2024-2025学年河北省石家庄某中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年河北省石家庄四十八中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.30。角的余弦值是（）

A-

A-2B.c1D号

2.3毫米精密零件画在图纸上是30厘米,图纸比例尺是（)

A.1：10B.1：100C.10：1D.100：1

3.如图，若AABCs^DEF,则NB的度数是（）

A.70°B.60°C.50°D.40°

4.甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数工（单位：环）及方差s2（单位:

环2）如表所示：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（）

甲乙丙丁

X9899

S21.20.41.80.4

A.甲B.乙C.丙D.T

5.已知£=看，则竽的值为（）

A8Dl

'•§「C-8

6.在△ABC中，ZC=二90。，sinA=,贝此8的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.关于一元二次方程%2+%—3=0根的情况，正确的是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.有且只有一个实数根D,没有实数根.

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8.对于反比例函数y=I，下列说法正确的是（）

A.点（-2,1）在它的图象上B.它的图象在第一、三象限

C.它的图象经过原点D.当x>0时，y随x的增大而增大

9.用配方法解方程％2—6久-1=0时，配方结果正确的是（）

A.(x-3)2=10B.(%-3)2=8C.(x-6)2=10D.(x-3)2=1

10.如图，传送带和地面所成斜坡48的坡度为1：2,物体从地面沿着该斜坡前

进了10米，那么物体离地面的高度为（）

A.5米

B.5c米

C.275米

D.米

12.如图，已知点D、E是4B的三等分点,DF、欧；将4ABC分成三部分,旦DF"EG”BC,A

图中三部分的面积分别为%,S2,S3,则工：S2：S3=（）/\

吟A尸

A.1：2：3/\

B.1：2：4ES?_V

C-1：3：5/S3\

D.2：3：45c

13.若图中的双曲线解析式均为y=,则阴影面积为12的是（）

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14.如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行,

则外框与原图不一定相似的是（）

直角三角形

A.矩形B.矩形和锐角三角形

C.矩形和直角三角形D.锐角三角形和直角三角形

15.某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例.若该校上、下

学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）

舞蹈社溜冰社魔术社

上学期345

下学期432

A.舞蹈社不变，溜冰社减少B.舞蹈社不变，溜冰社不变

C.舞蹈社增加，溜冰社减少D.舞蹈社增加，溜冰社不变

16.有一个三角形木架三边长分别是15cm,20cm,24cm,现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长

为12cm和24cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的

截法有（）

A.一种B.两种C.三种D.四种

二、填空题：本题共3小题，共12分。

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17.如图，在6x6的正方形网格中，连接两网格线上的点4B,线段4B与网格线的

交点为M,N,则AM：MN：NB为.

18.已知△4BC中，AB=AC,CH是4B边上的即且C”建AB,则tcmB=

19.如图，在平面直角坐标系中，矩形40CB的两边。4。。分别在%轴和y轴上，且。A=1,0C=p在第

二象限内，以原点。为位似中心将矩形AOCB各边放大为原来的|倍，得到矩形儿。。祖，再以原点。为位似

中心将矩形&0。祖各边放大为原来的辨，得到矩形必也⑶?，以此类推…,矩形&OC2B2的面积为，

矩形&20240c2024§2024的面积为.

-----

'll—g

BC

>

A2A)AO

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.(本小题9分)

(1)解方程：

①久2-10%—24=0；

②(X—2)2=4(%+1)2;

(2)计算:2s讥30°—4cos45°+tan60°+y/~8.

21.(本小题9分)

如图，某湖心岛上有一亭子4在亭子4的正东方向上的湖边有一棵树8,在这个湖心岛的湖边C处测得亭子

4在北偏西45。方向上，测得树B在北偏东36。方向上，又测得B、C之间的距离等于200米，求4、B之间的距

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离

（结果精确到1米）.（参考数据：A<2«1.414,s出36°忆0.588,cos36°«0.809,tan36°«0.727,cot36°«

1.376）

22.(本小题9分)

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试.各项满分均为10分，

成绩高者被录用.图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，

(1)分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图(图2)各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判

断是否会改变(1)的录用结果.

