2024-2025学年江西省赣州市大余县高二年级上册12月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省赣州市大余县高二上学期12月联考数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

3155

1.已知数列｛。几｝是等差数列，其前〃项和为Sn若4/4243=15,且三不十下不+三不

3

=则。2=（）

A.2B.y

C.3D.-

3

-x+3,x<0

2.已知函数/(x)=<2x-3,0<x<3,若数列｛氏｝满足q=4吗+1=/(a“)(〃eN*),则

x-2,x>3

。2021=()

A.1B.2C.4D.-1

3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,

2,3,5,8,13,...该数列的特点是：前两个数都是1,从第三个数起，每一个数都

等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若

｛an｝是“斐波那契数列”，则，，（。2020。2022-■（Ki）的值为

（）.

A.-1B.1C.-2D.2

4.已知数列｛%｝满足/+2a2+34+…=2',设”=而亨苏「S”为数列也｝的前

〃项和.若S“＜t对任意〃eN*恒成立，则实数/的最小值为（）

35

A.1B.2C.-D.

22

5.数列｛氏｝满足q=10,«„+—\则()

八an)

A.e[0,2jB-G[2jljCG[152

6.定义：如果函数＞=/（%）在区间［凡可上存在再户2（。＜再＜%2＜6），满足

/⑷=/伍）-小）,f（x,）］（b）7W,则称函数y=〃x）是在区间N肉上的一个

b-ab-a

双中值函数，已知函数1卜）=/-是区间［o,q上的双中值函数，则实数。的取值范

围是（）

7.已知曲线>=/+“与y=（x-l）2恰好存在两条公切线，则实数。的取值范围为（）

A.(-co,2In2+3)B.(-<»,2ln2-3)

C.(0,1)D.。,+8)

8.设直线x=《0W2)与函数了=》3的图象交于点A,与直线y=3x-4交于点B.则

|/目的取值范围是()

A.[2,6]B.[2,4]C.[4,6]D.[1,4]

二、多选题（本大题共4小题）

9.设｛%｝是各项为正数的等比数列，q是其公比，（是其前〃项的积，且

则下列结论正确的是（）

A.?>1B.3C.Tl0>T6D.北与品均为北的最

大值

10.已知正项数列｛见｝的前〃项和为色，若对于任意的加，〃eN*,都有

+。“，则下列结论正确的是（）

A.%+412=%+"5

B.a5a6<4%o

C.若该数列的前三项依次为x,1-X,3无，则可0=5

D.数列为递减的等差数列

11.对于函数〃x）=竽，下列说法正确的是（）

A."X）在.八处取得极大值?

B.“X）有两个不同的零点

2

D.若/(x)〈人一-?在(0,+8)上恒成立，则左〉"|

12.已知等比数列｛%｝首项4>1,公比为心前〃项和为S“，前〃项积为函数

/(x)=x(x+aj(x+%)…(X+%)，若/'(0)=1，则()

A.｛1g4｝为单调递增的等差数列B.0<q<l

C.,-言:为单调递增的等比数列

D.使得北>1成立的〃的最大值为6

三、填空题(本大题共4小题)

13.设数列｛。”｝的刖〃项和为S.，且q=1,%"=(7"—1,电向="—,贝1J

*^100=-

14.朱载堵(1536-1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他

的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的

把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相

等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且

最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为力，第七个音的频率

为力，则，=.

15.已知sin。是sin<9,cos。的等差中项，sin"是sin。，cos。的等比中项，则

cos2a_

cos2/3*

16.已知函数/■(》)=工办3-2%2+5在尺数上单调递增，且“cV4,则|sinx|+2的最

3smx

小值为

a

c2+4+(z2+4的最小值为

四、解答题(本大题共6小题)

17.设数列｛g｝的前〃项和为邑，从条件①"。向=(〃+1”“，②.=(〃+?%,

③4+勾=25”中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.已知数列｛%｝的前〃项

和为S”，4=1,.

(1)求数列｛g｝的通项公式；

(2)若“=-2"%,求数列也｝的前〃和小

18.已知｛%｝为等差数列,也｝为等比数列，4=1,%=5(。4-%)/5=4(4-。3).

