2024-2025学年沪科版八年级数学上册期末冲刺复习：全等三角形模型之一线三等角和三垂直模型（解析版）

专题11全等三角形模型之

一线三等角和三垂直模型

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练....................................................................2

模型一、一线三等角模型..........................................................2

模型二、分三垂直模型...........................................................13

压轴能力测评...................................................................27

X解题知识必备X

模型三、一线三等角模型

【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BDLDE,AB±AC,CE±DE,那么一定有NB=NCAE.

模型四、三垂直全等模型

【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。

【常见模型】

x压轴题型讲练2

模型一、一线三等角模型

例.如图，点A,B的坐标分别是（0,1）和（-3,0）,分别以点A,B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在

第二象限交于点C,连接C4,CB.则点C的坐标为（）

【答案】D

【分析】作N3E4=NCG4=60。，并作轴于点。，首先确定VABC为等边三角形，然后利用"一线

三等角"证明从而利用全等三角形的性质以及解直角三角形的方法求出CO和OO,即可

得出结论.

【详解】解：如图，作N3E4=NCG4=60。，并作CDLy轴于点

由题意，VABC为等边三角形,

0AB=AC=BC,ZBAC=6D0,

团NBAF+NC4G=120。，

0ZBAF+ZA5F=120°,

^\ZABF=ZCAG,

0BFA^tAGC（AAS）,

0BF=AG,AF=CG,

团03=3,ZBFO=60°,

OB3FT

^\OF==—=yJ3BF=AG=26R,

tan60°，f

0AF=CG=1+V3,

EZCGD=60°,

o

0CZ)=CG.sin6O=^x(l+A/3)=^y^,

DG=CG.cos60°=叶也，

2

回。D=OA+AG-r)G=l+2右一匕走=36+l,

22

l上3+S'3A/3+1

国点c——=，—、—•

I/2)

故选：D.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等，理解等边三角

形的性质，灵活构造全等三角形并证明是解题关键.

【变式训练11如图，点尸，D分别是0ABe边A4,BC上的点，且9=4,ZABC=60°.连结尸£),以

PD为边,在PD的右侧作等边回。尸£,连结BE,贝峋瓦组的面积为()

A.4括B.2C.4D.6上

【答案】A

【分析】要求ABDE的面积，想到过点E作。13C,垂足为P,因为题目已知NABC=60。，想到把/ABC

放在直角三角形中，所以过点。作OGL&l,垂足为G,利用勾股定理求出OG的长，最后证明AGPD=AFDE

即可解答.

【详解】解：过点后作。上3。，垂足为过点。作ZXJL8A,垂足为G,

在RJBGD中，BD=4,ZABC=G0°,

.二ZBDG=30。,

BG=-BD=2,

2

/.GD=y/BD2-BG2=2A/3，

APDE是等边三角形，

:.ZPDE=60°,PD=DE,

APDB+ZEDF=180°-ZPDE=120°,

ZABC=60°,

.\ZPDB+ZBPD=lSO°-ZABC=nO°f

:.ZBPD=ZEDF,

ZPGD=ZDFE=90°f

AGPD=AFDE(AAS),

.\GD=EF=2y/3,

.•.ABDE的面积•石尸,

=-x4x2^,

2

=46，

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结

合图形添加适当的辅助线.

【变式训练2】.课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），0ACB=9O。，AC

=BC,从三角板的刻度可知AB=20cm,小聪想知道砌墙砖块的厚度（每块砖的厚度相等），下面为砌墙砖块

厚度的平方的是（）.

【答案】A

【分析】设每块砖的厚度为xcm,则AO=3xcm,BE=2xcm,然后证明EIZMCHHECB得至I]C£）=BE=2xcm,再利

用勾股定理求解即可.

【详解】解：设每块砖的厚度为无cm,则AD=3xcm,BE-2xcm,

由题意得：0ACB=0A£>C=0BEC=9O°,

EEIAC£）+EDAC=0AC£）+0BCE=9OO,

SSiDAC^ECB,

又0AC=C8,

00DAO30£CB(AAS),

SCD=BE=2xcm,

AC-+BC2=AB-,AD2+DC2=AC2,

E2(3X)2+2(2X)2-202,

200

Ex2

IT

故选A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形

的性质与判定条件.

【变式训练31.如图，在她8c中，A8=AC=9,点E在边AC上，AE的中垂线交8c于点。，若

CD=3BD,则CE等于（）

【答案】A

【分析】根据等腰三角形的性质得至胞8=回。推出曲1。=团CDE,根据线段垂直平分线的性质得到AO=

ED,根据全等三角形的性质得到CZ）=AB=9,BD=CE,即可得到结论.

