2024-2025学年沪科版九年级数学上册期末冲刺复习：四类母子型相似（原卷版）

专题14四类母子型相似

目录

解题知识必备.......................................

压轴题型讲练.......................................

类型一、“母子”模型（斜射影模型）..........................

类型二、双垂直模型（射影模型）..............................

类型三、“母子”模型（变形）.................................

类型四、共边模型.............................................

压轴能力测评（10题）...............................

“解题知识必备♦♦

母子相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

【模型解读与图示】"母子"模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角"，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似.

图1图2图3

1）“母子"模型（斜射影模型）

条件：如图1,NC=N/6。；结论：2仔=/1。/6：

2）双垂直模型（射影模型）

条件:如图2,NZ%=90。，CDVAB;

结论：“ACDsAABJCBD;C42=AD-AB,BO=BDBA,CU=DA-DB.

3）“母子"模型（变形）

条件:如图3,NO=NC4£,结论：;

4）共边模型

条件:如图1,在四边形ABC。中，对角线3。平分/ABC,ZADB=ZDCB,结论：BD2=BABC；

X压轴题型讲练2

类型一、，，母子，，模型（斜射影模型）

例.定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足N1=N2,则称点尸为这个三角形的"理想点".

图①图②

（1）如图①，若点D是VABC的边的中点，AC=2近，AB=4,试判断点。是不是VA3C的"理想点",

并说明理由；

（2）如图②，在咫AABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,若点。是VABC的"理想点”，求CD的长.

【变式训练1】.如图，A5=16cm,AC=12cm,动点尸，。分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，

其中点尸从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点。从点8出发沿胡边一直运动到点A为止（点尸到

达点C后，点。继续运动）

A

⑴请直接用含f的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出。的取值范围;

⑵当t等于何值时，AAPQ与AASC相似？

【变式训练2】.【基础巩固】（1）如图1,在0ABe中，。为A8上一点，0AC£）=0B.求证：AC2=AD-AB.

【尝试应用】（2）如图2,在口A8C。中，E为BC上一点，/为CZ）延长线上一点，0BFE=EA.若BF=4,

BE=3,求的长.

AZ?An

【变式训练3】.如图，在AABC中，。是BC上的点，E是4D上一点，且丁=—,SBAD^ECA.

ACCE

CF

⑵若加是△极的中线,求左的直

类型二、双垂直模型（射影模型）

AnAr

例.如图，在RffilABC中，0ACB=9O。，点。在4B上，且——=——.

ACAB

(1)求证SACDSiSABC；

(2)若AZ)=3,BD=2,求CD的长.

【变式训练1】.在RZ0ABe中，0AC8=9O。，点。为A8上一点.

(1)如图1,若COMB,求证：AC2^ADAB-,

FH4AD

(2)如图2,若AC=8C,E而CD交CD于H,交AC于/，且——=-,求一的值;

HE9BD

(3)如图3,若AC=BC,点H在CD上，0AHO=45。，CH=3DH,贝!|tanEIACH的值为

【变式训练2].如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD,AD上，3E_LCF于点G,若BC=4,AF=1,则

CE的长为（）

Q4

【变式训练31.如图，在RZIMBC中，妫C8=90。，COM3于点D,已知,那么BC=

类型三、，，母子，，模型（变形）

例.如图，点尸是44BC的边AB上的一点，若添加一个条件，使448C与ACBP相似，则下列所添加的条件

错误的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC:CP=AB:BC

【变式训练1].如图l,在四边形ABDE中，ZABC=/BDE,点C在边BD上,且AC〃DE,AB//CE,

点P在边AC上，且AF=CE,连接防，小，DF交CE于点、G.

图3

(1)求证：BF=DF；

(2)如图2,若ZACE=NCDF,求证：CECF=BFDG；

（3）如图3,若延长仍恰好经过点E,求筹的值・

4

【变式训练21.如图LZC=90,8C=6,tanB=,点/从点3出发以每秒1个单位长度的速度向点C运

动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动.

图1图2

(1)求4B的长.

⑵当以点M、C、N为顶点的三角形与AABC相似时，求力的值.

(3)如图2,将本题改为点M从点8出发以每秒3个单位长度的速度在54上向点A运动，点N同时从点A出

发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，附为等腰三角形.

【变式训练3].如图，直线A8经过回。上的点C,并且。4=。8,CA=CB,直线08交回。于点E、D,连

接EC、CD.

(1)试判断直线A8与回。的位置关系，并加以证明;

(2)求证：BC2=BDBE-,

(3)若tanE=!，团。的半径为3,求OA的长.

2

类型四、共边模型

例.如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形.

AA

DF

(1)如果血F与V互为母子三角形，则行的值可能为()

1一1

A.2B.—C.2或一

22

(2)已知：如图1,VABC中，AD是NA4c的角平分线，AB=2AD,ZADE=NB.

求证：△ABD与V"见互为母子三角形.

(3)如图2,VABC中，AD是中线，过射线C4上点E作EG//BC,交射线D4于点G,连结8E,射线BE

与射线ZM交于点尸，若AAGE与△ADC互为母子三角形.求黑的值.

Gr

【变式训练1].如图，PA,尸3为。。的两条切线，A,B为切点，B。的延长线交。。于点。，交丛的

延长线于点C,连接OP,AD.

(1)求证：AD//OP；

(2)若AP=2AC,求tan/OPB的值.

【变式训练2].如图，A3是0。的直径，AD,8。是0。的弦，2c是0。的切线，切点为8,OC//AD,

BA.CD的延长线相交于点E.

(1)求证：CO是。。的切线；

(2)若。。的半径为4,ED=3AE,求AE的长.

【变式训练3】.如图，VABC中，=点。、E分别是BC、AC的中点，A/XBE与点尸.

(1)求证：AE2=FEBE;

(2)求NABC的大小；

(3)若£>尸=1,求ZVU印的面积.

”压轴能力测评“

1.如图，中，ZC=90°,AB=15,BC=9,点尸，。分别在BC,AC上，CP=3x,

CQ=4x(0<x<3).把△PCQ绕点尸旋转，得到△FOE,点。落在线段尸。上.若点。在-54C的平分线

上，则CP的长为()

C.6D.6.5

2.如图，正方形ABCD中，回ABC绕点A逆时针转到△ABC,AB,AC分别交对角线BD于点E,F,若

AE=4,则.石D的值为（）

A.8B.12C.16D.20

3.如图，菱形ABC。和菱形石CGb的边长分别为4G和26，助=120。，则图中阴影部分的面积是（）

A.3B.2途C.4D.373

4.如图，正方形ABCD的边长为2,BE平分NDBC交DC于E,b是5c延长线上一点，且CF=CE,BE

延长线交。P于G,则5G-EG的值是.

5.如图，V"C中，点。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,BC=5,则线段CD的长为

6.如图，在VABC中，点。在上，请再添一个适当的条件，使△ADCS^ACB,那么可添加的条件

是.

若AC=B，AD=1,则D3的长为.