图1图2

23.(本小题9分)

如图,在直角坐标系中，矩形0aBe的顶点。与坐标原点重合,顶点4c分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).

过点£>(0,3)和E(6,0)的直线分别与ZB,BC交于点M,N.

(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；

(2)若反比例函数y=™(%>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该

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函数的图象上;

(3)若反比例函数y=^(%>0)的图象与aMNB有公共点，请直接写出m的取值范围.

24.(本小题10分)

阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，

则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形是矩形4BCD的“减半”矩形.

请你解决下列问题：

(1)当矩形的长和宽分别为1,7时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由.

(2)边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说

明理由.

25.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，已知。A=6厘米，OB=8厘米.点P从点B开始沿B4边向终点4以1厘米/秒的

速度移动；点Q从点4开始沿2。边向终点。以1厘米/秒的速度移动.若P、Q同时出发，运动时间为t(s).

(1)当t为何值时，△APQ与aaoB相似？

(2)当t为何值时，△APQ的面积为8cm2?

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26.（本小题10分）

【问题背景】

数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形连成的L形教具，将它放入一个直角三角形中，NBC4=

90°,Z.B=30°,如图1顶点D,E,F,G刚好落在三边上.请求出△ABC的面积；

【问题解决】

小颖同学受到启发，将此教具放入如图2的直角坐标系中.顶点4B,C分别落在坐标轴上，如果反比例函数

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：30。角的余弦值是苧，

故选：D.

根据特殊角的三角函数值，即可解答.

本题考查了特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键.

2.【答案】D

【解析】解:30厘米=300毫米，

300：3=100：1.

答:图纸比例尺是100：L

故选：D.

根据比例尺=图上距离：实际距离，把实际长度3毫米，图上长度是30厘米代入得出图纸比例尺.

此题考查了比例线段，熟练掌握图上距离：实际距离=比例尺是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：•••△ABCsaDEF,

ZB=Z.E,

■：Z.D+/.E+/.F=180°,乙D=70°,ZF=50°,

乙E=60°,

ZB=NE=60°,

故选：B.

根据相似三角形的对应角相等，然后由三角形的内角和定理即可求解.

本题考查相似三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：由表知甲、丙、丁丙射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，

••・从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，

・••丁的方差较小，较稳定，

••・选择丁参加比赛，

故选：D.

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由平均数与方差的含义可得答案.

本题考查的是方差和算术平均数，根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度，掌握方

差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：•・•？=1,

b5

Q+ba38

—=b+1=5+1=5-

故选：B.

先把要求的竽化成W+l,再进行计算即可得出答案.

bb

此题考查了比例的性质，解题的关键是把竽化成W+1,较简单.

bb

6.【答案】A

【解析】解：••・RtZkABC中,ZC=90°,

乙4为锐角.

•­,sin60°=苧，

•••Z-A=60°,

・•・乙B=90°-60°=30°,

故选：A.

先判断出a的取值范围，再根据s讥60。=苧解答即可.

本题考查特殊角三角函数值，解决本题的关键是熟记特殊角的三角函数值.

7.【答案】B

【解析】解：；M一4x(-3)=13>0,

••.方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+bx+c=0(a40)的根与Z=b2-4ac有如下关系：当/>0时,

方程有两个不相等的实数根；当/=0时，方程有两个相等的实数根；当/<0时，方程无实数根.

8.【答案】B

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【解析】解：4、点(-2,-1)在它的图象上，不符合题意；

B、反比例函数y=|中的k=2>0,双曲线的两支分别位于第一、三象限，符合题意；

C、反比例函数y=5的图象是双曲线，不经过原点，不符合题意；

D、反比例函数y=|中的k=2>0,其在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；

故选：B.

根据反比例函数的性质：当k>0,双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小

进行分析即可.

本题考查反比例函数图象与性质，难度不大.对于反比例函数y=kx(k丰0),当k>0,反比例函数图象在

一、三象限，每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0,反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，

y随x的增大而增大.

