中考数学一轮复习考点练习考向35 最值问题（“胡不归”和“阿氏圆”）（含答案详解）

试卷第=page44页，共=sectionpages55页页考向35最值问题（“胡不归”和“阿氏圆”）【考点梳理】模型一：“胡不归”问题分析从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.模型展示：如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．，记，即求BC+kAC的最小值．构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．模型二：“阿氏圆”问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则．证明：，，即（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则．证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则，即．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．模型最值技巧：计算的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得的值最小，解决步骤具体如下：①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比③在OB上取一点C，使得，即构造△POM∽△BOP，则，④则，当A、P、C三点共线时可得最小值【题型探究】题型一：胡不归模型1．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．122．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为_____．3．抛物线分别交x轴于点，，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且．(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的理由；(3)在M，N移动的过程中，DM＋MC是否有最小值，如果有，请写出理由．题型二;“阿氏圆”模型4．如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．5．如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为___________．6．如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，其中点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．(1)求抛物线的解析式；(2)若点是直线下方的抛物线上一个动点，是否存在点使四边形的面积为16，若存在，求出点的坐标若不存在，请说明理由；(3)如图2，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【必刷好题】一、单选题7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（

）A．7 B．5 C． D．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．9．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（

）A． B． C． D．二、填空题10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．11．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．12．如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．13．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为_____．14．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是___________．15．如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为___________．16．如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．17．如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_____．18．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．三、解答题19．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式：(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．20．如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值．21．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．参考答案：1．D【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：在中，，∴，∵＝，∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为12，故选：D．【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．4【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．【详解】解：如图，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．3．(1)(2)，见解析(3)有，最小值为【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）在中，，，根据，有，即可得，问题得解；（3）先求出，即，即有，则的最小值是的最小值，即点D到AC的垂线段DN的长，问题随之得解．【详解】（1）把点，代入抛物线中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；（2），理由是：如图1，令，则，即，∵，，∴，，，在中，，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）在M，N移动的过程中，有最小值是，理由如下：由（2）知：，∴，即，∴，∴的最小值是的最小值，即D、M、N三点共线时，点D到AC的垂线段DN的长，如图2，抛物线解析式为：；∴对称轴是：，即，∴，在中，，∴，即，∴在M，N移动的过程中，有最小值是．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的性质，解直角三角形以及垂线段最短等知识．题目难度不大，细心作答即可．掌握二次函数的性质是解答本题的关键．4．2【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案．解法2：如图：连接、、，在上做点，使，连接，证明，在上做点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解．【详解】解法1如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，∴，，四边形正方形，又，在与中，故答案为：2．解法2如图：连接、、根据题意正方形的边长为4，的半径为2，在上做点，使，则，连接在与中，，则在上做点，使，则，连接在与中，，则如图所示连接在与中，，故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．5．【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作于，作于，如图所示：，，，，，，，，当与相切时，取得最大和最小，①连接，，，如图1所示：可得：四边形是正方形，，在中，，，在中，，，即；②连接，，，如图2所示：可得：四边形是正方形，，由上同理可知：在中，，，在中，，，即，．故答案为：．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．6．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据点的坐标为，抛物线的对称轴是直线．待定系数法求二次函数解析式即可，（2）先求得直线解析式，设，则，过点作轴交直线于点，根据等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐标，（3）在上取，过点作，构造，则当三点共线时，取得最小值，最小值为，勾股定理解直角三形即可．（1）解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，抛物线的对称轴是直线，∴，，解得，抛物线解析式为：，（2）当，即，解得，，，设直线解析式为，，解得，直线解析式为，设，过点作轴交直线于点，则，，四边形的面积为16，，解得，或，（3）如图，过点作交抛物线的对称轴于点，以点为圆心，2为半径作，是抛物线的对称轴，，，，，，，在上取，过点作，交轴于点，交抛物线对称轴于点，则，，，，，，，，，当三点共线时，取得最小值，最小值为，．则的最小值为．【点睛】本题考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质与相似三角形的性质与判定是解题的关键．7．B【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．8．A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．9．B【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE=CD，AD=A'D，从而得出AD+DE=A'D+DE，当A'，D,E在同一直线上时，AD+DE的最小值等于A'E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA',A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A与A'关于BC对称∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴当A'，D,E在同一直线上时AD+DE的最小值等于A'E的长,在Rt△AA'E中：A'E=sin60o×AA'=×2=3∴AD十DE的最小值为3∴2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD+DE的最小值是解题关键．10．6【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，作点B关于OA的对称点，连接，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：∴，∴，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此时，，是等边三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．11．【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【详解】如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，此时，，，∴，则最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．12．【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，，，，，，，，，当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，当，，三点共线时，有最小值，此时，的最小值为，故答案为．【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．13．【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，则DH=DC，∴CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得，当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，∵OF=OA=5，∴，∴即CD+OD的最小值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键．14．【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．【详解】解：如图，取点，连接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（当B、P、T三点共线时取等号）的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．15．【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．【详解】解：延长到，使得，连接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．16．【分析】如图，连接，在上取一点，使得，进而证明,则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，勾股定理即可求得．【详解】如图，连接，在上取一点，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值，四边形是正方形在中，故答案为：．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．17．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT•AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．18．5【详解】分析:由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．详解:在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5点睛:本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．19．(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；(2)2(3)【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题；（3）在y轴上取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，∴（x+1）（ax+3）=0，∴x=-1或-，∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴-=4，∴a=-．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y=-x+3；（2）如图1，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∵∴，∵NE∥OB，∴，∴，∵抛物线解析式为，∴，∴，解得m=2或4，经检验x=4是分式方程的增根，∴m=2；（3）如图2，在y轴上取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB=，∴OE′2=OM′•OB，∴，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴，∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是的最小值．20．(1)直线AD是△ABC