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文档简介
…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页,总=sectionpages22页第=page11页,总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围:全部知识点;考试时间:120分钟学校:______姓名:______班级:______考号:______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题,共12分)1、已知与之间夹角为那么的值是()
A.2
B.
C.6
D.12
2、如图,在长方形ABCD中,AB=BC=1,E为线段DC上一动点,现将AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上,当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为A.B.C.D.3、【题文】在圆内任取一点,则该点恰好在区域内的概率为()A.B.C.D.4、【题文】下列数列中存在极限的是()
ABCD5、已知若且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.B.C.D.6、函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有()A.1个B.4个C.8个D.10个评卷人得分二、填空题(共6题,共12分)7、【题文】ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为____.8、【题文】(理)函数的最小值=____.
(文)变量满足约束条件:则目标函数的最小值为____.9、设a>0,b>0,若是2a与2b的一个等比中项,则ab的最大值为______.10、边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A,B的抛物线方程是______.11、已知抛物线y=ax2
过点A(1,2)
则a=
______,准线方程是______.12、阅读如图所示的程序框图输出的S
是______.
评卷人得分三、作图题(共6题,共12分)13、A是锐角MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.(如图所示)14、已知,A,B在直线l的两侧,在l上求一点,使得PA+PB最小.(如图所示)15、著名的“将军饮马”问题:有一位将军骑着马要从A地走到B地;但途中要到水边喂马喝一次水,则将军怎样走最近?
16、A是锐角MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.(如图所示)17、已知,A,B在直线l的两侧,在l上求一点,使得PA+PB最小.(如图所示)18、分别画一个三棱锥和一个四棱台.评卷人得分四、解答题(共2题,共10分)19、已知函数f(x)=-.
(1)求f(x)的极值;
(2)当x∈[0;1]时,求f(x)的值域;
(3)设a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x∈[0,1],使得g(x)=f(x1)成立;求a的取值范围.
20、一人在如图所示景点中的圆环道路上散步.他在交叉路口偏左走的概率为偏右走的概率为(出口处不算交叉路口).
(Ⅰ)求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率;
(Ⅱ)这个人有3天散步路过的交叉路口都最少;ξ表示这个人这3天中相同的线路次数,求ξ的分布列和数学期Eξ.
评卷人得分五、计算题(共1题,共2分)21、如图,已知正方形ABCD的边长是8,点E在BC边上,且CE=2,点P是对角线BD上的一个动点,求PE+PC的最小值.评卷人得分六、综合题(共2题,共16分)22、如图,在直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(-1,0),(3,0),(0,3),过AB,C三点的抛物的对称轴为直线l,D为对称轴l上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求当AD+CD最小时点D的坐标;
(3)以点A为圆心;以AD为半径作⊙A.
①证明:当AD+CD最小时;直线BD与⊙A相切;
②写出直线BD与⊙A相切时,D点的另一个坐标:____.23、已知f(x)=﹣3x2+a(6﹣a)x+6.参考答案一、选择题(共6题,共12分)1、B【分析】
∵与之间夹角为∴•=0;
∵====2
故选B.
【解析】【答案】先由条件得出•=0,再由==求得结果.
2、D【分析】【解析】试题分析:根据题意可知,由于在长方形ABCD中,AB=BC=1,E为线段DC上一动点,那么可知点E的运动在一个线段上,那么考虑,使点D在面ABC上的射影K在直线AE上,说明了ADE垂直与平面ABCD,那么利用当E从D运动到C,这样可知点K所形成轨迹的长度为故选D.考点:本试题考查了轨迹的形状。【解析】【答案】D3、C【分析】【解析】
试题分析:作出不等式组表示的平面区域,得到如下图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(3,3),C(3,1),∵△ABC位于圆(x-2)2+(y-2)2=4内的部分,∴在圆内任取一点,则该点恰好在区域内的概率为故答案为:.
考点:着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识,考查学生的基本运算能力.【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】容易知道A应该为项为0和2的摆动数列,不存在极限;B为包含三个项1,0,-1循环出现的数列,不存在极限;C一定不存在极限;而D中为两个特征列而时故极限存在,故选D。【解析】【答案】D5、B【分析】【解答】由可得到从而那么由得到所以解得6、D【分析】解:1;f(1)=f(2)=f(3)=1或2或3;共3个.