9.【答案】A

【解析】解：%2-6x-1=0,

x2—6x=1,

x2—6x+9=10,

(x-3)2=10.

故选：A.

先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方形式即可.

本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键.

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念是解题的关键.作BC，地面于点C,

根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可.

【解答】

解：作地面于点C,

设BC=x米，

•••传送带和地面所成斜坡4B的坡度为1：2,

AC=2x米，

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由勾股定理得，AC2+BC2=AB2,即(2x)2+/=io2,

解得，x=2/5>即BC=2店米，

故选：C.

11.【答案】D

【解析】解：由题意可知：io=T%y，

20

--y=—(.x>0),

故选：D.

根据菱形的面积列出等式后即可求出y关于x的函数式.

本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用菱形的面积公式，本题属于基础题型.

12.【答案】C

【解析】解：♦.・点。、E是4B的三等分点，

.竺一工-1

••版―5，AB~3"

•・•DF//EG//BC,

­.AADF^AAEG,AADF^AABC,

f

••SMEG―必)―4SAABC~—9，

•••Si：S2：S3=1：3：5,

故选：C.

根据相似三角形的判定与性质即可求解.

本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是明确面积的比等于边的比的平方.

13.【答案】D

【解析】解：•••在反比例函数y=：图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的

矩形的面积是定值|k|,

••.4中阴影部分的面积为6,不符合题意；

8、C中阴影部分的面积不能确定，不符合题意；

C中两个小三角形的面积和为6,正方形的面积为6,故阴影部分的和为12,符合题意.

故选：D.

根据反比例函数系数k的几何意义解答即可.

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本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数y=：图象中任取一点，过这一个点向x轴和

y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|刈是解题的关键.

14.【答案】A

【解析】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；

两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；

两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；

故选：A.

根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案.

本题考查了相似多边形，牢固掌握其定义是解题的关键.

15.【答案】D

【解析】解：由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：

舞蹈社溜冰社魔术社

394_125_15

上学期

123612—3612=36

41631228

下学期

936936936

••・舞蹈社增加，溜冰社不变.

故选：D.

若甲：乙：丙=。：b：c,则甲占全部的乙占全部的一匚，丙占全部的甘匚.

a+b+ca+o+ca+o+c

本题考查了比例的性质：两内项之积等于两外项之积.

16.【答案】B

【解析】解：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm的木条不

能作为一边，

设从24czn的木条上截下两段长分别为xcm,ycm[x+y<24),

由于长12cm的木条不能与15cm的一边对应，否则％+y>24cm,

当长12cm的木条与20cm的一边对应，则点=与=焉

lbZ4ZU

解得：％=9,y=14.4；

当长12cm的木条与24cm的一边对应，则条=系=荏

1jZU

解得：x=7.5,y=10.

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.・.有两种不同的截法：把24cm的木条截成9cm、14.40?1两段或把24071的木条截成7.5071、10cm两段.

故选：B.

分类讨论：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长24sn的木条不能作为一边，设从24cm的一根

上截下的两段长分别为％cm,ycm{x+y<24),易得长12cm的木条不能与15on的一边对应，所以当长12on

的木条与20CTH的一边对应时有a=当=亮当长12c?n的木条与24cm的一边对应时有2=a=转，然后分

J.5ZU1JZU

别利用比例的性质计算出两种情况下得久和y的值.

本题考查了相似三角形的应用：通常构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边

的比相等进行几何计算.

17.【答案】1：3：2

【解析】解：如图，取网格线的交点C、D、E,连接AC、ME、ND、BC,

•••ME//ND//BC,

AM：MN：NB=AE：ED：DC,

设每个小正方形的边长为1,则4E=1,ED=3,DC=2,

AE：ED：DC=1：3：2,

•••AM：MN：NB=1：3：2,

故答案为：1：3：2.

取网格线的交点C、D、E,连接AC、ME、ND、BC,则ME〃ND//BC,所以4M：MN：NB=AE：ED：DC=1：

3：2,于是得到问题的答案.

