2024-2025学年甘肃省环县高二上册期中考试数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年甘肃省环县高二上学期期中考试数学检测试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点坐标为（）A. B. C. D.2.数列的一个通项公式可以是（）A. B. C. D.3.已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（）A. B. C. D.4.已知向量，点，，且，则（）A. B. C. D.5.在等差数列中，已知，公差，，则等于（）A.8 B.9 C.10 D.116.若方程表示圆，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.(0,+∞)7.如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（）A B.C. D.8.数列是等比数列，若、的等差中项为4，、的等差中项为，则的公比为（）A. B.2 C. D.49.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（）A. B. C. D.10.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下，个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环最少移动的次数为（）A.7 B.14 C.5 D.1611.三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（）A. B.C. D.12.已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.13.经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）A.y=x B.x+y-2=0C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=014.已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（）A. B. C. D.15.如图，已知正方体边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（）A.B平面C.二面角的大小为D.点到平面的距离为216.已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.17.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．18.已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.19.已加数列满足，若恒成立.则a取值范围是_________．20.若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.21.（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.22.如图，已知平行六面体中，，，，.（1）证明：；（2）求的长度.23.在前项和为的等差数列中，．（1）求数列的首项和公差；（2）当时，求的最大值．24.在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.（1）求直线与所成角的大小；（2）判断直线与平面的关系.25.已知数列{an}满足，（1）设，求证:数列{bn（2）求数列{an}的前项和26.如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长.27.设正项数列an的前项之和，数列bn的前项之积，且.（1）求证：为等差数列，并分别求的通项公式；（2）设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围.28.已知圆M过点且与圆为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.（1）若直线被圆M截得的弦长为，求m的值；（2）设直线与圆M交于点A，B，记，，若，求k的取值范围.2024-2025学年甘肃省环县高二上学期期中考试数学检测试卷考生注意：1.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点关于y轴对称点的坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据空间直角坐标系的结构和对称性即可得解.【详解】因为点横坐标关于y轴对称的横坐标为，点纵坐标关于y轴对称的纵坐标为，点竖坐标关于y轴对称的竖坐标为，所以点关于y轴对称点的坐标为.故选：C.2.数列的一个通项公式可以是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可.【详解】分母2，4，6，8是序号n的2倍，分母加1是分子.故选：D．3.已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率公式可求得实数的值.【详解】因为直线的方向向量为，则直线的斜率为，又因为直线过点、，由斜率公式可得，解得.故选：D.4.已知向量，点，，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用空间向量共线的坐标表示直接运算即可.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，，，故选：D.5.在等差数列中，已知，公差，，则等于（）A.8 B.9 C.10 D.11【正确答案】D【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求解.【详解】由数列为等差数列，且，公差，，可得，解得.故选：D.6.若方程表示圆，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.(0,+∞)【正确答案】B【分析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆．【详解】方程化为标准方程为，有，∴．.故选：B7.如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算可得结果.【详解】因为，即为的中点，所以，因为，所以，.故选：C8.数列是等比数列，若、的等差中项为4，、的等差中项为，则的公比为（）A. B.2 C. D.4【正确答案】A【分析】由题意得，，然后结合等比数列的通项公式可求出公比.【详解】设等比数列的公比为，依题意，，，故，故，故选：A9.已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得.【详解】因为共面，则存在实数，使得，即，于是，所以在上的投影向量的模为.故选：B10.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用表示解下，个圆环所需移动的最少次数，满足，且，则解下4个圆环最少移动的次数为（）A.7 B.14 C.5 D.16【正确答案】A【分析】根据递推关系逐步求解即可.【详解】由条件可得，所以解下4个圆环需最少移动7次，故选：A.11.三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】确定圆心和圆的半径，可得出所求圆的标准方程.【详解】因为点、、，则，，，所以，正三角形，如下图所示：设、、分别为边、、的中点，则、、，则，，，过点分别作、，垂足分别为点、，因为，，则，因为为的中点，则为的中点，同理可知，为的中点，设的泰勒圆与各边的其它交点分别为、、、，易得、、、、、，由对称性知，等边的中心为其泰勒圆的圆心，且，同理可得，因此，等边的泰勒圆的方程为，故选：C.12.已知点，，过点的直线与线段有公共点，若点在直线上，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，作出图形，数形结合求解即可.【详解】解：如图，因为过点的直线与线段有公共点，所以直线的倾斜角在介于直线与直线的倾斜角之间，因为点在直线上，所以点是直线与直线的交点，由图可知点的轨迹为线段，由于，故直线的方程为，与联立得，即所以实数的取值范围为故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.13.