2025年湘教版高一数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设则（）．A.B.C.D.2、若则cos（2π-α）的值是（）

A.

B.

C.-

D.

3、【题文】一个几何体的三视图如图所示；则该几何体的体积为（）

A.2B.1C.D.4、下列四组函数中表示同一函数的是（）A.f（x）=x，B.f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C.g（x）=|x|D.f（x）=0，5、已知函数f（x）=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1，则（）A.f（-1）＜f（1）＜f（2）B.f（1）＜f（2）＜f（-1）C.f（2）＜f（-1）＜f（1）D.f（1）＜f（-1）＜f（2）评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)6、设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n（n∈N*），则a2=____．7、计算：=____．8、若0≤x≤2，则函数y=（）x-1-4•（）x+2的值域是____．9、已知函数的图象是连续不断的，有如下对应值表：。则函数在区间____有零点.10、用五点法画函数的图象，这五个点可以分别是____，．11、【题文】已知圆锥的底面半径为2cm，高为1cm，则圆锥的侧面积是____cm2．12、【题文】两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的公共弦所在直线方程为_________.13、已知f（x）=ax﹣+2（a，b∈R），且f（5）=5，则f（﹣5）=____．14、函数y=log0.2（x2-6x+5）的递增区间是______．评卷人得分三、解答题(共9题，共18分)15、计算：0.25×（-）-4-4÷（-1）-+lg25+2lg2．

16、已知向量且分别为的三边所对的角.(1)求角C的大小；(2)若成等差数列，且求边的长.17、解关于的不等式18、【题文】已知函数

（1）若求的值；

（2）求的值.19、【题文】如图，长方体中，点为的中点。

（1）求证：直线∥平面

（2）求证：平面平面20、【题文】如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知．

（1）求证：AC⊥平面VOD；

（2）求三棱锥的体积.

21、【题文】判断函数f(x)=在定义域上的单调性.22、已知等比数列{an}首项为a1；公比为q，求：

（1）该数列的前n项和Sn．

（2）若q≠1，证明数列{an+1}不是等比数列．23、已知一圆C的圆心为C（2，-1）且该圆被直线l：x-y-1=0截得弦长为求该圆方程．评卷人得分四、证明题(共4题，共32分)24、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．25、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．26、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．27、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分五、综合题(共4题，共28分)28、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点在直线y=-上，与x轴相交于B（α，0）、C（β，0）两点，其中α＜β，且α2+β2=10．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设这个抛物线与y轴的交点为P；H是线段BC上的一个动点，过H作HK∥PB，交PC于K，连接PH，记线段BH的长为t，△PHK的面积为S，试将S表示成t的函数；

（3）求S的最大值，以及S取最大值时过H、K两点的直线的解析式．29、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．30、设L是坐标平面第二；四象限内坐标轴的夹角平分线．

（1）在L上求一点C，使它和两点A（-4，-2）、B（5，3-2）的距离相等；

（2）求∠BAC的度数；

（3）求（1）中△ABC的外接圆半径R及以AB为弦的弓形ABC的面积．31、如图，矩形ABCD中，AD＜AB，P、Q分别为AD、BC的中点．N为DC上的一点，△AND沿直线AN对折点D恰好与PQ上的M点重合．若AD、AB分别为方程x2-6x+8=0的两根．

（1）求△AMN的外接圆的直径；

（2）四边形ADNM有内切圆吗？有则求出内切圆的面积，没有请说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】试题分析：由题根据指数，对数函数性质不难判断所给指数与0,1的关系，然后比较大小即可.考点：指数，对数大小比较【解析】【答案】C2、A【分析】

∵

∴sinα=-

而cos（2π-α）=cosα，

∴cosα=

故选A．

【解析】【答案】先利用诱导公式进行化简；求出sinα，然后利用同角三角函数的关系求出cosα，注意角的范围．

3、C【分析】【解析】

试题分析：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中底面是对角线长为2的正方形，一条高为1的侧棱垂直于底面，据此可计算出体积．解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中底面是对角线长为2的正方形，一条高为1的侧棱垂直于底面．则该几何体的体积故答案为C.

