2025年粤人版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤人版高一数学下册月考试卷541考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若x是一个三角形的最小内角；则函数y=sinx-cosx的值域是（）

A.

B.

C.

D.

2、下列四个数中最大的是（）

A.2lg2

B.lg2

C.（lg2）2

D.lg（lg2）

3、【题文】已知函数若实数互不相等，且则的取值范围是（）A.B.C.D.4、【题文】若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象是()

5、函数的单调递减区间是（）A.B.(--1),(3,+)C.(1,3)D.(1,+)6、从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（）A.20人B.40人C.70人D.80人7、=（）A.B.C.-D.-8、已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数x、y，使得且x+2y=1，则cos∠BAC的值为（）A.B.C.D.9、若a鈫�b鈫�

是互不平行的两个向量，且AB鈫�=娄脣1a鈫�+b鈫�AC鈫�=a鈫�+娄脣2b鈫�娄脣1娄脣2隆脢R

则ABC

三点共线的充要条件是(

)

A.娄脣1=娄脣2=1

B.娄脣1=娄脣2=鈭�1

C.娄脣1娄脣2=1

D.娄脣1娄脣2=鈭�1

评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、若{a2-1，2}∩{1，2，3，2a-4}={a-2}，则a的值是____．11、在轴上与点和点等距离的点的坐标为．12、【题文】方程的实数解的个数为____13、【题文】集合P=Q=则A∩B=____14、【题文】圆台的较小底面半径为母线长为一条母线和底面的一条半径有交点且成则圆台的侧面积为____________。15、在△ABC中．若b=5，sinA=则a=____．16、定义运算例如，1*2=1，则函数f（x）=1*2x的值域是____．17、求值：cos14°cos59°+sin14°sin121°=______．评卷人得分三、解答题(共7题，共14分)18、定义在R上的奇函数f（x）满足当x＞0时f（x）=x2-2x+2．

（1）求f（f（-1））的值。

（2）求f（x）的解析式。

（3）在所给坐标系中画出f（x）的图象；写出单调区间．

19、（本小题满分10分）设全集为R，A＝{x∣3≤x＜7}，B＝{x∣2＜x＜10}，求∁R(A∪B)和(∁RA)∩B．20、从高一学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100),8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；(4)估计成绩在85分以下的学生比例．21、已知数列的前n项和（n为正整数）。（1）令求证数列是等差数列，（2）求数列的通项公式；（3）令是否存在最小的正整数使得对于都有恒成立，若存在，求出的值。不存在，请说明理由。22、【题文】一个三棱柱的底面是边长3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图所示，

（1）请画出它的直观图；（2）求这个三棱柱的表面积和体积.

23、【题文】()(本题满分14分)

如图，菱形与矩形所在平面互相垂直，．

(Ⅰ)求证：平面

(Ⅱ)若当二面角为直二面角时，求的值；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．24、已知sinα+cosα=α∈（0，π），求．评卷人得分四、证明题(共3题，共24分)25、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．26、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．27、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分五、综合题(共1题，共8分)28、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

因为x为三角形中的最小内角；

所以0＜x≤

y=sinx+cosx=sin（x+）

∴＜x≤

＜sin（x）≤

-1＜y≤

故选B

【解析】【答案】由x为三角形中的最小内角，可得0＜x≤而y=sinx-cosx=sin（x-）；结合已知所求的x的范围可求y的范围．

2、A【分析】

由于0＜lg2＜1；

∴2lg2＞lg2＞（lg2）2＞lg（lg2）．

故选A．

【解析】【答案】先根据对数函数的单调性与特殊点得到lg2的大致范围；即可得出四个数的最大者．

3、D【分析】【解析】

试题分析：作出函数f（x）的图象如图；

不妨设a＜b＜c，则-lga=lgb=-c+6∈（0；1）

ab=1，0＜-c+6＜1

则abc=c∈（10；12）．

故选D。

考点：本题主要考查分段函数的概念；对数函数；一次函数图象的做法．

点评：典型题，利用数形结合思想，研究一次函数、对数的图象，从而利用求得【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】要使方程在(－∞，0)内有解，需使函数的图像与直线在y轴左侧有交点；故选D【解析】【答案】D5、C【分析】【解答】因为又对称轴为单调递减区间(1,3).

