2024年初高数学暑假衔接：等式性质与不等式性质

初高暑假衔接第六讲等式性质与不等式性质(含答案)

1.实数比较大小的“标杆”：

①若〃一人>0，贝②若〃一匕=0，贝l]a=Z?；③若々一〃<0,贝Ijavh.

2.等式有以下基本性质：

性质1a=bnb=a

性质2a=b,b=cna=c

性质3a=b=>a±c=b±c

性质4a=b=>ac=be

性质5a=b,c^O^>-=-

cc

3.不等式基本性质：

性质1a>b=>b<a

性质2a>b,b>c^>a>c

性质3a>b=a+c>b+c

性质4a>b,c>O^ac>be；a>b9c<0^>ac<bc

性质5a>b,c>d=a+c>b+d

性质6a>b>O,c>d>O^ac>bd

性质7a>b>O=>a">b"(n^N*)

例1.比较下列代数式的大小：

(1)2炉-x+1与*+x-1;

(2)/+b1与2ab.

例2.用十字相乘法分解下列因式：

(1)尤2—2尤一8=;

(2)3x2+5x-12=_______________

例3.设a=5b=y/15-4,C=A/H-6，那么2c的大小关系式为.

373733

例4.已知a+b=\,+N=+则M,N的大小关系是

a+ba+ba+ba+b

()

A.M>NB.M<NC.M=ND.M<N

例5.实数a,b,c,d满足条件：①a＜b,c＜d；②（a-c）（6-c）＞0③（。-翅6-3）＜0,则有（）

A.a<c<d<bB.c<a<b<dC.a<c<b<dD.c<a<d<b

例6.已知a,6,ceR,有以下命题：

2212

①若a>b,则ac>be;②若etc>bc,则a>6;③若—<y<0,则他<k；④若c>a>b>0,

贝I]---->----；⑤若a>6且一>一,贝l]a>0,b<0.

其中正确的是.（填上所有正确命题的序号）

hh4-

已知。＞人＞0,。＞0,试证明：一＜——

aa+c

例8.

（1）已知Ivav3,2＜bv4,求2a—〃的取值范围；

（2）已知1＜。一人＜3,2＜人＜6，求a-2b的取值范围.

例9.若0＜%＜%,。＜乙＜62,且4+%=乙+仇=1,则下列代数式中值最大的是（）

A.0bl+0b2B.0a2+”也C.ab+0blD.-

1211222

跟踪训练

1.设s=a+2b,t=a+b1+l,a,b£R,则sJ的大小关系是（

K.s>tB.s>tC.s<tD.s<t

2.已知。=1+夕力=白+后c=4则凡瓦c的大小关系为（

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

3.已知x＞y＞z,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是（

A.孙〉yzB.AZ>yzC.xy>xzD.x|y|>zM

4.若。＞b＞0,则下列不等式中一定成立的是（）

171cbb+1171c2a+ba

A.a+—>b+—B.->----c.a——>b——D.----->-

baaa+1baa+2bb

5.若一Iva</7<1,则下列各式中恒成立的是（)

A.-2<er-/?<0B.-2<a-P<-\

C.-1<6Z-/?<OD.-\<a-P<1

6.已知记M=q〃2，N=q+%-1,则M,N的大小关系是（）

A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定

7设X,y>°'A=*,3=W+i^,贝MB的大小关系是()

A.A=BB.A<BC.A>BD.不能确定

8.已知。力,那么下列命题中正确的是（）

A.若Q>。，贝I]ac2>be2B.^―>—,贝I]

cc

C.若/>且vo，贝|J—>D.若/>从且">0,贝|]J.<g

abab

9.已知。＜。＜问，则以下不等式中恒成立的是（)

A.\b\<-aB.ab>0C.ab<0D.同＜同

10.设”"l,c<0,给出下列四个结论:

©->7；②ac<bc；®a（b-c]>b（a-c）.④4>2正确的结论有_________.（写出所有正确的序

abcc

号）

11.已知a/,c,d均为实数，有下列命题

cdcd

ctb>O,bc—CK1>0,贝l]-------->0；ab>0,-------->0,贝I]he—ad>0；

abab

cd—

③若be—ad>0,.....—>0,则ab>0.其中正确的命题是_________.

ab

12.已知一l<a+b<3,2<a—b<4,求2a+36的取值范围.

13.已知—<。<0,A=1+8=1—a~,C=---,D=----,贝ljA,B,C,D的大小关系

21+a1-a

是.（用连接）

14.设为实数，比较/+/与血+。+6—1的大小.

