2024-2025学年沪科版八年级数学上册期末冲刺复习：全等三角形模型之手拉手和角平分线模型（解析版）

专题12全等三角形模型之

手拉手和角平分线模型

目录

解题知识必备.....................................................................1

压轴题型讲练.....................................................................3

类型一、手拉手模型..............................................................3

类型二、角平分线模型...........................................................20

压轴能力测评....................................................................34

“解题知识必备♦♦

模型五：手拉手模型

【模型分析】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫

旋转型全等，常用“边角边"判定定理证明全等。

【模型图示】

公共顶点/记为“头"，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手"，第二个顶点记为“右

手”。对应操作：左手拉左手（即连结即），右手拉右手（即连结CE）,得△力如泣卜ACE。

【常见模型】

模型六：角平分线模型

【模型1】：如图一，角平分线+对称型

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用

对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

【理论依据】：三边对应相等的三角戏是全等三角形(sssx全等三角形对应角相等

［模型2］:如图二，角平分线+垂直两边型

角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等.

如图二

【几何语言】：「0C为NAOB的角平分线，D为0C上一点DE±OA,DF±OB

.-.△OED=A077)(AAS)(/.DE=DF

【模型3］如图三，角平分线+垂直角平分线型

如图三

【说明】：构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一"，也可以得到两个全等的直角三角形，进而

得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

【模型4】角平分线+平行线型

如图四

【说明】：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提

供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

♦♦压轴题型讲练”

类型一、手拉手模型

AAA

例.如图，C为线段4E上一动点(不与点A,E重合)，在4E同侧分别作等边三角形45。和等边三角形

CDE,AD马BE交于点O,4D与BC交于点P,BE与CD交于点、Q,连结PQ.以下结论错误的是()

B

ACF

A.ZAOB=60aB.AP=BQ

C.PQ//AED.DE=DP

【答案】D

【分析】利用等边三角形的性质，BC//DE,再根据平行线的性质得到NC5£=/D£。，于是

ZAOB=ZDAC+ZBEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=600,得出A正确；根据△CQBgZkCH(ASA),得出B正

确；由A4CDgABCE得/CBE=ND4C,力口之NNC5=/DC£=60。，AC=BC,得至咨△(7我(ASA),

再根据/尸。。=60。推出△PC。为等边三角形，又由/尸QC=NDCE,根据内错角相等，两直线平行，得出C

正确；根据/CZ»E=60。，ZDQE^ZECQ+ZCEQ=60°+ZCEQ,可知/OQEHNCOE,得出D错误.

【详解】解：•.•等边△4BC和等边△(?£)£1,

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

：.ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,即ZACD=ZBCE,

在CD与△BCE1中，

'AC=BC

<ZACD=NBCE,

CD=CE

:.AACD卷ABCE(SAS),

；.NCBE=/DAC,

又：ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=60Q,IPZACP=ZBCQ,

又<AC=BC,

在ACQB与ACR4中，

ZACP=ZBCQ

<AC=BC,

ZPAC=ZCBQ

：./\CQB^/\CPA(ASA),

：.CP=CQ,

又:/尸CQ=60。可知△尸C0为等边三角形，

工ZPQC=ZDCE=60°,

：.PQ//AE,

故C正确，

'：ACQB^ACPA,

：.AP;BQ,

故B正确，

•：AD=BE,AP=BQf

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QEf

ZDQE=ZECQ+ZCE2=60°+ZCEQ,ZCD£=60°,

ZDQE^ZCDE,故D错误；

,/ZACB=ZDCE=60°,

：.ZBCD=6Q09

・・•等边△QCE,

ZEDC=60°=ZBCD,

:・BC〃DE,

:・/CBE=/DEO,

：.NN0B=ADAC+/BEC=ZBEC+ZDEO=ZDEC=60°,

故A正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到

不变量.

【变式训练1].如图，在V/BC中，ZABC=90°,分别以45,4。为边作等边△/m和等边连

结。£,若45=3,AC=5,则()

E

*--------A

A.2V2B.2>/3C.4D.3加

【答案】C

【分析】在放A/BC中可直接运用勾股定理求出8C,然后结合"手拉手”模型证得△/3Cg△//)£,即可得

到。E=3C,从而求解即可.

