2024年高三数学一轮复习训练：集合（北京版）

第一章集合、常见逻辑用语与不等式

第一节集合（北京专版）

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【课标要求*解读】

常考题

课标要求高考举例

型

1.集合的2018•北京

1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用自然语

基本关系

言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体文，8

问题2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的

2024北京卷，

子集.

2.集合的12023北京

3.会求两个集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的

基本运算卷，1

补集的含义，能求给定子集的补集.

2022北京卷，

4.能使用Venn图表达集合的基本关系及集合的基本运算.1

2021北京卷，

1

2020北京卷，

1

【五年真题*体会】

](2024.北京.高考真题)已知集合”={医-3<工<1},N={x|-lVx<4},则A/uN=()

A.{x|-l<x<l}B.{x|x>-3}

C.{x|-3<x<4}D.{巾<4}

【答案】C【详解】由题意得MuN={x|-3Vx<4}.故选：C.

2.(2023・北京•高考真题)已知集合"={周彳+220},"=屏|尤-1<0},则HcN=()

A.[x\—2<x<l}B.{^|-2<x<l}

C.[x\x>-2}D.[x\x<i]

【答案】A【详解】由题意，M^{x\x+2>Q]={x\x>-2],N={Mx-l<0}={尤[x<l},

根据交集的运算可知，M双=口|-24尤<1}.故选：A

3.(2022・北京.高考真题)已知全集。=回一3。<3},集合4={同一2。41},则即4=()

A.(-2,1]B.(-3,-2)[1,3)C.[-2,1)D.(一3,-2].(1,3)

【答案】D

【详解】由补集定义可知：^A={x\-3<x<-2^1<x<3},即即4=(-3,-2]1(1,3),故选：

D.

4.(2021・北京・高考真题)已知集合4={刈-1<彳<1},B={x|0<x<2},则()

A.{x\-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<l}D.[x\0<x<2}

【答案】B

【详解】由题意可得：A3={x|-1〈尤W2}.故选：B.

5.(2020・北京・高考真题)已知集合4={-1,0,1,2},B={x|0<x<3},则AB=().

试卷第2页，共12页

A.{-1,0,1}B,{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【详解】AIB={-1,0,1,2)I(0,3)={1,2},故选:D.

【高考命题*规律】

考查要核心素

考题考点考向关键能力

求养

集合的并集运运算求解能逻辑推

2024•北京，1,4分基础性

算力理

集合的补集运运算求解能数学运

2023•北京,1,4分基础性

算力算

集合的运集合的并集运运算求解能数学运

2022•北京，1,4分基础性

算算力算

集合的交集运运算求解能数学运

2021•北京，1,4分基础性

算力算

集合的并集运运算求解能数学运

2020•北京，1,4分基础性

算力算

【备考建议*方向】

1.命题规律：本章内容是高考的必考内容，通常每年考一道选择题，主要涉及集合的性质

与运算，属于简单题.

2.复习要求：准确把握集合中元素的属性，知道中学常见的集合有两类：数集和点集；

正确区分和表示元素与集合、集合与集合之间的关系；分清并掌握集合的交、并、补运算;

能使用维恩图表达集合间的关系及运算；把集合作为工具解决后面知识中的问题.

3.复习重点：能正确表示元素与集合、集合与集合两类不同的关系.

4.复习难点：把集合作为工具，灵活地解决相关问题.

考点1集合的基本概念

【深挖教材*必备基础】

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性;

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号©或任表示；

(3)集合表示的方法：列举法、描述法、图示法、区间法;

(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N+)；整数集Z；有理数集Q；实数集R；

(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集.

【系统归纳*探究突破】

探究1集合的基本概念

【例1】给出下列六个关系：(1)OwN*(2)0g{-1,1}

(3)0e{O}(4)0c{O}(5){0}e{0,l}(6){o}G{O}

其中正确关系的序号是.

【解析】(1)N*表示的含义是正整数集.(2)正确，集合元素具有确定性•(4)正确，空

集是任何集合的子集.(6)集合相等，是子集的特殊情况.故为(2)(4)(6).

【举一反三】(2024北京大兴期末)

1.已知集合4=5|1：=2«#€2},则()

A.—IGAB.IGA

c.-V2eAD.2A

探究2元素与集合的关系

【例2】(人教B必一P9练习B,4)已知集合4="-2"+5,12}且—3€4,求x的值

【答案】x=-l或％=-8

【解析】根据题意，％-2=-3或彳+5=-3,因此x=-l或X=-8，

经检验x=-1与x=-8都满足题意.

