2025年粤教版高二数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教版高二数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、x=表示的曲线是（）

A.双曲线。

B.椭圆。

C.双曲线的一部分。

D.椭圆的一部分。

2、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A.1440种B.960种C.720种D.480种3、【题文】如图，用三类不同的元件连成一个系统.当正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A.0.960B.0.864C.0.720D.0.5764、已知若向区域内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为()A.B.C.D.5、已知正方形ABCD中，S是所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，在所有的10条直线中，其中异面直线共有（）A.8对B.10对C.12对D.16对6、设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，点P（x，y）在直线y-x-3=0上（x≠-3且），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2，则的值为（）A.1B.C.D.-17、从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名．则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别是（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)8、【题文】在△ABC中，C=60°，c=1，则最短边的边长是____.9、【题文】在△ABC中，则角C="________."10、【题文】已知等差数列中，成等比数列，则_________________.11、设x，y满足约束条件则z=x﹣2y的最大值是____．12、甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的概率为____．13、函数y=的值域为______．14、已知实数x，y满足xy+9=6x+2y，且x＞2，则xy的最小值为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共30分)22、已知（n∈N*）．

（1）当n=8时；求f（x）展开式中的常数项；

（2）若f（x）展开式中没有常数项，且2＜n＜6，求n的值，并求此时f（x）展开式中含x2项的系数．

23、【题文】设向量a=(sinx,sinx),b="(cos"x,sinx),x∈

(1)若|a|=|b|,求x的值;

(2)设函数f(x)=a·b,求f(x)的最大值.24、已知抛物线Ex2=2py(p>0)

直线y=kx+2

与E

交于AB

两点，且OA鈫�?OB鈫�=2

其中O

为原点．

(1)

求抛物线E

的方程；

(2)

点C

坐标为(0,鈭�2)

记直线CACB

的斜率分别为k1k2

证明：k12+k22鈭�2k2

为定值．评卷人得分五、计算题(共2题，共20分)25、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．26、已知a为实数，求导数评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．29、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为30、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、D【分析】

∵x=k＞1；

∴x2+3y2=1（x≥0）

即。

表示实轴在x轴上的椭圆一部分；

故选D．

【解析】【答案】依据条件把已知的曲线方程化为x2+3y2=1；结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．

2、B【分析】【解析】试题分析：先让5名志愿者排队，有种排法；再安排老人排队，由于5名志愿者之间有4个位，则有所以不同的排法共有960种。故选B。考点：排列与组合【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】

试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率

考点：独立事件的概率.【解析】【答案】B4、D【分析】【解答】本题我们只要作出区域(如图内部(含边界)，以及区域A(内部含边界)，利用解方程组得到各坐标：计算出的面积为18，的面积为4，根据几何概型性质，得点落在区域内的概率为．

5、C【分析】【解答】解：如图根据异面直线的判定定理；与AC异面的有2条直线，同理与BD异面的也有2条直线；

与AB异面的有2条直线；同理与BC；CD、DA异面的也有2条直线；除此再无异面直线情况；

故选C．

【分析】根据异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．来判断即可6、D【分析】解：设P（x0，y0），F1（-1，0），F2（1，0），直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2

k1=k2=∴则=又因为y0-x0-3=0，∴则==-1．

故选：D

设P（x0，y0），则y0-x0-3=0F1（-1，0），F2（1，0），k1=k2=可得=的值．

本题考查了直线的斜率公式，属于基础题．【解析】【答案】D7、C【分析】解：用简单随机抽样从2006名学生中剔除6名，则学生甲被剔除的概率P=

被选取的概率分别是

故选：C

根据古典概率的定义结合抽样的性质即可得到结论．

本题主要考查古典概率的计算，比较基础．【解析】【答案】C二、填空题(共7题，共14分)8、略

【分析】【解析】

试题分析：∵C=60°，∴A=75°，故角B最小，∴最短边为b,由正弦定理得∴b=故所求的最短边的边长是

考点：本题考查了正余弦定理的运用。

点评：解三角形的内容包括正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，对这方面的考查经常出现，有时结合三角函数进行考查，以中等难度题目为主，同学们一定抓好基础知识．【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为△ABC中；

则角C=故答案为

考点：本题主要考查了解三角形中余弦定理的运用。

点评：解决该试题的关键是将已知中三边的关系和余弦定理结合起来，熟练的运用定理的变形得到角的求解。【解析】【答案】10、略

【分析】【解析】本题考查等差数列的性质。

设等差数列的公差为由则

又成等比数列，则

即解得或

由得故

故【解析】【答案】2n11、3【分析】【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=x﹣2y，得y=