2;f(1)=1;f(2)=f(3)=2或3;共2个.
f(2)=2;f(1)=f(3)=1或3;共2个.
f(3)=3;f(1)=f(2)=1或2;共2个.
3;f(1)=1;f(2)=2;f(3)=3;1个。
所以这样的函数共有10个.故选D.
将f(1);f(2)、f(3)取不同的值进行讨论;得出结论.
本题考查了映射的个数,该题型并不多见,但考查的分类讨论思想,是数学中最重要的解题思想之一.【解析】【答案】D二、填空题(共6题,共12分)7、略
【分析】【解析】略【解析】【答案】8、略
【分析】【解析】略【解析】【答案】(理)(文)29、略
【分析】解:∵是2a与2b的一个等比中项;
∴2a•2b=()2=2;
∴a+b=1.
又a>0,b>0;
∴ab≤()2=.当且仅当a=b=时取等号.
∴ab的最大值为.
故答案是:.
是2a与2b的一个等比中项,可得a+b=1.再利用基本不等式的性质即可得出.
本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【解析】10、略
【分析】解:由题意可得该等边三角形的高为.因而A点坐标(1;2)或(1,-2).可设抛物线方。
程为y2=2px(p≠0).A在抛物线上,因而p=±.因而所求抛物线方程为y2=±x.
故答案y2=±x.
题干错误:边长为1的等边三角形AOB;O为原点,AB⊥x轴,不可能啊。
本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.【解析】y2=±x11、略
【分析】解:隆脽
抛物线y=ax2
过点A(1,2)
隆脿a=2
抛物线方程为x2=12y
准线方程是y=鈭�18
.
故答案为2y=鈭�18
抛物线y=ax2
过点A(1,2)
代入计算,可得a
抛物线方程化为标准方程,即可得出结论.
本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.【解析】2y=鈭�18
12、略
【分析】解:第一次执行循环体后;S=1i=2
不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后;S=5i=3
不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后;S=14i=4
不满足退出循环的条件;
再次执行循环体后;S=30i=5
满足退出循环的条件;
故输出的结果为:30
故答案为:30
.
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S
的值;模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答.【解析】30
三、作图题(共6题,共12分)13、略
【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A',关于ON的A对称点A'',连接A'A'',根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值.【解析】【解答】解:作A关于OM的对称点A';关于ON的A对称点A'',与OM;ON相交于B、C,连接ABC即为所求三角形.
证明:∵A与A'关于OM对称;A与A″关于ON对称;
∴AB=A'B;AC=A''C;
于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A'';
根据两点之间线段最短,A'A''为△ABC的最小值.14、略
【分析】【分析】显然根据两点之间,线段最短,连接两点与直线的交点即为所求作的点.【解析】【解答】解:连接两点与直线的交点即为所求作的点P;
这样PA+PB最小;
理由是两点之间,线段最短.15、略
【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′,连接AB′,AB′与河面的交点C即为所求.【解析】【解答】解:作B点与河面的对称点B′;连接AB′,可得到马喝水的地方C;
如图所示;
由对称的性质可知AB′=AC+BC;
根据两点之间线段最短的性质可知;C点即为所求.
16、略
【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A',关于ON的A对称点A'',连接A'A'',根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值.【解析】【解答】解:作A关于OM的对称点A';关于ON的A对称点A'',与OM;ON相交于B、C,连接ABC即为所求三角形.
证明:∵A与A'关于OM对称;A与A″关于ON对称;
∴AB=A'B;AC=A''C;
于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A'';
根据两点之间线段最短,A'A''为△ABC的最小值.17、略
【分析】【分析】显然根据两点之间,线段最短,连接两点与直线的交点即为所求作的点.【解析】【解答】解:连接两点与直线的交点即为所求作的点P;
这样PA+PB最小;
理由是两点之间,线段最短.18、解:画三棱锥可分三步完成。
第一步:画底面﹣﹣画一个三角形;
第二步:确定顶点﹣﹣在底面外任一点;
第三步:画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点.
画四棱可分三步完成。
第一步:画一个四棱锥;
第二步:在四棱锥一条侧棱上取一点;从这点开始,顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段;
第三步:将多余线段擦去.