(1)求｛。"｝和｛"｝的通项公式；

(“"-2',W为奇数

(2)对任意的正整数"，设g="同+2,求数列｛4｝的前方项和.

〃为偶数

”“+1

19.已知函数f(x)=a-ex--^x2-x(aeR),

(1)若函数/(x)有两个极值点，求。的取值范围；

(2)证明：当x〉l时，ex-lnx>X--.

x

20.已知数列｛4｝,也｝满足%+〃3=12,4=1,'=+

an

(1)求数列｛4｝的通项公式；

11111

(2)求证.7+7-+…+T-<-7，〃£N+

bib2bn6

21.设函数/(x)=\nx-a2x+2a^awR)

(1)若函数〃x)在1o，£|上递增，在g，+j上递减，求实数4的值.

(2)讨论/(X)在(L+8)上的单调性；

(3)若方程x-lnx-加=0有两个不等实数根西广2，求实数加的取值范围，并证明

XxX2<1.

22.已知函数/(%)="一，+2,其中QWO.

(1)讨论/(X)的单调性.

(2)是否存在aeR,对任意王e[0,1],总存在％e[0,1],使得〃占)+〃9)=4成立？

若存在，求出实数“的值；若不存在，请说明理由.

答案

1.【正确答案】C

【详解】vH=3"%)=3x2^=3a2,S5=5"%)=言"，

3155331553,1113

------------1---------------1------------=-,即------1-------------------1--------------——,贝［j----------1----------------1-----------——

iS।iSiSiS)Sj5155

•aia2a3=15,

.3_/axa2+%+%3&a?

**5-151515-15

•*Cl2~~3.

故选：C

2.【正确答案】C

-x+3,x<0

【详解】由题意，函数/(%)=2x-3,0<x<3,且数列也｝满足

x-2,x>3

%=4,%+1=/(%)(〃£尸)，

所以〃2=/(%)=/(4)=4-2=2,%=/(%)=/(2)=2x2—3=1,

%=/(%)=/(1)=2x1-3=-1,a5=f(tz4)=/(-I)=-(-1)+3=4,

4=/(%)=/(4)=4-2=2,.......,

aa

所以数列｛„｝的周期为4,所以。2021=。50仪4+1=i=4.

故选：C.

3.【正确答案】B

由已知数列的特点依次求出为%-d，a2a4-嫉，。3a5-/，…的值，发现这些数依次

为1,-1,1,-1,1,-1•…，进而可求出答案

【详解】由题设可知,斐波那契数列｛时｝为:U,2,3,5,8,……

其特点为：前两个数为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此

可知：

“103—。2=1x2—1=1,

612a4—Q；—1x3_2?=_1,

〃3。5—。4=2x5—3—1,

a4a6—a；—3x8—52——1,

。2020,2022—。2021=一1，

a

则~3)....(“202002022—。2021

1010

=roiox(-i)=1.

故选：B.

4.【正确答案】C

先求出｛%｝的通项，再利用裂项相消法可求,，结合不等式的性质可求实数，的最小

值.

【详解】几=1时，％=2,

因为4+2a2+3a3—+—7，

所以〃22时，%+2%+3a③+—(n—1)6?〃」=2"1

2〃T

两式相减得到〃%=2〃T,故一,〃=1时不适合此式,

n

l,w=1

a

所以4=n1

(〃+l)2"T,n>2'

川(〃+1)

当〃=1时，S[=b]=l,

111111313

当〃22时，S〃=l+---------|----------+...---------------

2334nn+12n+12'

33

所以=所以，的最小值5；

故选：C.

5.【正确答案】C

4+1

【详解】由题知：设2=

。〃T

|1+1

2

。及+1+12(源+1册+1

则叫

%+1-1

1a「-2an+1

所以明产42.

