2024年高考数学一轮复习基础讲义-平面向量的数量积解析版

第27讲平面向量的数量积

1、向量的数量积（内积）

对于两个非零向量〃与〃,我们把数量I。ISIcos<4]>叫做。和人的数量积（或内积）,记作〃力，即

a-b^a\\b\cos<a,b>o

2、两个向量内积有如下重要性质

⑴如果e是单位向量，则=|。|cos<>（〃w0）.

（2）a.Lb<^a-b=Q

⑶Q♦Q=|aF或〃=yja-a

/八7a・b

（4）cos<a,b>=--------.

（5）|。小区|a||b|

题型一：平面向量数量积的定义

I.（江西景德镇一中高一期中（理））在枷。中，若浅•罚<0,则此三角形为（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【详解】

AB-AC=|AB|-|AC|COSA<0,

cosA<0,

•••ZA是钝角，则反48。是钝角三角形.

故选：A.

2.（北京东城•）若。,6都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）

A.a=bB.a-b=lC.aIlbD.|a|=|^|

【答案】D

【详解】

方向相同大小相等的向量是相等向量，但是4涉不一定方向相同，故A错误；

0为=„0-00£=1,a为。力的夹角，因为打式0,句，所以cosae，所以ab不一定等于1,故B

错误；

方向相同或者相反的向量是平行向量，但是不一定方向相同或相反，故C错误；

因为。涉都是单位向量，所以忖=i，w=i,所以口=M,故D正确，

故选：D.

3.（上海）下列等式正确的是（）

A.0-c=0B.a•（b♦c）=（a•b）,cC.a-0=QD.0-Z?=0

【答案】D

【详解】

对A,0.c=0,故A错误；

对B,由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；

对C,。.0=0,故C错误，

对D,向量的数量积为数，故0.6=0正确.

故选：D.

4.（全国）下列命题正确的是（）

A.\a'b\=\a\\b\B.a-b^0<=>|a\+\b\^Q

C.a-b=0<=>|a\\b\=0D.（a+b）c=ac+bc

【答案】D

【详解】

解：对于A：,4=丽|同<4,6>],故A错误;

对于B:由夕6#0可以得到1〃1+|6快。，但是由1。1+1。快。得不到，当分时a/=0，故B错误；

对于c:若Z%=o贝！]|Z||B|=o或,故c错误；

对于D：+c+bc,故D正确；

故选：D

5.（全国高一课时练习）下列命题正确的个数是

®AB+BA=0；®0AB=0；®AB-AC=BC；④0A5=0

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】

由两相反向量的和为零向量知①正确；

由于两向量的数量积结果为一实数知②错误，正确结果应为0；

由向量的减法运算法则AB-AC=CB,③错；

由向量数乘的意义知0-=0,④错，

即正确的个数是1,故选A.

6.(浙江高一单元测试)设〃、6、c是非零向量，则下列说法中正确是

A.(a-b)-c=(c-b),aB.卜-6目4+.

c.若q.b=o.c,贝Ub=cD.若ab,ac,贝!c

【答案】D

【详解】

由题意得，对于A中，(a.6).C表示与c共线的向量，

(c-b).a表示与“共线的向量，所以不正确；

对于B中，d-b=O时，此时w+可=。，

而卜-6卜2忖＞。，所以不正确；

对于C中，若4.。=4.0=0,

而此时b与。不一定是相等向量，所以不正确；

对于D中，因为a、b、C是非零向量，

若。/lb,aI/c,则6//c是正确.

故选：D.

题型二：平面向量数量积的意义

1.(江西九江一中高一期中)向量。=(-1,1)在向量。=(-3,-4)上的射影为()

A.且B.一立C,-D.--

2255

【答案】D

【详解】

向量。=（-1,1）在向量。=（-3,T）上的射影为

ab__（—1）x（-3）+1x（-4）_£

WJ（一31+（-4）2—5，

故选：D

2.（四川成都外国语学校高一期中（理））已知同=6，忖=3，向量a在方方向上投影是4,则夕6为（）

A.12B.8C.-8D.2

【答案】A

【详解】

解：设两个向量的夹角为。，由题意已知同=6，忖=3,

.a-b

向量。在6方向上投影是4,贝！］4=W,

所以“必=4忖=12;

故选：A.