【详解】解：0AB=AC=9,

038=EIC,

^ADE=^B,0BA£)=18O°-0B-SADB,SCDE=1800-SADE-^ADB,

^BAD=^CDE,

0AE的中垂线交BC于点。，

^\AD=ED,

在团48。与团。CE1中，

ZBAD=ZCDE

<ZB=ZC,

AD=ED

^\ABD^\DCE(A4S),

团CO=A3=9,BD=CE,

SCD=3BD,

团CE=B£>=3

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，属于基础题.

【变式训练4].如图，在四边形ABE/中，AB=4,EF=6,点C是BE上一点，连接AC、CF,若AC=CF,

NB=NE=ZACF,则BE的长为.

【答案】10

【分析】先证明NBAC=ZFCE,再证明AABCdCEF,即可作答.

【详解】ZB+ZBAC=ZACE=ZFCE+ZACF,

又：ZB=ZACF,

ZBAC=ZFCE,

ZB=ZE,AC=CF,

AABC/△CEF(AAS),

:.AB=CE,BC=EF,

AB=4,EF=6,

:.BE=BC+CE=6+4=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是

解答本题的关键.

【变式训练5】.如图，在等腰中，AC=BC,。为VABC内一点，S.ZBCD=ZCAD,若CE>=4,

则ABCD的面积为.

【答案】8

【分析】由线段C。的长求ABCD的面积，故过8作CD的垂线,则由三角形面积公式可知：SMCD=；XCDXBE,

再由题中的/BCD=/O⑷和等腰直角三角形ABC,即可求证AACD会ACBE,最后由CD=BE=4即可求

解.

【详解】解：过点B作C。的垂线，交8的延长线于点E

ZACB=90°

:.ZBCD+ZACD=90°

ZBCD=ZCAD

.\ZACD-^-ZCAD=90o

:.ZADC=90°

BE1CD

/.ZE=90°

,\ZBCD+ZCBE=90°

,\ZACD=ZCBE

AC=CB

;2CD%ACBE

:.CD=BE=4

SAM力=—xCDxBE=—x4x4=8

ZADCZJ22

故答案是：8.

【点睛】本题主要考查全等三角形的证明、辅助线的画法、等腰三角形的性质和三角形面积公式，属于中

档难度的几何证明题.解题的关键是由三角形面积公式画出合适的辅助线.

【变式训练6】.(1)如图(1),在VABC中，AB^AC,ABAC=90°,直线机经过点A,班>2直线机于

点、D,CE_L直线加于点E.求证：DE=BD+CE.

(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在VABC中，AB=AC,ZBAC=ZBDA=ZAEC=a,其中a为

任意锐角或钝角.请问结论止=3£>+8是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

图⑴图⑵

【答案】(1)见解析；(2)成立，证明见解析

【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

(1)由直角三角形的性质及平角的定义得出=可证明用△CEA(AAS),根据全等三角

形的性质及线段的和差求解即可；

(2)与(1)类似，可证明△AD3四△CE4(AAS),根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可.

【详解】解：(1)回直线如CE,直线加,

^\ZBDA=ZCEA=90°,

团NB4C=90。，

0ZBAZ)+ZC4E=9O°,

0ZBAD+ZABD=90°,

BZCAE=ZABDf

在，ADB和，CE4中，

ZBDA=NAEC,

<ZABD=NCAE,

AB=CA,

0AADB^ACEA(AAS),

国AE=BD,AD=CE,

国DE=AE+AD=BD+CE.

(2)成立.证明如下：

0ZBZM=ZBAC=af

^ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=\^0-a,

^1ZCAE=ZABD,

在.ADB和CE4中，

ZBDA=NAEC,

<ZABD=/CAE,

AB=CA,

|?]AADB^AC£A(AAS),

团AE=BD,AD=CE,

0DE=AE+AD=BD+CE.

【变式训练7].如图，在VABC中，AB=BC.

⑴如图1,直线NM过点8,AM，MN于■点、M,CN1MN于点、N,且NA5C=90。，求证：MN=AM+CN.

(2)如图2,直线M0过点8,AM交NM于点、M,CN交NM于点、N,S.ZAMBZABC=ZBNC,贝U

MN=A"+CN是否成立？请说明理由！

【答案】(1)见解析

⑵成立，理由见解析

【分析】(1)本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导

/CBN=/BAM,最后证明一95NC(AAS),直接可证.

(2)利用NAM?=NABC及Z4BN是jABN的外角，可以推出NM4B=NC5N,再利用AAS可以判定

AMB^BNC(AAS),再利用全等的性质导边即可证明.

