2024-2025学年高一年级上册期末模拟考试卷（新高考地区专用）（全解全析）

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+数列。

5.难度系数：0.62o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知x,yeR,向量N=1=（1,刈,C=（2,-2,2）,<5_Z.c,b//c,则x+y的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【详解】因为向量在=（1）,1），c=（2,-2,2）,

由方/日，则2x-2+2=0,解得x=0,

由B//万，则4=+=:，解得夕=一1，贝!Jx+y=-l.

2—22

故选：A.

2.直线（2sin2O-l）x+等y+l=0的倾斜角e的取值范围为（）

八兀八兀TT2兀|

A.0,—B.0,—U—,71

3」L3jL3J

C.（［0八，兀§］卜降「2兀兀［卜3（兀］D.「2兀）_

【答案】B

2

<-_2sin0-1IT

【详解】由直线方程（2sin/-l）x+9y+l=0可得'=一一,

3T

八is、，nr士心-八八一tan«=-2sin,_L=__枢（2sin23-1）=或os28e『工■

由于倾斜角为e，则直线的斜率V3<'Iv，v」,

3

故ae0,兀ju—Z71,7t)I.

故选：B.

3.下列说法正确的个数是()

①动点尸(x,y)满足yjx2+(y-2)2+J/+(y+2)2=4,则尸的轨迹是椭圆

②动点尸(xj)满足Jx?+O-2『+b+Q+2)2=5,则尸的轨迹是双曲线

③动点尸(x,y)满足到夕轴的距离比到厂(1,0)的距离小1,则尸的轨迹是抛物线

④动点尸(三田满足(x-2)Jf+一5=。则尸的轨迹是圆和一条直线()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【详解】①，F+3-2)2+旧+3+2)2=4表示点(XJ)与点(0,2),(0,-2)的距离和为4,

而(0,2),(0,-2)两点的距离为4,所以尸点轨迹是(0,2),(0,-2)两点间的线段，①错误.

②，4+3-2)2+&+3+2)2=5表示点(xj)与点(0,2),(0,-2)的距离和为5,

而(0,2),(0,-2)两点的距离为4,5>3,所以P点的轨迹是椭圆，②错误.

③，动点P(x，V)满足到y轴的距离比到尸(1,0)的距离小1,

当点尸(x,y)在y轴左侧或在y轴上时则动点尸(x,y)满足到直线x=-l的距离和到尸(1,0)的距离相等，则P

的轨迹是抛物线；

当点尸(x,y)在y轴右侧时，此时尸的轨迹是射线y=0(x<0),③不正确.

④，动点尸(x,y)满足(x-2)Jx?+/-5=0,

除一2=0,,

贝"2,、<或X2+/=5,

[x+y>5

fx—2=0一，°

\22、〈表示的是直线％-2=。在Y+j?=5圆外和圆上的部分；

[x+y>5

，+/=5表示一个圆，所以尸的轨迹是圆和两条射线，④错误.

所以正确的有0个.

故选：A

4.已知S,为数列｛与｝的前〃项和，且邑=2%-2,若而“22log2%+3对任意正整数"恒成立，则实数2的

最小值为()

【答案】D

【详解】由兄=2与一2,令〃=1,解得q=2,

S_2Q2

当〃22时，由H-2,得a=2-2%,即公=2…,

所以数列｛。“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以%=2",

由加221叫。,+3,即孝恒成立，令的=言2,则於9）1m一

而。向-。“=-贵<0,所以*<%即数列匕｝单调递减，故（c“）1nj

所以所以4的最小值为3.

22

故选：D

5.已知加eR,过定点A的动直线mx+y=O和过定点8的动直线x-阳-用+3=0交于点尸，则|上4卜户同的

最大值为（）

A.y/5B.VToc.5D.10

【答案】C

【详解】直线mx+N=0过定点次0,0）,直线无一机V-加+3=0,即（x+3）-加（y+l）=0过定点3（-3,-1）,

又加•1+1•（-m）=0,即直线冽x+y=0与直线x—即一加+3=0垂直,

因此|P^|2+\PB|2=|AB|2=10,则|尸//尸却V。.？所=5,

当且仅当I^1=1PB|时取等号，所以|办•归回的最大值为5.

故选：C

6.已知3=（亚加，⑸，B=且@/区，则机和〃可分别作为（）

A.双曲线和抛物线的离心率B.双曲线和椭圆的离心率

C.椭圆和抛物线的离心率D.两双曲线的离心率

【答案】A

【详解】由题意3=（行,加,岔），B=且必区，

也_m_旧r

所以〃11,解得m=——>〃=1,

22

所以机和“可分别作为双曲线和抛物线的离心率.