3.（河北巨鹿中学高一月考）已知卜|=2,向量a与向量b的夹角为120。，e是与6同向的单位向量，则a

在6上的投影向量为（）

A.eB.—yfieC.geD.—e

【答案】D

【详解】

解：因为村=2,向量〃与向量〃的夹角为120。，e是与8同向的单位向量，

所以〃在〃上的投影向量为

,卜0$120。♦6=2x（-；）e=-e,

故选：D

4.（浙江绍兴•）已知向量。=（3,-1）,匕=（1,。），贝h在人方向上的投影是（）

A.-1B.0C.1D.3

【答案】D

【详解】

II,a-b3x1

。在b方向上的投影为眄c°s<。*>=恸=丁=3.

故选：D

5.（江苏省太湖高级中学高一期中）已知向量4=（2,1）,b=（l,-1），向量a在6方向上的投影向量为（）

A.（2,-2）B.（/-；）C.（|,1）D.（），一争

【答案】B

【点睛】

a-b2-1V2

向量。在6方向上的投影=讨=

所以向量4在8方向上的投影向量为乎乎，-*JU1

故选：B

6（全国高二课时练习塔忖=4,恸=2”和6的夹角为30，则a在6的方向上的投影向量的模长为（）

A.2B.73C.2^/3D.4

【答案】C

【详解】

a-Z?=|a|-|z?|cos30=4x2x^^=4百,

bb

os3X=4XX=

a在人的方向上的投影向量为：|+°|^T2^-

所以a在6的方向上的投影向量的模长为|君4=2百,

故选：C.

7.（湖北）已知向量。=（。,-2石），b=Q,g），与b同向的单位向量为e,则向量a在6方向上的投影向量

为()

A,#>eB.3eC.eD.-3e

【答案】D

【详解】

a在b方向上的投影为T=0*1+(起)*6=_3，又《是与匕方向相同的单位向量，..々在8方向上

\b\VI+3

的投影向量为-3e

故选：D

题型三：模

1.(嘉峪关市第一中学高二期末(文))已知向量a,6的夹角为60。，忖=1,W=2，则()

A.1B.2百C.V7D.2

【答案】D

【详解】

:向量a,6的夹角为60。，且忖=1,1|=2,/.tz-Z?=lx2xcos60°=1,

12a-q=J(2a-b)2=^Aa-4a-b+b=<4-4+4=2.

故选：D.

2.(全国)已知e为单位向量，且。=2e,b=-3e,则|a-46|=()

A.3B.5C.10D.14

【答案】D

【详解】

因为e为单位向量，所以Ie|=1,

\a-4b|=J(a-46)2=&2e+12e¥=J(14e)?=14.

故选：D

3.(梁河县第一中学高二月考)已知间=4,忖=8,。与万的夹角为120。，则W-用=()

A.8石B.6石C.5币D.80

【答案】A

【详解】

=^4X42+4X4X8X1+82=873.

故选：A

4.（河西・天津实验中学）平面向量”与b的夹角为60。，。=（2,0）,*1,则卜+20等于（）

A.73B.273C,4D.12

【答案】B

【详解】

因为a=（2,0），W=l,

所以同=2,

因为向量〃与人的夹角为60。，

所以a-b=WWcos60o=2xlxg=l,

所以卜+24=\la+4a-b+4b2=,4+4+4=2m,

故选：B

5.（海口中学高三月考）已知|Z|=2,l|=2,7B=l,则|>==（）

A.76B.2C.20D.3

【答案】A

【详解】

rrr2rrr2

\a-b^-a-2a-b+b=4-2xl+4=6,

所以|。-6|=6.

故选：A

6.（遵义市第三中学高一期中）已知向量a,b，满足a.6=0，忖=1,卜|=2.则囚-6卜（）

A.4B.2A/2C.6D.8

【答案】B

【详解】

因为a-b=O，忖=1，1|=2,

所以-4a力+7=j4-O+4=20,

故选：B

7.(泾县中学高一月考)设向量i,/均为单位向量，且满足,则卜+3力=()

A.V13B.13C.4D.5

【答案】A

【详解】

因为，所以"j=。

所以卜+3j|=柄+3/『=州+9心12”=岳.