平移直线y=当直线y=经过点A（3；0）时，直线的截距最小，此时z最大；

此时z的最大值为z=3﹣2×0=3．

故答案为：3．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值；12、0.3【分析】【解答】解：∵“乙获胜”与“甲获胜”及“甲；乙下和棋”是互斥事件．且与“乙获胜”与“甲获胜与甲、乙下和棋的并事件”是互斥事件．

∵甲获胜的概率为0.2；甲；乙下和棋的概率为0.5；

∴乙获胜的概率P=1﹣（0.2+0.5）=0.3．

故答案为：0.3

【分析】利用互斥事件概率加法公式及对立事件概率减法公式，结合已知计算求解．13、略

【分析】解：y==1-

∵2x+1＞1；

∴1-＞-3．

又∵2x+1＞2x-3；

∴＜1．

则-3＜＜1．

故函数y=的值域为：（-3；1）．

故答案是：（-3；1）．

将原函数变成：y=1-根据2x+1的范围即可求得y的范围；即求得函数y的值域．

考查函数值域的概念，以及通过变化原函数解析式的形式来求值域的方法．【解析】（-3，1）14、略

【分析】解：∵x；y为正实数；满足xy+9=6x+2y；

∴y=

令t=x-2（t＞0），则xy=6（t+）+15≥6×2+15=27

∴xy的最小值为27．

故答案为：27

由x、y为正实数，满足xy+9=6x+2y，可得y=令t=x-2（t＞0），则xy=6（t+）+15；利用基本不等式，即可得出结论．

本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查学生分析解决问题的能力，确定y=再换元是关键．【解析】27三、作图题(共9题，共18分)15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共30分)22、略

【分析】

【解析】

（1）当n=8时，

的通项为C8rx8-4r；

当r=2时为常数项C82=28

的通项为C8kx9-4k；无常数项。

故f（x）展开式中常数项为28

（2）=+

的通项为Cnrxn-4r；无常数项，故n≠4

的通项为Cnkxn-4k+1；无常数项．故n≠4k-1

由于n∈N*且2＜n＜6；

故n=5

当n=5时，x2项的系数求解如下：5-4r=2无解；

5-4k+1=2，故k=1，所以x2项的系数为C51=5．

【解析】【答案】（1）将n的值代入f（x），利用多项式的乘法展开，利用二项展开式的通项公式求出两部分的通项，令x的指数为0求出r的值；代入通项求出展开式的常数项．

（2）按多项式的乘法展开，利用二项展开式的通项公式求出两部分的通项，令x的指数不为0，在n的范围内求出n，将n的值代入通项，令x的指数为2，求出展开式中含x2项的系数．

23、略

【分析】【解析】

解:(1)由|a|=|b|得=

即4sin2x=1.

又因为sin2x+cos2x=1,x∈

所以sinx=x=

(2)f(x)=a·b=sinxcosx+sin2x,x∈

f(x)=sin2x+=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+

又2x-∈f(x)∈

即f(x)最大值为【解析】【答案】(1)x=(2)24、略

【分析】

(1)

将直线与抛物线联立，消去y

得到关于x

的方程，得到两根之和、两根之积，设出AB

的坐标，代入到OA鈫�?OB鈫�=2

中；化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p

从而求出抛物线标准方程．

(2)

先利用点ABC

的坐标求出直线CACB

的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1y2

得到k

和x

的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．

本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力．【解析】(1)

解：将y=kx+2

代入x2=2py

得x2鈭�2pkx鈭�4p=0

其中鈻�=4p2k2+16p>0

设A(x1,y1)B(x2,y2)

则x1+x2=2pkx1x2=鈭�4p

隆脿OA鈫�鈰�OB鈫�=x1x2+y1y2=x1x2+x122p鈰�x222p=鈭�4p+4

由已知，鈭�4p+4=2

解得p=12

隆脿

抛物线E

的方程为x2=y

．

(2)

证明：由(1)

知x1+x2=kx1x2=鈭�2

k1=y1+2x1=x12+2x1=x12鈭�x1x2x1=x1鈭�x2

同理k2=x2鈭�x1

隆脿k12+k22鈭�2k2=2(x1鈭�x2)2鈭�2(x1+x2)2=鈭�8x1x2=16

．五、计算题(共2题，共20分)25、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．26、解：【分析】【分析】由原式得∴六、综合题(共4题，共24分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）28、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根