故选：A.

7.如图，正方体N8CD-44GA的棱长为2,的中点为E,则下列说法不正确的是（）

O

A.直线和8G所成的角为方B.四面体5DG4的体积是2

C•点4到平面的距离为手D.G到直线8E的距离为华

【答案】C

【详解】建立如图所示空间直角坐标系。斗,

A(0,0,2),4(2,0,2),4(2,2,2),G(0,2,2),£(1,0,0)

__,__k----►—►-41,—.27t

对于A,Z)lC=(0,2-2),J8C1=(-2,0,2),故cos<RC,B3>=2收'27=一5'故<℃，3q>=§,

即直线2。和阳所成的角为与，故A正确；

11O

对于B,易得四面体mG4为正四面体，则入4=%C“44G『4嚷44。=8-4X-X-x2x2x2,故B

正确；

对于C,可=(0,-2,2),丽=(1,2,0),网=(-2,0,2),设平面世。的法向量为元=(x,y,z),

nlEB\n-EB=x+2y=Q

则一，有一,令x=2,则方=(2,-1,2),

nLBCl[n-BCl=-2x+2z=Q

故点4到平面作的距"皆=亨=2,故C错误;

对于D,£S=(l,2,0),5q=(-2,0,2)

、2

靛-2+0+0=结，故D正确.

则G到直线3E的距离为BC'-西.8-

HJV5

故选：c

r2V2_._.

8.已知双曲线C：A-4=l(a>0,b>0)的左右焦点分别为片，片，点A在C上，点B在V轴上，FXAVFXB,

ab

—>2—>

F2A=--F2B,则C的离心率为()

A.-B.V6C.—D.—

252

【答案】C

【详解】设审|=2%,»0,=则|同=梓卜3"，根据双曲线性质可知麻卜不卜20,

所以|即卜2“+2加，同口行|+|口卜5"，又因冗n可g.所以A/%为直角三角形，可得

用:+屏卜网\

4

所以可得(20+2加『+(3加『=(5加『，解之可得。=加或a=-3掰(舍)，可求出cos乙工盟==

AB5

在中根据余弦定理,“典=叫；号与

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若一个以(2,-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是()

A.直线x=0与圆相切

B.圆关于直线y=-2x对称

C.对X/aeR,直线依一y-2。-1=0与圆者日相交

D.尸(x,y)为圆上任意一点，则J(x+l)2+j?的最大值为9

【答案】BCD

【详解】对于A,因圆心C(2,-4)到直线x=0的距离为2,小于半径4,即直线x=0与圆相交，故A错误;

对于B,因圆心(2,-4)在直线了=-2》上，故圆关于直线y=-2x对称，即B正确；

对于C,对X/aeR,直线=0即a(x-2)-y-l=0,则直线经过定点(2,-1),

而该点在圆(x-2)2+(y+4)2=16内，故VaeR,直线狈--2-1=0与圆都相交，即C正确;

对于D,依题意，尸(x,y)在C:(x-2y+(y+4)2=16上,

而[(尤+1)2+/可理解为圆上的点尸(x,y)与点/(-1,0)的距离d,

由图知4^=10图+r='(2+1)2+(-4)2+4=9,故D正确.

故选：BCD.

22

10.已知双曲线C:三-2=l(a>0,b>0)的离心率e=VLc的右支上的点到其右焦点的最短距离为。-1,

ab

则()

A.双曲线。的焦点坐标为(土g,0)

B.双曲线C的渐近线方程为y=±缶

C.点(2,啦)在双曲线。上

D.直线加x-y-2加=0(加eR)与双曲线C恒有两个交点

【答案】AB

e=—=43r[

a。=1

【详解】由题意知，lc-a=43-l,解得｛6=亚，

c2=a2+b2。=、n

所以双曲线方程为--XT,

2

所以焦点坐标为(土石,0),双曲线渐近线方程为>=±缶，故A项正确，B项正确；

对于C项，因为22-6等片1,所以点(2,行)不在双曲线上，故C项错误；

对于D项，由mx-y-2m=0整理得〃?(x-2)-y=0,所以直线mx-y-2%=0恒过点(2,0),

又因为22一二>1,所以点(2,0)在双曲线内，

2

所以当加=±拒时，直线分别与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，故D项错误.

故选：AB.

