(其中n为非负整数)。第一类n阶柱函数和第二类n阶柱函数是线性无关的；第一类n阶柱函数的实零点是关于原点对称的；半奇数阶的第一类柱函数都是初等函数；第一类n阶柱函数和是线性相关的。边值问题，其本征函数为。A. B. C. D.得分得分三、简答题（共8分，共2题，1题3分，2题5分）1．写出直角坐标系下三维齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。2．求下列定解问题的本征值问题，写出本征值和本征函数。得分得分四、计算题（共56分，共4题，1、2题每题13分，3、4题每题15分）1．求解下列定解问题2．求解下列定解问题3．求解下列定解问题的级数解4．求解下列定解问题题号一二三四五六七八九十合计得分得分得分一、填空题（共28分，共9题，每空2分）如果复变函数满足柯西-黎曼条件，则两个实函数和满足的关系为。，则的所有取值为。将函数:在中展开成洛朗级数形式为：。函数的孤立奇点为，孤立奇点的留数和为。把某种物理现象满足的偏微分方程和相应的结合在一起构成定解问题；只有初始条件没有边界条件的定解问题叫做。满足区域V(边界为S)内的泊松方程，且，若区域内的格林函数已知，则V内任意一点的函数值，格林函数满足定解问题。定解问题的解为。是l阶勒让德多项式，则_______________；l不等于0时，_______________；亥姆霍兹方程在球坐标系进行变量分离：。其中变量的函数满足方程，变量的函数。得分得分二、判断题，正确的打√，错误的打×。（共6分，共6题，每题1分）在区域D内解析等价于在区域D内可导。()如果是的可去奇点，则一定存在且等于零。()在区域D中解析，简单曲线C位于D内，复积分仅与起点和终点有关，与积分路径无关。()每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。()定解问题满足适定性的三个条件是：存在性(有解)、唯一性、正确性。()m阶贝塞尔方程的两个特解和线性无关(m为自然数)。()得分得分三、写出下列本征值问题的本征值和本征函数（共11分，共2题，1题3分，2、3题各4分）1．2、3．得分得分四、计算题（共55分，共4题，1题10分，2,、3、4题每题15分）1．计算积分2．求解下列定解问题3．求解下列定解问题的级数解4．求解下列定解问题题号一二三四五六七八九十合计得分得分得分一、填空题（共26分，每空2分）设，则，。将泛定方程和结合在一起，就构成了一个数学物理定解问题；数学物理问题的适定性包括存在性、和稳定性。一维波动方程初值问题的达朗贝尔解表示为，其物理意义是。满足区域V(边界为S)内的拉普拉斯方程，且，若区域内的格林函数已知，则V内任意一点的函数值。已知和分别为n阶贝塞尔函数和n阶诺依曼函数(其中n为整数)，那么可知。是l阶勒让德多项式，则；如果l为奇数，则=。三维拉普拉斯方程在球坐标系中进行变量分离，，其通解形式分别为，，得分得分二、简答题（共20分，共4题，每题5分）1．判定函数在平面上何处可导？何处解析？2、将函数在圆环域中展开为洛朗级数。3．写出本征值问题的本征值和本征函数4.利用递推公式求解积分得分得分三、计算题（共54分，共4题，1题9分，2,、3、4题每题15分）1．计算积分2．在直角坐标系下求解下列定解问题3．在球坐标系下求解下列定解问题的级数解4．在圆柱坐标系下求解下列定解问题附：拉普拉斯方程在柱坐标系和球坐标系下的表达式 柱坐标系： 球坐标系：一、填空题36分（每空2分）数量场在点(2,0,-1)处沿方向的方向导数是4。矢量场在点(1,3,3)处的散度为54。面单连域内设有矢量场，若其散度，则称此矢量场为管形场。高斯公式；斯托克斯公式。将泛定方程和定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。只有初始条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题；只有边界条件，没有初始条件的定解问题称为边值问题；既有边界条件，又有初始条件的定解问题称为混合问题。是l次勒让德多项式，则；时，2/(2n+1)。已知和分别为n阶贝塞尔函数和n阶诺依曼函数(其中n为整数)，那么可知，。