【详解】解：在放△NBC中，43=3,AC=5,

.••由勾股定理得：8c=4,

,/和△/(7£均为等边三角形，

：.AB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

：.ZBAD-ZCAD=ZCAE-ZCAD,

即：ZBAC=ZDAE,

在A/BC和△/£>£中，

AB=AD

-ABAC=ND4E

AC=AE

：.^ABC^/\ADE(SAS),

:.DE=BC=4,

故选：C.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用

勾股定理解三角形是解题关键.

【变式训练2】.如图，正VA8C和正ACDE中，B、。、。共线，S.BC=3CD,连接40和BE相交于点尸,

以下结论中正确的有()个

①乙4FB=60°②连接尸C,则CF平分/8FD（3）BF=3DF@BF^AF+FC

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根据“手拉手"模型证明从而得到=再结合三角形的外角性质即可

求解乙4尸8=44。8=60。，即可证明①；作于M点，CN1AD于N点、,证明ACEM以ACON,

结合角平分线的判定定理即可证明②；利用面积法表示V3C尸和AOCF的面积，然后利用比值即可证明③;

利用“截长补短”的思想，在工。上取点。，mFC=FQ,首先判断出AFC。为等边三角形，再结合"手拉

手”模型推出A3C尸也ANC0即可证明④.

【详解】解：①•.•VNBC和ACDE均为等边三角形，

ZACB=ZECD=6CP,AC=BC,EC=DC,

：.ZACB+ZACE=NECD+ZACE,

?.ZBCE=ZACD,

在和A/CD中，

BC=AC

<NBCE=ZACD

EC=DC

:.ABCE”AACD(SAS),

：.ZCBE=ZCAD,

,：NAFB=ZCBE+ZCDA,NACB=ZCDA+ZCAD,

/.ZAFB=AACB=60°,故①正确；

②如图所示，作。1/，5£于加点，CNLAD于N点、,

则ACME=ZCND=90°,

ABCE知ACD,

ZCEM=ZCDN,

在ACEM和△CDN中，

ZCME=ZCND

<ZCEM=ZCDN

CE=CD

/.ACEM沿ACDN(AAS),

/.CM=CN,

:.CF平分/BFD,故②正确；

③如图所示，作"LAD于P点，

S=-BF-CM=-BC-FP,S=-DFCN=^-CD-FP,

KrF222nrF2

c-BF-CM-BC-FP

・、ABCF__2___________2______

**1—1~~1'

'△DCF—DF・CN—CD・FP

22

CM=CN,

...整理得：—,

DFCD

•・•BC=3CD,

.BF3CDr

••——3,

DFCD

:.BF=3DF,故③正确；

④如图所示，在40上取点。，使得尸

•：/AFB=ZACB=60。,CF平分NBFD,

：.ZBFD=120。，ZCFD=-ZBFD=60P,

2

・・・△FC。为等边三角形，

:・/FCQ=60。,CF=CQ,

,/ZACB=60°,

：.NACB+ZACF=ZFCQ+ZACF,

：./BCF=ZACQ,

在V8C厂和“C0中，

BC=AC

</BCF=AACQ

CF=CQ

；.^BCF^AACQ(SAS),

：.BF=AQ,

VAQ=AF+FQ,FQ=FCf

：.BF=AF+FC,故④正确;

综上，①②③④均正确；

故选：A.

BD

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，

掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括"手拉手"模型，截长补短的思想等是解题关键.

【变式训练3】.如图，Rt^ABCRt^ADE+»ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=5,4D=AE=2,点、P,

Q,R分别是3C,DC,OE的中点.把△4DE绕点/在平面自由旋转，则AP。穴的面积不可能是（）

A

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【分析】连接跳入CE,3。的延长线交CE的延长线于O,AC交BO于H.证明△氏4。g然后可推

137

出△尸。R是等腰直角三角形，S△尸。火=5•尸。2,由/5=5,/。=2可知3VADW7,从而得至U5V尸。4^，那么

594彳1・尸。《4子9,即可得出答案.

o2o

【详解】解：连接皮入CE,5。的延长线交CE的延长线于。，AC交BO于H.

•：AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,

：./BAD=NCAE,

：.ABAD义ACAE,

:,BD=CE,ZABH=ZOCH,

ZAHB=ZCHO,

：.ZO=ZBAH=90\

•・•点尸，。，尺分别是5C,DC,QE的中点，

：.PQ=^BD.PQ//BO,QR=；EC,QR//CO,

■:BO工OC,

:.PQ工RQ,PQ=QR,

•••△PQR是等腰直角三角形,

：.SAPQR=^PQ2.

