高等教育D1-4乘法公式

第一章二、乘法公式一、条件概率第四节乘法公式三、事件的独立性四、贝努利概型1一、条件概率对随机现象的研究中，常遇到另一类概率计算问题.如：两个足球队比赛的胜负预测.

B={中国队上半场负}，(1)考虑事件A发生的可能性大小？(2)事件B已发生,问事件A发生的可能性大小？A={中国队最终获胜}21.引例:掷一颗均匀的骰子,B={掷出2

点}，A={掷出偶数点

}掷骰子容易看到可知大千世界中事物是相互联系影响的，对随机事件也不例外。3100件产吕中有5件不合格，其中3件是次品，2件是废品，现从中任取一件，试求解：令A={抽得废品}，B={抽得不合格品}.有1）抽得废品的概率p1;2）已知抽得不合格品，它是废品的概率p2.例1注意到有42.定义设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称A的条件概率.为在事件B发生的条件下,事件注意：P(A)

为无附加条件下A的概率，为无条件概率。为B出现条件下A出现的概率，为条件概率。它们的样本空间是不同的。事实上，设试验的基本事件总数为n,B所包含的基本事件数为m(m>0),AB所包含的基本事件个数为k.有（

B成了新的样本空间）

52.定义故A变成了新的样本空间

设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称B的条件概率.为在事件A

发生的条件下,事件3.性质1)对于任一事件B,2)3)设互不相容4)6例1甲、乙两城市位于长江下游，根据气象资料知：甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18%.两地同时下雨的比例为12％。求下列事件的概率：1、

已知乙地为雨天，甲地也是雨天。2、甲、乙两地至少有一地为雨天。解设A:“甲地为雨天”B:“乙地为雨天”则7一盒中混有100只新,旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A--从盒中随机取到一只红球.

ABB--从盒中随机取到一只新球.解例28例3.某建筑物按设计要求，使用寿命超过50年的概率为0.8.超过60年的概率为0.6。该建筑物经历50年之后，它将在10年内倒塌的概率有多大。解设A“该建筑物使用寿命超过50年”设B“该建筑物使用寿命超过60年”9二、.乘法公式由条件概率的定义立刻可得下述定理可推广乘法定理：设则有则有10例1.假设某学校学生四级英语考试的及格率为98%,其中70%的学生通过六级英语考试,试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.解:设A=“通过四级英语考试”

B=“通过六级英语考试”由题意,可知11假定其中有3件次品，每次从这批产品中无放回地抽取一件来检查，求前三次都抽到正品的概率。解设Ak“第

k次取得正品”k=1,2,3.例2一批产品有100件，12例3.一批零件共100件,其中有10件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次内取到合格品的概率“第次抽到合格品”解:设1)2)设“三次内取到合格品”则且互不相容13(方法二)利用对立事件“三次都取到次品”下利用条件概率求做.解:2)设“三次内取到合格品”则且互不相容14例4.设一个班中10名学生采用抓阄的办法分一张电影票的机率是否相等解：设“第名学生抓到电影票”15有

一般情况即A

发生对B

发生有影响。即已知事件A发生,并不影响事件B发生的概率,特殊情况那么在什么特殊情况下呢？这时称事件A、B独立.在乘法公式中，当16作业P6611,12,13,14,16171.掷一颗均匀的骰子两次,B={第二次掷出6点}A={第一次掷出6点}可知即已知事件A发生,并不影响事件B发生的概率,2.掷甲乙两枚骰子,B={乙掷出偶数点}A={甲掷出偶数点}可知这时称事件A、B独立.引例18定理设A,B是两个事件,如果有如下等式成立刚称事件A,B相互独立与与任何事件都是相互独立例1.

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，问事件A、B是否独立？解：记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}说明事件A、B独立.由题意三、事件的独立性19例2.甲,乙两人的命中率为0.5和0.4,现两人独立地向目标射击一次,解:设A=“甲射击一次命中目标”的概率是多少?B=“乙射击一次命中目标”C=“目标被命中”则相互独立,且已知目标被命中,则它是乙命中20思考:如图所示的事件独立吗?则A与B不相互独立.则A,B相容.故A,B不独立。而即若A,B相容,且反之,若A与B相互独立,且互斥(互不相容)独立。21推论:设是两个事件1)若,则相互独立的充分必要条件为:2)若相互独立,与,与,与,都相互独立证:1)若相互独立,则有又,则由乘法公式2)其余同理可证22多个事件的独立性若下面四个等式同时成立推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：包含等式总数为：都且有等式:则称n个事件相互独立23思考:两两独立与相互独立的区别两两独立相互独立对n(n>2)个事件?推论:1)若相互独立,则其中任意k个事件也相互独立.2)则其中任意k个事件的对立事件与其它的事件组成的n个事件也相互独立.实质:任何事件发生的概率都不受其它事件发生与否的影响24例3.现有四张卡片，如图所示现从中任取一张,设分别表示抽到写有数字的卡片,试判定事件之间的关系.解:由题意两两独立不相互独立25例4设每门炮射击一飞机的命中率为0.6,现有若干门炮同时独立地对飞机进行一次射击，问需要多少门炮才能以0.99的把握击中一飞机。解设需要n