%+1_11

又因为4=

4_19

1632

1111111111

所以仇=1—4=[，&=|，d=

------->0

因为Fl〔1，所以&>1，

2<2］।2<3

又因为所以+『『_］',即

故选：C

6.【正确答案】A

【详解】f(X)=x3--|x2,.,./f(x)=3x2--^x，

•.•函数/(x)=Y-|尤2是区间［o,q上的双中值函数，

二・区间［0/上存在再，x2(0<x1<x2</),

满足/'&)=f'H)=/⑺;/⑼=『一&，

方程3/-=»-m在区间［0川有两个不相等的解,

[0A

令,.,g(%)=3%2-----x-Z2+—6(0<x<t),

55

△=(-£-12(一产+])>0

0<,

贝卜g⑼=-〃+/>0

g«)=2j-y/>0

解得)<%<不，

・,.实数，的取值范围是

故选:A.

7.【正确答案】B

【详解】了=(尤-1)2的导数为y=2(x-l),y=e，+"的导数为旷="+",设与曲线了=e»相切

的切点为(加，〃)，与曲线v=(x-iy相切的切点为(s,Q,则有公共切线斜率为

f—M

2(5-1)=/+。=^^,又/=(5—1)2,n=em+a,即有

s-m

.,1、(s—I)?—e'"+"(5—I)2—2(5—1)srs—1日ns+3/

2(5-1)=------------=---------------,即sn为5—冽=-----1,即有m=----(s>l),贝IJ有

s-ms-m22

em+a=2(s-V),

v+3s+311

即为q=>2(s-1)-士(5>1),令/(s)=ln2(s-1)-X(s>l),则f(s)=---

22s-12

当s>3时，/'(s)VO,/(s)递减，当1<5<3时，/'(s)>0,/(s)递增，即有s=3处/⑸取

得极大值，也为最大值，且为2历2-3,由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得。

的取值范围是。<2历2-3,

故选:B

8.【正确答案】A

【详解】由题意得N(/,P),8(f,3f-4),则恒同=,-31+4|(04区2).

设函数/(。=7-3/+4,0<t<2,贝!!/咐=3产一3,

易知/«)在［0,1)上单调递减，在(1,2］上单调递增，所以〃f)血n=/(l)=2,

又"0)=4,"2)=6,所以/⑺的值域为［2,6］,故|/3|的取值范围是［2,6］.

故选：A.

9.【正确答案】BD

【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.

【详解】由题意知，

A：由北<4得a7>］，由4=1得。84=1,

所以"=4<1,又q>0,所以0<g<l,故A错误;

%

B：由4=与得。8=黄=1，故5正确；

C：因为｛%｝是各项为正数的等比数列，0£(0，1),

有《〉％，…〉％〉/=1>。9>%0>

所以冬=〃7〃8。9〃10=(〃8a9「二名?，

所以几<7，故。错误;

则刀与《均为7；的最大值，故。正确.

故选：BD

10.【正确答案】AC

令加=1,贝|。角-%=%,根据％>0,可判定N正确；由%&—%%。=20/>0,可判定

B错误;根据等差数列的性质，可判定C正确；丛=+根据g>0,可判

定。错误.

【详解】令加=1,则。用-%=%,因为q>0,所以｛为｝为等差数列且公差d>0,故

A正确；

由a5a6一=（裙+9。遂+20屋）_（〃；+乡/"）=20d2>0,所以a5a6>axaw,故5错误；根

据等差数列的性质，可得2（l-x）=x+3x,所以x=11,l-x=j9,

故%o=1+9x坦当，故C正确；

333

—1）,q]

由s“nal+^-dd（d\因为1>0,所以上是递增的等差数列，故。

—=-------------=7〃+%F2InJ

nn2I2J

错误.

故选：AC.

1、作差比较法：根据。用-。“的符号，判断数列｛%｝是递增数列、递减数列或是常数

列；

a.

2、作商比较法：根据3（0“>0或4<0）与1的大小关系，进行判定；

an

3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.