U：AB=S,40=2,

：.3<BD<7,

.3八7

91,49

..-<-»PQ2<—,

82*8

:ZQR的面积不可能是8,

故答案为：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定

(1)如图1,已知△C48和ACDE均为等边三角形，。在4C上，E在CB上,易得线段4D和8E的数量

关系是.

(2)将图1中的ACDE绕点C旋转到图2的位置，直线和直线8E交于点尸.

①判断线段/。和BE的数量关系，并证明你的结论；

②图2中NAFB的度数是.

(3)【探究拓展】如图3,若△C48和ACOE均为等腰直角三角形，ZABC=NDEC=90。，AB=BC,DE=EC,

直线和直线BE交于点尸，分别写出44q的度数，线段N。、BE间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)AD=BE-,(2)①AD=BE,证明见解析；@60°；

(3)N4FB=45度,AD=6BE，理由见解析.

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质，相似三角形的判定以及性质等

知识.

(1)由等边三角形的性质可求解；

(2)①由"SAS"可证V/CDgVBCE,可得ND=BE；

②由全等三角形的性质可得44co=ZCBF,即可解决问题.

(3)结论：NAFB=45°,AD=6BE.证明△NCDS^BCE,可得桨=会=也，NCBF=NCAF,由

此即可解决问题.

【详解】(1)解：和△C7M均为等边三角形,

CA=CBfCD=CE,

・・・AD=BE,

故答案为：AD=BE；

(2)如图2中，

c

・・・VABC和△CDE均为等边三角形，

CA=CBfCD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

・・・ZACD=/BCE,

:・NACD@BCE(SAS),

JAD=BE

②・：NACD4BCE,

：.ZACD=/CBF,

设BC交4月于点O.

NAOC=NBOF,

ZBFO=NACO=60°,

ZAFB=60°,

故答案为：60°；

(3)结论：ZAFB=45°fAD=GBE.

理由：

VZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,

：.ZACD=45°+ZBCD=ZBCE,—=—=41,

BCEC

Z\ACDs^BCE,

=V2,ZCBF=ZCAF,

BEBC

・•・AD=y[2BE^

・・•/AFB+ZCBF=/ACB+ZCAF,

・・・ZAFB=ZACB=45°.

【变式训练5】.如图，在和ACOD中，OA=OB,OC=OD,若N4OB=NCOD=60。,连接“C、BD

交于点P;

图1图2

(1)求证：AAOCABOD.

(2)求N/P8的度数.

⑶如图(2),“3C是等腰直角三角形，ZACB=90°,AC=BC,AB=14cm,点。是射线AB上的一点，

连接CD,在直线AB上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形ACDE,连接BE,若5D=4cm,求5E的

值.

【答案】⑴见解析

(2)60°

(3)BE=10cm或18cm

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用；

(1)根据题意得出//0C=/30D,即可证明A/OC会A30Z)(SAS)；

(2)根据题意可得是等边三角形，根据(1)的结论可得=进而根据三角形的内角

和定理，即可求解；

(3)分情况讨论，当。在线段上时，当。在的延长线上时，证明ACAD知CBE(SAS)，得出=BE,

结合图形，即可求解.

【详解】(1)证明：ZAOB=ZCOD=60°,

ZAOC=ZBOD

又；OA=OB,OC=OD,

：.AAOC^ABOD(SAS)

⑵解：°；O4=OB,ZAOB=60°,

A/08是等边三角形，

ZOAB=ZOBA=60°

•?AAOCABOD

：.ZOAC=ZOBD

・・・NAPB=180。一ZPAB-ZPBA

=180°-(ZBAO-ZCAO)-(ZABO+ZOBD)

=\S00-60°+ZOAC-600-ZOBD

二60。；

(3)解：如图所示，当。在线段上时，

・・・△CQE是以点。为直角顶点的等腰直角三角形

NDCE=9V,CD=CE,

又二44c5=90。，AC=BC,

：.ACAD=90°-/DCB=/BCE

・・・ACAD咨ACBE(SAS)

：.AD=BE

・.・AB=T4,BD=4

：.BE=AD=AB-DB=10cm

如图所示，当。在的延长线上时，

同理可得，・•・△C4D2△CBE(SAS)

・•・AD=BE

,.・AB=14,BD=4

BE=AD=AB+DB=18cm

综上所述，BE=\Ocm或18cm

【变式训练6】.如图1,在等腰三角形/BC中，乙4=90。，45=/。，点。、£分别在边AC±fAD=AE,

连接BE,点M,N,尸分别为。£,BE,的中点.