【详解】(1)证明：团于点M,CN1MN于点、N；

团ZAMB=NBNC=90°；

^\ZMAB+ZABM=90°；

0ZABC=9O°,

BZABM+ZNBC=90°；

团NM4B=NA®C；

在.ABM和△BOV中，

ZAMB=ZBNC

<ZMAB=ZNBC

AB=BC

团ABMaBCN(AAS)；

^\AM=BN,BM=CN；

田MN=BN+BM=AM+CN.

(2)MN=AM+CN成立.理由如下：

设ZAMB=ZABC=/BNC=a；

^ZABM^ZBAM=ZABM^-ZCBN=180o-a；

团NBAM=NCBN；

在AABM和田可中；

ZBAM=NCBN

<NAMB=ZBNC

AB=BC

团ABM^BGV(AAS)；

^\AM=BN,BM=CN；

中MN=BN+BM=AM+CN：

故儿W=AM+OV成立.

【变式训练8】.在直线机上依次取互不重合的三个点。，A,E,在直线机上方有=AC,且满足

ZBDA=ZAEC=ZBAC=a.

【积累经验】

图1

【类比迁移】

(2)如将2,当0<夕<180。时，问题(1)中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请

说明理由；

(3)如图3,在VABC中，/BAC是钝角，AB^AC,ZBAD<ZCAE,NBDA=ZAEC=NBAC,直线优

与CB的延长线交于点R若BC=3FB,VABC的面积是12,请直接写出‘EBD与”。石的面积之和.

图3

【答案】(1)DE=BD+CE；(2)DE=BD+CE仍然成立,理由见解析；(3)..FBD与八痣片的面积之和

为4.

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.

(1)由/加凶=/54。=/4£1。=90。得到/3")+/石4。=/3")+"&1=90。，进而得到ND54=N£AC,

然后结合AB^AC得证ADBA注AEAC,最后得到DE=BD+CE；

(2)由/皿4=/54。=44£'。=0得到44£>+44。=/54£)+/£)54=180。-0,进而得到

NDBA=NEAC,然后结合A5=AC得证△DBA/4E4C,最后得到。E=3O+CE.

(3)由NBA£><NC4E,ZBDA=ZAEC=ABAC,得出NC4E=NASD,由AAS证得一ABD^_C4E,得出

SAB°=SCAE，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出5旗尸=4/即可得出结果.

【详解】解：(])DE=BD+CE,理由如下，

SZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

0ZBAD+ZEAC=ZBAD+ZDBA=90°,

SZDBA=ZEAC,

团AB=AC，

0DBA^E4C(AAS),

0AD=CE,BD=AE，

BDE=AD+AE=BD+CE,

故答案为：DE=BD+CE.

(2)D£=B0+CE仍然成立，理由如下，

^\ZBDA=ZBAC=ZAEC=a,

二NBAD+NEAC=NBAD+NDBA=180。—a,

ZDBA=NEAC,

^\AB=ACf

回DBA^EAC(AAS),

团BD=AE,AD=CE,

DE=AD+AE=BD+CE；

(3)^\ZBAD<ZCAE,ABDA=ZAEC=ABAC,

^\ZCAE=ZABD,

在△ABD和4C4E中，

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZCEA,

AB=AC

0Z\ABZ)^AC4E(AAS),

团SABD=SCAE,

设VABC的底边3C上的高为力，则AAB厂的底边迎上的高为九

[3S/AUBJVC=—BC-/z=12,nDSrABF=—BF♦h,

回BC=3BF,

团S钻尸=4,

==

回SABFSBDF+SABD=SFBD+SACE4，

团FBD与"。石的面积之和为4.

【变式训练9].如图，在VABC中，AB=AC=2,NB=NC=40。，点。在线段8C上运动（0不与3、C

重合），连接AZ）,作ZADE=40。，。石交线段AC于£.

⑴当ZBZM=115。时，NEDC=。，ZDEC=°;点。从2向C运动时，/①M逐渐变(填"大"

或“小〃)

⑵当0c等于多少时，AABD名乙DCE,请说明理由；

⑶在点。的运动过程中，VADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出/3D4的度数.若不可

以，请说明理由.

【答案】⑴25；115；小

(2)当QC=2时，丝△DCE

⑶可以；N3ZM的度数为110。或80°

【分析】(1)由已知平角的性质可得N£DC=180O-NADB-NADE,再利用三角形内角和定理进而求得

NDEC,即可判断点。从8向C运动过程中，逐渐变小；

(2)当DC=2时，由己知和三角形内角和定理可得/£>EC+/£DC=140。，ZADB+ZEDC=140°,等量代

换得ZADB=NDEC,又由AS=AC=2,可得丝△OCE(AAS)；

(3)根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可.