【举一反三】

2.已知集合4={。+2,〃+2a2},若3eA,则实数〃的值为.

探究3集合中元素性质应用

【例3-1】已知集合4=卜辰2+2*+1=0,°€式,彳6氏}.若人中只有一个元素,则。=()

A.0B.1C.0或1D.-1

试卷第4页，共12页

【答案】C

[a00,

【解析】集合A中只有一个元素，则方程只有一个解，所以a=O或L//八即〃=0或

[A=4-4«=0,

42=1.故选C.

【例3・2】设]£X炉—(2X——=0,则集合X%2----X_62=0中所有元素之积为.

【答案】|9

【解析】因为卜一分一1=0,,所以、：一十；一|=o,解得a=_g,

IQIOOQ

代入—万X—Q=0,X2——X+—=0,由韦达定理，得所有兀素之积为西尤2=5.

【举一反三】

3.已知集合4=卜|62+2》+1=0,aeT?）,若A中至多只有一个元素，求。取值范围.

【题后反思*必备技能】

确定集合中的代表元素是什么，即

<箍略»集合是数集、点集还是其他类型的

XX________________________

—国这些元素满足什么限制条件一

根据限制条件列式求参数的值或确

途略与J定集合中元素的个数，但要注意检

验集合是否满足元素的互异性

考点2集合的基本关系

【深挖教材*必备基础】

（1）子集、真子集及其性质

对任意的xeA,都有则4=8（或3宣A）.

若4=8,且B中至少有一个元素xe3,但x/A,则（或BA）.

。三；ACA；ACB,BCC=>Ace.

若A含有〃个元素，则A的子集有2"个，A的非空子集有（2"-1）个,A的非空真子集有（2"-2）

个；

（2）集合相等

若403且则A=B.

【系统归纳*探究突破】

探究1判断集合间的关系

【例1】若4={小2=x},则下列说法正确的是（）

A.{0}cAB.{1}=A

C.{-1,1}cAD.{0}cA

【答案】D

【解析】4={小2=尤}={0,1},{0}是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错

误；

{1}*{0,1},故B错误;-U{0.1},故C错误;0e{0,l},故D正确.

故选：D.

【举一反三】（2023•北京东城•二模）

4.4知集合A={xeN|—l<x<5},8={0,123,4,5},则（）

A.A呈3B.A=BC.BeAD.B=A

探究2判断满足条件的集合个数

【例3］满足{1}=M={L2,3}的集合M的个数为（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】C

【解析】因为{1}="={1,2,3},所以集合M可能为：{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}共4种

情况.

故选：C

【举一反三】（2020.北京丰台.二模）

5.集合A={xeZ卜2<尤<2}的子集个数为（）

A.4B.6C.7D.8

【题后反思*必备技能】

判断两集合关系的常用方法：

一是元素特征法：即先化简集合，再从表达式中寻找两集合的关系；

二是列举法：表示各集合，一一列举元素观察关系；

试卷第6页，共12页

三是利用Venn图或数轴法表示集合间的关系.

考点3集合的运算

【深挖教材*必备基础】

(1)集合的并、交、补运算

集合的并集集合的交集集合的补集

符号表示AuBAcB若全集为U,则集合A的补集为乐A

.

图形表示(30

AUB4c8

集合表示A,且不£用^x\xeU,且xeA}

(2)集合的运算性质

并集的性质：

Au0=A；AA=A-AB=BA-AB=A<^B^A.

交集的性质：

A0=0；A\A=A；Ac5=5cA；Ar^B=B.

补集的性质：

AU(6A)=U；A(%A)=0；<(UA)=A.

【系统归纳*探究突破】

探究1集合的交、并、补运算

【例1-1](人教A必一P13,例5)设〃="卜是小于9的正整数},A={1,2,3},

3={3,4,5,6},求许A,&B,(>4)n(VB).

【解析】U={123,4,5,6,7,8},

于是电A={4,5,6,7,8},^B={1,2,7,8},An^B={l,2},(枷)(胆)={7,8}.

【例1-2](2024•北京顺义•三模)已知集合知={0,1,2},N={x,-3尤<0},则McN=

()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{x|0Vx<3}D.{x[0<x<3}

【答案】B

【分析】化简集合N,根据交集运算法则求McN.