11.【正确答案】ACD

【详解】对于选项A：函数定义域为（0,+oo）,/⑴令/，卜）>0可得

0<x<Ve,

令/，（x）<0可得尤〉血，所以〃x）在（0,⑹单调递增，在（八,+8）单调递减，

所以“X）在x=心时取得极大值八血）=（,故选项A正确

对于选项B：令/（x）=竽=0,可得尤=1,因此“X）只有一个零点，故选项B不正

确；

对于选项c：显然血<G<6，/(%)在(八,+8)单调递减，

可得/(G)>f"&>0，因为/~Y~=2山4^<0,

即/(收)百)，故选项C正确；

对于选项D：由题意知：左>〃工)+±1=詈]nY+j1在(0,+8)上恒成立，

令g(x)=]^+，(x>0)贝i]k>g(尤)晔，因为g'(无)=T)lnx

易知当xe[o,1]时.g]x)>0,当xe(1，+co]时，g'(x)<0,所以g(x)在x=1时取

得极大值也是最大值所以">1,

1P

所以〃x)+,〈左在xe(0,+8)上恒成立，贝！|左>5，故选项D正确.

故选：ACD.

12.【正确答案】BCD

【分析】

，

令8(尤)=(工+%)(工+。2〉-(尤+%)，利用/(O)=g(O)=a1a2---tz7=l可得%=1=%],

0<q<l,8正确；由Iga*=lg(a/i)=lga]+仇-1)lgq可得N错误；由

S“一鲁-=—497可得C正确；由%>1,0<q<l,%=1可推出

1-ql-qq-\

16>1=17,(<1可得。正确.

【详解】

令g(x)=(x+%)(x+02)…(x+%)，则/(x)=xg(x),

,

:.f'[x)=g{x}+xg\x),/(o)=g(o)=«l(z2---a7=1,

因为{%}是等比数列，所以。|出…。7=或=1，即。4=1=%/，Q%>1,0<^<1,B

正确；

；iga“=ig(%，i)=igq皿，是公差为igq的递减等差数列，/错误；

•••S”=詈-(1-/T)10T，,1s'是首项为，公比为乡的递增

l-ql-q'/q-1[1—qJq-1

等比数列，C正确；

Q%>1,0<q<1,tz4=1,

7

二.〃《3时，%>1,〃25时，0<q<1,〃V4时，Tn>\,■：T7=ata2-■-a-l=a4=1,

〃28时,T=T7Q8a9…册<T?=1，又小左江”〉1,所以使得北〉1成立的〃

n%

的最大值为6,D正确.

故选：BCD

关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解

题关键.

13.【正确答案】1189

【详解】解：因为=。"一1，%"+1="-g，

所以。2"+。2"+1=〃T，

48x49

以(4+4)+(44+%)+,,,+(“98+。99)=0+1+，-+48=-----=1176,

由a2„="一4，可得%=1-%=°

所以“100=。50—1="25—2=10—(712=11—a6=12—〃3—12,

所以^100=a\+(〃2+〃3)+(。4+〃5)■1---1■(“98+%9)+^100

=1+1176+12=1189,

故1189

14.【正确答案】2：

【详解】将每个音的频率看作等比数列{4},利用等比数列知识可求得结果.

【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，

a

可以将每个音的频率看作等比数列{%},一共13项，且口=9,

an-\

•••最后一个音是最初那个音的频率的2倍，

••Q]3=2%,ci^q—2。]q=2,

r611

a

-J2_\__4_/12H_23

fi%%q''

：.^=v,

故才

关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.

15.【正确答案】1

由题意得sin6+cose=2sina,sin^cos^=sin2/?,消去。，可得4sin2a-Zsin?6=1,化简

cos2a|

得l—Zsin?〃=2—4sin2a,得cos2夕=2cos2a,则有..--=—

cos2p2

【详解】由题设可知：

由sina是sin。,cos。的等差中项，则sin6+cos6=2sina①，

sin夕是sin。，cos。的等比中项，则sin6cose=si/。②,

则有①②可知：4sin2a-2sin2/?=l③，

cos2tz=l-2sin2a,cos2/?=l-2sin2yff,

则将③式变形得：l-2sin2/=2-4sin2a,

即cos2/=2cos2a,

r,cos2a1

则—

cos2p2

故答案为.g

16.【正确答案】5；1

【分析】

根据条件分析出ac=4,a>0,c>0,根据函数/z（x）=x+&的单调性分析出|sinx|+上的

xsinx

最小值.将待求式子变形为关于C的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出

ac

c2+4+a2+4的最小值.

