2024-2025学年高中数学第1章统计案例1.1独立性检验学案新人教B版选修1-2

PAGEPAGE11．1独立性检验1.了解事务独立的概念．2.理解独立性检验的思想和方法．3.会利用2×2列联表解决一些实际问题．1．独立事务(1)独立事务的定义对于两个事务A、B，假如有P(AB)＝P(A)P(B)，就称事务A与B相互独立，简称A与B独立．(2)假如A、B相互独立，则eq\o(A,\s\up6(－))与B、A与eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))相互独立．2．2×2列联表的独立性检验(1)2×2列联表对于两个事务A、B，用下表表示抽样数据：Beq\o(B,\s\up6(－))合计An11n12n1＋eq\o(A,\s\up6(－))n21n22n2＋合计n＋1n＋2n表中：n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22．形如此表的表格为2×2列联表．(2)χ2统计量依据2×2列联表给定的数据引入χ2(读作“卡方”)统计量．它的表达式是：χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)．(3)独立性检验思想①用H0表示事务A与B独立的判定式，即H0：P(AB)＝P(A)P(B)，称H0为统计假设．②用χ2与其临界值3.841与6.635的大小关系来确定是否拒绝原来的统计假设H0，如下表：大小比较结论χ2≤3.841事务A与B是无关的χ2＞3.841有95%的把握说事务A与B有关χ2＞6.635有99%的把握说事务A与B有关1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)列联表中的数据是两个分类变量的频数．()(2)事务A与B的独立性检验无关，即两个事务互不影响．()(3)χ2的值越大，两个事务的相关性就越大．()答案：(1)√(2)×(3)√2．下面是2×2列联表．y1y2合计x1332154x2a1346合计b34则表中a，b处的值应为()A．33，66 B．25，50C．32，67 D．43，56答案：A3．若事务A、B相互独立，且P(AB)＝eq\f(1,8)，P(A)＝eq\f(1,2)，则P(B)＝________.答案：eq\f(1,4)独立事务概率的求法甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，假如两人投中的概率都是0.6.计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率．【解】设A＝“甲投篮一次，投中”，B＝“乙投篮一次，投中”．(1)由设得AB＝“两人各投篮一次，都投中”，由题意知，事务A与B相互独立，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事务“两人各投篮一次，恰好有一人投中”包括两种状况：一种是甲投中，乙未投中(事务Aeq\o(B,\s\up6(－))发生，)另一种是甲未投中，乙投中(事务eq\o(A,\s\up6(－))B发生)．依据题意，这两种状况在各投篮一次时不行能同时发生，即事务Aeq\o(B,\s\up6(－))与eq\o(A,\s\up6(－))B互斥，并且A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B各自相互独立，因而所求概率为P＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事务“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事务“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16.因此，至少有一人投中的概率为P(A∪B)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－0.16＝0.84.若本例中条件不变，则“至多有一人投中”的概率是多少？解：事务“至多有一人投中”包括三种状况，一种是“甲、乙都未投中”(事务eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))发生)，一种是“甲投中，乙未投中”(事务Aeq\o(B,\s\up6(－))发生)，一种是“甲未投中，乙投中”(事务eq\o(A,\s\up6(－))B发生)，由题意，这三种状况在各投篮一次时不行能同时发生，即eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))，Aeq\o(B,\s\up6(－))与eq\o(A,\s\up6(－))B两两互斥，且eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))，A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B各自相互独立，因此“至多有一人投中”的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.64.eq\a\vs4\al()(1)在求概率问题中，常常遇到“恰有”“至少”“至多”等术语，在此肯定要深刻理解其含义，分清它的各种状况，以免计算错误．(2)对于含有“至少”“至多”的概率问题，我们通常转化为求其对立事务的概率，即利用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))达到求解的目的．已知事务A与B相互独立，P(A)＝P1，P(B)＝P2，则P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))的值为()A．P1＋P2 B．P1P2C．1－P1P2 D．(1－P1)(1－P2)解析：选D．若A与B相互独立，则eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也相互独立，且P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－P(A)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(B)．故选D．