【详解】(1)解：ZEDC=180o-ZADB-ZADE=180o-115o-40o=25°,

/DEC=180°-ZEDC-ZC=180°—25°-40°=115°,

点。从8向C运动时，N&M逐渐变小，

故答案为：25；115；小.

(2)解：当DC=2时，△ABD%ADCE,

理由：ZC=40°,

ZDEC+ZEDC=140°,

又“ZADE=40°,

EZADB+ZEDC=140°,

:.ZADB=ZDEC,

又•.ZB=NC,AB=DC=2,

△ABD也△DCE(AAS)；

(3)解：当N3D4的度数为110。或80。时，VADE的形状是等腰三角形；

理由：ZBD4=110。时，

:.ZADC=10°,ZEDC=70°-40°=30°,

ZC=40°,

ZDAC=70°,ZAED=ZC+ZEDC=300+40°=70°,

.-.ZDAC=ZAED,

，VADE是等腰三角形；

N3ZM=800时，

/.ZADC=100°,

,ZC=40°,

.-.ZZMC=40°,

:.ZDAC=ZADE,

VADE的形状是等腰三角形.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键.

A.6cmB.1.5cmC.3cmD.4.5cm

【答案】c

【分析】本题可通过全等三角形来求BE的长.IBBEC和回CDA中，已知了一组直角，EICBE和EIACD同为EIBCE

的余角，AC=BC,可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD,BE=CD,因此只需求出CD的长

即可.而CD的长可根据CE即AD的长和DE的长得出，由此可得解.

【详解】解：fflACB=90°,BEfflCE,

H3BCE+EIACD=90°,mBCE+EICBE=90°；

EBACD=EICBE,又AC=BC,

EEACDEBCBE；

0EC=AD,BE=DC；

I3DE=6cm,AD=9cm,则BE的长是3cm.

故选C.

【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先

根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么

条件.

【变式训练1】.如图，AC=CE,EIACE=90。，AB^\BD,ED^BD,AB=6cm,O£=2cm,则8。等于（）

A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm

【答案】B

【分析】根据题意证明人钻。也△€!>£即可得出结论.

【详解】解：妫8团30,EDWD,

团NABC=NCDE=90。，

00ACE=90°,

团NAC3+NOCE=90。，

0ZAG?+ZBAC=9O°,

回/BAC=/DCE,

在VABC和CDE1中，

/ABC=ZCDE=90°

ABAC=ZDCE

<,

AC=CE

团ABC^CDE（AAS）,

团AB=CD=6cm,BC=DE=2cm,

团BD=BC+CD=2+6=8cm,

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的

关键.

【变式训练2】.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子

之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a=8cm,则

DE的长为（）

A.40cmB.48cmC.56cmD.64cm

【答案】C

【详解】由等腰直角三角形的性质可得0AC3=9O。，AC=CB,因此可以考虑证明△AC。和△C3E全等，可

以证明DE的长为7块砖的厚度的和.

【分析】解：由题意得朋OC=团CE5=0AC3=9O。，AC=CBf

[13ACD=90°-^\BCE=^CBE,

在“⑺和△C3E中，

ZADC=ZCEB

<ZACD=ZCBE9

AC=CB

^\ACD^\CBE(AAS),

^\CD=BE=3a,AD=CE=4a,

0£>E=CD+CE=3“+4〃=la,

回a=8cm,

团7〃=56cm,

团Z)E=56cm,

故选C.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判

定条件.

【变式训练3].如图，在平面直角坐标系中，点A、5分别在x轴的负半轴和正半轴上，以A5为边向上作

正方形A8C。，四边形OEPG是其内接正方形，若直线。尸的表达式是y=2x,则沔驯的值为（）

3正方形OEFG

9

D.-

354

【答案】B

【分析】根据正方形性质易得GBOV-FCG,从而可得CG=BO、FC=GB,设08即BG=b,可得/点

坐标为3-瓦a+b),根据尸点在直线。尸上，可求出，=36,然后即可根据正方形面积和勾股定理求出面积

比.

