浙江省强基联盟2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

浙江强基联盟2024年12月高二联考数学试题浙江强基联盟研究院命制考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出结果.【详解】因为直线的斜率为，设倾斜角为，所以，故.故选：D.2.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根据渐近线方程的公式列出等式，即可求得离心率.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，故选：A.3.若椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为，则（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.【详解】若，则由得（舍去）；若，则由得.故选：B.4.已知数列满足，，，若数列是递增数列，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由于是递增数列，所以，代入通项公式，化简可得对都成立，再根据函数的性质求出结果.【详解】由数列是递增数列，得，化简可得，即对于恒成立，所以，故选：C.5.如图是正方体在一个平面上的展开图，则在原正方体中，直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将平面图形复原成正方体，利用正方体的性质、线面垂直的判定定理即可求解.【详解】将表面展开图还原为正方体，直线与在正方体中的位置如图所示，连接，为正方形，，平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，，故直线与所成角的大小为.故选：D.6.直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.都有可能【答案】C【解析】【分析】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论．【详解】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5，直线恒过定点，，点在圆内，所以直线与圆相交，故选：C.7.抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若为等腰直角三角形，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等腰直角三角形求出即可．【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，，准线方程与双曲线联立可得，解得.因为为等腰直角三角形，所以，即，解得，故选：B.8.已知抛物线：，抛物线：，，的焦点分别为，，点为抛物线上的一个动点，直线过点，则（）A.直线的方程为 B.C. D.与各有一个交点的直线有三条【答案】D【解析】【分析】A选项利用抛物线和的方程求出焦点和的坐标，再利用直线的两点式方程即可求出直线的方程；设出点的坐标，再结合焦点和的坐标，写出和的表达式，从而可以判断B，C选项，再数形结合判断D选项即可.【详解】对于A，，，所以直线的方程为，A错误；对于B，当在原点时，取到最小值为1，B错误；对于C，设，所以，当时，，此时，，C错误；对于D，当直线与只有一个交点时，①若与轴平行或重合时，满足与，各有一个交点，如图；②若与相切时，与，各有一个交点的直线有两条，一条与相切，一条与轴重合，如图和，与，各有一个交点的直线有三条，D正确.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线：，直线：，则（）A.直线可以与轴平行 B.直线可以与轴平行C.当时， D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项分析即可.【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，A项正确；当时，直线：，此时直线与轴平行，B项正确；若，则，解得，此时直线与重合，C项错误；若，则，解得，D正确.故选:ABD.10.已知曲线：（为参数），曲线：（为参数），，以下正确的是（）A.曲线是一个圆B.曲线是一条直线C.若，则曲线与存在公共点D.若，则曲线上的点到曲线距离的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】曲线以及曲线的参数方程消去参数和，能求出曲线和曲线的普通方程即可得到轨迹是什么图形；再将代入两个方程即可判断是否有公共点；最后将代入曲线利用曲线的参数方程即可求得最大值.【详解】A，曲线可化为：，故A错误；B，曲线可化为：，故B正确.C，当，：过曲线的上顶点，故C正确.D，若，：，设曲线上的点，则点到曲线的距离为，故D正确.故选：BCD.11.已知正方体的棱长为2，，分别是线段，上的动点，且满足，点是线段的中点，则（）A.若是的中点，则平面B.若是的中点，则平面C.最大值是D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对选项A，根据是的中点，取中点，通过证明四边形是平行四边形即可证明；对选项B，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，证明即可；对选项C，根据可知，与重合时，最大；对选项D，设出，坐标，则可知坐标，故，，由可知，代入数量积的坐标运算可转化为的取值范围，利用三角换元即可求解.【详解】是的中点，，，，∴是的中点.连接交于点如图所示.，∴四边形是平行四边形，.又平面，平面，平面，故A正确；以为原点如图建立空间直角坐标系，若是的中点，此时是的中点，那么，，，，而平面的一个法向量.