11.无穷项数列｛%｝它的前〃项和为耳，则下列说法正确的是()

A.若｛4｝为等差数列，且4<0吗+&>0,则母｝单调递增

B.若｛%｝为等比数列，且%<0,%+%>0,则｛"｝单调递增

C.若｛%｝为等差数列，且对任意“eN*,均有S“>0,则｛SJ存在最小项

D.若｛%｝为等比数列，且对任意“eN*,均有S">0,则｛'｝存在最小项

【答案】ACD

【详解】A选项，｛%｝为等差数列，且%<0,4+%>0,则%>-%>0,

所以"=02-q>0,则当“W2时，Sn-S„_^a„>0,所以｛'｝单调递增，A正确；

B选项，｛%｝为等比数列，且q<0,%+%>0，则的=%夕>-%>°，解得“<-1,所以｛叫为摆动数列，

当〃为奇数时，a„<0,当〃为偶数时，«„>0,

其中当〃N2时，S“-Si=a“，故母｝不单调，B错误；

C选项，｛%｝为等差数列，且对任意”eN*,均有邑>0,当”=1时，％=岳>0,

若公差d<0,存在加>1-蓍旦％eN*,使得q+勺=2%+(加一l)d<0,故所以与总>0

矛盾，舍去，当公差"=0时，。“=为>0,满足S0>0,此时｛SJ的最小值为工，满足要求，

当公差1>0时，%=%+("-1)〃>0,满足邑>0,此时｛$“｝的最小值为满足要求，故C正确；

D选项，当”=1时，%=S]>0,S.>0,若公比[=1,止匕时％=S]>0,满足S.>0,｛§“｝存在最小值百，

若4W1,则有％(〜L,即^^>0,若q<0,止匕时l-q>0,需满足1一，>0,

i-q

若g=-l,当”为偶数时，l-q"=O,不合要求，若[<-1,当”为偶数时，l-q"<0,不合要求，

1_n

nn1x

若一l<g<0,满足1一/>0,—^->0,当〃为偶数时，a„=aiq-<0,当〃为奇数时，an=axq"->Q,

i-q

此时。+I-S“=%g",当"为偶数时,S"M-S"=q/>0,即s例>S,,当力为奇数时，S"+「S"=W<0,即

S”+i<s”.

故E>$2<邑，又％+%故$4>$2,每四项分为一组，进行研究，可得S5>$6<$7,且$8>$6，

….，且邑<及<品故｛'｝存在最小值$2,若。1，此时—>0,黑广卑=W>0,故阻｝存在

1-4

最小值H,

n

1_n

若0<q<l,此时J->0,yF/>0,故⑸｝存在最小值H,

1-q

综上，若｛%｝为等比数列，且对任意〃eN*,均有S〃>0,则｛'｝存在最小，D正确.

故选：ACD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.数列｛2〃｝与｛3〃-1｝的所有公共项由小到大构成一个新的数列｛%｝,则出。=.

【答案】116

【详解】｛2n｝与｛3〃-1｝的所有公共项由小到大构成一个新的数列为2,8,14,•••,

故｛%｝为首项为2,公差为6的等差数列，

所以%=2+6（〃-1）=6〃-4,

所以。2。=120-4=116.

故答案为：116

13.已知正三棱柱的底面边长为2道，高为2,点尸是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条

直径是"N,则PM-P2V的取值范围是.

【答案】［0,4］

【详解】因为正三棱柱的底边长为2VL如图，设V/2C内切圆的半径为，，

所以更（2肉2,x26x3r,得到,-1,又正三棱柱的高为2,

42

所以棱柱的内切球的半径为R=l，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心，

又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面有两个切点为M,N,

则丽•丽=（而+曲）（PO+ON）=快|2+PO例怛11,

又点P是正三棱柱表面上的动点，

当尸与M（或N）重合时，园的值最小，此时园=1,

由对称性知，当尸为正三棱柱的顶点时，|所|的值最大，

连接4N,并延长交4G于H,则4N=g4〃=gxj（2后一向=2,

此时I丽L=l4°l=Ji"?=石，得到0<|而］-1<4.

Q

故答案为：[0,4]

22

14.已知椭圆宗+方=1（。>6>0）的左、右焦点分别为片、耳，经过片的直线交椭圆于A,B,的内

切圆的圆心为/,若3岳+4/+5质=0,则该椭圆的离心率是.