定解问题的本征函数为，本征值为。已知定解问题的解为，则定解问题的积分解为，称为格林函数。一维波动方程的初值问题，其达朗贝尔解为。二、(8分)利用递推公式证明证明：左边=三、(10分)利用本征函数展开法求定解问题(只要求写出展开系数满足的方程和条件)解：级数展开的基本函数应该是相应齐次方程在所给齐次边界条件下的本征函数本征函数为于是所求的解展开为傅立叶正弦级数为了求解，把级数解代入原泛定方程，将等号右边的函数展开为傅立叶正弦级数于是得到于是只需要求解下列定解问题可用拉普拉斯编号法求解上面定解问题，得到所以得到四、(13分)求下列定解问题解：令，代入拉普拉斯方程，得到求解本征值问题，得到，将本征值代入关于y的常微分方程，求解得到于是得到分离变量形式的本征解为一般解：为确定系数，将一般解代入关于y的边界条件得到解出得到答案五、(13分半径为、高为L的圆柱体，下底和侧面保持零度，上底温度分布为，求柱体内各点的稳恒温度分布。此题的定解问题为：解：取柱坐标系，以柱下底面为的坐标面，以柱轴为z轴，由边界条件知问题与边界条件无关(即)，因侧面为第一类其次边界条件，故本征值由决定，即，其中为的第n个零点。柱内问题的有限解为由z向的边界条件由此得：其中的积分所以：故：六、(14分)在半径为1的球形域内和球形域外分别求调和函数u，使它在球面上满足。（）解：问题与无关，得到原问题的解为内域问题，，由于，所以由边界条件，得到由于通过比较系数得到，因此内问题的解为：外域问题，，由于，所以由边界条件，得到由于通过比较系数得到，因此内问题的解为：得分得分一、简答题（共25分，共5题，每题5分）1．矢量场的分析中引入标量位函数和矢量位函数的条件是什么？分别给出标量位函数和矢量位函数的定义。若一无旋场的标量位函数，则该矢量场和各为多少？引入标量位的条件：场无散；引入矢量位的条件：场无旋；(2)假定矢量场为，如果(1)如果如果A为以上表达式，==(2)2．什么叫定解问题的适定性？试举出一个非适定的定解问题的例子。解：定解问题的适定性满足三个条件：存在性，唯一性、稳定性。非适定的定解问题：如不满足解的唯一性。3．球贝塞尔函数与贝塞尔函数的关系是什么？亥姆霍兹方程在球坐标系中进行变量分离时，分别说明在条件：有限，有限，和时，满足的方程(或方程名称)及通解形式。答：球贝塞尔函数和贝塞尔函数关系为：(1)满足的方程为：球贝塞尔方程，通解为球贝塞尔函数：(1)满足的方程为：连带勒让德方程，通解为连带勒让德函数：(2)满足的方程为：，通解为：(1)4．写出泊松方程第一类边值问题的Green函数满足的方程和边界条件。并用该Green函数表示出定解问题的积分解。（要求写出积分表达式中体、面积分的体积元、面积元和积分限）。答：泊松方程第一边值问题的格林函数满足：(2)积分解：(2)(1)5．写出一维波动方程柯西问题的达朗贝尔解，并说明其物理意义。答：(3)其物理意义均表示以速度a沿着方向传播的两列行波。(2)得分得分二、写出下列本征值问题的本征函数和本征值（共20分，共4题，每题5分）1．本征值：为的第n个正根(2)本征函数：(3)2．本征值：(2)本征函数：(3)3．本征值：(2)本征函数：(3)4．本征值：，其中是的第n个零点，(2)本征函数：=(3)得分三、证明题（共10分，共2题，每题5分）得分1．证明：由另外：则原式左边：得证。2．证明：1)由于，所以利用不同阶勒让德多项式的正交性，2）利用递推公式证明由于故：，如果n为偶数，如果n为奇数，所以：得分得分三、计算题（共45分，共3题，每题15分）1．求解下列定解问题令，v和w分别满足(2)(1),(2)先求解(1),,，，利用关于x的本征值问题，得到本征值和本征函数(5)将本征值代入y的常微分方程：，解为(3)由，，所以时，，(2)同理得到的表达式，(3)2．求解下列定解问题解：拉普拉斯方程的非轴对称情况下的一般解为(3)考虑到自然边界条件，舍去，得到(4)将上式代入的边界条件，有(1)(5)，,；，,，,；Otherwise，,(2)3．求解下列定解问题