故选：A

8.(湖南)已知向量4,6的夹角为:,«=(-3,4),a-b=10，则恸=()

A.2V2B.2.73C.3^D.40

【答案】A

【详解】

解：由。=(-3,4),得忖=’(-3)2+4,=5,

兀

因为向量4/Z?的夹角为1,a-b=10,

所以丽cos?=10,所以5x,忖=10,解得上|=2后,

故选：A

9.(陕西汉中•高三月考(理))若单位向量9满足("24("+q=-3,贝！等于()

A.1B.V2C,y/3口.与

【答案】C

【详解】

解：因为〃/为单位向量，

所以(Q_2Z?)・(Q+6)=|N-a-b-2\t^=-a-b-l=-^，所以=

所以=J|tz|-2tz/?+|/?|=6,

故选：c.

io.(酉阳土家族苗族自治县第三中学校高三模拟预测)已知向量a,b满足IaH"=1。。1=1,则|2。+6卜

()

A.3B.73C,7D.V?

【答案】B

【详解】

•・•向量火。满足|〃|=|。|=|〃+切=1,

2

.,.|a+b|2=|a|2+2a-b+\b\=2+2a-b=lz

/.2a,b——1i

，|2a+邸=4|a『+4a心+|邸=4-2+1=3,

|2a+Z?|=V3,

故选：B

11.(全国高三模拟预测(理))平面向量a与。的夹角为60°，同=2,b=(l,-^3),^]\2a-b\=()

A.12B.2A/3C.6D."

【答案】B

【详解】

由已知⑶=2,

2a-/>|2=(2<2-/>)2=4«2-4tzZ>+Z>2=4x22-4x2x2xcos60°+22=12,

.-.12a-b\=2y/3.

故选:B.

12.(西藏拉萨中学高三月考(文))已知平面向量〃与〃的夹角为30。，且〃=(1,6)，。为单位向量，则

\a+-j3b|=()

A.1B.V13c.VnD.7+2A/3

【答案】B

【详解】

由已知可得1。1=2,闻=1,贝（］。》=|。||切8$30。=百,

|a+\/3b|2=（a+A/3£>）2=a+2\/3a-b+3b=4+6+3=13，则|a+Gb|=Vi'^.

故选：B.

13.（全国高三月考）已知平面向量〃与b的夹角为60。，a=（2,0）,叫=1,则卜-2b|的值为（）

A.0B.2

C.4D.1

【答案】B

【详解】

因为1（2,0）,所以|a|=2,又平面向量。与b的夹角为60。，闻=1

2222

|«-2^|=^|«|^|fl||/?|Cos60°+4|Z>|=J2-4x2xlx1+4xl=2

故选：B

14.（威远中学校高一月考（文））已知a,b满足：同=3，忖=2,\a+b\=4，则卜-6卜（）

A.石B.75C.72D.V10

【答案】D

【详解】

||2I|2,.22-22-2.2

"+Z?|—h=（〃+/?）?+（〃—b）?=a—2a,b+b+〃+2a•b+b=2〃+2Z?=2x3^+2x22=26,

所以,=26-卜+〃=10z\a-b^.

故选：D.

题型四：平行与垂直关系

1.（广东惠州•高一期中）已知向量。=（1,一1）,6=（-。）,且,db,贝（）

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】c

【详解】

由题知，向量。=（L-1）,b=（-l,t）,

若a_Lb，则lx（T）+（T）xf=。,t--l.

故选：C.

2.（厦门市湖滨中学）已知向量。=（2,-1,2）,A（-l,x,l）,8（1,-1,1）,^a±AB，则实数》的值为（）

A.-5B.0C.-1D.5

【答案】A

【详解】

由题意得，。4=（一1,1）,。8=（1,-1,1）,所以48=08-。4=（2,-1一％0）,

因为a_LAB,所以a-AB=O,所以AB=2x2+（-l）x（-l-尤）+2x0=0，得x=-5.