图2

⑴观察猜想:

图1中，线段四V与N尸的数量关系是.,NM7VP的大小是.

⑵探究证明:

把VNDE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE,判断△MVP的形状，试说明理由;

⑶拓展延伸:

把VZOE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,请直接写出△跖VP面积的最大值.

【答案】(1)及W=PN,90°；

(2)APAW为等腰直角三角形，理由见解析;

⑶2.

【分析】(1)根据4B=NC,=得3。=",再根据三角形中位线定理可知MV='3。，PN=-CE,

22

MN//AB,PN//AC,利用平行线的性质可证得NMNP=90。；

(2)先通过SAS证明之△/(?£■,得BD=CE,NABD=NACE,再由(1)同理可证；

(3)由三角形三边关系可知：BDW3,由(2)知：△M7VP是等边三角形，MN=；BD,则"N最大值为4,

即可求得的最大面积.

【详解】(1)解：=AD=AE,

：.BD=CE,

:点V、N、尸分别为DE、BE、BC的中点，

MN=—BD,PN=—CE,MN//AB,PN//AC,

22

:.MN=PN,NMNE=NABE,ZENP=ZAEB,

：.ZMNE+NENP=ZABE+AAEB,

ZABE+AAEB=180°-NBAE=90°,

ZMNP=90°,

故答案为：MN=PN,90°；

(2)解：APMN为等腰直角三角形，理由如下：

由旋转可知：/BAD=NCAE,

又：.4B=AC,AD=AE,

；."BDGA/CE(SAS),

：.ZABD=ZACE,BD=CE,

;点、M、N、尸分别为DE、BE、BC的中点，

：.MN=-BD,PN=-CE,MN//BD,PN//CE,

22

/.MN=PN,NENM=NEBD,ZBPN=NBCE,

ZENP=ZNBP+NNPB=ZNBP+ZECB,

ZEBD=ZABD+ZABE=ZACE+ZABE,

，ZMNP=NMNE+ZENP=ZACE+/LABE+ZEBC+ZEBC-ZECB=180°-ZBAC=90°,

为等腰直角三角形；

(3)解：由三角形三边关系可知：BD<AB+AD,即BOV4,

的最大值为4,

由(2)知，AM足是等腰直角三角形，MN=；BD,

.•.MN=2时，最大,大值JX2X2=2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边性质，等

腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明ZMNP=60°是解题的关键.

【变式训练7】.在V/3C中，=,点。是直线8C上一点(不与3、C重合)，把线路4D绕着点A逆

时针旋转至/£(即/£>=NE),使得ND4E=NBAC,连接。8、CE.

⑴如图1,点D在线段8c上，如果N8NC=90。，则ZBCE=度.

图1

(2)如图2,当点。在线段BC上，如果N84C=60。，则Z5CE=

A

图2

⑶如图3,设NB4C=a,4BCE=0,当点。在线段3C上移动时，a,，的数量关系是什么？请说明理由.

图3

(4)设=4BCE=B,当点。在直线5c上移动时，请直接写出。，，的数量关系，不用证明.

【答案】⑴90

(2)120

(3)a+尸=180。

(4)a+/?=180°或a=4

【分析】(1)由"SAS〃可证△B4D也△C4E,得ZABC=NACE=45。,可求NBCE的度数；

(2)由〃SAS〃可证△540附△)£,得ZABC=ZACE=60。,可求/5CE的度数；

(3)由“SAS〃可证Za□也△C4£得出乙=再用三角形的内角和即可得出结论;

(4)由〃SAS〃可证△540也△G4E得出=再用三角形的内角和即可得出结论.