，不是平面的法向量，故B错误；当与重合时，最大，为，故C正确；设，，则，，，，，，设，，，故，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题主要考查空间中线面位置关系、求线段长度最小值及数量积最小值的方法，解题关键是建立空间直角坐标系将几何问题转化为代数问题，考查学生转化能力、数形结合能力和计算能力，属于压轴题.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，，且，则______.【答案】##【解析】【分析】先由求得，再根据两向量的夹角公式，即可求出的值.【详解】,，得，则.故答案为：13.已知点，，，点满足，则的最小值为______.【答案】209【解析】【分析】设点，用坐标表示，代入等式，整理即得点P的轨迹方程；再用坐标表示出，根据点P纵坐标y的取值范围即可求解.【详解】设，由，得，化简得，的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆.，，当时，的最小值是209.故答案为：209.14.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若总存在一条过的直线，使得点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据点关于直线对称结合焦半径的范围化简得出离心率范围.【详解】设点关于直线的对称点为，则，，，，即，又，椭圆的离心率的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知直线过点.（1）若直线又过点，求直线的方程；（2）若直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于，两点，求面积的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由过两点可求直线斜率，再由点斜式即可求解；（2）设：，代入，利用基本不等式可得，即可求解面积的最小值.【小问1详解】因为过点，，所以斜率为，所以：，即；【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在且不为0，设：，代入得，得，当且仅当时，等号成立，所以，所以面积的最小值是8.16.在四棱锥中，底面四边形是正方形，，平面平面.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质，可得平面，进而可证再结合正方形的性质，有，由此可证平面，通过线面垂直即可证；（2）先通过证线面垂直求得点到平面的距离为，在通过线面平行得到点到平面的距离，利用勾股定理确定，即可求得直线与平面所成角的正弦值，由此即可求解.【小问1详解】连接交于点，平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，，四边形是正方形，，，平面，平面，平面，平面，【小问2详解】取中点，连接，不妨设.是正方形，所以，由（1）知平面，平面，，平面，平面，，平面，又平面，于是，，是中点，，，平面，平面，平面，在中，，所以，在中，，所以，点到平面的距离为.，平面，平面，平面，点到平面的距离.设直线与平面所成角为，于是，又，直线与平面所成角的大小为.17.已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用直线，斜率的关系即可列出等式，求出动点的轨迹方程；(2)点为曲线的右焦点，设出直线的方程，求出点的坐标，再利用向量关系即可求解.【小问1详解】设，则，整理得：.【小问2详解】由题意可知直线斜率存在，设，，令得，由，得，，即，代入：，得，，，直线：.18.如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.（1）证明：；（2）若，求的值；（3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）结合已知条件，先用线面垂直的性质定理和判定定理得出平面，再用线面垂直的性质定理得出所证结论.（2）用线面垂直的判定定理得出平面，进而得到，结合已知得出，根据相似三角形对应线段成比例得出结论.（3）以为原点建系，设出，的长度，表示出平面的法向量，再用含的式子表示，进而将所给线面角表示为关于的函数表达式，借助函数在区间内有解得出长度的取值范围.【小问1详解】平面，平面，，又，，平面，平面，，又，，平面，平面，.【小问2详解】由（1）可知，又，，平面，平面，，由（1）可知，在中，，.与相似，则，在中，，，，..【小问3详解】以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系.，，不妨设，，，，即，由知，于是，，，，设，则，，由可得，，.，，设平面的一个法向量为，于是令，得，，平面的一个法向量为，，结合，化简得，设，，要存在，使与平面所成角为，在上有零点.结合知函数图象的对称轴，故，又，只需满足，解得.的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第（3）问中，可将用到的线段长度设两个未知量，表示，再用勾股定理消掉一个未知量，将题中所给线面角度关系表示为含和的函数关系式，因为，可将看作主元，将所求问题变为求函数在区间内有解问题，进而得到结果.19.在平面直角坐标系中，若，两点在直线的同一侧，则称，为“同域点”；若，两点分别在直线的两侧，则称，为“异域点”.已知：抛物线：，：.（1）若点，为“异域点”，求实数的取值范围.（2）已知过的直线与抛物线交于，两点，（Ⅰ）若，为“同域点”，比较与0大小关系并说明理由；（Ⅱ）直线的斜率为，过原点作斜率为的直线，，，点，到直线的距离分别记为，，若，求点，为“同域点”的概率.【答案】（1）（2）（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（1）根据“异域点”的定义列不等式组即可求解；（2）（Ⅰ）分，为在下方和，为在的上方两种情况，列不等式组即可得；（Ⅱ）根据题意由点到直线的距离公式可得，，分，为“同域点”和，不为“同域点”两种情况，结合即可求解.【小问1详解】：，要使点，为“异域点”，则应在的下方，应在的上方，所以，解得；【小问2