2025年外研版2024高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版2024高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、已知并且是第四象限的角，那么的值是（）A.B.C.D.2、【题文】已知直线平面且给出四个命题：①若∥则②若则∥③若则∥m；④若∥m，则．其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.13、【题文】已知三棱锥的主视图与俯视图如下图；俯视图是边长是2的正三角形，那么该三棱锥的左视图可能为（）

4、【题文】已知．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.5、【题文】下列函数中，在上为增函数的是（）A.B.C.D.6、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点；则直线CE垂直于()

A.ACB.BDC.A1DD.A1D7、某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A.分层抽样，简单随机抽样B.简单随机抽样，分层抽样C.分层抽样，系统抽样D.简单随机抽样，系统抽样8、函数f(x)=Asin(娄脴x+娄脮)(A>0,娄脴>0,|娄脮|<娄脨2)

的部分图象如图所示，则娄脴娄脮

的值分别为(

)

A.20

B.2娄脨4

C.2鈭�娄脨3

D.2娄脨6

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、不等式＜的解集为____．10、已知则sin（α+β）的值为____．11、【题文】设函数若则_______12、【题文】已知函数在处的切线经过原点则函数的极小值为____13、【题文】由点向圆所引的切线方程是____________14、如图，已知圆柱体底面圆的半径为cm，高为2cm，AB、CD分别是两底面的直径，AD、BC是母线．若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是______cm（结果保留根式）．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)15、已知数列满足（1）若数列是等差数列，求其公差的值;（2）若数列的首项求数列的前100项的和.16、已知等差数列前三项为前项的和为．（1）求（2）求17、某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程）；被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100），[100，150），[150，200），[200，250），[250，300]，绘制成如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中x的值；

（Ⅱ）求续驶里程在[200；300]的车辆数；

（Ⅲ）若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率．18、已知圆内一定点A（1；-2），P，Q为圆上的两不同动点．

（1）若P；Q两点关于过定点A的直线l对称，求直线l的方程；

（2）若圆O2的圆心O2与点A关于直线x+3y=0对称，圆O2与圆O1交于M，N两点，且求圆O2的方程．19、已知函数f(x)=2x鈭�1鈭�x(x隆脢[2,+隆脼))

．

(1)

证明：函数f(x)

是减函数．

(2)

若不等式(a+x)(x鈭�1)>2

对x隆脢[2,+隆脼)

恒成立，求实数a

的取值范围．20、鈻�ABC

内角ABC

的对边分别为abc

且a+c=5

且a>cb=3cosB=13

．

(1)

求ac

的值；

(2)

求cos(A+B)

的值．评卷人得分四、计算题(共1题，共2分)21、规定两数a、b通过”*”运算得到4ab，即a*b=4ab．例如，2*6=4×2×6=48．若不论x是什么数时，总有a*x=x，则a=____．评卷人得分五、综合题(共4题，共20分)22、如图，抛物线y=x2-2x-3与坐标轴交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，D为顶点．

（1）D点坐标为（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判断△BCD的形状．

（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请写出符合条件的所有点P的坐标，并对其中一种情形说明理由；若不存在，请说明理由．23、若反比例函数y=与一次函数y=kx+b的图象都经过一点A（a，2），另有一点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上．

（1）写出点A的坐标；

（2）求一次函数y=kx+b的解析式；

（3）过点A作x轴的平行线，过点O作AB的平行线，两线交于点P，求点P的坐标．24、（1）如图；在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点；

求证：MB=MC．

（2）如图；在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．

①画出△OAB向下平移3个单位后的△O1A1B1；

②画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2，并求点A旋转到点A2所经过的路线长（结果保留π）．25、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【解析】

因为并且是第四象限的角，那么选B【解析】【答案】B2、C【分析】【解析】

试题分析：因为所以若∥则①正确；

由于即l仅垂直于平面内的一条直线；以墙角为例，②不正确；

由可知，∥m或与m异面或与m相交；所以③不正确；

因为∥m，所以m④正确。故选C。

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系；垂直关系。

点评：基础题，常考题型，构建几何模型，牢记有关定理是关键。【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】由主视图和俯视图知左视图的高是2，另一条边也是2，主视图中有一条虚线所以左视图只能是D【解析】【答案】D4、A【分析】【解析】解：因为。