（提示：=1\*GB3①用本征函数展开法。=2\*GB3②利用前面第三题（证明题）第1小题结论。=3\*GB3③常微分方程的通解为，其中A、B为常数，c为待定系数）解：对应齐次边界条件的本征函数为：，其中，为的第n个零点，(4)将待求函数用本征函数展开为：(3)将上式带入方程，得到(2)(3)根据第三题（证明题）第1小题结论所以，带入初始条件中，所以则(2)所以(1)附：标量场的梯度和拉普拉斯运算、矢量场的散度在柱坐标系和球坐标系下的表达式梯度运算： 柱坐标系： 球坐标系：拉普拉斯运算： 柱坐标系： 球坐标系：矢量场的散度： 柱坐标系： 球坐标系：

得分得分一、填空题（共24分，共12题，每题2分）若矢量场，则产生该矢量场的源分别为；和。在矢量场A中引入矢量位函数B的条件是，A的位函数表示为；在矢量场A中引入标量位函数u的条件是，A的位函数表示为。满足区域V(边界为S)内的泊松方程，且，若区域内的格林函数已知，则V内任意一点的函数值，格林函数满足定解问题。波动方程初值问题的解为。二阶常微分方程称为l阶勒让德方程。已知，，则；函数按的展开式为。得分得分二、选择题（共12分，共4题，每题3分）偏微分方程和B结合在一起，称为初值问题A．定解问题 B.初始条件 C.边界条件 D.初始条件和边界条件定解问题满足适定的条件是C。A.存在唯一的解 B.存在稳定的解 C.存在唯一且稳定的解 D.存在解下列说法错误的是C(其中n为非负整数)。第一类n阶柱函数和第二类n阶柱函数是线性无关的；第一类n阶柱函数的实零点是关于原点对称的；半奇数阶的第一类柱函数都是初等函数；第一类n阶柱函数和是线性相关的。边值问题，其本征函数为C。A. B. C. D.得分得分三、简答题（共8分，共2题，1题3分，2题5分）1．写出直角坐标系下三维齐次波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程。波动方程：(1分)热传导方程：(1分)拉普拉斯方程：(1分)2．求下列定解问题的本征值问题，写出本征值和本征函数。答：分离时间t和空间变量，得到和亥姆赫兹方程，问题与无关，(1分)本征函数：，本征值：(2分)本征函数：，本征值：(2分)得分得分四、计算题（共56分，共4题，1、2题每题13分，3、4题每题15分）1．求解下列定解问题解：其中：，(4分)求解w所满足的定解问题，令，代入拉普拉斯方程，得到求解本征值问题，得到，(2分)将本征值代入关于y的常微分方程，求解得到一般解：(2分)于是：，求解得到(2分)同理得到：求解得到，(3分)2．求解下列定解问题解：令代入泛定方程中得分离变量可得由于：求解关于x本征值问题，得到本征值和本征函数，(4分)将本征值代入关于t的常微分方程，得到其解为(5分)由，代入，得到(4分)3．求解下列定解问题的级数解解：解：因为球面上边界条件含有的函数为非轴对称，拉普拉斯方程在非球对称情况下的一般解为(5分)有限，则 (5分)由边界条件：其中：于是得到：于是：(5分)4．求解下列定解问题解：令，带入方程分离变量得到：，得到(2分)，该方程式以为宗量的零阶贝塞尔方程，得到解为利用，，代入，，得到本征值，其中是的第n个零点(4分)则：(4分)代入，于是：(5分)得分得分一、填空题（共28分，共9题，每空2分）如果复变函数满足柯西-黎曼条件，则两个实函数和满足的关系为。，则的所有取值为。将函数:在中展开成洛朗级数形式为：。函数的孤立奇点为，孤立奇点的留数和为5。把某种物理现象满足的偏微分方程和相应的定解条件结合在一起构成定解问题；只有初始条件没有边界条件的定解问题叫做柯西问题(初值问题)。满足区域V(边界为S)内的泊松方程，且，若区域内的格林函数已知，则V内任意一点的函数值，格林函数满足定解问题。定解问题的解为或。是l阶勒让德多项式，则_________；l不等于0时，___0___；亥姆霍兹方程在球坐标系进行变量分离：。其中变量的函数满足球贝塞尔方程，变量的函数。得分得分二、判断题，正确的打√，错误的打×。（共6分，共6题，每题1分）在区域D内解析等价于在区域D内可导。(√)如果是的可去奇点，则一定存在且等于零。(×)在区域D中解析，简单曲线C位于D内，复积分仅与起点和终点有关，与积分路径无关。(√)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。