【答案】正

5

【详解】因为3岳+4甚+5质=0,所以之岳+|■区=-：而，如图，在班上取一点跖使得忸叫:|峥卜5:3,

882

—.1一

连接血，则血=-5口，则点/为4W上靠近点M的三等分点，所以：S.噢：5曲=3:4:5,

所以M阊:忸阊:|/刈=3:4:5,设阊=3x,则忸阊=4x,|/B|=5x,由椭圆定义可知：•周+忸闻+|/同=4。,

即12x=4〃,

所以x=1，所以IZ&I=。，忸舄|=+，|/冏=+,INF/=见故点A与上顶点重合，

2522162

2+aa

A\AB^+\F2A-\F2B[丁~T3

在中，由余弦定理得：COSZBAF=^一]工尸―=-g----2—=

22\AB\-

在△"巴中，cos4盟=/+*4°2=J解得：£=无，所以椭圆离心率为1.故答案为：旦.

2/5.555

斗

A

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）已知直线/的方程为（2加+l）x+（m+l）,v-7机-4=0.

（1）求证：不论加为何值，直线/必过定点M（3,l）；

（2）过点〃引直线4交坐标轴正半轴于A,8两点，当V/03面积最小时，求V/08的周长.

【详解】（1）由（2m+l）x+（加+l）y—7加一4=0可得：m（2x+y-7^+x+y-4=0,

f2x+y-7=0x=3

,解得

[x+y-4=0y=l

经检验,满足（2加+1）龙+（加+1）了一7"?-4=0

所以直线/过定点M（3,l）..................................6分

（2）由题意可设直线4的方程为了-1=左（》-3）（左<0）,设直线4与X轴，y轴正半轴交点分别为42,

令x=0,得力=1-3左；令y=0,得肛=3-1,

k

所以V/03面积5=；（1-3左）[3—£]=:（-9左）+-，+6]>12（（一9左）广£|+=6,

当且仅当一9左=二，即上=」时，V/08面积最小，

-k3

此时2（6,0）,5（0,2）,\AB\=762+22=2710,

所以V/08的周长为6+2+2加=8+2而.

所以当V/O3面积最小时，V40B的周长为8+2厢.13分

16.（15分）如图，在四棱锥S-48CD中，四边形ABCD是矩形，ASAD是等边三角形,平面见1。，平面ABCD,

AB=l,E为棱&4上一点，尸为棱4D的中点，四棱锥S-N3C。的体积为地.

3

（1）若E为棱&4的中点，尸是的的中点，求证：平面PE/〃平面SCD；

⑵是否存在点E,使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为叵？若存在，确定点E的位置；若不存在,

请说明理由.

【详解】（1）在等边三角形“。中，尸为4。的中点，于是

又平面平面/5CQ,平面S4Qc平面48。。=/。，SPu平面SAD,

:.SPmABCD,

・•.SP是四棱锥S-的高，

设40=加，则，尸二，^加，矩形45cZ）的面积S二加，

2

八ABCD=1S,SP='加•m=m=2,...............................2分

O—ADI^LJ3323

如图，以点P为坐标原点，以所在直线为x轴，过点尸且与48平行的直线为y轴，PS所在直线为Z轴,

建立空间直角坐标系，

则尸(0,0,0),/(1,0,0),5(1,1,0),S(0,0,6),Eg，0,当，FL＞叵

2,2，~r\，

设*=(x”x，zj是平面尸跖的一个法向量，

16

/+万【n°

竺竺=。，即,

则

n•PF=0,11V3_'

}-xi+-yi+^~zi=0

令Z]=l,则X]=-。，M=0,:.nt=(-73,0,1).

同理可得平面sc。的一个法向量为后=（-6,0,1）.

•••1=%,平面PEFII平面SCD...............................7分

(2)存在.

设在=A,AS=2(-1,0,百)=(-A,0,V3A)(0<A,<\),

贝lj匠=强+次=(1,0,0)+(-A,0,V3A)=(1-2,0,V32),^5=(1,1,0),

设平面尸班的一个法向量为五=（x,y,z）,

m-PE=(l-A)x+y/3Az=0

则__I)，

m-PB=x+y=0

令x=6九，贝【J_y=—V3A,z=2—1,

.-.m=(V3A,-V32,2-l),............11分

易知平面SAD的一个法向量为次=(0,1,0)，

,I/,一\|_网向_卜⑸_屈

।4网网47♦-22+110

,/0<2<1,A=—,

3

・・・存在点E,且E为/S上靠近/点的三等分点...............15分

17.(15分)已知｛%｝是首项为1的等差数列，其前n项和为1,S[=70,｛bn｝为等比数列，打=&，4+A=8。.