【详解】解：在正方形A5CZ),正方形0MG中，ZOBG=ZOGF=Z.GCF=90°,FG=OG,

0ZOGB+ZGOB=ZOGB+ZCGF=90°,

团ZGOB=ZCGF9

在dGH?和AFCG中，

ZOBG=NGCF

</GOB=NFGC

OG=FG

GBO=^FCG(A4S)

国CG=BO、FC=GB,

设CG=BO=a、FC=GB=b,

0BC=BG+CG=Q+Z?,HF=OB—FC=a—b,

团点尸坐标为(。一"々+》)，

回直线Ob的表达式是y=2x,

团2(。—b)=a+b,

团a=3b,

0s正方形MC。=BC。=(a+b¥=(36+b)2=l6b2,

S正方形OEFG=OG-^OB2+BG2^a2+b2=(3i)2+b2^lOb2,

同S正方形ABCD_16b_§

'S正方形OEFG]加5

故选B.

【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是根据正方形性质求证.G3O丸FCG(AAS),从

而用参数表示点尸坐标，再直线。尸解析式求出线段之间关系.

【变式训练4].如图，在Rt^ABC中，NS4c=90。，AB=AC,分别过点B,C作经过点A的直线的垂

线段BD,CE,若BD=2,CE=4,则DE的长为.

【答案】6

【分析】利用垂直的定义得到ZBDA=ZAEC,由平角的定义及同角的余角相等得到ZABD=ZCAE,利用AAS

证得△ABDgAACE,由全等三角形对应边相等得到AD=CE=4,由DE=AD+AE即可求

出。E长.

【详解】解：..,3DLDE，CELDE,

:.ZBDA=ZBAC=ZAEC=90°,

:.ZBAD+ZCAE=90°,

ZBAD+ZABD=90°,

:.ZABD=ACAE,

在△ABD和4c4E中，

ZADB=ZCEA

</ABD=ZCAE,

AB=CA

E△ABD^\ACE（AAS）,

:.DB=AE=2,CE=AD=4,

则QEuAD+AEud+ZnG.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据由平角的定义及同角的余角相等证得/的=/C正是

解决问题的关键.

【变式训练5】.如图，E,歹分别是正方形ABCD的边C£>,AD上的点，S.CE=DF^O,AE,3尸相交

于点。，则AE与的数量与位置关系为.

【答案】相等且垂直

【分析】根据正方形的性质可得SBA声回。=90。，AB=AD=CD,然后求出AF=OE,再利用"边角边"证明0ABF

和SDAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF.

【详解】解:AE=BF,且AE3BF,理由如下：

回四边形ABCD是正方形，

EAD=CD=AB=BC,EADE=EIBAP=90°,

SCE=DF,,

^AF=DE,

在EIBA尸和HADE中，

AB=AD

<ZBAF=ZD

AF=DE

^BAF^EADE(SAS),

^AE=BF,/ABF=/FAD.

又回？BAO1EAF90?,

SZABF+ZBAO=90°,

0ZAO5=90°,

EIAEEIBF.

故答案为：相等且垂直.

【点睛】本题考查正方形的性质和全等三角形的证明，解题关键是掌握正方形的性质和证明全等的方法.

【变式训练6】.某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.

图1图2图3

⑴如图1.已知：在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,BD工直线I,CEL直线/,垂

足分别为点。、E.证明：DE^BD+CE.

(2)组员小明对图2进行了探究，若N3AC=90。，AB^AC,直线/经过点4.3D2直线/,CEL直线/,

垂足分别为点D、E.他发现线段DE、BD、CE之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段。E、BD、

CE之间的数量关系，

⑶数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：

如图3,过VABC的边A3、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG(正方形的4条边都相等，4个角都

是直角)，A/7是8C边上的高，延长HA交EG于点/,若9=3,CH=7,求旬的长.

【答案】①见解析

(2)DE=BD-CE

(3)AZ=5

【分析】(1)根据SD2直线/,CE，直线/,ABAC=90°,可得ZCAE=ZABD,利用AAS可证明一ADB空CEA,

根据DE=AE+AD即可得到DE=BD+CE；

(2)同(1)利用AAS可证明_AZ汨均CEA,根据2)£=隹一4)即可得到。£=3£>-虑；

(3)过E作石印于M,GN，印的延长线于N,可构造两组一线三直角全等模型,即：AABHdEAM,

△AHC且△GN4,从而可以得到石M=GN,MN=4,再根据△及"会/XCM可得M=M=2,即可确定回的

长度；

【详解】(1)证明：团直线/,CE,直线/,

0ZBZM=ZCE4=9O°,

0ZBAC=9O°,

0Z^AD+ZG4E=9O°,

[?]ZBAZ)+ZABD=90°,

^\ZCAE=ZABD,

在，ADB和CE4中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=NCEA,

AB=AC

回AADBgAC£A(AAS)

