2025年沪科版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、已知与之间夹角为那么的值是（）

A.2

B.

C.6

D.12

2、如图，在长方形ABCD中，AB=BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为A.B.C.D.3、【题文】在圆内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为（）A.B.C.D.4、【题文】下列数列中存在极限的是（）

ABCD5、已知若且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.B.C.D.6、函数f：{1，2，3}→{1，2，3}满足f（f（x））=f（x），则这样的函数个数共有（）A.1个B.4个C.8个D.10个评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)7、【题文】ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为____.8、【题文】（理）函数的最小值=____.

（文）变量满足约束条件：则目标函数的最小值为____.9、设a＞0，b＞0，若是2a与2b的一个等比中项，则ab的最大值为______．10、边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是______．11、已知抛物线y=ax2

过点A(1,2)

则a=

______，准线方程是______．12、阅读如图所示的程序框图输出的S

是______．

评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)13、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

16、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）17、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）18、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共10分)19、已知函数f（x）=-．

（1）求f（x）的极值；

（2）当x∈[0；1]时，求f（x）的值域；

（3）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x1）成立；求a的取值范围．

20、一人在如图所示景点中的圆环道路上散步．他在交叉路口偏左走的概率为偏右走的概率为（出口处不算交叉路口）．

（Ⅰ）求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率；

（Ⅱ）这个人有3天散步路过的交叉路口都最少；ξ表示这个人这3天中相同的线路次数，求ξ的分布列和数学期Eξ．

评卷人得分五、计算题(共1题，共2分)21、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)22、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．23、已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+6．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、B【分析】

∵与之间夹角为∴•=0；

∵====2

故选B．

【解析】【答案】先由条件得出•=0，再由==求得结果．

2、D【分析】【解析】试题分析：根据题意可知，由于在长方形ABCD中，AB=BC=1，E为线段DC上一动点，那么可知点E的运动在一个线段上，那么考虑，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，说明了ADE垂直与平面ABCD，那么利用当E从D运动到C，这样可知点K所形成轨迹的长度为故选D.考点：本试题考查了轨迹的形状。【解析】【答案】D3、C【分析】【解析】

试题分析：作出不等式组表示的平面区域，得到如下图的△ABC及其内部，其中A（1，2），B（3，3），C（3，1）,∵△ABC位于圆（x-2）2+（y-2）2=4内的部分，∴在圆内任取一点，则该点恰好在区域内的概率为故答案为：．

考点：着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识,考查学生的基本运算能力．【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】容易知道A应该为项为0和2的摆动数列，不存在极限；B为包含三个项1，0，-1循环出现的数列，不存在极限；C一定不存在极限；而D中为两个特征列而时故极限存在，故选D。【解析】【答案】D5、B【分析】【解答】由可得到从而那么由得到所以解得6、D【分析】解：1；f（1）=f（2）=f（3）=1或2或3；共3个．

2；f（1）=1；f（2）=f（3）=2或3；共2个．

f（2）=2；f（1）=f（3）=1或3；共2个．

f（3）=3；f（1）=f（2）=1或2；共2个．

3；f（1）=1；f（2）=2；f（3）=3；1个。

所以这样的函数共有10个．故选D．

将f（1）；f（2）、f（3）取不同的值进行讨论；得出结论．

本题考查了映射的个数，该题型并不多见，但考查的分类讨论思想，是数学中最重要的解题思想之一．【解析】【答案】D二、填空题(共6题，共12分)7、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】（理）（文）29、略

【分析】解：∵是2a与2b的一个等比中项；

∴2a•2b=（）2=2；

∴a+b=1．

又a＞0，b＞0；

∴ab≤（）2=．当且仅当a=b=时取等号．

∴ab的最大值为．

故答案是：．

是2a与2b的一个等比中项，可得a+b=1．再利用基本不等式的性质即可得出．

本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】10、略

【分析】解：由题意可得该等边三角形的高为．因而A点坐标（1；2）或（1，-2）．可设抛物线方。

程为y2=2px（p≠0）．A在抛物线上，因而p=±．因而所求抛物线方程为y2=±x．

故答案y2=±x．

题干错误：边长为1的等边三角形AOB；O为原点，AB⊥x轴，不可能啊。

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．【解析】y2=±x11、略

【分析】解：隆脽

抛物线y=ax2

过点A(1,2)

隆脿a=2

抛物线方程为x2=12y

准线方程是y=鈭�18

．

故答案为2y=鈭�18

抛物线y=ax2

过点A(1,2)

代入计算，可得a

抛物线方程化为标准方程，即可得出结论．

本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．【解析】2y=鈭�18

12、略

【分析】解：第一次执行循环体后；S=1i=2

不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后；S=5i=3

不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后；S=14i=4

不满足退出循环的条件；

再次执行循环体后；S=30i=5

满足退出循环的条件；

故输出的结果为：30

故答案为：30

．

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S

的值；模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．【解析】30

三、作图题(共6题，共12分)13、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

16、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．17、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．18、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共10分)19、略

【分析】

（1）令f'（x）=0，解得：x=-（舍）或x=1

当0≤x≤1时；f'（x）≥0；当x＞1时，f'（x）＜0；

所以f（x）极大值=f（1）=3；无极小值．

（2）由（1）知f（x）在区间[0；1]单调递增，所以f（x）在区间[0，1]的值域为[f（0），f（1）]，即[-4，-3]．

（3）因为g'（x）=3x2-3ax且a≥1；所以当x∈[0，1]时g'（x）≤0，所以g（x）在区间[0，1]单调递减；

所以g（x）在区间[0，1]的值域为[g（1），g（0）]，即[1-3a2-2a；-2a]．

又对于任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x1）成立等价为f（x）在区间[0；1]的值域⊆g（x）在区间[0，1]的值域；

即[-4，-3]⊆[1-3a2-2a；-2a]；

即解得：．

【解析】【答案】（1）利用导数求函数的极值．

（2）利用导数研究函数的单调性；利用单调性和最值确定函数的值域．

（3）利用导数求函数的最值范围，利用g（x）=f（x1）成立；求a的取值范围．

20、略

【分析】

（Ⅰ）由图可知；此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4，共分：①入口⇒向左⇒向左⇒向左⇒向左⇒出口，②入口⇒向左⇒向右⇒向右⇒向左⇒出口，③入口⇒向右⇒向左⇒向左⇒向右⇒出口，④入口⇒向右⇒向右⇒向右⇒向右⇒出口，一共4条线路．设此人选择这4条线路分别为事件A；B、C、D，设“此人遇到的交叉路口数为4”为事件E，则A、B、C、D互斥，且E=A+B+C+D

由题意，P（A）=P（B）=P（C）=

∴．

答：这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率为．6分。

（Ⅱ）由题意；ξ=0，1，2，7分。

∴ξ的分布列为。

。ξ12p∴．13分．

【解析】【答案】（Ⅰ）由图可知；此人走出景点遇到的最少交叉路口数为4，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，即可求这个人路过的交叉路口数最少且走出景点的概率；

（Ⅱ）确定ξ的取值；求出相应的概率，即可求分布列和数学期Eξ．

五、计算题(共1题，共2分)21、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．六、综合题(共2题，共16分)22、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=