2024-2025学年高考数学考点第一章集合与常用逻辑用语命题及其关系充分条件与必要条件理

PAGEPAGE18命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题，其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p概念方法微思索若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件．1．（2024•天津）设，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，故选．2．（2024•上海）命题：存在且，对于随意的，使得（a）；命题单调递减且恒成立；命题单调递增，存在使得，则下列说法正确的是A．只有是的充分条件 B．只有是的充分条件 C．，都是的充分条件 D．，都不是的充分条件【答案】C【解析】对于命题：当单调递减且恒成立时，当时，此时，又因为单调递减，所以又因为恒成立时，所以（a），所以（a），所以命题命题，对于命题：当单调递增，存在使得，当时，此时，（a），又因为单调递增，所以，所以（a），所以命题命题，所以，都是的充分条件，故选．3．（2024•北京）已知，，则“存在使得”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当，为偶数时，，此时，当，为奇数时，，此时，即充分性成立，当，则，或，，即，即必要性成立，则“存在使得”是“”的充要条件，故选．4．（2024•浙江）设集合，，，，，中至少有2个元素，且，满意：①对于随意的，，若，则；②对于随意的，，若，则．下列命题正确的是A．若有4个元素，则有7个元素 B．若有4个元素，则有6个元素 C．若有3个元素，则有5个元素 D．若有3个元素，则有4个元素【答案】A【解析】取：，2，，则，4，，，2，4，，4个元素，解除．，4，，则，16，，，4，8，16，，5个元素，解除；，4，8，则，16，32，64，，，4，8，16，32，64，，7个元素，解除；故选．5．（2024•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线，，．则“，，共面”是“，，两两相交”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另始终线与之相交，或三条直线两两平行．而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．故，，在同一平面”是“，，两两相交”的必要不充分条件，故选．6．（2024•上海）“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】（1）若，则，““是““的充分条件；（2）若，则，得不出，“”不是“”的必要条件，“”是“”的充分非必要条件．故选．7．（2024•天津）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，，，推不出，，是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件．故选．8．（2024•天津）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，推不出，，是的必要不充分条件，即是的必要不充分条件故选．9．（2024•新课标Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为．命题，；命题，．下面给出了四个命题①②③④这四个命题中，全部真命题的编号是A．①③ B．①② C．②③ D．③④【答案】A【解析】作出等式组的平面区域为．在图形可行域范围内可知：命题，；是真命题，则假命题；命题，．是假命题，则真命题；所以：由或且非逻辑连词连接的命题推断真假有：①真；②假；③真；④假；故答案①③真，正确．故选．10．（2024•新课标Ⅱ）设，为两个平面，则的充要条件是A．内有多数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】对于，内有多数条直线与平行，或；对于，内有两条相交直线与平行，；对于，，平行于同一条直线，或；对于，，垂直于同一平面，或．故选．11．（2024•北京）设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】点，，不共线，，，当与的夹角为锐角时，，“与的夹角为锐角”“”，“”“与的夹角为锐角”，设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件．故选．12．（2024•浙江）若，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，，，即，若，，则，但，即推不出，是的充分不必要条件故选．13．（2024•北京）设函数为常数），则“”是“为偶函数”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设函数为常数），则“”“为偶函数”，“为偶函数”“”，函数为常数），则“”是“为偶函数”的充分必要条件．故选．14．（2024•上海）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【解析】等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选．15．（2024•天津）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由，得，则，反之，由，得或，则或．即“”是“”的充分不必要条件．故选．16．（2024•天津）设，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，解得，由，解得，故“”是“”的充分不必要条件，故选．17．（2024•上海）已知，则“”是“”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】，则“”“”，“”“或”，“”是“”的充分非必要条件．故选．18．（2024•浙江）已知平面，直线，满意，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，当时，成立，即充分性成立，当时，不肯定成立，即必要性不成立，则“”是“”的充分不必要条件．故选．19．（2024•北京）设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，，，成等比数列，则，反之数列，，1，1．满意，但数列，，1，1不是等比数列，即“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件．故选．20．（2024•北京）设，均为单位向量，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】“”平方得，即，即，则，即，反之也成立，则“”是“”的充要条件，故选．21．（2024•上海）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】D【解析】数列，，，是递增数列，但不是递增数列，即充分性不成立，数列1，1，1，，满意是递增数列，但数列1，1，1，，不是递增数列，即必要性不成立，则“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件，故选．22．（2024•新课标Ⅲ）关于函数有如下四个命题：①的图象关于轴对称．