2025年沪科版高二数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科版高二数学上册阶段测试试卷210考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、【题文】设是△内一点，且定义其中分别是△△△的面积，若则的最小值是()A.8B.9C.16D.182、【题文】已知向量且那么等于（）A.B.C.D.3、【题文】若△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且则的值为A.B.C.D.4、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c=2a，bsinB﹣asinA=asinC，则cosB为（）A.B.C.D.5、在空间中，下列命题正确的是（）A.经过三个点有且只有一个平面B.经过一个点和一条直线有且只有一个平面C.经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个D.经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个6、已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q是面对角线A1C1上的两个不同的动点（包括端点A1，C1）．给出以下四个结论：

①存在P；Q两点，使BP⊥DQ；

②存在P，Q两点，使BP，DQ与直线B1C都成45°的角；

③若PQ=1；则四面体BDPQ的体积一定是定值；

④若PQ=1；则四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积之和为定值．

以上各结论中，正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.17、若函数f(x)=x3鈭�tx2+3x

在区间[1,4]

上单调递增，则实数t

的取值范围是(

)

A.(鈭�隆脼,518]

B.(鈭�隆脼,3]

C.[518,+隆脼)

D.[3,+隆脼)

8、2016

年春运期间为查醉酒驾驶，将甲、乙、丙三名交警安排到某商业中心附近的两个不同路口突击检查，每个路口至少一人，则甲、乙两名交警不在同一路口的概率是(

)

A.19

B.29

C.13

D.23

评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为__________.10、点（1，0）到直线x+y=2的距离为____．11、在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，P(X＝4)＝________(用式子表示)．12、函数（1）若函数在内没有极值点，求的取值范围；（2）若对任意的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.13、若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a=____．14、点P（0，2）到直线l：x-y+3=0的距离为______．15、已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是______．16、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差s2是______（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）17、已知x＞0，观察下列不等式：①x②x③x≥4，，则第n个不等式为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)25、【题文】现测得∠BCD=53°，∠BDC=60°，CD=60（米），并在点C测得塔顶A的仰角为∠ACB=29°，求塔高AB（精确到0.1米）．26、【题文】在平面直角坐标系xOy中；点P(，cos2θ)在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且·＝－

(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．27、【题文】已知椭圆的右焦点长轴的左、右端点分别为且

（1）求椭圆的方程；

（2）过焦点斜率为（）的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点.试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.评卷人得分五、计算题(共3题，共30分)28、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．29、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．30、1.（本小题满分12分）已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．评卷人得分六、综合题(共3题，共9分)31、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．32、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．33、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】【解析】

试题分析：因为所以

所以因为所以

所以即的最小值为

考点：本小题主要考查向量的数量积运算；三角形面积公式的应用和利用“1”的整体代换和基本不等式求最值；考查了学生综合运算所学知识解决问题的能力和逻辑思维能力和运算求解能力.

点评：求解本题的关键是根据题意得出然后利用“1”的整体代换和基本不等式求最值，“1”的整体代换可以简化计算，这种方法经常用到，要多加注意，多多练习.【解析】【答案】D2、C【分析】【解析】

试题分析：因为所以所以等于

考点：本小题主要考查向量平行的坐标表示和向量的线性运算.

点评：平面向量的平行与垂直的坐标表示是高考经常考查的内容，要仔细掌握，灵活运用.【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】由得两边平方得同理得故选【解析】【答案】A4、B【分析】【解答】解：∵bsinB﹣asinA=asinC；

∴由正弦定理可得：b2﹣a2=ac；

又∵c=2a；

∴b2=a2+ac=2a2；

∴cosB==．

故选：B．

【分析】由正弦定理化简已知可得b2=a2+ac=2a2，利用余弦定理可求cosB，从而得解．5、C【分析】【解答】解：对于A；经过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面，故A错误；对于B，经过直线外一个点和这条直线有且只有一个平面，故B错误；

对于C；根据平面公理2知，经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个，命题正确；

对于D；当点在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面不存在；

当点不在直线上时；经过该点且与这条直线平行的平面有无数个，故D错误．

故选：C．

【分析】A中；经过不在一条直线上的三个点有且只有一个平面；

B中；经过直线外一个点和这条直线有且只有一个平面；

C中；根据平面公理2知，经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个；

D中，点在直线上和点不在直线上时，经过该点且与这条直线平行的平面可能存在，也可能不存在．6、B【分析】解：对于①．当P与A1点重合，Q与C1点重合时，BP⊥DQ，故①正确；

对于②．当P与A1点重合时，BP与直线B1C所成的角最小；此时两异面直线夹角为60°，故②错误．

对于③．设平面A1B1C1D1两条对角线交点为O；则易得PQ⊥平面OBD．平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥，故四面体BDPQ的体积一定是定值，故③正确．

对于④．四面体BDPQ在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定值．四面体BDPQ在四个侧面上的投影，均为上底为下底和高均为1的梯形，其面积为定值．故四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值．故④正确．

综上可得：只有①③④正确．

故选：B．

令P与A1点重合，Q与C1点重合，可判断①．当P与A1点重合时，BP与直线B1C所成的角最小；此时两异面直线夹角为60°，可判断②．根据平面OBD将四面体BDPQ可分成两个底面均为平面OBD，高之和为PQ的棱锥（其中O为上底面中心），可判断③；根据四面体BDPQ在该正方体六个面上的正投影的面积不变，可判断④．

本题考查了综合考查了正方体的性质、空间位置关系、线面垂直的判定与性质定理、棱锥的体积计算公式、直角三角形的边角关系、异面直线所成的角，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解析】【答案】B7、B【分析】解：隆脽