【详解】

解：因为/（幻=3研3-2尤2+S在R上单调递增，贝1]/'（无）=研2-4无+C20,

所以。>0,A=16-4acV0,所以这W4,又因为ac《4,所以ac=4,则c>0,

ac4

又因为Mnx|+--=|sinx|+p-।,|sinx|e(0,1],

smxsin.

令函数〃(x)=x+3,A,(x)=l--与＜0在(0』恒成立，

“x)=x+g在(0,1]上单调递减，

ac

所以〃(无)min=〃⑴=5，所以|sinx|+的最小值为5,取等号时sinx=±l,

sinx

所以

428

C

acrcS+16z?

---------------1---------------=---------------|-----------------=-------------------------=-------------------

2223

C+4a+4C+416+44(C+4C)+£

IC,

又因为c+3Z2,

c--=4,取等号时。=2,

oo

且函数g(/)=/-：，g，(^)=l+p->0,

o

g(/)=f-：在［4,+oo)上递增，所以g«)1nhi=g(4)=2,

所以—+的最小值为Jx2=:，取等号时。=c=2；

C2+4a2+442

故5;y.

易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若

不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.

+l

17.【正确答案】任选三条件之一，都有(1)%="；(2)Tn=(l-n)-2"-2.

【详解】选条件①时，

(1)"。加=("+1””时，整理得4^=冬=?=1，所以%=〃.

(2)由(1)得：“=-〃.2",

设c,="-2”，其前〃项和为C“，

所以C“=lx2i+2x22+…+小2”①，

2C„=lx22+2x23+---+n-2,+1②，

①一②得：一c=(2'+22+---+2"}-n-2"+1»

"')2-1

故Q=(〃-1)-2角+2,

所以<=(1-">2用-2.

选条件②时，

(1)由于.=(“%,所以2s+①，当心2时，2s3ft%②,

①-②得：2%+-〃氏_|,

整理得鳗=也=5=1,所以%=〃.

nn-11

n

（2）由（1）得：bn=-n-2,

设的二〃2,其前〃项和为Q,

所以c“=1x21+2x2?+…+〃-2"①，

23,+1

2C,i=lx2+2x2+---+n-2②，

①一②得：-c=（2i+2?+…+2"）-〃­2向=—'----也用，

"、）2-1

故C"=（"-l>*+2,

所以北=。一〃）-2向-2.

选条件③时，

由于+an=2g,,①

an-l+an-l=2S"_]②

①一②时，尺一。北=。“+*,整理得（常数），

所以数列｛%｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

所以％=〃.

（2）由⑴得:4=_〃2,

设c,=分2",其前”项和为C”，

所以C”=1x21+2x2?+…+小2”①，

2c“=1x2?+2x23+…②，

①一②得：一c=（21+22+---+2"'）-W-2"+1一〃2"1，

故Q=（〃-1）-2角+2,

所以*=（1一〃）.2"+1-2.

18.【正确答案】（1）。“=〃，"=2"'（2）——一竺也一上

2”+19x4"9

【分析】

（1）设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列也｝的公比为49=1,%=5（。厂

4=1,4=4（4-4），分别利用“％M”法和“4,q”法求解.

(2)由⑴知当"为奇数时，当〃为偶数

a/〃+2n(n+2)n+2n

d.72—1

时，％=六=入］，然后分别利用裂项相消法和错位相减法求和，然后相加即可.

【详解】

(1)设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列｛a｝的公比为q.

因为q=l,%=5（%-%），

所以4+4d=5",

解得d=l.

所以｛4｝的通项公式为

由4=1,Z?5=4（Zj4-Z）3）,

又q*0,得q2_4q+4=0,

解得夕=2,

所以也｝的通项公式为“=2"T.

（362）2_（3〃-2Ri_2向2'-1

(2)当n为奇数时,

anan+2〃（〃+2）n+2n

u,n—1

当〃为偶数时，C"=『=亏，

"〃+1/

有)Y配听一

对任意的正整数n,------1

2k—\2H+1

2k-12n—32n-\

4〃T+

4人4n

…/口is1352n-32n-l

由①得王学/=不+不+下+…+下L+②

,„„3^1222n

由①②得ZB力、3=]+7+…+^r一不

56〃+5

-T2-3X4,,+1

n、6〃+5

所以E4=6

k=\"9x4〃

2〃〃.4n6n+54

所以C2k-\+£%

-2〃+l9x4”-9

左=1左=1k=l

所以数列{cj的前2"项和为4"6〃+54

2〃+19x4"9

本题主要考查等差数列、等比数列通项公式的求法，分组求和、裂项相消法和错位

相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于较难题.