考点：由三视图求原几何体。

点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是计算的关键．【解析】【答案】C4、C【分析】解：∵y=x（x∈R）与（x≥0）两个函数的定义域不一致；

∴A中两个函数不表示同一函数；

∵f（x）=x2，g（x）=（x+1）2两个函数的对应法则不一致；

∴B中两个函数不表示同一函数；

∵f（x）=|x|与g（x）==|x|；且两个函数的定义域均为R

∴C中两个函数表示同一函数；

f（x）=0，=0（x=1）两个函数的定义域不一致；

∴D中两个函数不表示同一函数；

故选C．

根据两个函数是同一个函数的定义；函数的三要素均相等，或两个函数的图象一致，根据函数的定义域与函数的解析式一致时，函数的值域一定相同，我们逐一分析四个答案中两个函数的定义域和解析式是否一致，即可得到答案．

本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，熟练掌握判断两个函数是否为同一函数的方法，正确理解两个函数表示同一函数的概念是解答本题的关键．【解析】【答案】C5、B【分析】解：∵函数f（x）=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1；

∴f（-1）=f（3）；

又二次函数在（-∞；1]上单调递减，[1，+∞）上单调递增；

∴f（1）＜f（2）＜f（3）；

∴f（1）＜f（2）＜f（-1）；

故选B．

根据函数f（x）=x2+bx+c的图象的对称轴为直线x=1；所以二次函数在（-∞，1]上单调递减，[1，+∞）上单调递增，再结合关于x=1对称的点的函数值相等，即可得到答案．

本题考查了二次函数的性质，二次函数的性质一般通过研究二次函数的对称轴与开口方向来确定．属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共9题，共18分)6、略

【分析】

由Sn=2n，得a1=S1=2，则a2=S2-a1=2×2-2=2．

故答案为2．

【解析】【答案】直接由题目给出的Sn=2n求出a1，然后由a2=S2-S1求得a2．

7、略

【分析】

=

=-2-24

=-2-16

=-18

故答案为：-18

【解析】【答案】根据抽象底公式的推论对数的运算性质，及指数的运算性质，对原式逐项化简，即可得到答案．

8、略

【分析】

令（）x=t，则∴y=4t2-4t+2=（2t-1）2+1；

∵∴函数在上是减函数，在上是增函数；

∴t=时；y最小为1，t=1时，y最大为2

∴函数的值域是[1；2]

故答案为[1；2]

【解析】【答案】先令（）x=t，则可将原函数转化二次函数在上的值域问题；利用配方法可以解决．

9、略

【分析】本试题主要是考查了函数的零点所在的大致区间的求解。根据零点存在性定理可知，因为f(-2)=-10<0,f(-1)=3>0,那么可知函数在区间端点值函数值异号，故有零点.解决该试题的关键是结合零点的存在性定理得到结论。【解析】【答案】10、略

【分析】由知,应填【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：圆锥的底面周长为：母线长为：故答案为

考点：圆锥侧面积的求法.【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】将两圆方程相减得2x+2y+4=0,即x+y+2=0.【解析】【答案】x+y+2=013、﹣1【分析】【解答】解：令g（x）=f（x）﹣2=

则g（x）是一个奇函数。

∵f（5）=5；

∴g（5）=3；

∴g（﹣5）=﹣3；

∴f（﹣5）=﹣1

故答案为：﹣1

【分析】由已知中函数我们可以构造函数g（x）=f（x）﹣2=根据奇函数+奇函数=奇函数，我们可以判断g（x）是一个奇函数，由f（5）=5，依次求出g（5），g（﹣5），即可得到f（﹣5）的值．14、略

【分析】解：由x2-6x+5＞0得x＞5或x＜1；

设t=x2-6x+5，则当x＞5时，函数t=x2-6x+5为增函数；

当x＜1时，函数t=x2-6x+5为减函数；

而y=log0.2t为减函数；

∴要求函数y=log0.2（x2-6x+5）的递增区间，即求函数t=x2-6x+5的单调递减区间；

∵t=x2-6x+5的单调递减区间是（-∞；1）；

故函数y=log0.2（x2-6x+5）的递增区间是（-∞；1）；

故答案为：（-∞；1）．

求函数的定义域；利用换元法结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

本题主要考查复合函数单调区间的求解，求函数的定义域，利用换元法结合复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．【解析】（-∞，1）三、解答题(共9题，共18分)15、略