【详解】(1)解：・・・/氏4。=90。，

・・・ZDAE=ZBAC=90°,

AB=AC,AD=AE,

：.ZB=ZACB=45°,ZADE=ZAED=45°,

ZDAE=ABAC,

JABAD=ACAE,

在△氏4。和△(%£中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.ABAD^ACAE(SAS),

：.ZACE=ZB=45°,

：./BCE=ZACB+ZACE=90°,

故答案为：90；

(2)VABAC=60°9

：.ZDAE=ZBAC=6CP,

•.*AB=AaAD=AE,

：.ZB=ZACB=60°,ZADE=ZAED=60°,

•.*/DAE=ABAC,

・•・/BAD=/CAE,

在^BAD和ACAE中，

'AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

：.ABAD咨ACAE(SAS),

・・・ZACE=NB=60。,

JZBCE=ZACB+ZACE=U0°f

故答案为：120；

(3)a+〃=180。，

理由如下：

VAB=AC,AD=AE,ZDAE=ABAC,

・・・ABAD=/CAE,

在△84。和△C4E中，

'AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

：.A^O^AG4£(SAS),

・•・ZACE=ZB,

：.ZACE+ZACB=NB+ZACB,

・.・/BCE=/ACB+AACE=0,

・・.NB+N4cB=B,

VABAC=a,NBAC+NB+/ACB=180。,

・・.a+，=180。；

(4)如图4,当点。在5C的延长线上时，a+〃=180。，

A

，E

BCD

图4

证明方法同(3)；

如图5,当点。在C5的延长线上时，a=B,

图5

理由如下：VZDAE=ABAC,

・・・/DAB+/BAE=ZEAC+/BAE,

J/DAB=ZEAC,

在△540和△(%£中，

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

△B4D2CElSAS),

：.ZABD=ZACE,

VZABD=ZBAC+ZACB,ZACE=ZBCE+ZACB,

：.ZBAC=/BCE,

ABAC=a,ZBCE=0,

:.a=B.

综上，a+〃=180。或。=尸.

【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的

性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解

题的关键.

【变式训练8].如图所示，△ZBC和都是等边三角形，且点5、4、E在同一直线上，连接助交

/C于连接CE交40于N,连接

D

⑴求证：BD=CE；

⑵求证：AABM沿AACN；

⑶求证：△4V/2V是等边三角形.

【答案】⑴证明见解析

(2)证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知/8=/C,AD=AE,NBAC=NDAE,进一步求证

从而△4BDgZ\/CE(SAS),所以2。=。及

(2)由⑴知g△4CE,得NABM=NCAN,由点8、4、E共线，得NC4N=6(T=/A4C,进一步求证

△ABM%dACN(ASA).

(3)由得AM=AN,而NC4N=60。，所以△/九W是等边三角形.

【详解】(1):△/Be和△/£»£都是等边三角形，

：.4B=AC,AD^AE,NBAC=NDAE=60。,

：.ZBAD=ZCAE.

'AB=AC

在△/&)和△/(7£1中，＜N8/。=NCAE

AD=AE

：.△/皿gZX/CEeAS),

：.BD=CE.

(2)由⑴知△/SOg△/(:£,

ZABM=ZACN.

•.•点2、A,£在同一直线上，且NB4C=ND4E=60。,

：.ZCAN=60°=ZBAC.

ZBAM=ZCAN

在和中，=AB=AC

ZABM=ZACN

：./\ABM^A^CMASA).

(3)由(2)知△NBMNZUCN,

：.4M=AN,

,：ZCAN=60°,

.♦.△4九W是等边三角形.

【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相

等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键.

类型二、角平分线模型

【模型1】：如图一，角平分线+对称型

［模型2］:如图二，角平分线+垂直两边型

【模型3］如图三，角平分线+垂直角平分线型

【模型4】角平分线+平行线型

质如囹「巨知方己27瓦益）平芬一2瓦无函」而二；-财7万的度薮为一（—）一

【答案】D

【分析】本题考查了等边对等角，以及全等三角形的性质与判定，三角形的外角的定义及性质，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.先延长/C到点E,使EC=Z）C,连接。E,再得出NE=/COE=20。，证明

"DE知ADB（SAS）,即可作答.

【详解】解：延长/C到点E,使EC=DC,连接DE,

,/EC=DC

则NE=ZCDE,

ZACD=40°,

NCDE+ZE=2NE=2ZCDE=ZACD=40°,

ZE=ZCDE=20°,

VAC+DC=AB,AC+DC=AC+CE=AE

：.AB=AE

・・・4D平分/A4C

J/BAD=/DAE,

•・•AD=AD

知4DB（SAS）,

・・・ZB=ZE=20°

故答案为：D.

