2024-2025学年高中数学第2章概率2.4正态分布学案新人教B版选修2-3

PAGEPAGE12．4正态分布1.了解正态分布的意义．2.理解正态分布曲线的性质．3.驾驭利用曲线的性质解决一些简洁问题．[学生用书P36])1．正态分布与正态曲线(1)正态变量：表示随机现象的随机变量的概率分布一般近似听从正态分布．听从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．(2)正态变量概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝eq\f(1,\r(2π)·σ)·e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R.其中μ，σ是参数，且σ＞0，－∞＜μ＜＋∞.参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．(3)正态分布的记法：期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)．(4)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．(5)标准正态分布：数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴上方，并且关于直线x＝μ对称．(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延长时，曲线渐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形态；(3)当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．(4)当σ相同时，正态分布曲线的位置由期望值μ所确定．设X是一个按正态分布的随机变量，则对随意的数a＞0及b，aX＋b仍是一个按正态分布的随机变量．(5)3σ原则．从理论上可以证明，正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．由于正态变量在(－∞，＋∞)内取值的概率是1，简洁推出，它在区间(μ－2σ，μ＋2σ)之外取值的概率是4.6%，在区间(μ－3σ，μ＋3σ)之外取值的概率是0.3%.于是正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．推断(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的改变而改变的．()(3)正态曲线可以关于y轴对称．()答案：(1)×(2)×(3)√2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝()A．0B．σC．－μD．μ答案：D3．已知随机变量X听从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案：D4．已知正态分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,2π)e－eq\f(x2,4π)，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值为________，标准差为________．答案：0eq\r(2π)求正态曲线方程[学生用书P37]如图所示是随机变量X的正态曲线．试依据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差.扫一扫进入91导学网(91daoxue)正态分布密度曲线【解】由题意知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为eq\f(1,2\r(π))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝20，,\f(1,\r(2π)·σ)＝\f(1,2\r(π))，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(μ＝20，,σ＝\r(2).))所以概率密度函数的解析式为f(x)＝eq\f(1,2\r(π))e－eq\f(（x－20）2,4)，x∈R.总体随机变量的期望为μ＝20，方差σ2＝(eq\r(2))2＝2.eq\a\vs4\al()正态密度函数解析式的求法利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝μ，另一是最值eq\f(1,σ\r(2π))，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的解析式．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π)).求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．利用正态曲线的性质解题[学生用书P38]设X～N(1，22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．【解】因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.683.(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.954－0.683)＝0.1355.本例条件不变，试求P(X≥5)．解：因为P(X≥5)＝P(X≤－3)，所以P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3＜X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.954)＝0.023.eq\a\vs4\al()(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4＜X＜8)．解：(1)由X～N(2，9)可知，密度函数曲线关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4＜X＜8)＝P(2－2×3＜X＜2＋2×3)≈0.9545.正态分布的应用[学生用书P38]一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知满分150分，这个班共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．【解】因为X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20.由于P(110－20＜X≤110＋20)＝0.683，所以X＞130的概率为eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.X≥90的概率为0.683＋0.1585＝0.8415，所以及格的人数为54×0.8415≈45，130分以上的人数为54×0.1585≈9.eq\a\vs4\al()本类题目主要考查正态分布在实际问题中的应用，解答此类题目的关键在于把实际问题转化到正态总体数据落在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)及(μ－3σ，μ＋3σ)三类区间内的概率，在解答过程中，要多留意应用正态曲线的对称性来转化区间．某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50，102)，则他在时间段(30，70]内赶到火车站的概率为________．解析：因为X～N(50，102)，所以μ＝50，σ＝10.所以P(30＜X≤70)＝P(50－20＜X≤50＋20)＝0.954.答案：0.954——————————————————————————————————————正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(2)P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X＞μ＋a)，若b<μ，则P(X<b)＝eq\f(1－P（μ－b≤X≤μ＋b）,2).1．对于X～N(μ，σ2)：在利用对称性转化区间时，要留意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0(μ≠0)．