2024-2025学年高中数学第三章概率3.3.2均匀随机数的产生学案含解析新人教A版必修3

PAGE3.3.2匀称随机数的产生[目标]1.会求几何概型的概率；2.知道匀称随机数产生的方法及在几何概型中的应用；3.能利用几何概型估计不规则图形的面积．[重点]几何概型的概率的求解及几何概型的应用．[难点]匀称随机数的产生及应用．学问点匀称随机数的产生[填一填]1．匀称随机数假如X是区间[a，b]上的任何一点，且是等可能的，那么称X听从[a，b]上的匀称分布，X称为[a，b]上的匀称随机数．2．匀称随机数产生的方法(1)[0,1]上匀称随机数的产生：①利用计算器产生匀称随机数；②利用计算机产生匀称随机数(主要利用Excel软件)．(2)[a，b]上匀称随机数的产生：利用计算器或计算机产生[0,1]上的匀称随机数x＝RAND.然后利用伸缩和平移变换x＝(b－a)x＋a，就可以得到[a，b]上的匀称随机数．[答一答]1．X是[a，b]上的匀称随机数的含义是什么？X的取值是连续的，还是离散的？提示：X在区间[a，b]上等可能取随意一个值；X的取值是连续的．2．随机数的产生还有哪些方法？提示：随机数的产生还可以通过人工操作．例如，抽签、摸球、转盘等方法，但这样做费时费劲．用计算机可产生大量的随机数，又可以自动统计试验结果，同时可以在短时间内多次重复试验，便利快捷．因此，我们现在主要是通过计算器或计算机来产生随机数．类型一用随机模拟法估计长度型几何概型的概率利用匀称随机数进行模拟试验，先要把实际问题转化为可以用随机数模拟试验结果的概率模型，可从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事务结果的量的个数确定须要产生的随机数的组数．如长度型、角度型(一维)只用一组，面积型(二维)须要用两组．(2)由全部基本领件对应区域确定产生随机数的范围．(3)由事务A发生的条件确定随机数应满意的关系式．[变式训练1]在长为14cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，试求正方形的周长介于20cm与28cm之间的概率．类型二用随机模拟法估计面积型几何概型的概率[变式训练2]现向如图所示正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．解：方法1(利用几何概型的公式)：由于随机地投掷飞镖，飞镖落在正方形内每一个点的机会是等可能的，且结果有无限多个，所以是几何概型．阴影部分的面积为S1＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)×eq\f(5,3)＝eq\f(25,36)，又正方形的面积S＝4.∴飞镖落在阴影部分的概率为P＝eq\f(\f(25,36),4)＝eq\f(25,144).方法2(利用随机模拟的方法)：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的匀称随机数a1，b1(共N组)．(2)经过伸缩变换，a＝(a1－0.5)*2，b＝(b1－0.5)*2.(3)统计出满意不等式b<2a－eq\f(4,3)，即6a－3b>4的数组数N1.(4)所求概率P≈eq\f(N1,N).N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为eq\f(S,12)，∴eq\f(S,12)≈eq\f(N1,N)，S≈eq\f(12N1,N)即为阴影部分面积的近似值．利用几何概型的模拟方法可以计算平面不规则图形的面积．其关键是选择合适的对应图形和由几何概型正确计算概率，其实质是几何概型概率公式的逆用，计算机(计算器)的作用是利用随机模拟的方法产生概率的近似值．[变式训练3]利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y＝log2x与y轴及y＝±1围成的图形)的面积．解：(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的匀称随机数a1，b1.(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率的近似值．(5)设阴影部分面积为S.由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为eq\f(S,4)，∴eq\f(S,4)≈eq\f(N1,N)，S≈eq\f(4N1,N)即为阴影部分面积的近似值．

1．几何概型中的试验结果是(A)A．无限多个 B．有限个C．非等可能的 D．不能确定解析：几何概型中的试验结果有无限多个，故选A.2．几何概型的随机模拟试验中，得到阴影内的样本点数为N1，试验次数为N，则下列说法正确的是(B)A．N1与N的大小无关 B.eq\f(N1,N)是试验中的频率C.eq\f(N1,N)是试验中的概率 D．N越大，eq\f(N1,N)应越小解析：eq\f(N1,N)是试验中的频率，是试验中的概率的近似值．故选B.3．利用计算机产生0～1之间的匀称随机数a，则事务“3a－1<0”发生的概率为eq\f(1,3).解析：由3a－1<0，得a<eq\f(1,3).∵0≤a≤1，∴0≤a<eq\f(1,3).依据几何概型知所求概率为eq\f(\f(1,3),1)＝eq\f(1,3).4.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为eq\f(2,3)，则阴影区域的面积为eq\f(8,3).解析：在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设落在阴影区域内为事务A，则事务A构成的区域为阴影部分，设阴影区域的面积为S，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则P(A)＝eq\f(S,4)，∴eq\f(S,4)＝eq\f(2,3)，即S＝eq\f(8,3).5．取一根长为3m的绳子，拉直后在随意位置剪断，利用随机模拟法求剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？解：方法1：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的匀称随机数，a1＝RAND.(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率P(A)的近似值．方法2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0,3](这里3和0重合)．转动圆盘登记指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2]范围内)的次数N1及试验总次数N，则fn(A)＝eq\f(N1,N)即为概率P(A)的近似值．——本课须驾驭的两大问题1．利用随机模拟的方法求概率，其实质是求频率，用频率近似代替概率．其关键是设计好“程序”或者“步骤”，并找到各数据满意的条件，把实际问题中事务A及基本领件总体对应的区域转化为随机数的范围．找到随机数的取值范围后，有时需对随机数进行平移、伸缩变换，可以利用解析几何学问，依据两曲线“长度”的方程进行．随着试验次数N的增加，得到的概率近似值的精度会越来越高．2．在应用匀称随机数进行几何概型的概率计算时