由于是的充分不必要条件；说明P集合是Q集合的子集，则。

故选A【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x；y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，A（0，0，0)，C（1，1，0)；

B（1，0，0)，D（0，1，0)，A1（0，0，1)，E（1)，所以（1)，（1，1，0)，（-1，1，0)，（0，1，-1)，（0，0，-1)，显然0；即CE⊥BD．故选B．

【分析】本题所用的方法为：利用空间直角坐标系表示出向量的坐标，再利用两个向量的数量积等于0，证明两个向量垂直。本题也可以用综合法：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，易知BD⊥面ACC1A1，又因为CE面ACC1A1，所以BD⊥CE。7、D【分析】解：学生会的同学随机对24名同学进行调查；

是简单随机抽样；

对年级的240名学生编号；由001到240；

请学号最后一位为3的同学参加调查；

是系统抽样；

故选D

根据抽样的不同方式；选择合适的名称，第一种是简单随机抽样，第二种编号，选择学号最后一位为3的同学，这种抽样是系统抽样．

抽样包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，根据条件选择合适的抽样方法，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，【解析】【答案】D8、D【分析】解：由函数的图象可知：3T4=11娄脨12鈭�娄脨6=3娄脨4T=娄脨

所以娄脴=2A=1

函数的图象经过(娄脨6,1)

所以1=sin(2隆脕娄脨6+娄脮)

因为|娄脮|<娄脨2

所以娄脮=娄脨6

．

故选D．

由题意结合函数的图象，求出周期T

根据周期公式求出娄脴

求出A

根据函数的图象经过(娄脨6,1)

求出娄脮

即可．

本题是基础题，考查三角函数的图象与性质，函数解析式的求法，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．【解析】D

二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】

∵-==＜0；

∴或

∴-1＜x＜1或x∈∅；

∴-1＜x＜1．

∴不等式＜的解集为（-1；1）．

故答案为：（-1；1）．

【解析】【答案】作差-=＜0；转化为等价的不等式组，解之即可．

10、略

【分析】

∵

∴-＜＜0，＜＜

∴sin（）=-cos（）=-

∴sin[（）-（）]=sin（）cos（）-cos（）sin（）

=（-）（）-（-）（-）=-=sin（π+α+β）=-sin（α+β）；

∴sin（α+β）=

故答案为．

【解析】【答案】先求出sin（）和cos（）的值，利用-sin（α+β）=sin（π+α+β）=sin[（）-（）]；求出sin（α+β）的值．

11、略

【分析】【解析】因为

【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】解：

故过点（1；-a）的切线方程为y+a=(3-2a)(x-1),过原点，所以a=3,

在(0,2)递减，在（-0）和（2，+）递增，因此在x=2处取得极小值，且为-5【解析】【答案】－513、略

【分析】【解析】圆方程化为标准方程得圆心为。

（3,1）半径为4；设切线方程为由点到直线距离公式得。

解得所以所求切线方程是。

即【解析】【答案】14、略

【分析】解：如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求。

在Rt△AB1C1中，AB1=π•=2cm，B1C1=2cm，AC1=2cm

故答案为

要求一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，小虫爬行的最短路线，利用在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求．

本题以圆柱为载体，考查旋转表面上的最短距离，解题的关键是利用圆柱侧面展开图．【解析】三、解答题(共6题，共12分)15、略

【分析】试题分析：（1）设的首项为和公差为则代入已知条件，利用待定系数法可得关于的方程；（2）通过赋值作差可得然后确定数列的类型，进行分组求和。（1）因为数列是等差数列，所以1′由2′所以解得故其公差的值为2.5′（2）由得两式相减，得6′所以数列是首项为公差为4的等差数列；7′数列是首项为公差为4的等差数列.8′又由得所以故所求11′所以数列的前100项的和为13′考点：（1）待定系数法的应用；（2）根据递推关系式判断数列的类型；（3）利用分组进行数列求和。【解析】【答案】（1）2；（2）16、略