独立性检验的应用在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)依据以上数据建立一个2×2列联表；(2)推断性别与休闲方式是否有关系．【解】(1)列表如下：休闲方式性别看电视运动合计女432770男213354合计6460124(2)由上表可得χ2＝eq\f(124×(43×33－27×21)2,70×54×64×60)≈6.201.因为χ2＞3.841，所以有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．eq\a\vs4\al()独立性检验方法的应用，关键是确定两个变量并列出2×2列联表，只要完成了这两步，下面的计算和推断就迎刃而解了．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的爱好有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有爱好的有138人，无爱好的有98人，文科对外语有爱好的有73人，无爱好的有52人．能否有95%的把握认为“学生选报文、理科与对外语的爱好有关”？解：依据题目所给的数据得到如下列联表：理科文科合计有爱好13873211无爱好9852150合计236125361依据列联表中数据由公式计算得χ2＝eq\f(361×(138×52－73×98)2,211×150×236×125)≈1.871×10－4.因为1.871×10－4＜3.841，所以没有95%的把握认为“学生选报文、理科与对外语的爱好有关”．独立性检验的综合应用同时抛掷两颗匀称的骰子，请回答以下问题：(1)求两颗骰子都出现2点的概率；(2)若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？【解】(1)每颗骰子出现2点的概率都为eq\f(1,6)，由相互独立事务同时发生的概率公式得两颗骰子都出现2点的概率为eq\f(1,6)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,36).(2)依题意，列2×2列联表如下：出现2点出现其他点合计甲骰子20160180乙骰子30150180合计50310360由公式计算得χ2＝eq\f(360×(20×150－160×30)2,50×310×180×180)≈2.323.因为2.323<3.841，因此我们没有理由说两颗骰子出现2点相关．eq\a\vs4\al()统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推想全部数据的性质，因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人所作的调查结果如下：患胃病未患胃病合计生活不规律60260320生活有规律20200220合计80460540依据以上数据推断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？解：由公式得χ2＝eq\f(540×(60×200－260×20)2,320×220×80×460)≈9.638.因为9.638>6.635，所以有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．1．在求事务的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事务概率的问题，假如从正面解决这些问题，它们是诸多事务的和或积，求解过程烦琐，但这些事务的对立事务却往往很简洁，其概率也易求出．此时，可逆向思索，先求其对立事务的概率，进而求得原来事务的概率．2．独立性检验的一般步骤(1)依据样本数据制成2×2列联表．(2)依据公式χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,(n11＋n12)(n21＋n22)(n11＋n21)(n12＋n22))，计算χ2的值．(3)比较χ2与临界值的大小关系作统计推断．对2×2列联表中n11，n12，n21，n22的位置务必正确填写．1．甲、乙二人分别对一目标射击一次．记“甲射击一次，击中目标”为事务A，“乙射击一次，击中目标”为事务B，则在A与B、eq\o(A,\s\up6(－))与B、A与eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))中，满意相互独立的有()A．1对 B．2对C．3对 D．4对解析：选D．易知A与B是相互独立事务，从而A与eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))都相互独立．2．依据下表：不看电视看电视合计男3785122女35143178合计72228300计算χ2＝________．解析：χ2＝eq\f(300×(37×143－35×85)2,122×178×72×228)≈4.514.答案：4.5143．某卫朝气构对366人进行健康体检，有阳性家族史者糖尿病发病的有16例，不发病的有93例，阴性家族史者糖尿病发病的有17例，不发病的有240例，则有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．解析：列出2×2列联表：发病不发病合计阳性家族史1693109阴性家族史17240257合计33333366所以随机变量χ2的值为：χ2＝eq\f(366×(16×240－17×93)2,109×257×33×333)≈6.067＞3.841.所以有95%的把握认为糖尿病患者与遗传有关．答案：95%[A基础达标]1．事务A、B相互独立，下列四个式子①P(AB)＝P(A)·P(B)；②P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)；③P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))；④P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))．其中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D．阅历证①②③④都正确．2．对于分类变量A与B的统计量χ2，下列说法正确的是()A．χ2越大，说明“A与B有关系”的可信度越小B．χ2越大，说明“A与B无关”的程度越大C．χ2越小，说明“A与B有关系”的可信度越小D．χ2接近于0，说明“A与B无关”的程度越小解析：选C．