等式性质与不等式性质答案

1.实数比较大小的“标杆”：

①若Q—贝②若a—Z?=O,贝lja=b；③若a—〃<0，贝IJavZ?.

2.等式有以下基本性质：

性质1a=bnb=a

性质2a=b,b=cna=c

性质3a=b^>a±c=b±c

性质4a=b=ac=bc

性质5a=b,c^0=>-=-

cc

3.不等式基本性质：

性质1a>b=b〈a

性质2a>b,b>c^a>c

性质3a>bna+c>b+c

性质4a>b,c>0^ac>bc；a>b,c<0^ac<bc

性质5a>b,c>d=a+c>b+d

性质6a>b>0,c>d>0^ac>bd

性质7a>b>0=>a">bn(n&N-^

例1.比较下列代数式的大小：

(3)2尤2—x+1与尤2+x—1；

(4)a2+H与2ab.

【答案】(1)2x2—x+l>x2+x—l;(2)a1+tr>Zab.

【解析】(1)(2x?—x+1)—(Y+x—1)=Y—2x+2=(x-1)+1>0,2x2x+l>x2+x—l;

22222

(2)(a+Z?)-2aZ?=(o-Z?)>0,：.a+b>1ab-

例2.用十字相乘法分解下列因式：

(3)x2—2x—8=;

(4)3炉+5彳-12=______________

【答案】⑴(x-4)(x+2)；⑵(3元-4)(尤+3).

例3.设a=7L6=岳-4,c^JU-y/3,那么的大小关系式为一

【答案】a>c>b

【解析】a=g>0,6=&?-4=&?-屈<0,c="T-退>0,

且a-c=2G-7H=g-而>0,：.a>c>b.

〃柠b3a3

例4.已知。加£凡，a+b=l,+,N=—j+则MN的大小关系是

a+bu+bQ+Z?Q+b

()

A.M>NB.M<NC.M=ND.M<N

【答案】c

【解析】M-N=

a+/4+ba+b1a2+ba+/a2+b

a2+b-a-b2_(d3)(〃0)(〃+匕一i)

=0,:.M=N,选C.

(4+82)(〃2+〃)(〃+/72)(〃2+0)

例5.实数。，仇3d满足条件：①a<b,cvd；②(Q—c)(b—c)>0③(a—d)(b—d)<0,则有()

B.a<c<d<bB.c<a<b<dC.a<c<b<dD.c<a<d<b

【答案】D

［解析］〃<人-c)伍-c)=(c-(c-Z?)>0,cv。或c>)，

(a-d)(。一d)=(d-a)(d—》)<。，:.a<d<b,又.c<d,：.c<a综上所述，c<a<d<b,选

例6.已知a,"ceR,有以下命题：

①若则欧2>历2；②若a2>仇?2,则③若则成</；④若c>a>">0,

贝lj---->----；⑤若a>Z?且一>—,贝l]a>0/<0.

c—ac—bab

其中正确的是.(填上所有正确命题的序号)

【答案】②③④⑤

【解析】①错误，当c=0时a?=仇?2；②正确，由>丸。2知cwO,所以。2〉0,。。2>人。2=。〉6；

③正确，若!<：<。，贝Ija/<0,">0,同乘以得〃vaV0,ab-b2=b(a-b)<0,,\ab<b2;

ab

④正确，c>a>b>0,

c-ac-b

确，a>bS.->—,>0,:.ab<0,名吉合Q>Z?可知a>0,b<0.

h

例7.已知。>b>0,c>0,试证明：一<

bb+c_b(〃+c)—a(b+c)_c(Z?—〃)<0bb+c

【证明】a>b>0,c>0,

aa+cQ(Q+C)a(a+c)Jaa+c

例8.

(3)已知1<。<3,2<b<4,求2Q—b的取值范围；

(4)已知1<。一6<3,2<人<6,求1一2万的取值范围.

【答案】(1)-2<2a-b<4；(2)-5<a-2b<l.

【解析】(1)1va<3,2<b<4,/.2<<6,—4<—b<—2,两不等式相力口得一2v2a—〃v4；

(2)2Vb<6,,\-6<-b<-2,又IVQ—》v3,两不等式相力口得一5VQ—2&vl.

例9.若0<Z?j<Z?2,且%+%=4+/?2=1,则下列代数式中值最大的是()

A.01bl+a2b2B,e生+匕也C,01b?+a2blD.g

【答案】A

【角牛析】取％=鼻，。2=?匕=],>2=],贝II+。2人2=高=7^彳，a\a2+^1^2=T7T，

756017277曰、4A

7=9

4b2+。2乙=方=^^，2144,,%a+a2b2取大,选A.