团BD=AE,AD=CE,

团DE—AE+AD=BD+CE；

(2)回直线/,CEL直线/,

^ZBDA=ZCEA=9Q°,

团NB4C=90。，

0ZBAZ)+ZC4E=9O°,

0ZBAZ)+Zz4BD=9Oo,

国NCAE=NABD,

在，ADB和一CE4中，

ZABD=ZCAE

<NBDA=/CEA,

AB=AC

团AADBg△CEA(AAS)

回BD=AE,AD=CE,

^\DE=AE-AD=BD-CE；

(3)如图，过E作石M_Lm于M,GN_Lm的延长线于N,

^\ZEMI=ZGNI=90°

SZBAH+ZEAM=90°,NBAH+NABH=90°,

SZEAM=ZABH

在，AB"和△E4M中，

"AHB=NEMA

<NABH=NEAM,

AB=AE

0AABH名△E4"(AAS)

BBH=AM=3,AH=EM,

同理可得：△AHgAGNA

SCH=AN=1,AH=GN,

即：EM=GN,MN=AN-AM=1-3=4,

在ZkE以和△CAY中，

ZEMI=ZCNI

<ZEIM=ZCIN,

EM=CN

EIZXEM//△CM(AAS),

BMI=NI=-MN=2,

2

SAI=AM+MI=3+2=5；

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的

计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键.

【变式训练71在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线A/N经过点C,且AD_LMN于。，BE±MN

于E.

(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：

①AADC二ACEB；

②DE=AD+BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5,BE=2,求线段OE的长.

【答案】⑴①见解析，②见解析；

⑵3.

【分析】（1）①由已知推出NADC=N3£C=90。，因为NACD+ZBCE=90。，ZDAC+ZACD=90°,推出

NDAC=NBCE,根据AAS即可得到答案；

②由①得到AD=CE,CD=BE,即可求出答案；

（2）与（1）证法类似可证出NACD=/EBC,能推出△ADC四△（?£»,得到AD=CE,CD=BE,代入

已知即可得到答案，

本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关

键.

【详解】（1）①证明：SAD±DE,BEJ.DE,

EZADC=ZBEC=90°,

0ZACB=9O°,

回NACD+ZBCE=90°,ZDAC+ZACD=90°,

S\ZDAC=ZBCE,

在八4£>（7和4。£»中，

ZCDA=NBEC

<ZDAC=NECB,

AC=BC

0AA£>C^ACEfi（AAS）；

②证明：由（1）知：AADC丝△CEB,

团AD=CE，CD=BE，

SDC+CE=DE,

国AD+BE=DE；

（2）证明：^BEIEC,ADYCE,

0ZAZ>C=ZBEC=9O°,

回NEBC+NECB=90。,

^ZACB=90°f

ZECB+ZACE=90°f

⑦ZACD=/EBC,

在△ADC和.CEB中，

ZACD=/BEC

<ZADC=NBEC,

AC=BC

0AA£>C^ACEB（AAS）,

0AD=CE，CD=BE，

⑦DE=EC—CD=AD—BE=5—2=3.

【变式训练8].如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且于D,BEYMN

于工

⑴当直线MN绕点C旋转到①的位置时，求证：®AAT>C^ACEB；②DE=AD+BE；

⑵当直线MN绕点C旋转到②的位置时，求证：DE=AD-BE；

⑶当直线肋V绕点C旋转到③的位置时，试问。E、AD,物具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量

关系，不需要证明.

【答案】(1)①见解析；②见解析

(2)见解析

⑶DE=BE—AD(或AD=BE—DE,BE=AD+DE).

【分析】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，

解此题的关键是推出证明AADC和KEB全等的三个条件.题型较好.

(1)①己知己有两直角相等和AC=BC,再由同角的余角相等证明/D4C=N3CE即可证明

ADC^„BEC(AAS)；

②由全等三角形的对应边相等得到AD=CE,BE=CD,从而得证；

(2)根据垂直定义求出ZB£C=ZACB=ZAT>C,根据等式性质求出NACZ)=CBE,根据AAS证出△ADC和

CEB全等,再由全等三角形的对应边相等得到AD=CE,BE=CD,从而得证；

(3)同样由三角形全等寻找边的关系，根据位置寻找和差的关系.