【详解】不等式d-3x<0的解集为{x[0<x<3},所以N={x|O<尤<3},又洋={0,1,2},

所以A/cN={1,2},故选：B.

【举一反三】

（2024•北京丰台•二模）

6.已知集合。={1,2,3,4,5},4={1,3},3={2,3},则（瘵4）小（心）=（）

A.{3}B.{1,2}C.{4,5}D.{1,2,3}

（2024•北京西城•三模）

7.设集合A={x[x+l<0},B={x\-2<x<2},则集合AD3=（）

A.（-oo,2]B.[-2,-1）C.（-1,2]D.（-<»,+<»）

（2024•北京通州三模）

8.己知U为整数集，A={xeZ,|x2>4},则24=（）

A.{—1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.（0,1,2}D.{-2,—1,0,1,2}

探究2Venn图

【例2】已知全集U是实数集R.下边的韦恩图表示集合/={小>2}与双={尤|1<尤<3}关

系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）

A.{x|尤>2}B.[x\x<2^C.{x|x>l}D.{x|xVl}

【答案】D

【解析】先求出白色区域，然后得出补集，即为阴影部分.

如图，白色区域为MUN={HX>2}3X[1<X<3}={X|X>1},

则阴影部分表示的集合为即（MUN）={x|x<1}.故选D.

试卷第8页，共12页

【举一反三】（2024.北京东城.一模）

9.如图所示，U是全集，是U的子集，则阴影部分所表示的集合是（）

A.AnBB.AuBC.D.Q；（AuB）

【题后反思*必备技能】

集合基本运算的求解策略：

首先看集合能否化简，能化简的先化简.当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集

合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解.对

于端点处的取舍，可以单独检验.

Bi.）…小能….

微点1根据集合的运算求参数

【典例1】（2024•北京海淀•二模）已知集合4={-1,0』,2},3=*|4"<3}.若4。8,

则。的最大值为（）

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】C

【解析】由于所以aW-l,故。的最大值为-1,故选：C

【方法归纳】利用集合的运算求参数的方法

（1）将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则用

观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是用不等式（组）表示的，则一般

利用数轴解决，要注意端点值能否取到.

（2）将集合之间的关系转化为解方程（组）或不等式（组）问题求解.

（3）根据求解结果来确定参数的值或取值范围.

【举一反三】

（2024.北京•开学考试）

10.集合A={—IWXWI},B^{x\x>a},且A呈3,则实数。的取值范围是.

（2024•北京•模拟预测）

11.已知集合&={3©'},集合8={办〃},若Ac8={l},贝打"+”=()

A.4B.2C.0D.1

微点2集合的新定义问题

【典例2-1】定义集合运算：A*B={z|z=q(x+y),xe,设集合A={O,1},3={2,3},

则集合A*B中的所有元素之和为.

【答案】18

［解析］当x=0,y=2时，z=xy(x+y)=O；当x=0,y=3时，z=xy(x+y)=O；

当x=l,y=2时，z=xy(x+y)=6；当x=l,y=3时，z=xy(x+y)=12.

由于集合中元素具有互异性，所以得到A*B={0,6,12},则集合中的所有元素之和为

0+6+12=18.

【典例2-2】(2023北京朝阳期末)已知集合”为非空数集，且同时满足下列条件：

(1)2eAf；

(2)对任意的xeA1,任意的ywM,都有x-yeM

(3)对任意的xeV且XHO,都有工eM.

X

给出下列四个结论：

®0FM；

②leM；

③对任意的尤,yeM,都有x+yeM；

④对任意的尤,yeM,都有个wAf.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③④

【解析】由2eM,得2-2=0eM,故结论①正确；

由2e",得;wM，。一;==M,

故结论②错误；

对任意的尤,yeM,贝IJO-y=-yeM,有尤-(-y)=x+yeAf,故结论③正确；

对任意的则x-leM,可得,eM,一一eM,；————eM,即

xx-1xx-1

试卷第10页，共12页

x(l—X)GM,BPx-X2GM,得X-(%-%2)=

112

由％,y£M,%+y,^f-+-=-eM,

XXX

二当x,ye/时，f2-2±《±MeM，

22

...(x+y)—+y2eM，故结论④正确.

22

【方法归纳】集合的新定义问题的解决方法

(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质.