【分析】试题分析：（1）根据条件通过建立简单的方程可求得的值；（2）首先根据第（1）求出然后根据的结构特征通过利用裂项法可求得结果．试题解析：（1）设该等差数列为则由已知有解得故．（2）由得＝＝＝．考点：1、等差数列的通项公式．；2、等差数列的前项和；3、裂项法求和．【解析】【答案】（1）（2）．17、解：（Ⅰ）由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）×50=1，

∴x=0.003；

（Ⅱ）由题意可知，续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×（0.003×50+0.002×50）=5；

（Ⅲ）由（Ⅱ）及题意可知，续驶里程在[200，250）的车辆数为3，

续驶里程在[250，300]的车辆数为2，

从这5辆中随机抽取2辆车，共有{#mathml#}C52

{#/mathml#}=10种抽法；

其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法有{#mathml#}C31

{#/mathml#}•{#mathml#}C21

{#/mathml#}=6种，

∴恰有一辆车的续驶里程为[200，250）的概率为{#mathml#}610

{#/mathml#}={#mathml#}35

{#/mathml#}．【分析】【分析】（I）利用小矩形的面积和为1；求得x值；

（II）求得续驶里程在[200；300]的车辆的频率，再利用频数=频率×样本容量求车辆数；

（III）利用排列组合，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算．18、略

【分析】

（1）将圆O1的方程化为标准方程，找出O1的坐标，由P，Q两点关于直线l对称，得到直线l过O1；又直线l过A点，由两点的坐标写出直线l的方程即可；

（2）设O2的坐标为（a，b），由O2与点A关于直线x+3y=0对称，得到O2与点A的中点在x+3y=0上，利用线段中点坐标公式表示出O2与点A的中点坐标，代入x+3y=0中，得到关于a与b的方程，且直线O2A与直线x+3y=0垂直，得到斜率的乘积为-1，由直线x+3y=0的斜率求出直线O2A的斜率，由O2与点A的坐标表示出斜率，列出关于a与b的方程，联立两方程求出a与b的值，确定出O2的坐标，设圆O2的半径为r，表示出圆O2的方程，两圆的方程相减得到公共弦MN所在直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心O2到直线MN的距离，即为弦心距，根据勾股定理由弦MN长的一半，圆的半径r及弦心距列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即可确定出圆O2的方程．

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：关于点、直线对称的直线方程，直线的两点式方程，线段中点坐标公式，两圆相交的性质，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，然后由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．【解析】解：（1）将圆O1的方程化为标准方程得：x2+（y+1）2=4；

∴O1（0；-1），又P，Q两点关于过定点A的直线l对称；

∴O1（0；-1）在直线l上，又直线l过A（1，-2）；

∴直线l的方程为y+2=（x-1）；即x+y+1=0；

（2）设O2（a，b）；

∵O2与A关于直线x+3y=0对称，且x+3y=0的斜率为-

∴=3①，且+3•=0②；

联立①②解得：a=2，b=1，∴O2（2；1）；

可设圆O2的方程为：（x-2）2+（y+1）2=r2；

又圆O1的方程为：x2+（y+1）2=4；

∴两圆方程相减，即得两圆公共弦MN所在直线的方程为4x+4y+r2-8=0；

∵|MN|=2圆O1的半径为2；

∴O1到直线MN的距离为==

解得：r2=20或r2=4；

则圆O2的方程为：（x-2）2+（y+1）2=20或（x-2）2+（y+1）2=4．19、略

【分析】

(1)

根据定义证明即可；

(2)

不等式(a+x)(x鈭�1)>2

对x隆脢[2,+隆脼)

恒成立，得到a>2x鈭�1鈭�x

在[2,+隆脼)