【分析】二次函数单调性、无理函数定义域.6、A【分析】【解答】由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4；

则这样的样本容量是n==20．

故选A．

【分析】根据已知中的不超过70分的人的累计频率，结合频率=矩形高×组距=得到答案。7、A【分析】【解答】解：sinπ=sin（4π+）=sin=．

故选A

【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式化简，计算即可得到结果．8、A【分析】解：如图；

由得：

=8；

∴联立x+2y=1解得，或

∵x；y都不为0；

∴．

故选：A．

对等式两边分别乘以便可得到根据O为△ABC外接圆的圆心，便可得到从而可以得出然后联立x+2y=1即可解出x，y，cos∠BAC，并需满足x，y非零，这便可得出cos∠BAC．

考查向量数量积的运算及其计算公式，三角形外接圆圆心的概念，余弦函数的定义，能够通过联立三个方程解出三元二次方程组．【解析】【答案】A9、C【分析】解：ABC

三点共线?AB鈫�

与AC鈫�

共线，?

存在k

使得AB鈫�=kAC鈫�?娄脣1a鈫�+b鈫�=k(a鈫�+娄脣2b鈫�)

则{1=k位2位1=k

即娄脣1娄脣2=1

故选：C

将三点共线转化为向量共线；利用向量共线的充要条件列出向量满足的等式；利用平面向量的基本定理列出方程组；得到充要条件．

本题考查向量共线的充要条件、考查平面向量的基本定理、考查等价转化的数学思想方法．【解析】C

二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

由已知，a-2∈{a2-1；2}

所以a-2=a2-1；或a-2=2

当a-2=a2-1时；无解；

当a-2=2时；a=4

此时{a2-1；2}={3，2}；

{1；2，3，2a-4}={1，2，3，4}

a=4符合题意．

故答案为：4

【解析】【答案】由已知，a-2∈{a2-1，2}所以a-2=a2-1；或a-2=2，分别求出a，并进行验证，确定答案．

11、略

【分析】试题分析：设轴上的点为解得：考点：空间距离的计算【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

试题分析：由得，在同一直角坐标系内，画出的图象；观察知交点个数为2；

故方程的实数解的个数为2个。

考点：本题主要考查方程解的概念；指数函数；二次函数的图象。

点评：简单题，将确定方程解的个数问题，转化成确定函数图象交点个数问题，利用“图象法”使问题得解。【解析】【答案】2个13、略

【分析】【解析】因为集合P=Q=则集合的交集为直线的交点x=1,y=-1,那么结果为{（-1,1）}【解析】【答案】{（-1,1）}14、略

【分析】【解析】画出圆台，则【解析】【答案】15、【分析】【解答】解：在△ABC中．若b=5，sinA=所以

a===．

故答案为：．

【分析】直接利用正弦定理，求出a的值即可．16、（0，1]【分析】【解答】解：当1≤2x时；即x≥0时；

函数y=1*2x=1

当1＞2x时；即x＜0时；

函数y=1*2x=2x

∴f（x）=

作出函数的图象；由图知；

函数y=1*2x的值域为：（0；1]．

故答案为：（0；1]．

【分析】为了求函数f（x）=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围，即可得到数f（x）=1*2x的值域．17、略

【分析】解：cos14°cos59°+sin14°sin121°=cos14°cos59°+sin14°sin（180°-59°）=cos14°cos59°+sin14°sin59°=cos（59°-14°）=cos45°=．