跟踪训练

1.设S=。+2/?/=。+/?2+1,〃,/?£尺，贝|JS/的大小关系是()

A.s>tB.s>tC.s<tD.s<t

【答案】D【解析】s—Z=(a+%)—(，+〃+1)=_e_1)2<0,...s<，，选D.

2.已知a=1++^/^,c=4则a,0,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

【答案】c【解析】由4=1+夕,6=若+岔,°=4得

/=8+2近方=8+2=16=8+2而，所以c>>>。，选C.

3.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是()

A.孙〉yzB.xz>yzc.V>xzD.x|y|>z|y|

【答案】C

【角星析】x>y>z,x+y+z=09:.3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=03<0,A$昔误，若y=。

贝1]孙=》；B错误，x>：|nxz<yz；C正确，y>xy>xz-D错误，若y=。贝ljx|y|=z|y|,故

z<0x>0

选C.

4.若则下列不等式中一定成立的是（）

A.a+6+工bZ?+l-2。+ba

B.—>------C.D.----->-

baaa+1baa+2bb

【答案】A

【解析】A正确，'"6）+=（T）l+：>°，…齐弋；

b1b+\2la+b5a八八…、口、”…1

B、D错误，当a=2力=1时，9=：<宁=--TT=—<y—2；C$曰庆，当a=l/=彳时,

a2a+13a+2b4b2

a——=—l<b——=——,故选A.

ba2

5.若-则下列各式中恒成立的是（）

A.—2<a—/3<QB.-2<a-f3<-\

C.—l<a—0<0D.-\<a-P<\

【答案】A【解析］-1<1</<1=>，-1<一/<>：-2<cr-/?<0,选A.

a一/<0

6.已知记M=4%,N=%+々2-1,则M,N的大小关系是（）

A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定

【答案】B【解析】M—N——（4+出—1）=—一（02—1）=（"i—1）（4—1）>°,AZ>N，

选B.

7设x，y>o，a=G,人士+东，则A8的大小关系是（

）

A.A=BB.A<BC.A>BD.不能确定

【答案】B

xx

-------<----

1+x+y>l+x>01+%+y1+x

【解析】由已知再>>。=>

1+%+y>1+y>0「上

1+x+y1+y

x+yxyxy

所以A=-----=-------+——----<----=B,选B.

l+x+yl+x+y\+x+y1+xi+y

8.已知a,方,ceR,那么下列命题中正确的是（）

ah

A.若a>b,贝1）"。2>人。2B.若一>一，贝

cc

C.若/>〃3且仍〈0,则，〉：D.若片>/且">o,贝

abab

【答案】C

ah

【解析】A错误，当。=0时，叱2=反24错误，当。<。时，一>—n〃<b；C正确，若">>3且"v。,

CC

贝l]a>0,b<0,所以D错误，当。=一2,6=-1时，-=-1>y=-l,故选C.

aba2b

9.已知a<b<|a|,则以下不等式中恒成立的是()

A.例<一。B.ab>0C.ab<0D.\a\<\b\

【答案】A

【解析】«<|«|,:.a<0,贝IJ不等式”。<同化为a<b<-a,.-.\b\<\a\=-a,A正确，D错误,

。的正负性无法确定，BC错误.

10.设。>匕>1,。<0,给出下列四个结论：

®->-；②)acvbc；③a(b-c)>》(a-c)；

abcc

正确的结论有.(写出所有正确的序号)

【答案】①②③

cc

7111—>—

ab

b

【解析】①②正确，④错误：aac<be-

c<0n—<0ab

c

③正确：-c)-b^a-c)=c[b一Q)>0n〃c)>-c).

11.已知4,4c,d均为实数，有下列命题

_cdcd

ab>Q,bc—ad>0,贝lj------->0；②若aZ?>0,-------->0,贝lj—加>0；

abab

cd

③若be—ctd>0,------->0,贝l]ab>0.

ab

其中正确的命题是.

【答案】①②③

【解析】①正确：ab>O,bc-ad>O^bc~ad>0^--->0-

abab

cdbe—ad

c------->0=>---------->0

②正确:ab〉0,---->0^>be-ad>0-③正确:abab；=>>0.

a

be-ad>0

12.已知一l<Q+bv3,2vQ—〃<4,求2a+3Z?的取值范围.

913

【答案】<2a+3b<一

22

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