【变式训练1].如图，在中，44=60。，和的平分线瓦）、CE相交于点。，BD交AC

于点。，CE交AB于点、E,若已知A48C周长为20,BC=7,4&:/。=4:3,则4E长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题

的关键.

【详解】解：如图，在上截取跳/=连接。〃，

AABD=ZCDB,NACE=/BCE,

//=60°,

ZABC+ZACB=120P,

/./DBC+/BCE=60。,

：.ZBOc=no0,

/BOE=/COD=60。,

在/OE和ABOH中,

BE=BH

<ZABD=/CBD,

BO=BO

:ABOEABOHISAS),

NEOB=/BOH=60。,

:.ZCOD=ZCOH=60P,

在△CO。和△CO"中，

ZACE=ZBCE

<oc=oc,

ZCOD=ZCOH

:ACOD%COH(ASA),

?.CD=CH,

:.BE+CD=BH+CH=BC=7,

•••△/5C周长为20,

AB+AC+BC=20,

AE+AD=6,

-：AE:AD=4:3,

424

AE=-x6=—

77

故选：B.

【变式训练2].如图，8。为V/8C的角平分线，且BD=BC,E为8。延长线上的一点，BE=BA,过£

作£尸尸为垂足.下列结论：①"BD沿AEBC；（2）ZBCE+ZBCD=1^0°；（3）AD=AE=EC；

@BA+BC=2BF.其中正确的是（）

C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】易证“2。为仍C（SAS）,可得NBCE=/BDA,4D=EC可得①②正确，再根据角平分线的性

质可求得ND4E=NOCE,即③正确，根据③可求得④正确.

【详解】解：Q8。为VN8C的角平分线，

ZABD=ZCBD,

在△/皿和△E3C中,

BD=BC

</ABD=ZEBC,

BA=BE

.•."BD注AEBC(SAS),①正确;

•:BD=BC,BE=BA,

T80°—NCBD180。—

/.ABDC=/BCD/BEA=ZBAE

22

/BCD=ZBDC=NBAE=/BEA,

•••△ABD咨AEBC,

/BCE=ABDA,

/BCE+/BCD=ABDA+ABDC=180°,②正确，

・；/BCE=NBDA,/BCE=NBCD+NDCE,NBDA=NDAE+NBEA,/BCDZBEA,

ADCE=/DAE,

AE=EC,

,.♦△ABD义AEBC,

AD=EC,

AD=AE=EC,③正确；

过E作EGLBC,交BC的延长线于点G,

A

:.EF=EG,

在RtA^G和Rt^BEF中,

[BE=BE

[EG=EF'

,RLBEGZRbB斯(HL),

/.BG=BF,

在RtAC^G和K"EF中，

[CE=AE

\EG=EF"

RSCEGgRt"£户(HL),

AF=CG,

BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF,④正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证

三角形全等和全等三角形对边角、对应边相等的性质是解题的关键.

【变式训练3].如图，比A/CB中，ZACB=90°,V/3C的角平分线8E相交于点尸，过P作尸尸_L4D

交2C的延长线于点尸，交AC于点H,则下列结论：①乙4尸8=135°;②PF=PA；③AH+BD=AB；

④s四边形=其中正确的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可.

【详解】解：：在^ABC中，ZACB=90°,

，NCAB+NABC=90°

VAD>BE分别平分NBAC、ZABC,

：.ZB/XD^-ZCAB,Z/\BE=-ZABC

22

：.ZB/\D+Z/\BE=-ZCAB+-ZABC=-(ZCAB+ZABC)=45°

222

/.ZAPB=18O°-(ZBAD+ZABE)=135°,故①正确；

；./BPD=45°,

又：PFJ_AD,

；./FPB=90°+45°=135°

.,.ZAPB=ZFPB

又：NABP=/FBP

BP=BP

/.△ABP^AFBP(ASA)

/.ZBAP=ZBFP,AB=AB,PA=PF,故②正确；

在△APH与4FPD中

VZAPH=ZFPD=90o

ZPAH=ZBAP=ZBFP

PA=PF

.,.△APH^AFPD(ASA),

AAH=FD,

又TAB=FB

JAB=FD+BD=AH+BD,故③正确；

连接HD,ED,

VAAPH^AFPD,AABP^AFBP

,•S"PH=SAFPD，SAABP=S&FBP‘PH二PD,

VZHPD=90°,

ZHDP=ZDHP=45O=ZBPD

・・・HD〃EP,

•v—v

••3EPH-3EPD

•S四边形然DE-S“BP+S&BDP+S&AEP+S^EPD

=S&ABP+(SAAEP+S&EPH)+S&PBD

=S"BP+'AAPH+S^PBD

=SMBP+S^FPD+S^PBD

—C1C

一u"BP丁"&FBP

=2S：

故④错误，

・・・正确的有①②③，

故答案为：B.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL,

注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等.