门炮。Ak

“第k门炮击中飞机”B“飞机被击落”故至少需要6门炮才能以0.99的把握击中飞机。26注：相互独立事件至少发生一次的概率计算27例5.某电路如图所示,已知正常工作的概率为假定能否正常工作是相互独立的,试求:1)整个电路正常工作的概率解:设表示2)若整个电路正常工作,求D=“电路正常工作”则相互独立正常工作的概率正常工作,28某人做一次试验获得成功的概率仅为0.2，他持之以恒，不断重复试验，求他做10次试验至少成功一次的概率？做20次又怎样呢？

解：设他做k次试验至少成功一次的概率为pk，

则p10=P(A1∪A2∪…∪A10

)

=1－(1－0.2

)10≈0.8926

=1－P(A1)P(A2)…P(A10

)Aj={第j次试验成功}，j=1，2，…例629

p20=P(A1∪A2∪…∪A20

)

=1－(1－0.2

)20≈0.9885

=1－P(A1)P(A2)…P(A20

)一般，将试验E重复进行k次，每次试验中A出现的概率p（0<p<1）则A至少出现一次的概率为30(可靠性问题)设有6个元件，每个元件在单位时间内能正常工作的概率均为0.9，且各元件能否正常工作是相互独立，试求下面系统能正常工作的概率。124365

解设Ak={第k个元件能正常工作}，k=1，2，…，6，

A={整个系统能正常工作}例7=(A1∪A2)(A3

∪A4)(A5

∪A6)31

A1，A2，…，A6相互独立，可以证明970299.0])9.01(1[32≈--=)]()(1)][()(1)][()(1[654321---=APAPAPAPAPAP)](1)][(1)][(1[654321---=AAPAAPAAP)()()()(654321=AAPAAPAAPAPUUUA1∪A2，A3

∪A4，A5

∪A6

也相互独立.32事件独立性的应用1、加法公式的简化：如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。若事件A1，A2，…，An相互独立,则2、在可靠性理论上的应用33主讲教师:王升瑞概率论与数理统计第四讲34四.伯努里试验：即在试验E的样本空间S只有两个基本事件有一类十分广泛存在的只有相互对立的两个结果我们称这只有两个对立的试验结果的试验为的试验。且每次试验中例如：试验“成功”、“失败”。种子“发芽”、“不发芽”生“男孩”、“女孩”考试“及格”、“不及格”产品“合格”、“不合格”买彩票“中奖”、“不中奖”若只有两个对立结果的试验可在相同伯努里试验。的条件下进行，则有35

n重伯努里试验：设在一次试验中事件A发生的概率为则在n重伯努利试验中事件A恰好发生次的概率为证:设事件

A

在n次试验中发生了X

次=“在第次试验中事件发生”设伯努里定理设在试验E中事件A发生的概率为p，现将E重复独立的进行n次，称这n次试验为n重伯努里试验。36X的分布列是：男女X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.生男孩的概率为

p.37伯努里试验是一种很重要的数学模型，用途广泛。在

n重贝努利试验中，事件A

正好出现

k

次的概率有一个一般的求法。由于n

次试验是相互独立的，事件A发生的次数为X,则X

的取值为而就表示一个事件，在

n重贝努利试验中，事件A

正好出现

k

次的概率有38例1某人射击每次命中的概率为0.7,现独立射击5次，求正好命中2次的概率。解例2从学校乘汽车去火车站一路上有4个交通岗，到各个岗遇到红灯是相互独立的，且概率均为0.3,求某人从学校到火车站途中2次遇到红灯的概率。解途中遇到4次经交通岗为4重贝努利试验，其中39在规划一条河流的洪水控制系统时需要研究出现特大洪水的可能性。假定该处每年出现特大洪水的概率都是0.1，且特大洪水的出现是相互独立的，求在今后10年内至少出现两次特大洪水的概率。解设

A“出现洪水”“不出现洪水”例340例4某车间有50台机床，一天内每台需要维修的概率均为0.02,求一天内需维修的机床不多于2台的概率。解41例5.袋中装有30只红球,70只蓝球,现从袋中有放回地抽取5次,每次取1只球,试求:1)取出的5只球中恰有2只红球的概率;2)取出的5只球中至少有2只红球的概率；解:取到红球的概率为0.3,5次取球相互独立，故为5重伯努里概型,设X

为取到红球的次数。1)2)42作业P6615,17,18,19,20,21,22,23,2443伯努利（1655—1705）瑞士数学家JakobBernoulli,他使概率论成为一个独立的数学分支。1713年出版的遗作《猜度术》，建立了概率论中的第一个极限定律——伯努利大数定律。伯努利家族在数学与科学上的地位非常的显赫。这个非凡的瑞士家族在三代时间里产生了八位数学家（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。44JacobBernoulli（1654-1705）非常喜爱的数学，他自学了牛顿和莱布尼茨的微积分，并从1687年开始到他去世为止任瑞士巴塞尔大学数学教授。