上恒成立；根据函数的单调性即可求出a

的范围．

本题考查了函数的单调性的证明，以及函数恒成立的问题，属于中档题【解析】解：(1)

在[2,+隆脼)

上任取x1x2

令x1>x2

则f(x1)鈭�f(x2)=2x1鈭�1鈭�x1鈭�2x2鈭�1+x2=2(x2鈭�x1)(x1鈭�1)(x2鈭�1)+(x2鈭�x1)=[2(x1鈭�1)(x2鈭�1)+1](x2鈭�x1)

隆脽2<x2<x1

隆脿x1鈭�1>0x2鈭�1>0x2鈭�x1<0

隆脿f(x1)鈭�f(x2)<0

即f(x1)<f(x2)

隆脿f(x)

在[2,+隆脼)

上单调递减．

(2)隆脽

不等式(a+x)(x鈭�1)>2

对x隆脢[2,+隆脼)

恒成立；

隆脿a>2x鈭�1鈭�x

在[2,+隆脼)

上恒成立；

由(1)

可知f(x)=2x鈭�1鈭�x

在[2,+隆脼)

上单调递减；

隆脿a>f(x)max

隆脿f(x)max=f(2)=22鈭�1鈭�2=0

隆脿a>0

．20、略

【分析】

利用余弦定理以及已知条件列出方程组求解即可．

(2)

利用诱导公式以及余弦定理转化求解即可．

本题考查余弦定理以及诱导公式的应用，考查计算能力．【解析】解：(1)

由余弦定理得，a2+c2鈭�23ac=9

且a+c=5

又a>c

解得a=3c=2

(2)

由A+B+C=娄脨

则cos(A+B)=鈭�cosC=鈭�32+32鈭�222脳3脳3=鈭�79

．四、计算题(共1题，共2分)21、略

【分析】【分析】根据a*b=4ab得到4ax=x，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：∵a*x=x；

∴4ax=x；

当x≠0时；

∴a=．

故答案为：．五、综合题(共4题，共20分)22、略

【分析】【分析】（1）直接利用抛物线的顶点公式即可得出D点的坐标；

（2）结合题意；可知可得出B点；C点和点D点的坐标，即可分别得出三个线段的长度，利用向量关系易得，BC⊥CD，即△BCD为直角三角形；

（3）假设存在这样的点P，经分析，有以下几种情况：①连接AC，可知Rt△COA∽Rt△BCD，②过A作AP1⊥AC交y轴于P1，可知Rt△CAP1∽Rt△BCD；③过4C作CP2⊥AC，交x轴于P2

可知Rt△P2CA∽Rt△BCD；结合上述情况，分别可得出对应的P的坐标；【解析】【解答】解：（1）D（1；-4）（2分）

（2）结合题意；可得C（0，-3）；B（3，0）

，BD=2，CD=；

且=（3，1），=（1；-3）；

可知；

即△BCD是直角三角形（6分）

（3）①连接AC；可知Rt△COA∽Rt△BCD，符合条件的点为O（0，0）

②过A作AP1⊥AC交y轴于P1

可知Rt△CAP1∽Rt△BCD符合条件的点为

③过C作CP2⊥AC，交x轴于P2

可知Rt△P2CA∽Rt△BCD，符合条件的点为P2（9；0）

∴符合条件的点有三个：O（0，0），，P2（9，0）（12分）23、略

【分析】【分析】（1）把y=2代入反比例函数y=可得x=3；即可求得点A的坐标；

（2）把点A（3，2）、点B（2，0）代入一次函数y=kx+b；利用待定系数法即可求得函数解析式；

（3）根据与x轴平行的直线的特点线，可求得此直线为y=2，过点O作AB的平行线，则此直线为y=2x，从而可得点P的坐标为（1，2）．【解析】【解答】解：（1）把y=2代入反比例函数y=；得：x=3；

∴点A的坐标为（3；2）；

（2）∵点A（3，2），点B（2，0）在一次函数y=kx+b的图象上；

∴；

解得；

∴一次函数y=kx+b的解析式为