【变式训练4】.已知N49B=90。，OC是的平分线.三角板的直角顶点P在射线OC上移动,

图2

(1)在图1中，三角板的两直角边分别与。4,。2交于N,求证：PM=PN；

(2)在图2中，三角板的一条直角边与02交于点N,另一条直角边与。4的反向延长线交于点M,猜想此时

(1)中的结论是否成立，画出图形，并说明理由.

【答案】⑴见解析

(2)结论仍成立，理由见解析

【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键.

(1)过尸作于E,PFLOB于F,由。C为的平分线，利用角平分线定理得到尸£=尸尸，

利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到APME与&PNF全等,利用全等三角形的对应边相等

即可得证；

(2)同(1)可证明.

【详解】(1)解：过尸作PE_LCU于£,PFLOB于F,

•/OC是N/O8的平分线，

PE=PF,ZPEM=NPFN=90°,

,?NMPE+NMPF=90°,ZNPF+NMPF=90°,

，NMPE=ZNPF,

:.^PME^PNFCASA),

：.PM=PN.

(2)画出图形，结论仍成立,

理由如下：

过尸作PE_LGM于E,PFLOB于F,

,/0c是//02的平分线，

PE=PF,ZPEM=ZPFN=90°,

NMPE+NMPF=90°,ZNPF+ZMPF=90°,

ZMPE=ZNPF,

二△尸ME1均尸TVF(ASA),

PM=PN.

【变式训练5】.阅读与思考

下面是小明同学的数学学习笔记，请您仔细阅读并完成相应的任务：构造全等三角形解决图形与几何问题

在图形与几何的学习中，常常会遇到一些问题无法直接解答，需要添加辅助线才能解决.比如下面的题目

中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交构造全等三角形，运用全等三

角形的性质解决问题.

例：如图1,。是V48c内一点，且2。平分/A4C,CO_L4D,连接5D,若△/应）的面积为10,求V/3C

的面积.

图1

该问题的解答过程如下：

解：如图2,过点8作88LCD交CD延长线于点CH、AB交于点、E,

A

•.•4D平分/B/C，

VADLCD,

ZADC=ZADE=9（F.

'/DAE=ADAC

在VNOE和△/DC中，IAD=AD

/ADE=/ADC

:.AADEqAADC（依据1）

：.ED=CD（依据2）,S.3E=S."c，

S.BDE=；DE.BH,S.BDC=；CD.BH・

任务一：上述解答过程中的依据1,依据2分别是,；

任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；

应用：如图3,在VNBC中，ABAC=90°,AB=AC,BE平分/CR4交/C于点。，过点C作CE_L3。交BD

延长线于点£.若CE=6,求3Z）的长.

图3

【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA）,全等三角形的对应边相等;

任务二：见解析；应用：12

【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；

任务二：先推出A/DE当AADC（ASA）,得出S“0E=S”0c，ED=CD,进而可得灵型=%%，即可得到答案;

应用：延长CE、胡交于点尸，先推出AF8E%C3E（ASA）,得至I］跖=C£=6,进而可得C尸=EF+EC=12,

再推出A/AD义AZCF（ASA）,即可得出结论.

【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA）,全等三角形的对应边

相等；

任务二:

…S^BDE

S^BDC，

…,"DE

*S4BDE=S“DC+S4BDC，

…S4ABe=2S“BD=20；

应用:延长CE、BA交于点、F,

・「BE平分N4BC,

图3

ZABD=ZCBD,

QCEYBE,

/BEF=/BEC=9。。,

在AFBE和△CBE中，

AABD=ZCBD

<BE=BE

Z.BEF=/BEC

:AFBE/CBE（ASA）,

/.EF=CE=6,

:.CF=EF+EC=12,

•・•/BEF=ABAC=90°,

ZABD+ZF=ZACF+ZF=90°,

/./ABD=ZACF,

在和ZX/CF中，

ZABD=ZACF

<AB=AC

ABAD=ZCAF

...△48。且△ZC尸(ASA),

BD=CF=\2,

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构

造全等三角形是解题的关键.