【详解】(1)①证明：EZACB=90°,=90°,NBEC=90。

回NACD+ZDAC=90°,ZACD+Z.BCE=90°,

SZDAC=ZBCE,

在八l。。与VBEC中，

ZADC=ZBEC=90°

<ADAC=NBCE,

AC=BC

回AOC年BEC(AAS)；

②由①知，△ADC四△BEC,

团AD=CE，BE=CD，

⑦DE=CE+CD,

国DE=AD+BE；

(2)证明：回于。，BE上MN于E,

^\ZADC=ZBEC=ZACB=90°,

0ZG4D+ZACD=9O°,ZACD+/BCE=90。,

国NCAD=/BCE,

在△ADC与V3EC中，

ZADC=NBEC=90°

<ZDAC=ZBCE,

AC=BC

团ADC^CEB(AAS).

SAD=CE，BE=CD，

^\DE=CE-CD=AD-BE.

(3)解：同(2)理可证2ADC/eCEB(AAS).

SAD=CE,BE=CD,

SCE=CD-DE

^AD=BE-DE,^DE=BE-AD-

当MN旋转到图3的位置时，AD.DE、BE所满足的等量关系是£/=助-4)(或&。=3£-。七，

BE=AD+DE).

【变式训练9】.(1)模型建立，如图1,等腰直角三角形ABC中，0ACB=90°,CB^CA,直线瓦)经过点

C,过A作回即于。，过B作2£0即于E.求证：0BECHECDA；

(2)模型应用：

①已知直线y=]X+3与y轴交于A点，与x轴交于8点，将线段绕点8逆时针旋转90度，得到线段

BC,过点A,C作直线，求直线AC的解析式；

②如图3,矩形A8C0,。为坐标原点，8的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上，尸是线段8C上动点，

已知点。在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若0APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形，请

直接写出所有符合条件的点D的坐标.

【答案】⑴见解析；(2)y=-1>+3；(3)(3,1)或(9,13)或(119号23)

【分析】(1)由条件可求得ZEBC=ZACD,利用A4S可证明.BECACDA；

(2)由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CE=30,BE=AO,从而可求得C点坐标，

利用待定系数法可求得直线AC的解析式；

(3)分两种情况考虑：如图2所示，当NAD尸=90。时，AD=PD,设。点坐标为(x,2x-5),利用三角形

全等得到ll-2x+x=8,易得。点坐标；如图3所示，当NAPD=90。时，AP=PD,设点P的坐标为(8,m)，

表示出。点坐标为(14m+8),列出关于优的方程，求出;〃的值，即可确定出。点坐标；如图4所示,

当NAZ)尸=90。时，&。=尸£>时，同理求出。的坐标.

【详解】解：(1)由题意可得，ZACB=ZADC=ZBEC=90°,

0ZEBC+ZBCE=ZBCE+ZACD=90°,

BZEBC=ZACD,

在V3EC和一CZM中

'NEBC=ZACD

*NE=ND,

BC=AC

EBEC^CDA(AAS)■,

(2)过点C作C£>_Lx轴于点。，如图2,

令x=0可求得y=3,

0OA=3,OB-4

同（1）可证得CDB^.-.BOA,

SCD^BO=4,30=49=3,

回8=4+3=7,

回C（—7,4）且A（0,3）,

设直线AC解析式为、=丘+3,把C点坐标代入可得—7左+3=4,解得6=-；,

国直线AC解析式为y=_；x+3；

（3）如图2,

当NAZ*=90。时，AD=PD,

过点D作于E,过点。作£）尸，3c于尸，

同理可得：△AED丝

设D点坐标为（x,2x—5）,则AE=DF=6—（2x-5）=11—2x,

田DE+DF=EF=BC,即ll—2x+x=8,解得x=3,

可得。点坐标（3,1）；

如图3,当NAPD=90°时，AP=PD,

过点尸作于E,过点。作于尸，

设点尸的坐标为（8,加），同理可得：Z\APE%APDF,

团PF=AE=6—m?DF=PE=8,

团。点坐标为（14-机机+8）,

0m+8=2（14-m）-5,得加=5,

回。点坐标(9,13)；

如图4,当/ADP=90。时，&£)=/>£)时，同理可得△相>£^△£)7/,

设D(〃,2〃-5),贝1］。£=尸产=〃，OE=2n—5,AE=DF

贝！］£)尸=4£=2〃-5-6=2〃-11,

^DE+DF=EF=OC=8

1923

0n+2n—11=8,解得〃=—，2n-5=—

33

图4

综上可知满足条件的点D的坐标分别为(3,1)或(9,13)或(1，苛).

【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性

质、分类讨论及数形结合的思想，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解.

”压轴能力测评8

1.如图，VABC为等腰直角三角形AC=3C,若A（-3,0）,C（0,2）,则点B的坐标为

【分析】过点B作轴于点T.证明3Aoe/一CTB,可得结论.