此题重点考查平行线分线段成比例定理，正确地作出辅助线是解题的关键.

18.【答案】，或3

【解析】解：如图，作高4D,

VAB=AC,

BC=2BD,

设AB=5%,则C”=1AB=3x,

1i

-AD-BC=-CH-AB,

2BD-AD=15x2,

•••BD2+AD2=AB2=25x2,

(BD+AD)2-2BD-AD=25x2,+XD)2-15x2=25/,

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BD+AD=2V10%,

(BD-AD)2+2,BD-AD=25/,^(BD-AD)2+15/=257,

BD-AD=或4D-BD=YIUx,

BD=|VTOx，AD=1V10x^XD=|Vl0x,SD=1V^Ox，

在收△ABO中，tanB)=生

,BD，

1/T0x|710x

••・tanB=i----=tanB=7----=3.

|/T0x|710x

故答案为：;或3.

作高AD,根据等腰三角形的性质得到BC=2BD,设4B=5x,贝1JCH=|zB=3x,根据三角形面积公式有

^AD-BC=^CH-AB,即2BD•4D=15久2,根据勾股定理得至(JBU+&£)2=人鸟？=25/,然后进行等式

变形有(8。+20)2-2BD-AD=25x2,即(BD+AD)2-15/=25/,(BD-AD)2+2BD-AD=25x2,

即(BD-4。)2+15/=25/,易得BD+4D=2YTUX,BD-4D=YIUX或4D-BD=YIUX,可求出

BD=|/Tox,an=g，TUx或AD=|，TUx,BD=|/TOX,然后在中根据正切的定义得到

tanB=再把DB与AD的值代入计算即可.

DL)

本题考查了正切的定义：在直角三角形中，一锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值.也考查了等腰

三角形的性质、勾股定理以及代数式的变形能力.

19.【答案】翳X(|)4。48

【解析】解：•••四边形40CB为矩形，。4=1,OC=j,

矩形20CB的面积为：ix；g,

•••在第二象限内，将矩形AOCB以原点。为位似中心放大为原来的5倍，

二矩形的面积为：*(|)2,

•••以原点。为位似中心将矩形40C1B］各边放大为原来的|倍，得到矩形4。。282,

矩形4℃2殳的面积为：gx(1)2x(|)2=jx(|)4=哉，

同理得：矩形42024。。202482024的面积为5X(-)4048,

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811

案

故

答为X

3-2-2-

根据矩形的性质求出矩形的面积，根据位似图形的定义、相似多边形的性质总结规律，根据规律解答即可.

本题考查的是位似变换的性质，熟记相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

20.【答案】解：(1)/—10%-24=0,

(x+2)(x-12)=0,

则x+2=0或久-12=0,

所以=-2,不=12.

(2)(%-2)2=4(%+I)?,

Q-2A一(2%+2)2=0,

(%—2+2%+2)(%—2—2x-2)=0,

3x(—x—4)=0,

则3x=0或-％-4=0,

所以=0,x2=-4.

(2)原式=2x--4x+2V~2

=1-2/2+A<3+2/2

=1+

【解析】(1)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可.

(2)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可.

(3)根据特殊角的三角函数值进行计算即可.

本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法、实数的运算及特殊角的三角函数值，熟知因式分解法解一元

二次方程的步骤及特殊角的三角函数值是解题的关键.

21.【答案】解：过点C作垂足为点

由题意，得N4CH=45。，4BCH=36。,BC=200,

在中，sin乙BCH=器,

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.KOBH

•■-Sm36=200

vsin36°x0,588,

・•・BH«117.6,

又cos乙BCH=会,

皿36。=赛

vcos36°«0.809,

・・・HC«161.8,

在R3AHC中，tanN4CH=偿，

He

/LACH=45°,

•••AH=HC,

AH«161.8,

又AB=AH+BH,

AB«279.4,

•••ABx279（米），

答:4、B之间的距离为279米.

【解析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点C作的垂线交48于H,要先求出CH的值然后再求4H,

BH的值，进而得出48的长.