【变式训练6】.如图，四边形4BCD中，AC平分/BAD,CELAE于点、E,Z5+ZD=180°.求证:

AE=AD+BE.

【答案】证明过程见详解

【分析】如图所示(见详解)，过点C作C”，4D的延长线于M,4c平分/R4D,CEL/E于点E,可

证RtA^CM^Rt△NCE(HL),ZB+ZD=180°,可求出ZMDC=ZB,可证RtACDA/^Rt△CBE(AAS),

则有4河=40+。〃=/£,DM=BE,由此即可求证.

【详解】解：如图所示，过点C作CM，/。的延长线于M,

：/。平分/8/。，CE1AE,

：.CE=CM,/C为公共边，

/.RtA^CAf^RtA4C£(HL),

二AM=AD+DM=AE,

NB+/4DC=180°,

•/AMDC+ZADC=\^°,

：.ZMDC=NB,

...在RtZXCCH,RtZ\CB£中，

ZM=ZCEB=90P

<ACDM=NB,

CM=CE

：.RtACDA/^RtACS£(AAS),

DM=BE,

：.AE=AD+BE.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三

角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明.

【变式训练7】.已知：如图，AC//BD,AE、8E分别平分/。8和//8D点E在CD上.用等式表示线

段45、AC,助三者之间的数量关系，并证明.

【答案】AC+BD=AB,理由见见解析

【分析】在胡上截取瓦三连接ER先证得ABEF金BED,可得到N5/£=ND,再由4C〃5Q,可得

NAFE=NC,从而证得△如户均/4EC,可得力F=4C,即可求解.

【详解】解：AC+BD=AB,证明如下：

在5/上截取班三5。，连接环，如图所示：

uJAE,BE分别平分NC45和N/5。，

AZEAF=ZEAC,/EBF=/EBD,

在4BEF和ABED中，

'BF=BD

<ZEBF=ZEBD,

BE=BE

ABEF^BED(SAS),

・•・/BFE=/D,

•：AC〃BD,

AZC+Zr>=180°,

/AFE+/BFE=18。。,

：.ZAFE+ZD=180°,

：.NAFE=NC,

在△力£1尸和中，

AEAF=ZEAC

</AFE=/C,

AE=AE

:.小AEF%AEC(AAS),

:・AF=AC,

•：AF+BF=AB,

：.AC+BD=AB.

c

E

/\>D

✓S-i\/

4^—_____________t-_____X/

FB

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.

【变式训练8].（1）如图1,射线。尸平分/MCW,在射线。河，ON上分别截取线段CM,OB,使。4=

OB,在射线OP上任取一点。，连接ND,BD.求证：AD=BD.

（2）如图2,在放△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,CD平分N4CB,求证：BC=AC+AD.

（3）如图3,在四边形ABDE中，AB=9,DE=1,BD=6,C为AD边中点，若4c平分/R4E,EC平分

ZAED,ZACE=120°,求4E的值.

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13

【分析】（1）由题意易得//0D=N2。。，然后易证△/OD0ZX2OD,进而问题可求证；

（2）在3c上截取CE=C4,连接DE,由题意易得N/CD=/ECD,NB=30。,则有然后

可得N/=NCED=60。，则根据三角形外角的性质可得/矶>2=N8=30。，然后可得。进而问题可求证;

（3）在4E上分别截取4F=45,EG=ED,连接CF、CG,同理（2）可证ACDE咨ACGE,

贝！I有44cB=/NCF,NDCE=/GCE,然后可得/NCF+NGCE=60。，进而可得△CFG是等边三角形，最后

问题可求解.

【详解】证明：（1）,/射线。尸平分AMON,

ZAOD^ZBOD,

"：OD=OD,OA=OB,

:.AAOD咨ABOD(SAS),

：.AD=BD.

(2)在8C上截取C£=G4,连接DE,如图所示:

E

VZACB=9Q°,ZA=60°,CT)平分N4C5,

：・NACD=NECD,Z5=30°,

■:CD二CD,

：./\ACD