经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）A.y=x B.x+y-2=0C.x+2y-3=0 D.3x-y-2=0【正确答案】AB【分析】分直线在两坐标轴的截距为，不为的两种情况，即可得出答案.【详解】当直线在两坐标轴上的截距为时，设直线方程为：，则，所以；当直线在两坐标轴上的截距不为时，设直线方程为：，把P（1，1）代入直线方程得：，解得：,所以直线方程为.故满足条件的直线方程为：或.故选：AB.14.已知分别为圆与圆上的动点，为轴上的动点，则的值不可能是（）A. B. C. D.【正确答案】AB【分析】作圆关于轴对称的圆，根据对称关系，结合三角形三边关系可确定最小值为，由此可得结果.【详解】由题意知：圆是以为圆心，为半径的圆；圆是以为圆心，为半径的圆；作圆关于轴对称的圆，则圆；则（当且仅当三点共线时取等号），，，，，AB的取值不可能，CD的取值可能.故选：AB.15.如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（）AB.平面C.二面角的大小为D.点到平面的距离为2【正确答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，明确各点的坐标和相关向量的坐标.用向量法证明线线垂直，判断A的真假；判断与平面的法向量的关系，判断B的真假；用向量法求二面角的大小，判断C的真假；用向量法求点到平面的距离判断D的真假.【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，对A.，A项正确；对B.设n=x,y,z为平面的一个法向量，则，即，令，得，则，因为，不在平面内，所以平面，则B项正确；对C：由图可知，平面，所以是平面的一个法向量，则，故二面角的大小不是，所以C项不正确.对D：由，所以点到平面的距离为，D项正确；故选：ABD16.已知数列满足，，记数列的前项和为，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【正确答案】ABD【分析】根据递推关系可知数列an是以为周期的周期数列，根据周期性依次推导各个选项即可.【详解】，，数列an是以为周期的周期数列；对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，，，C正确；对于D，，，，D错误.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.17.已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是________．【正确答案】【详解】考点：两条平行直线间的距离．分析：通过直线的平行，利用斜率相等即可求出m的值，通过平行线的距离公式求出距离即可．解：直线3x+2y-3=0与6x+my+1=0相互平行，所以m=4，由平行线的距离公式可知d==．故答案为．18.已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.【正确答案】2【分析】利用向量在上的投影的最大值可求得结果.【详解】由题意画出图形，如图所示，因为，且是向量在上的投影，所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.故2关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键.19.已加数列满足，若恒成立.则a取值范围是_________．【正确答案】【分析】由数列的单调性列式求解【详解】由题意得数列单调递减，则解得，故20.若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.【正确答案】【分析】求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，圆与直线相交，与直线相离，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围.【详解】如下图所示：设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，则，解得或，圆心到直线的距离为，圆到直线的距离为，由图可知，圆与直线相交，与直线相离，所以，，即.故答案为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.21.（1）已知点，求线段的垂直平分线的方程；（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）求出线段的中点和斜率，根据直线垂直的斜率关系，可得线段的垂直平分线的方程；（2）由倾斜角与斜率的关系及二倍角的正切公式即可求解.【详解】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，整理为.（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.由已知得，则直线的斜率为.22.如图，已知平行六面体中，，，，.（1）证明：；（2）求的长度.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）取空间的一个基底，表示出向量，再利用空间向量数量积及运算律计算推理即得.（2）由（1）中信息，利用空间向量数量积及运算律计算模即可.【小问1详解】平行六面体中，设，，，，，由，，得，，则，因此，所以.【小问2详解】依题意，，因此，所以的长度为.23.在前项和为的等差数列中，．（1）求数列的首项和公差；（2）当时，求的最大值．【正确答案】（1）首项为18，公差为（2）7【分析】（1）设数列an的公差为，由已知条件得到的方程组，再解方程组可得答案；（2）由（1）知，令，结合可得答案．【小问1详解】设数列an的公差为，由题意有，解得，故数列an的首项为18，公差为；小问2详解】由（1）知，由，得，又，则的最大值为7．24.在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点.（1）求直线与所成角的大小；（2）判断直线与平面的关系.【正确答案】（1）（2）垂直【分析】（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的大小；（2）利用向量法求出，，从而直线与平面垂直．【小问1详解】在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点．以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,0,，,0,，,2,，,0,，,0,，,2,，,0,，,2,，设直线与所成角为，则，，直线与所成角的大小为；【小问2详解】直线与平面垂直，理由如下：由（1）知,2,，,0,，，，，，，、平面，直线与平面垂直．25.已知数列{an}满足，（1）设，求证:数列{bn（2）求数列{an}的前项和【正确答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）将变形为，得到{bn}（2）由（1）得到{an【详解】（1）由，，可得，因为则，，可得{bn}是首项为，公比为的等比数列，（2）由（1），由，可得，，，上面两式相减可得：，则．数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4)裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.26.如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，为的中点.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求的长.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）易证，再结合勾股定理可证，进而可证平面，即可求证；（2）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用二面角的向量法确定点，即可求解.【小问1详解】证明：因为底面底面，所以.因为，所以.取的中点，则，所以.由得，，所以.因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：由（