故答案为．

利用诱导公式化简；在根据和与差的公式计算即可．

本题考查了诱导公式化简能力以及和与差的公式计算．比较基础．【解析】三、解答题(共7题，共14分)18、略

【分析】

（1）因为f（x）为奇函数；

所以f（-1）=-f（1）=-（1-2+2）=-1；

所以f（f（-1））=f（-1）=-1；

（2）由奇函数性质可得；f（-0）=-f（0），解得f（0）=0；

当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=（-x）2-2（-x）+2=x2+2x+2；

所以f（x）=-f（-x）=-x2-2x-2；

所以f（x）=

（3）由（2）作出f（x）的图象如右所示：

根据图象可得增区间为：（-∞；-1）和（（1，+∞）；减区间为：（-1，0）和（0，1）．

【解析】【答案】（1）易求f（1）；所以f（-1）=-f（1），进而可求得f（f（-1））的值；

（2）只需求x≤0时f（x）表达式；由f（-0）=-f（0）可得f（0），x＜0时，先求f（-x），根据f（x）与f（-x）关系可得f（x）；

（3）由（2）可作出f（x）草图；根据图象可得其单调区间；

19、略

【分析】【解析】试题分析：∁R(A∪B)＝{x∣x≤2或x≥10}；5分(∁RA)∩B＝{x∣2＜x＜3或7≤x＜10}．10分考点：本题考查集合的运算。【解析】【答案】∁R(A∪B)＝{x∣x≤2或x≥10}；(∁RA)∩B＝{x∣2＜x＜3或7≤x＜10}．20、略

【分析】本题考查频率分布表、频率分布直方图和频率分布折线图，及利用频率分布直方图估计总体的分布情况（1）由每组的频数计算出每组的频率、频率/组距，列成表格形式即可．（2）以成绩为横轴，以频率/组距为纵轴，画出频率分布直方图，再取每个小矩形的上方中点，连成折线，即得频率分布折线图．（3）成绩在[60，90）分的学生比例即从左往右第三、第四第五个矩形的面积之和．（5）成绩在85分以下的学生比例即直线x=85左侧矩形的面积之和【解析】

(1)频率分布表如下：(2)频率分布直方图如下图所示：(3)74%(4)72%【解析】【答案】(1)见解析(2)见解析(3)74%(4)72%21、略

【分析】（2）中，利用对n令值，借助于通项公式与前n项和关系式求解通项公式，令n=1，可得即当时，得到结论（1）中得证数列是等差数列，（3）中，利用错位相减法可得。【解析】

（1）在中，令n=1，可得即当时，又数列是首项和公差均为1的等差数列.5分（2）于是8分(II)由（I）得所以由①-②得12分故的最小值是414分【解析】【答案】（1）见解析；（2）（3）4.22、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）根据几何体的三视图判断该几何体的形状；就可画出直观图．

（2）由几何体的三视图可判断这个几何体是正三棱柱；所以体积是底面积乘高．根据三视图中所给数据，就可求出底面三角形的面积和高，进而求出体积及表面积．

试题解析：(1)这个几何体的直观图如图所示：

(2)这个几何体是直三棱柱．

由于底面正的边长为3，侧棱长

故所求全面积

体积

考点：由三视图求面积、体积．【解析】【答案】（1）见解析；(2)S=27+V=23、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：（Ⅰ）证明：

平面∥平面

故平面5分。

（Ⅱ）取的中点由于

所以

就是二面角的平面角8分。

当二面角为直二面角时，即10分。

（Ⅲ）几何方法：

由（Ⅱ）平面欲求直线与平面所成的角，先求与所成的角.12分。

连结设

则在中，

14分。

（Ⅲ）向量方法：

以为原点，为轴、为轴建立如图的直角坐标系，设

则平面的法向量12分。

14分。

注：用常规算法求法向量，或建立其它坐标系计算的，均参考以上评分标准给分24、解：∵sinα+cosα=∴1+2sinαcosα=求得2sinαcosα=﹣

结合α∈（0；π），可得α为钝角；

∴cosα﹣sinα=﹣=﹣

∴===﹣．【分析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求得cosα﹣sinα的值，可得=的值．四、证明题(共3题，共24分)25、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．26、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．27、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证