由独立性检验的定义及χ2的意义可知C正确．3．下面是一个2×2列联表：y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a，b的值分别为()A．94，96 B．52，50C．52，54 D．54，52解析：选C．因为a＋21＝73，所以a＝73－21＝52.又因为a＋2＝b，所以b＝52＋2＝54.4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是P1，乙解决这个问题的概率是P2，那么恰好有一人解决这个问题的概率是()A．P1P2 B．P1(1－P2)＋P2(1－P1)C．1－P1P2 D．1－(1－P1)(1－P2)解析：选B．设甲、乙解决这个问题分别为事务A、B，则P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)，即P1(1－P2)＋(1－P1)P2.5．在探讨吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是()A．100个吸烟者中至少有99个患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人肯定患有肺癌C．在100个吸烟者中肯定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有解析：选D．有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，但吸烟的人不肯定会患肺癌，可信度是就整体而言的，对详细的样本不具有精确的推断性．6．为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽取了301名女性，得到如下列联表，试依据表格中已有数据填空．常常头晕很少头晕合计长发35①121短发37143②合计72③④空格中的数据应分别为①________；②________；③________；④________．解析：题表中最右侧的总计是对应的行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而题表中最下面的总计是对应的列上两个数据的和，由刚才的结果可求得③④.答案：861802293017.假如元件A、B、C正常工作的概率分别为P1、P2、P3，则如图所示的线路，正常工作的概率为________．解析：A正常工作，B、C至少有一个元件正常工作即可．答案：P1(P2＋P3－P2P3)8．调查者通过随机询问72名男女中学生喜爱文科还是理科，得到如下列联表(单位：名)：性别与喜爱文科还是理科列联表喜爱文科喜爱理科合计男生82836女生201636合计284472估计中学生的性别和喜爱文科还是理科________关系．(填“有”或“没有”)解析：χ2＝eq\f(72×(16×8－28×20)2,36×36×44×28)≈8.416＞6.635.故我们有99%的把握认为中学生的性别和喜爱文科还是理科有关系．答案：有9．某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个交通岗，假设他在每个交通岗处遇到红灯的事务是相互独立的，并且概率都是0.6.(1)求两次都遇到红灯的概率；(2)求至少遇到一次红灯的概率．解：(1)第一次遇到红灯的概率为0.6，其次次遇到红灯的概率也为0.6，且两次遇到红灯是相互独立的，所以两次都遇到红灯的概率P1＝0.6×0.6＝0.36.(2)“至少遇到一次红灯”的对立事务为“两次均没有遇到红灯”，所以至少遇到一次红灯的概率P2＝1－(1－0.6)×(1－0.6)＝1－0.4×0.4＝0.84.10．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶，而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶．请用独立性检验方法推断秃顶与患心脏病是否有关系？解：依据题目所给的数据得到如下2×2列联表：患心脏病患其他病合计秃顶214175389不秃顶4515971048合计6657721437依据表中的数据，得到：χ2＝eq\f(1437×(214×597－175×451)2,389×1048×665×772)≈16.373>6.635.所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”．[B实力提升]11．调查某桑场采桑员和协助工中患桑毛虫皮炎病状况结果如下表：采桑不采桑合计患者人数181230健康人数57883合计2390113则患桑毛虫皮炎病与采桑有关系的把握大约有()A．90% B．95%C．99% D．无充分依据解析：选C．n11＝18，n12＝12，n21＝5，n22＝78，所以n1＋＝n11＋n12＝30，n2＋＝n21＋n22＝83，n＋1＝n11＋n21＝23，n＋2＝n12＋n22＝90，n＝113.所以χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(113×(18×78－5×12)2,30×83×23×90)＝39.6>6.635.所以有99%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系．12．某校对有心理障碍学生进行测试得到如下列联表：焦虑说谎懒散合计女生5101530男生20105080合计252065110则在焦虑、说谎、懒散这三种心理障碍中与性别关系最大的是________．解析：对于题中三种心理障碍分别构造三个随机变量χeq\o\al(2,1)，χeq\o\al(2,2)，χeq\o\al(2,3)，由表中数据列出焦虑是否与性别有关的2×2列联表：焦虑不焦虑合计女生52530男生206080合计2585110可得χeq\o\al(2,1)＝eq\f(110×(5×60－25×20)2,30×80×25×85)≈0.863＜3.841，同理，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(110×(10×70－20×10)2,30×80×20×90)≈6.366＞3.841，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(110×(15×30－15×50)2,30×80×65×45)≈1.