本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角

形.如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法.

22.【答案】解：（1）由题意得，甲三项成绩之和为：9+5+9=23（分），

乙三项成绩之和为：8+9+5=22（分），

23>22,

会录用甲；

（2）由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9x^g+5x360~^-60+9x^-

36U36U36U

=3+2.5+1.5

=7（分），

乙三项成绩之加权平均数为：8x摺+9x出焉1+5x券

36U36U36U

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=丁+4.5+7

3o

=8(分)，

•・•7<8,

•••会改变(1)的录用结果.

【解析】(1)分别把甲、乙二人的三项成绩相加并比较即可；

(2)分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可.

此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过

求解加权平均数对问题进行分析.

23.【答案】解：⑴设直线0E的解析式为y=kx+b,

•••点D,E的坐标为(0,3)、(6,0),

.(3=b

I。=6/c+b'

解得k=-I，b=3；

1,c

•••y=--x+3；

•・•点M在/B边上，5(4,2),而四边形。ABC是矩形，

・・•点M的纵坐标为2；

又・・•点M在直线y=+3上，

1

2=——%+3；

•••%=2；

••・M(2,2)；

(2)vy=^(%>0)经过点M(2,2),

••・m=4；

4

・・・y=-；

/x

又•••点N在BC边上，B(4,2),

二点N的横坐标为4；

•••点N在直线y=—gx+3上，

•••y=1；

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■­.N(4,l)；

•.•当时，

x=4y=-X=1,

.••点N在函数y=(的图象上；

(3)当反比例函数y=^(x>0)的图象通过点M(2,2),N(4,l)时加的值最小，当反比例函数y=^(x>0)的

图象通过点B(4,2)时m的值最大，

2=y,有m的值最小为4,

2=9,有机的值最大为8,

4<m<8.

【解析】(1)设直线DE的解析式为y=依+b,直接把点O,E代入解析式利用待定系数法即可求得直线DE的

解析式，先根据矩形的性质求得点M的纵坐标，再代入一次函数解析式求得其横坐标即可；

(2)利用点M求得反比例函数的解析式，根据一次函数求得点N的坐标，再代入反比例函数的解析式判断是

否成立即可；

(3)满足条件的最内的双曲线的血=4,最外的双曲线的m=8,所以可得其取值范围.

此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点与

反比例函数的k值之间的关系，并会根据函数解析式和点的坐标验证某个点是否在函数图象上.

24.【答案】解:(1)存在.

假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为久，y,则

x+y=4①

町=[②，

由①得：y=4-％，③

把③代入②，得/一4%+(=0,

解得—2+苧，x2—2—苧.

所以“减半”矩形长和宽分别为2+浮与2-苧.

(2)不存在.

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为《时，面积比必定是:，

所以正方形不存在“减半”正方形.

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【解析】(1)假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y,根据如果存在另一个矩形，它的周长和

面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解.

(2)正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是:，面积比就应该是:，所以不存在“减半”正方形.

本题考查一元二次方程的应用，反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系.

25.【答案】解：(1)：点4(0,6),5(8,0),

AO=6,BO=8,

•••AB=yjAO2+BO2=V62+82=10,

••・点P的速度是每秒1厘米，点Q的速度是每秒1厘米，

AQ=3AP=10—t,

①“PQ是直角时，△APQsMOB,

AP_AQ

t—=—«

AOAB

即也」

1610

解得t=当＞6,舍去；

②乙4QP是直角时，△AQPs^AOB,

AQ_AP

•t•,

AOAB

即三=

1610

解得”学,

综上所述，1=学秒时，△力PQ与△40B相似;

(2)如图，过点P作PC，。4于点C,

则PC=AP-sinzOXB=(10-t)x(10-t)-

・•.△4PQ的面积=/xtxgo-t)=8,

整理，得：t2-lOt+20=0,

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解得：t=5+v5>6(舍去)，或t=5—v5.

故当t=5—A秒时，△APQ的面积为8cm2.

【解