【详解】解：如图中，过点3作轴于点T.

13ZAOC=ZACB=NCTB=90°,

B1ZACO+NBCT=90°,NBCT+ZCBT=90°,

SZACO=ZCBT,

在△AOC和△CIS中，

ZAOC=ZCTB

<ZACO=ZCBT,

AC=CB

EI_AOC^C7B（AAS）,

0AO=CT=3,BT=CO=2,

^OT=CT-CO=\,

晒2，-1）,

故答案为：（2，-1）.

【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

2.如图，在0ABe中，SACB=90°,以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形和正方形ABGF,

点G落在上，若AC+5C=7,空白部分面积为16,则图中阴影部分的面积是

【分析】根据余角的性质得到44c=43。，根据全等三角形的性质得到SFAH=S.，推出5AAsc=$四边形式NS,

根据勾股定理得到AC2+8C2=A&,解方程组得到S.C=5,接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部

分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和.结合8C.AC=1

即可得出结论.

依此即可求解.

【详解】解：如图，

:.ZFAB=ZAFG=ZACB=90°,

/.ZFAC+ZBAC=ZFAC+ZABC=90°,

:.ZFAC=ZABC,

FAH=ABN(ASA),

一°FAH~°ABN，

••SABC二S四边形尸NS=§3，

2

回S空白=S正方形MG/—S3=16,即AB-SABC=16,

:.AB2--AC-BC=16,

2

在VABC中，ZACB=90°,

AC2+BC2=AB2,

AC+BC=1,

(AC+BC)2=AC2+BC2+2ACBC=49,

:.AB2+2AC-BC=49,

—聋

阴影部分的面积和二三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积

=AB2+AC2+BC2+-AC.BC-2(AB2--AC-BC)

22

3

=-AC.BC

2

366

=­x——

25

99

99

故答案为：—.

【点睛】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的

结合和应用.

3.如图，VABC中，AC=BC,ZACB=90°,A(0,3),C(1,0),则点B的坐标为.

【答案】(4,1)

【分析】如图，过点5作8。取轴于0,根据点4点C坐标可得04OC的长，根据同角的余角相等可

得I3O4C二团。C3,利用A4S可证明团0ACS团。CB,根据全等三角形的性质可得&)=0C,CD=0A,即可求出

0。的长，进而可得答案.

【详解】如图，过点3作取轴于0,

她(0,3),C(1,0),

回。4=3,OC=1,

团财。5二90°,

mOCA+^DCB=90°f

fflOAC+0OCA=9O°,

00OAC=0£>CB,

ZAOC=ZCDB

在回OAC和回。CB中，|ZOAC=ZDCB,

AC=BC

团团。ACffiDCB,

^\BD=OC=lfCD=OA=3,

回0。=0。+8=4,

【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.

4.如图1,在VABC中，ABAC=90°,AB=AC,AD13C于点。，NEPF=90°,点尸在A。上，射线PE,

图1图2

⑴当点尸与点。重合时，如图2所示，直接写出：

①AF与BE之间的数量关系：;

②AE+AF与AP之间的数量关系：；

(2)当点尸在线段A。上时(不与端点重合)，如图1所示，则AE+AF与AP之间的数量关系:

【答案】(1)①AF=3E；@AE+AF^y[lAP

(2)AE+AF^y/2AP

【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，

(1)①利用等腰直角三角形的性质及等量代换得出=然后利用ASA可证"3DE三一AD产，

从而得到AF=BE；

②先利用全等三角形的性质得出=再利用等腰直角三角形的性质可得出.“8=0",从而

得出AE+AF="4尸

(2)过点P作尸Q〃BC交AC于点。，同样利用等腰直角三角形的性质及ASA证明EPg*FPQ,然后利

用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出结论.

【详解】(1)(1)①AF=BE,理由如下：

ZBAC^90°,AB=AC

ZB=ZC=45°

AB=AC,ADIBC

ZADB=90°,AD=CD=BD=-BC

2

.\ZZMC=45°

NEPF=90。

..ZADE+ZADF=90°

ZADE+ZBDE=ZADB=90°

.\ZBDE=ZADF

在VB"和△AD厂中，

ZB=ZDAF

<BD=AD

NBDE=NADF

\BDE^.ADF(ASA)

:.BE=AF

@AE+AF=42AP^理由如下：

BE=AF

:.AE+AF=AE+BE=AB

ZB=45°,ZADB=90°

AB=y/2AP

AE+AF=y[2AP

(2)AE+AF=y/2AP，理由如下：

过点P作PQ〃3c交AC于点。

ZAPQ=9