19.【正确答案】(1)0<«<1；(2)证明见解析.

(1)由题意转化为/'("=0有两个变号零点，再参变分离后得利用图象求

。的取值范围；(2)首先构造函数g(x)=e*Jnx-x+'(x>l),求函数的二次导数，

x

分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.

【详解】(1)/⑴的定义域为R,fr(x)=a-er-x-l,

若函数/(x)有两个极值点，则/'(x)=a-e=x7=0有两个变号零点，

等同于。=Y半-L1，

e

即水平直线>与曲线>=学有两个交点(y=a不是>=手的切线)，

ee

令〃(x)=妥Y-I-1，〃(x)的定义域为&,贝=Y令〃(x)=o,解得x=0,

当x>0时，h'(x)<0,〃(x)在(0,+8)上单调递减，

当x<0时，h\x)>0,”(x)在(-co,0)上单调递减，

则〃(0)=1为访(x)的极大值，也为最大值，

当力(x)=0时,x=-l,

当X->-00时，h{x)T-co,

当Xf+co时，〃(x)fO且为正数，

则万(X)的图像如图所示，则此时0<a<l;

(2)证明：令g(x)=e"lnx-x+L(x>l),则只需证明当x>1时g(x)>0恒成立即可,

X

则g'(x)="-Inx+---1—y，令Z(x)=gz(x)=ex-inx+---1——y,

1XXXX

,/、xx-Y-x2

贝t'(x)=ex-lnx+—e+e,eI4，

XXX

,X/_X2

当X〉1时"」nx>0,—>0,,>0,—>0,

贝h'(x)>0,贝h(x)=g'(x)=eHlnx+J-l-二在x>l时单调递增，

XX

又g")=e-2>0,

x>l时，g'(x)>0,贝!]g(x)=e*Jnx-x+L在尤>1时单调递增，

x

.,.当x>1时g(x)>g(l)=0,即当x>l时，ex-Inx>x--.

x

方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/3>g(x)(或y(x)<g(x))转化为证明

/(x)-g(x)〉0或/(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数〃(x)=g(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造

辅助函数.

其中一种重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问

题的突破口.

20.【正确答案】(1)b,=T-\.(2)证明见解析.

(1)由题可知数列｛与｝为等比数列，公比4=2,进一步求出。”的通项公式，所以

b„-be2-1,利用累加法求出数列｛"｝的通项公式；

(2)利用47<工对数列进行放缩，化简求出答案.

2-12

【详解】(1)•••&包=2,所以数列｛%｝为等比数列，公比4=2,%q+%q2=i2,所以

an

%=2,r.a“=2"所以=…瓦一瓦=*=2,"-4=2+2?+…+2'T=2"-2

•,也=2"-1

，、…口111,11,11141f(1丫］

(2)证明：一+——+•••+——=1+—2；——+…+----<1+—F干2+…+17=-F-1--

4b2bn2-12〃-1322T321QJJ

21.【正确答案】(1)±V2.(2)答案见解析.(3)机€(1,+«0，证明见解析

【详解】(1)由于函数“X)在[。，寸上递增，在上递减，

由单调性知X是函数的极大值点，无极小值点，所以/'(；)=0,

•；f\x)=--a2,

X

—6Z2=0=>tZ=±y/l，

1_9r1

此时/满足X是极大值点，所以4=±行；

x2

(2),:f(x)=\wc-a2x+2a,

/，(x)=1X(x>l),

①当。=0时，/'(x)=!>0J(x)在(1,+s)上单调递增.

②当/N1，即。4一1或时，/'(无)<0,

.•./(X)在(1,+8)上单调递减.

③当一1<a<1且aN0时，由/'(x)=0得》=上.

a

令/'(x)>0得=；

a

令r(x)<o得x>《