2024-2025学年新教材高中数学第3章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性第2课时奇偶性的应用学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE10-第2课时奇偶性的应用学习目标核心素养1.会依据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简洁的问题．1.利用奇偶性求函数的解析式，培育逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养．问题(1)图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像，你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗？(1)(2)(2)就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，0))与eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))上的单调性是否相同？1．函数的奇偶性与单调性的性质(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同．(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．2．奇偶函数的运算性质在公共定义域内：(1)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；(2)两个偶函数的和、积都是偶函数；(3)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数．3．函数的对称轴与对称中心(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a是f(x)的对称轴．(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数f(x)＝eq\f(1,x)，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同． ()(2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|). ()(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称． ()(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a. ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．若函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当f(x)＝x2时，f(0)＝0，但f(x)＝x2为偶函数；若f(x)为奇函数，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的必要不充分条件．故选B.]3．下列函数中，既是奇函数，又在(0，1)上是增函数的是()A．y＝x(x－1) B．y＝eq\f(1,x2)－xC．y＝x(x2－1) D．y＝2x－eq\f(1,x)D[选项A，B不是奇函数，选项C中y＝x(x2－1)在(0，1)上不是单调函数，选项D符合条件，故选D.]4．定义在[－3，3]上的偶函数f(x)在区间[0，3]上的图像如图中曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则函数f(x)的单调递减区间是________．[－1，0]和[1，3][利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其在[－3，0]上的图像后写出单调递减区间．由于函数f(x)是[－3，3]上的偶函数，所以其图像如图所示．所以它的单调递减区间为[－1，0]和[1，3].]用奇偶性求解析式【例1】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．[思路点拨](1)eq\x(设x<0，则－x>0)eq\o(→,\s\up9(当x>0),\s\do15(f（x）＝－x＋1))eq\x(求f（－x）)eq\o(→,\s\up9(奇函数))eq\x(得x<0时f（x）的解析式)eq\o(→,\s\up9(奇函数),\s\do15(的性质))eq\x(f（0）＝0)eq\o(→,\s\up9(分段函数))eq\x(f（x）的解析式)(2)eq\x(f（x）＋g（x）＝\f(1,x－1))eq\o(→,\s\up9(用－x代式中x))eq\x(得f（－x）＋g（－x）＝\f(1,－x－1))eq\o(→,\s\up9(奇偶性))eq\x(得f（x）－g（x）＝－\f(1,x＋1))eq\o(→,\s\up9(解方程组))eq\x(得f（x），g（x）的解析式)[解](1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴当x<0时，f(x)＝－x－1.又x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②联立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).,利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).提示：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.函数单调性和奇偶性的综合问题[探究问题]1．假如奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？假如偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？[提示]假如奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；假如偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？[提示]奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？[提示]f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.角度一比较大小问题【例2】函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是()A．f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))[思路点拨]eq\x(y＝f（x＋2）是偶函数)→eq\x(f（x）的图像关于x＝2对称)eq\o(→,\s\up9([0，2]上),\s\do15(递增))eq\x(比较大小)B[∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又f(x)在[0，2]上单调递增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2))).],比较大小的求解策略看自变量是否在同一单调区间上．(1)在同一单调区间上，干脆利用函数的单调性比较大小；(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(变条件)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)A[由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图像的几何特征是自变量的肯定值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]角度二解不等式问题【例3】已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．[解]因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上为减函数．又f(1－m)<f(m)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤m≤2，,1－m>m，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2)．))解得－1≤m<eq\f(1,2).故实数m的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特殊留意函数的定义域．由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是A．a>1 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2C[因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解得a>1或a函数图像的对称性【例4】对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称；②若f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图像关于直线x＝1对称；③若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；④函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称；⑤若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于坐标原点对称．其中正确结论的序号为________．①③[∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，而f(x－1)的图像是将f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，∴f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称，故①正确．令t＝x－1，则由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其图像不肯定关于直线x＝1对称．例如，函数f(x)＝eq\f(x,2)－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))(其中[x]表示不超过x的最大整数)，其图像如图所示，满意f(x＋1)＝f(x－1)，但其图像不关于直线x＝1对称，故②不正确．若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正确．易知函数y＝f(x＋1)的图像与函数y＝f(1－x)的图像关于y轴对称，∴④不正确．⑤∵f(x)＝－f(x＋2)，∴－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4).又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图像关于y轴对称，故⑤不正确．],1．函数f(x)的图像关于直线对称若函数f(x)对定义域内任一x，都有(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；(2)f(x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝eq\f(a,2)对称；(3)f(a＋x)＝f(b－x)⇔y＝f(x)的图像关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．2.函数f(x)的图像关于点对称若函数f(x)对定义域内任一x，都有(1)f(a－x)＝－f(a＋x)⇔y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称；(2)f(x)＝－f(a－x)⇔y＝f(x)的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))对称；(3)f(a＋x)＝－f(b－x)⇔y＝f(x)的图像关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．已知定义在R上的函数f(x)满意f(2－x)为奇函数，函数f(x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子肯定成立的是()A．f(x－2)＝f(x) B．f(x－2)＝f(x＋6)C．f(x－2)·f(x＋2)＝1 D．f(－x)＋f(x＋1)＝0B[令F(x)＝f(2－x)，∵f(2－x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，∴即f(x)的图象关于点(2，0)对称，令G(x)＝f(x＋3)，G(x)图象关于直线x＝1对称，即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，即f(x)的图象关于直线x＝4对称，f(x)＝f[4＋(x－4)]＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，用x＋6换表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，又－f(2＋x)＝f(2－x)，即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4换表达式中的x，则－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为8，故选B.]学问：1．具有奇偶性的函数的单调性的特点(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．2．偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避开分类探讨．方法：利用函数奇偶性求函数解析式的方法：已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)