⑴求｛%｝和也｝的通项公式；

⑵求数列11)”叫的前〃项和小

1(2—4

(3)记C“=62”+K，若型一对任意〃eN*恒成立，求实数2的取值范围.

b.cn-cln

【详解】(1)设等差数列｛%｝的公差为d,

7x6

因为。1=1,S7=7a1+-^-t/=7+21(Z=70,解得d=3,

所以，%=%+(〃-l)d=1+3(〃—1)=3〃-2.

设｛2｝的公比为0,因为4=%=3x6-2=16,62+4=62(1+4)=16(1+4)=8。，

解得0=4,所以，6产瓯"*=16x4-=4"............4分

(2)因为-1=(%+i-4)(%+i+%)=3(%+%讨),

naa

当为偶数时,Tn=(-,+W)+(-d+6/4)+(~5+6)+••｛1+@

=3(…+%+…+*=3〃.号=3〃.程=若生

当”为奇数时，*=小一片=9(〃-1)；3(〃-1)(%_2R-9,3"+4.

也二加，”为偶数

所以，［=...............9分

-9/+3〃+4

，〃为奇数

2

令.；3〃-6

2x4”

3n-63〃-9_3«-6-4（3n-9）_30-9n

则4,-4T2x4"~2x4"^一2x4"2x4"

当时，dn>41T,即4cd2<4，

当〃>3时，dn<dn_x,即4>〃>4>,,,,

所以，数列｛4｝的最大项为4=7^，

12o

因为2N孕二土恒成立，

g-。2〃

3

所以，％>&=m，即实数％的取值范围为15分

128128）

18.(17分)若圆G与圆。2相交于尸，。两点，|P9=〃m>0),且C,为线段P。的中点，则称C?是G的机

等距共轨圆.已知点4(3,5),2(6,4)均在圆q上，圆心G在直线尤-4了-3=0上.

(1)求圆£的标准方程.

(2)若圆g是圆。的8等距共辄圆，设圆心C2的轨迹为。.

(i)求。的方程.

(ii)已知点"(3,3),直线/与曲线。交于异于点〃的£,F两点,若直线HE与坂的斜率之积为3,试问

直线/是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【详解】(1)因为圆心G在直线x-4”3=0上，设G(4a+3,a),

且点4(3,5),5(6,4)均在圆G上，则|C/|=|G@,

可得Jl6a2+(a-5)2=^(4a-3)2+(a-4)2,解得a=0,

即圆心为G(3,0)，半径厂=|。/=5，

所以圆。的标准方程为(x-3)2+必=25..............4分

(2)(i)因为|尸。|=8,由题意可得：|c©=，2-［；忸0『=3,

可知圆心Cz的轨迹为。是以4（3,0）为圆心，半径弓=3的圆,

所以。的方程为（工-3丫+_/=9；9分

y^kx+b,E(X],必)，尸(9,%)，

y=kx+b

联立方程,消去y可得(/+1)/+2(初一3)x+〃=0,

(x-3)：y2=9

b2

贝U△>0,-且X]+x?=—----,x^2=

k+1F+1

必_3%—3kX1+6—3kx?+6—3.

：

因为《HE,%F,一,-3

Xj—3%2-3%—3x?—3

整理可得(42_3)%/+[4(6_3)+9](%+%)+62_66_]8=0,

b2[k2-3)2[左(6—3)+9](3—初)

则F+i+F+1+/-6b-18=0

可得（6+3左+6乂6+3斤一3）=0,即6=—3k—6或6=—3k+3.................14分

当6=-3"6,直线了=左--3）-6过定点（3,-6）；

当6=-3左+3,直线＞=-3）+3过定点（3,3）,不合题意；

可知直线/过定点（3,-6）；

若直线I的斜率不存在，设后优,外）,/%,-%）,%?^,

则研.勤+,即弁=9-3（%-3『，

且£（%%）在圆（》-3『+/=25上，则（％-37+/=25,

即伉-3）2+9-3&-3）2=9,解得%=3,不合题意；

综上所述：直线/过定点（3,-6）.............................17分

221

19.（17分）在平面直角坐标系中，己知椭圆C:亍+}=1（°>6>0）的短轴长为2行，离心率为

（1）求C的方程；

（2）如图，过点。的直线/（异于y轴）与C交于点尸，Q,过左焦点尸作直线尸。的垂线交圆于

—X