2．留意区分是X～N(μ，σ2)还是X～N(μ，σ)的形式，二者的方差不同(σ≠1)．1．如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：选D.利用正态曲线的性质求解．当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)(x∈R)，在x＝0时，取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ肯定时，曲线的形态由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是有0＜σ1＜σ2＝1＜σ3.2．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由于正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.23．设离散型随机变量ξ～N(0，1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2＜ξ＜2)＝________．解析：因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，所以P(ξ≤0)＝P(ξ＞0)＝eq\f(1,2).而P(－2＜ξ＜2)＝P(－2σ＜ξ＜2σ)＝0.954.答案：eq\f(1,2)0.954[学生用书P75(单独成册)])[A基础达标]1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(（x－10）2,8)，则这个正态总体的均值与标准差分别是()A．10与8 B．10与2C．8与10 D．2与10解析：选B.由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.2．已知随机变量X听从正态分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.15865C．0.1586 D．0.1585解析：选B.由于X听从正态分布N(3，1)，故正态分布曲线的对称轴为x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，故P(X>4)＝eq\f(1－P（2≤X≤4）,2)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)听从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.6827，P(－6＜ξ＜6)≈0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%，故选B.4．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2386B．2718C．3414D．4772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.解析：选C.由P(－1<X≤1)≈0.6827，得P(0<X≤1)≈0.34135，则阴影部分的面积为0.34135，故估计落入阴影部分的点的个数为10000×eq\f(0.34135,1×1)≈3414，故选C.5．已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：选C.如图，正态分布的密度函数图象关于直线x＝2对称，所以P(ξ＜2)＝0.5，并且P(0＜ξ＜2)＝P(2＜ξ＜4)，则P(0＜ξ＜2)＝P(ξ＜4)－P(ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.6．设随机变量ξ～N(2，2)，则D(eq\f(1,2)ξ)＝________．解析：因为ξ～N(2，2)，所以D(ξ)＝2.所以D(eq\f(1,2)ξ)＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，则P(X＜0)＝________．解析：概率密度曲线关于直线x＝4对称，在4右边的概率为0.5，在0左边的概率等于在8右边的概率，即0.5－0.3＝0.2.答案：0.28．在某项测量中，测量结果ξ听从正态分布N(1，σ2)(σ2＞2)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为________．解析：因为ξ的概率密度函数曲线关于直线x＝1对称，所以ξ在(0，1)内取值的概率与ξ在(1，2)内取值的概率相等，故ξ在(0，2)内取值的概率为0.4×2＝0.8.答案：0.89．在某次数学考试中，考生的成果X听从一个正态分布，即X～N(90，100)．(1)试求考试成果X位于区间(70，110)内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成果位于区间(80，100)内的考生大约有多少人？解：因为X～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝eq\r(100)＝10.(1)由于随机变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成果X位于区间(70，110)内的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成果X位于区间(80，100)内的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考试成果在(80，100)内的考生大约有2000×0.683≈1366人．10．已知某地农夫工年均收入X听从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农夫工年均收入的密度函数的表达式．(2)求此地农夫工年均收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比．解：设农夫工年均收入X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8000，σ＝500.(1)此地农夫工年均收入的正态分布密度函数表达式为φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)＝eq\f(1,500\r(2π))e－eq\f(（x－8000）2,2×5002)，x∈(－∞，＋∞)．(2)因为P(7500＜X＜8500)＝P(8000－500＜X＜8000＋500)≈0.683.所以P(8000<X＜8500)＝eq\f(1,2)P(7500＜X＜8500)≈0.3415≈34.15%.即农夫工年均收入在8000～8500元之间的人数所占的百分比为34.15%.[B实力提升]11．设随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)，则μ＝()A．1 B．4C．2 D．不能确定解析：选B.依据题意，函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，依据正态分布密度曲线的对称性，当函数f(x)＝x2＋4x＋ξ没有零点的概率是eq\f(1,2)时，μ＝4.12．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重状况，抽查结果表明他们的体重X(kg)听从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5kg小于62.5kg属于正常状况，则这1000名男生中属于正常状况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X＜62.5)＝P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.683，从而属于正常状况的人数为1000×0.683≈683.答案：68313．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.9545.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22