【分析】

因为0.25×（-）-4-4÷（-1）-+lg25+2lg2

=0.25×16-4÷1-4+2lg5+2lg2

=4-4-4+2（lg5+lg2）

=-2

【解析】【答案】利用负指数的幂的运算性质得到（-）-4=16，=4；利用对数的运算法则得到lg25+2lg2=2，求出值．

16、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

（1）对于，又，（2）由，由正弦定理得，即由余弦弦定理，，考点：余弦定理【解析】【答案】（1）（2）17、略

【分析】试题分析：对于含参数的不等式，要对参数进行分类讨论，二次项系数含参数的要分系数等于0和不等于0来讨论，不等于0时要注意讨论方程根的大小；试题解析：【解析】

当时，原不等式变为：当时，原不等式分解为：当时，解集为：当时，解集为：当时，解集为：当时，解集为：考点：含参数的不等式的解法；【解析】【答案】见解析18、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）因为所以可以计算出的值为1；即表示两个自变量的和为1的函数值的和为1.

（2）由（1）可知两个自变量的和为1的函数值的和为1.所以令①.利用倒序又可得到②.所以由①+②可得2S=2012.所以S=1006.

试题解析：

．5分。

（2）．10分。

考点：1.函数的表示法.2.倒序求和法.【解析】【答案】（1）1；（2）100619、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）设AC与BD的交点为O，连接OP，则长方体中O为BD中点，又P为DD1的中点，所以三角形BDD1中，由中位线定理可知PO∥根据线面平行的判定定理即可，得证；（2）根据四边形ABCD为菱形，故BDAC，由题意可知DD1AC，故AC平面进而可证明出结论．

解：（1）设AC与BD的交点为O，连接OP，则长方体中O为BD中点，又P为DD1的中点；

所以三角形BDD1中，PO∥而不在平面PAC内，OP在平面PAC内，故∥平面

（2）长方体中，AB=AD，所以ABCD为菱形，故BDAC；

又长方体中，DD1面ABCD，所以DD1AC，从而AC平面则平面平面

考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定；3．面面垂直的判定．【解析】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．20、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直，要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，首先是圆的直径，因此有而分别是的中点，因此有从而再看已知条件则点在平面内的射影为的外心，即点即平面从而有因此有平面（2）棱锥的体积，就是的体积，而棱锥的高就是底面是又是弧的中点，因此有从而有底面积；体积均可求．

（1）∵VA=VB，O为AB中点，∴．

连接在和中，

∴≌DVOC，∴=ÐVOC=90°，∴

∵平面ABC,平面ABC,∴VO⊥平面ABC．

∵平面ABC，∴．

又∵是的中点，∴．

∵VOÌ平面VOD，VDÌ平面VOD，∴AC平面DOV．

（2）由（2）知是棱锥的高，且．

又∵点C是弧的中点，∴且

∴三角形的面积

∴棱锥的体积为

故棱锥的体积为．12分。

考点：线面垂直，棱锥的体积．【解析】【答案】（1）证明见解析；（2）．21、略

【分析】【解析】函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},

则f(x)=

可分解成两个简单函数.

f(x)==x2-1的形式.当x≥1时，u(x)为增函数，为增函数.

∴f（x）=在［1，+∞)上为增函数.当x≤-1时，u（x)为减函数，为减函数；

∴f(x)=在（-∞,-1］上为减函数.【解析】【答案】f（x）=在［1，+∞)上为增函数，在（-∞,-1］上为减函数22、略

【分析】

（1）由和的定义及等比数列的通项公式构造出再与原来的和式相减得出再对公比的取值进行讨论即可得出和式；

（2）先假设数列{an+1}是等比数列；然后由等比数列的性质建立方程，寻求使得数列为等比数列的条件即可证明出结论．

本题考查等比数列的性质，等数列的前n项和公式的推导，考查了分类讨论的思想反证法证明的思想，综合性较强．【解析】解：（1）∵数列{an}为等比数列，∴．

∴

∴

当q=1时，an=a1

∴Sn=na1

当q≠1时，

∴

（2）假设数列{an+1}是等比数列，则即

∴．

∵a1≠0．

∴q2+1-2q=0即（q-1）2=0．

∴q=1这与已知q≠1矛盾．

∴{an+1}不是等比数列．23、略

【分析】

先求得圆心C到直线l的距离为d的值，再根据弦长求得半径为r；从而求得该圆的标准方程．

本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，求圆的标准方程，属于中档题．【解析】解：由于圆心C（2，-1）到直线l：x-y-1=0的距离为d==