故选:A

3.（沙坪坝•重庆八中高三月考）已知向量。=（T4）,。=（2,加），若a'b，贝巾-25=（）

A.（-5,20）B.（-5,-12）C.（-5,5）D.（-5,3）

【答案】D

【详解】

由条件，fl-Z?=-2+4/71=0，所以=:，从而。-2b=（-5,3）.

故选：D

4.（贵州凯里一中高二期末（文））若|。|=1,一人，则e（b-2a）=（）

A.-1B.1C,-2D.2

【答案】c

【详解】

a.（b-2a）=a■b—2同=0—2=—2

故选：C

5.（全国高一课时练习）已知向量。=（T2）,力=（2,f）,且d//6,那么f等于（）

A.-4B.-1C.1D,4

【答案】A

【详解】

因为a=（T,2）,b=（2,t）,且aHb,

所以匹必必即一lxt=2x2,解得/=—4

故选：A

6.（四川射洪中学高三月考（文））已知4=（3,1）,人（2,㈤，若Z/力，则实数X的值为（）

,23

A.—B.—C.-D.一

3232

【答案】C

【详解】

2

因为。//6,所以32-2=0,解得2=§

故选：C

7.（湖南高二月考）向量。=（4,2"=（6»）,若q/必，则N=（）

A.3B.-3C.12D.-12

【答案】A

【详解】

由于a//6,所以4y-2x6=0,解得y=3.

故选：A

题型五：夹角

1.（全国）泡为平面向量，已知:=（1,2）工=（1,0）,则:工夹角的余弦值等于（）

A.gB.一好C,-D.--

5555

【答案】A

【详解】

设编向量的夹角为9,则cos6=卷土=器=名

I«II|75'

故选：A.

2.（云南省南涧县第一中学高一月考）设向量;，=（3,4）,^=（-1,1）,贝1|cos<a,6>=（）

V2B3西Vio

A.C

10,10-T'"I-

【答案】A

【详解】

因为:=（3,4）,。=（一1,1）,

,a-b3x(-l)+4xl后

COS<Cl、b>=i~n_r=-------7=---=

所以WW5x7210-

故选：A.

3.（山西临汾•）设。=（石』）,6=（-3,百），贝a与。的夹角为（）

A：B-C.?D.

233

【答案】C

【详解】

解：因为a=（>/=（-3,括）,

所以|“|=2,|6|=2石,=Qx（-3）+lx石=-2代,

设向量。与b的夹角。,

.八a,b—2。31

所以cos0=-----=-^-==——，

"I人IflII&I2x2招2

又喷股n,

所以a与的夹角为年.

故选：C.

4.（浙江堇B州•宁波咸祥中学高一期中）已知“=（2,-1）涉=（1,3）,则。,6夹角的余弦值等于（）

A.立B.标C.—D.一变

551010

【答案】D

【详解】

/\a-b-1V2

依题意cos”z）=丽=反旃=-而•

故选：D

5.（江苏江都•高一期中）已知向量”（-后1）,b=（2,-2向，贝（Ia与方的夹角为（）

,7U-5兀-3兀

A.-B.-7iC.-D.—

6634

【答案】B

【详解】

/a-b-gx2+lx12g&

\/\a\-\b\>/3+174+122

所以”>=|■万,

故选:B.

6.（山东荷泽•高一期末）设向量,人（元,-3）,若力1，则与〃的夹角为（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

【答案】B

【详解】

解：因为向量”（右」）,b=（x-3）,bla,

所以后-3=0,解得尤=石,

所以6=（6-3）,则°一6=（0,4）,

八（a-bYa41

设t与。的夹角为e，则8so=丘弁=76=5，

TT

因为万］,所以6=§,即"60。，

故选：B

7.（全国高三专题练习（文））已知非零向量。=&0）1=卜1，石）,若7。=一4,贝!la+26与b的夹角为

（）

A71巴

A-3BR-2

【答案】A

【详解】

,**d'b——4=—t,・，・仁4i：.a=（4,0），又b=（-1,^/^）,

a+2b=^2,2＞/3.

八（a+2b）b-2+6