函数f(x)=x3鈭�tx2+3x

隆脿f隆盲(x)=3x2鈭�2tx+3

若函数f(x)=x3鈭�tx2+3x

在区间[1,4]

上单调递增；

则f隆盲(x)鈮�0

即3x2鈭�2tx+3鈮�0

在[1,4]

上恒成立；

隆脿t鈮�32(x+1x)

在[1,4]

上恒成立；

令y=32(x+1x)

由对勾函数的图象和性质可得：函数在[1,4]

为增函数；

当x=1

时；函数取最小值3

隆脿t鈮�3

即实数t

的取值范围是(鈭�隆脼,3]

故选：B

．

由题意可得f隆盲(x)鈮�0

即3x2鈭�2tx+3鈮�0

在[1,4]

上恒成立；由二次函数的性质可得不等式组的解集．

本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．【解析】B

8、D【分析】解：将甲；乙、丙三名交警安排到某商业中心附近的两个不同路口突击检查；每个路口至少一人；

基本事件总数n=C32C11A22=6

甲；乙两名交警在同一路口包含的基本事件m=A22=2

隆脿

甲、乙两名交警不在同一路口的概率p=1鈭�26=23

．

故选：D

．

先求出基本事件总数n=C32C11A22=6

再求出甲；乙两名交警在同一路口包含的基本事件m=A22=2

由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两名交警不在同一路口的概率．

本题考查古典概型、概率的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、集合思想，是基础题．【解析】D

二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】试题分析：由更相减损术得：459－357＝102，357－102＝255，255－102＝153，153－102＝51，102－51＝51.考点：更相减损术和辗转相除法.【解析】【答案】5110、略

【分析】

由x+y=2，得x+y-2=0，所以点（1，0）到直线x+y-2=0的距离为d=．

故答案为．

【解析】【答案】化直线方程为一般式；然后直接利用点到直线的距离公式求解．

11、略

【分析】X服从超几何分布，∴P(X＝4)＝【解析】【答案】12、略

【分析】试题分析：（1）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在[-1，1]上没有实根即可，即f′（x）=0的两根x=-a或x=不在区间[-1，1]上；（2）求导函数，来确定极值点，利用a的取值范围，求出f（x）在x∈[-2，2]上的最大值，再求满足f（x）≤1时m的取值范围．【解析】

（1）由题意知，当时，合题意，当时，因为所以解得或综上或或（2）又所以函数的递增区间为递减区间为当时，所以而所以因为在上恒成立，所以即在上恒成立，所以考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【解析】【答案】（1）或或（2）13、﹣2【分析】【解答】解：直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，由于直线的斜率存在，所以斜率乘积为﹣1，即﹣1•（）=﹣1；所以a=﹣2．故答案为：﹣2．

【分析】由题意可知两条直线垂直，斜率乘积为﹣1，即可求出a的值．14、略

【分析】解：∵直线l：x-y+3=0；点P（0，2）

∴点P到直线l的距离为d==

故答案为：

根据点到直线的距离公式；结合题中数据加以计算，即可得到所求距离．

本题求定点到定直线的距离，着重考查了点到直线的距离公式的知识，属于基础题．【解析】15、略

【分析】解：设A（-400；0）；B（400，0）、M（x，y）为曲线上任一点；

则||MA|-|MB||=340×2=680＜800．

∴M点轨迹为双曲线靠近B点的那一支．

故答案为：双曲线靠近B点的那一支．

设A（-400；0）；B（400，0）、M（x，y）为曲线上任一点，根据|MA|-|MB|为常数，推断M点轨迹为双曲线靠近B点的那一支．

本题主要考查了双曲线的标准方程．注意利用好双曲线的定义和性质．【解析】双曲线靠近B点的那一支16、略

【分析】解：由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均值为：

=100×0.010×10+110×0.020×10+120×0.035×10+130×0.030×10+140×0.005×10=120；

∴样本方差S2=（-20）2×0.1+（-10）2×0.2+02×0.35+102×0.3+202×0.05=110．

∴这500件产品质量指标值的样本方差S2是110．

故答案为：110．

由频率分布直方图可估计样本特征数均值；方差．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．

本题考查频率分布直方图的应用，考查样本方差的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、转化化归思想，是基础题．【解析】11017、略

【分析】解：观察下列不等式：①x②x③x≥4；；

可知，各个不等式左边共有两项，第一项都为x，第二项依次为右边依次为2，3，4，，n+1

从而得满足的不等式为x．

故答案为：x．

根据不等式：①x②x③x≥4，，结合左右两边式子的特点，可以猜测第n个不等式x．

本题以已知不等式为载体，考查类比推理，属于基础题．【解析】x三、作图题(共7题，共14分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共6分)25、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

26、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】

27、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）由椭圆的右焦点即又长轴的左、右端点分别为且即可得即可求出从而得到椭圆的方程.

（2）由（1）可得假设直线AB的方程联立椭圆方程消去y即可得到一个关于x的二次方程，由韦达定理得到根与直线斜率k的关系式.写出线段AB的中点坐标以及线段AB的垂直平分线的方程.即可得到点D的坐标.假设存在点E由于对称性本小题的问题等价转化为即可.所以表示出点E的坐标.代入椭圆方程根据的解得情况即可结论.

试题解析：（1）依题设则

由解得所以

所以椭圆的方程为

（2）依题直线的方程为

由得

设弦的中点为

则

所以

直线的方程为

令得则

若四边形为菱形，则

所以

若点在椭圆上，则

整理得解得所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.

考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.【解析】【答案】（1）（2）五、计算题(共3题，共30分)28、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．29、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．30、略

【分析】由题设得则的概率分布为4分。012P故收益的概率分布为。1.622.4P所以=28分12分【解析】【答案】=2六、综合题(共3题，共9分)31、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直