②的图象关于原点对称．③的图象关于直线对称．④的最小值为2．其中全部真命题的序号是_________．【答案】②③【解析】对于①，由可得函数的定义域为，，故定义域关于原点对称，由；所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；对于③，由，所以该函数关于对称，③对；对于④，令，则，，，由双勾函数的性质，可知，，，，所以无最小值，④错；故答案为：②③．23．（2024•新课标Ⅱ）设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中随意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中全部真命题的序号是_________．①②③④【答案】①③④【解析】设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．依据平面的确定定理可得此命题为真命题，：过空间中随意三点有且仅有一个平面．若三点在一条直线上则有多数平面，此命题为假命题，：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行，也有可能异面的状况，此命题为假命题，：若直线平面，直线平面，则．由线面垂直的定义可知，此命题为真命题；由复合命题的真假可推断①为真命题，②为假命题，③为真命题，④为真命题，故真命题的序号是：①③④，故答案为：①③④．24．（2024•北京）能说明“若对随意的，都成立，则在，上是增函数”为假命题的一个函数是_________．【答案】【解析】例如，尽管对随意的，都成立，当，上为增函数，在，为减函数，故答案为：．25．（2024•北京）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为_________．【答案】，【解析】当，时，满意，但为假命题，故答案可以是，，故答案为：，．强化训练强化训练1．（2024•重庆模拟）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的的纵坐标，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】抛物线的焦点为，，，设，，抛物线上一点的的纵坐标，点的横坐标，由，得，是的充分条件，若，则，，，解得或，不是的必要条件，是的充分不必要条件．故选A．2．（2024•天津二模）设，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，由，不肯定有或取负值时，对数式无意义），反之，由，肯定有．故“”是“”的必要不充分条件．故选B．3．（2024•中卫一模）命题“若，则且”的逆否命题是A．若，则且” B．若，则或” C．若且，则 D．若或，则【答案】D【解析】命题“若，则且”的逆否命题是“若或，则”，故选D．4．（2024•双流区校级模拟）命题“若的三个内角构成等差数列，则必有一内角为”的否命题A．与原命题真假相异 B．与原命题真假相同 C．与原命题的逆否命题的真假不同 D．与原命题的逆命题真假相异【答案】B【解析】原命题“若的三个内角构成等差数列，则必有一内角为”；若，，成等差数列，则，又；解得；故其为真命题；否命题：“若的三个内角不能构成等差数列，则随意内角均不为”依据互为逆否命题的两命题同真假，否命题与逆命题互为逆否命题，即可以探讨其逆命题的真假；逆命题为：若有一内角为，则的三个内角构成等差数列”；若有一内角为，不妨设，则；所以；即的三个内角构成等差数列；所以其逆命题为真；则否命题为真；故选B．5．（2024•重庆模拟）已知命题：“若对随意的都有，则”，则命题的否命题为A．若存在使得，则 B．若存在使得，则 C．若，则存在使得 D．若，则存在使得【答案】B【解析】否命题是条件、结论都否定，“若对随意的都有，则”的否命题为“若存在使得，则．故选B．6．（2024秋•信阳期末）某种食品的广告词是：“华蜜的人们都拥有”，初听起来，这好像只是一般的赞美说词，然而它的实际效果可大了，原来这句话的等价命题是A．不拥有的人们不肯定华蜜 B．不拥有的人们可能华蜜 C．拥有的人们不肯定华蜜 D．不拥有的人们就不华蜜【答案】D【解析】“华蜜的人们都拥有”我们可将其化为：假如人是华蜜的，则这个人拥有某种食品它的逆否命题为：假如这个没有拥有某种食品，则这个人是不华蜜的即“不拥有的人们就不华蜜”故选D．7．（2024•绵阳模拟）已知命题，使得；命题，，则下列命题为真命题的是A． B． C． D．【答案】D【解析】命题，使得，，，命题为假命题，命题，，是真命题，为假命题，为假命题，为假命题，真命题，故选D．8．（2024•新华区校级模拟）使不等式成立的一个必要不充分条件是A． B． C． D．【答案】A【解析】依据题意，不等式即，不等式的解集为，；依次分析选项：对于，，不等式的解集为，，是不等式成立的必要不充分条件，符合题意；对于，，不等式的解集为，，不是使不等式成立的必要不充分条件，不符合题意；对于，，解可得，即不等式的解集为，，是不等式成立的充分不必要条件，不符合题意；对于，，变形可得，解可得或，即不等式的解集为，，，是不等式成立的充分不必要条件，不符合题意；故选A．9．（2024•沈阳三模）已知条件，条件，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，，条件条件，条件成立时，条件不肯定成立，例如，时，条件成立，条件不成立，是的充分不必要条件．故选A．10．（2024•河南模拟）“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依据题意，不等式或，解可得或，即不等式的解集为或，，解可得，即不等式的解集为，又由或，则“”是“”的必要不充分条件；故选B．11．（2024•梅河口市校级模拟）已知，，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解不等式可得，或，解不等式可得，故，解集对应的集合分别为：，．是的的充分不必要条件．故选A．12．（2024•济宁模拟）设，是非零向量，“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】可知，是非零向量，若，则；，是非零向量，若，则；则“”是“”的充分必要条件，故选C．13．（2024•湖北模拟）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，若且，则“”是“”的A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条【答案】C【解析】且，可得或内，但由且，可推出，故”是“”的必要而不充分条件，故选C．14．（2024•西湖区校级模拟）已知圆，直线过点且倾斜角为，则“”是“直线与圆相切”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线过点且倾斜角为，当时，此时直线方程为，直线与圆相切，，整理可得，，，当时，此时直线为方程为，此时满意与圆相切；“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件，故选A．15．（2024•衡水模拟）已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】的方程为，表示以为圆心、半径的圆．圆心到直线的方程为的距离为，解得；当时，直线与圆相切；反之，当直线与圆相切时，，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．故选A．16．（2024•鼓楼区校级模拟）已知，是两