弦长为2故半径为r==2；

故该圆的标准方程为（x-2）2+（y+1）2=4．四、证明题(共4题，共32分)24、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．25、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．26、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．27、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．五、综合题(共4题，共28分)28、略

【分析】【分析】（1）把顶点A的坐标代入直线的解析式得出c=a+；根据根与系数的关系求出c=1-3a，得出方程组，求出方程组的解即可；

（2）求出P、B、C的坐标，BC=4，根据sin∠BCP==，和HK∥BP，得出=，求出PK=t；过H作HG⊥PC于G，根据三角形的面积公式即可求出答案；

（3）根据S=-（t-2）2+2求出S取最大值，作KK′⊥HC于K′，求出KK′和OK′，得到点K的坐标，设所求直线的解析式为y=kx+b，代入得到方程组求出即可．【解析】【解答】解：（1）由y=ax2-2ax+c-1=a（x-1）2+c-1-a得抛物线的顶点为

A（1；c-1-a）．

∵点A在直线y=-x+8上；

∴c-1-a=-×1+8；

即c=a+；①

又抛物线与x轴相交于B（α；0）；C（β，0）两点；

∴α、β是方程ax2-2ax+c-1=0的两个根．

∴α+β=2，αβ=；

又α2+β2=10，即（α+β）2-2αβ=10；

∴4-2×=10；

即c=1-3a②；

由①②解得：a=-；c=5；

∴y=-x2+x+4；

此时；抛物线与x轴确有两个交点；

答：这个抛物线解析式为：y=-x2+x+4．

（2）由抛物线y=-x2+x+4；

令x=0；得y=4，故P点坐标为（0，4）；

令y=0，解得x1=-1，x2=3；

∵α＜β；∴B（-1，0），C（3，0）；

∴BC=4，又由OC=3，OP=4，得PC=5，sin∠BCP==；

∵BH=t；∴HC=4-t．

∵HK∥BP，=，=；

∴PK=t

如图，过H作HG⊥PC于G，则HG=HC，

sin∠BCP=（4-t）•=（4-t）；

∴S=×t×（4-t）=t2+2t；

∵点H在线段BC上且HK∥BP；∴0＜t＜4．

∴所求的函数式为：S=-t2+2t（0＜t＜4）；

答：将S表示成t的函数为S=-t2+2t（0＜t＜4）．

（3）由S=-t2+2t=-（t-2）2+2（0＜t＜4）；知：

当t=2（满足0＜t＜4）时；S取最大值，其值为2；

此时；点H的坐标为（1，0）；

∵HK∥PB；且H为BC的中点；

∴K为PC的中点；

作KK′⊥HC于K′；

则KK′=PO=2，OK′=CO=；

∴点K的坐标为（；2）；

设所求直线的解析式为y=kx+b；则

；

∴

故所求的解析式为y=4x-4；

答S的最大值是2，S取最大值时过H、K两点的直线的解析式是y=4x-4．29、略

【分析】【分析】根据题意画出图形，根据根与系数的关系求出一元二次方程x2+mx+4=0的两根之积，由方程的两个正整数根估计出两根的值，再根据三角形的三边关系确定出AC的长，由等腰三角形的性质可求出AD的长，最后由锐角三角函数的定义解答即可．【解析】【解答】解：根据与系数的关系可知：

x1•x2=4；

又∵x1、x2为正整数解；

∴x1，x2可为1；4或2、2（2分）

又∵BC=4；AB=6；

∴2＜AC＜10；

∴AC=4；（5分）

∴AC=BC=4；△ABC为等腰三角形；

过点C作CD⊥AB；∴AD=3，（7分）

cosA==．（8分）30、略

【分析】【分析】（1）设C（x；-x），根据两点间的距离公式（勾股定理）得到方程，求出方程的解即可；

（2）作BE⊥AC于E；求出AC，根据勾股定理求出BC，得到AC=BC，求出CE；BE，求出∠A即可；

（3）求出△ABC的高CD的长，求出AB的长，根