(2)按新定义的要求，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.

【举一反三】

12.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素,

但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合4=,

B=[x\ax2=l,a>0\,若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数。的值为.

(2024•朝阳二模)

13.集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为耳,火记々为集合用

(z=1,2,3,,〃)中的最大元素，则仿+4+&++么=()

A.10B.40C.45D.50

qq.,语上检测*反嫌败事

(2023•北京海淀•模拟预测)

14.设集合M={2m—1,7找一3},若-3eAf,则实数优=()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

(2024•北京•开学考试)

15.已知集合4={1,2},AcB,则B可以为（）

A.{3}B.{1,3,4}C.{2}D.{1,2,3）

（2024•北京顺义・期末）

16.已知集合A={-1,0,2},B={X|X2<1},则下列结论正确的是（）

A.A=BB.A^BC.A<JB=BD.AnB={-l,0}

（2024•北京通州•二模）

17.已知集合。={—1,0,1,2,3},A={1,2},B={0,2,3},则（屯勾门3=（）

A.{3}B.{0,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3）

18.如图，集合A、B均为U的子集，（gA）c3表示的区域为（）

19.定义集合的新运算如下：MN={x|尤eM或reN,且xe/cN},若集合

M={0,2,4,6,8,10},N={0,3,6,9,12,15},则（河N）M等于（）

A.MB.NC.{2,3,4,8,9,10,15}D,{0,6,12}

试卷第12页，共12页

参考答案：

1.D

【分析】根据元素和集合关系进行判断即可.

【详解】集合A={x|x=2A#eZ},

故集合A表示的是偶数集，

所以2eA.

故选：D

3

2.——##-1.5

2

【分析】依题意可得。+2=3或a+24=3,求出。的值，再代入检验即可.

【详解】解：因为A={a+2,a+2a2}且3eA,

所以4+2=3或“+2a2=3，

3

解得。=1或4=-彳，

2

当。=1时a+2a2=a+2=3,此时不满足集合元素的互异性，故舍去；

当〃=一|时，A=］；,3；符合题意；

3

故答案为：-§

3.或〃=0

【解析】由题意按照。=0、分类；当时，转化条件为方程以2+2%+1=0无实数

根或有两个相等实根，再由根的判别式即可得解.

［详解］当4=0时，A={x辰2+2x+l=0,aej?j={x|2x+l=o}=,符合题意；

当时，若集合A中至多只有一个元素，

则方程ax2+2x+l=0无实数根或有两个相等实根，所以△=4-4aV0即a>l；

所以。取值范围为或。=0.

【点睛】本题考查了描述法表示集合的应用，考查了分类讨论思想与转化化归思想，属于基

础题.

4.A

【分析】用列举法写出集合4利用集合间的基本关系判断.

【详解】A={xeN|-l<x<5}={0,l,2,3,4},8={0,1,2,3,4,5},则A魂B.

故选：A.

答案第1页，共5页

5.D

【分析】先求出集合4再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数.

【详解】解：,1•A={%GZ|-2<x<2}={-1,0,1},

集合A的子集个数为23=8个，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的子集的个数，属于基础题.

6.C

【分析】由补集和交集的定义求解.

【详解】集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},8={2,3},

GA={2,4,5},^5={1,4,5},(>4)n(={4,5}.

故选：C

7.A

【分析】先解不等式求集合A,再求并集即可.

【详解】由x+lv。得到故人={%|%〈一1},

又5={%|-2JW2},所以A5=(—,2].

故选：A.

8.A

【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】因为A={xeZ,|/N4},所以2A={xeZ|无2<4}={尤eZ|-2<x<2}={T,0,l},

故选：A.

9.D

【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算

的定义即可得解.

【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是a(AB).

故选：D.

10.

【分析】根据A呈8,即可得出答案.

答案第2页，共5页

【详解】因为集合4={-14％41},B={x\x>a\,且A房3,

所以〃4-1.

所以实数〃的取值范围是：（F，T].

11.D

【分析】依题意IwA且即可求出加、〃的值，从而得解.

【详解】因为A={3,e"'},8={m,”}且AcB={l},

则IwA,所以e"=l,解得根=0,

又leB,所以〃=1,

所以m+n=l.

故选：D

12.0或1或4

【分析】分4=0和〃>0两种情况讨论，再结合“全食”和“偏食”的定义即可得解.

【详解】若