【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面,再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点,得到锥体,在画四棱台时,在四棱锥一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段,将多余线段擦去,得到图形.四、解答题(共2题,共10分)19、略
【分析】
(1)令f'(x)=0,解得:x=-(舍)或x=1
当0≤x≤1时;f'(x)≥0;当x>1时,f'(x)<0;
所以f(x)极大值=f(1)=3;无极小值.
(2)由(1)知f(x)在区间[0;1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的值域为[f(0),f(1)],即[-4,-3].
(3)因为g'(x)=3x2-3ax且a≥1;所以当x∈[0,1]时g'(x)≤0,所以g(x)在区间[0,1]单调递减;
所以g(x)在区间[0,1]的值域为[g(1),g(0)],即[1-3a2-2a;-2a].
又对于任意x1∈[0,1],总存在x∈[0,1],使得g(x)=f(x1)成立等价为f(x)在区间[0;1]的值域⊆g(x)在区间[0,1]的值域;
即[-4,-3]⊆[1-3a2-2a;-2a];
即解得:.
【解析】【答案】(1)利用导数求函数的极值.
(2)利用导数研究函数的单调性;利用单调性和最值确定函数的值域.
(3)利用导数求函数的最值范围,利用g(x)=f(x1)成立;求a的取值范围.
20、略
【分析】
(Ⅰ)由图可知;此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4,共分:①入口⇒向左⇒向左⇒向左⇒向左⇒出口,②入口⇒向左⇒向右⇒向右⇒向左⇒出口,③入口⇒向右⇒向左⇒向左⇒向右⇒出口,④入口⇒向右⇒向右⇒向右⇒向右⇒出口,一共4条线路.设此人选择这4条线路分别为事件A;B、C、D,设“此人遇到的交叉路口数为4”为事件E,则A、B、C、D互斥,且E=A+B+C+D
由题意,P(A)=P(B)=P(C)=
∴.
答:这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为.6分。
(Ⅱ)由题意;ξ=0,1,2,7分。
∴ξ的分布列为。
。ξ12p∴.13分.
【解析】【答案】(Ⅰ)由图可知;此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4,求出相应的概率,利用互斥事件的概率公式,即可求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率;
(Ⅱ)确定ξ的取值;求出相应的概率,即可求分布列和数学期Eξ.
五、计算题(共1题,共2分)21、略
【分析】【分析】要求PE+PC的最小值,PE,PC不能直接求,可考虑通过作辅助线转化PE,PC的值,从而找出其最小值求解.【解析】【解答】解:如图;连接AE;
因为点C关于BD的对称点为点A;
所以PE+PC=PE+AP;
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值;
∵正方形ABCD的边长为8cm;CE=2cm;
∴BE=6cm;
∴AE==10cm.
∴PE+PC的最小值是10cm.六、综合题(共2题,共16分)22、略
【分析】【分析】(1)由待定系数法可求得抛物线的解析式.
(2)连接BC;交直线l于点D,根据抛物线对称轴的性质,点B与点A关于直线l对称,∴AD=BD.
∴AD+CD=BD+CD;由“两点之间,线段最短”的原理可知:D在直线BC上AD+CD最短,所以D是直线l与直线BC的交点;
设出直线BC的解析式为y=kx+b;可用待定系数法求得BC直线的解析式,故可求得BC与直线l的交点D的坐标.
(3)由(2)可知,当AD+CD最短时,D在直线BC上,由于已知A,B,C,D四点坐标,根据线段之间的长度,可以求出△ABD是直角三角形,即BC与圆相切.由于AB⊥l,故由垂径定理知及切线长定理知,另一点D与现在的点D关于x轴对称,所以另一点D的坐标为(1,-2).【解析】【解答】解:
(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).(1分)
将(0;3)代入上式,得3=a(0+1)(0-3).
解;得a=-1.(2分)∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3).
即y=-x2+2x+3.(3分)
(2)连接BC;交直线l于点D.
∵点B与点A关于直线l对称;
∴AD=BD.(4分)
∴AD+CD=BD+CD=BC.
由“两点之间;线段最短”的原理可知:
此时AD+CD最小;点D的位置即为所求.(5分)
设直线BC的解析式为y=kx+b;
由直线BC过点(3;0),(0,3);
得
解这个方程组,得
∴直线BC的解析式为y=-x+3.(6分)
由(1)知:对称轴l为;即x=
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