2025年粤教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教版高一数学下册阶段测试试卷665考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、从1，2，3，4，5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为（）A.B.C.D.2、下列运算结果中正确的是（）

A.a2•a3=a6

B.（-a2）3=-a6

C.（-a2）3=（-a3）2

D.

3、【题文】函数的定义域是（）A.B.C.D.4、【题文】已知矩形的一边在平面内，与平面所成角为若

则到平面的距离为（）A.B.C.D.5、已知y=f(x)是奇函数，当时，当时，f(x)的最小值为1，则a的值等于()A.B.C.D.1评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、下列四个命题（1）有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数的图象是一直线；（4）函数的图象是抛物线，其中正确命题的题号是____________。7、设函数g（x）=x2-2（x∈R），则f（x）的值域是____．8、函数f（x）=x|x-1|的单调增区间为____．9、若函数y=的定义域为R，则k∈____．10、【题文】已知直线过点且点到直线的距离相等，则直线的方程为____．11、【题文】已知=____12、已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m2+n2的最小值是____评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)13、解分式方程：．14、在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，CD=2厘米，AD-BD=3厘米，那么BC=____厘米．15、（2008•宁波校级自主招生）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=15°，且AE=AD，则∠CDE=____°．16、方程ax2+ax+a=b（其中a≥0，b≠0）没有实数解，则a，b应满足条件____．17、已知10a=2，10b=6，则102a-3b=____．18、若f（x）=，则方程f（4x）=x的根是____．19、如图，某一水库水坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD=5米，斜坡AD=16米，坝高6米，斜坡BC的坡度i=1：3，求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB（精确到0.1米）．评卷人得分四、作图题(共2题，共4分)20、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．21、作出函数y=的图象．评卷人得分五、证明题(共4题，共16分)22、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．24、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分六、综合题(共3题，共30分)26、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．27、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．28、二次函数的图象的顶点坐标是，它与x轴的一个交点B的坐标是（-2，0），另一个交点的是C，它与y轴相交于D，O为坐标原点．试问：y轴上是否存在点P，使得△POB∽△DOC？若存在，试求出过P、B两点的直线的解析式；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、B【分析】【分析】找出所有等可能的情况数，得出和为奇数的个数，即可求出所求的概率．【解析】【解答】解：所有等可能的情况有60种；分别为1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，2；1，3，4；1，3，5；1，4，2；1，4，3；1，4，5；1，5，2；1，5，3；1，5，4；2，1，3；2，1，4；2，1，5；2，3，1；2，3，4；2，3，5；2，4，1；2，4，3；2，4，5；2，5，1；2，5，3；2，5，4；3，1，2；3，1，4；3，1，5；3，2，1；3，2，4；3，2，5；3，4，1；3，4，2；3，4，5；3，5，1；3，5，2；3，5，4；4，1，2；4，1，3；4，1，5；4，2，1；4，2，3；4，2，5；4，3，1；4，3，2；4，3，5；4，5，1；4，5，2；4，5，3；5，1，2；5，1，3；5，1，4；5，2，1；5，2，3；5，2，4；5，3，1；5，3，2；5，3，4；5，4，1；5，4，2；5，4，3，其中和为奇数的有24种；

则P==．

故选B2、B【分析】

由于a2•a3=a2+3=a5；所以选项A不正确；

（-a2）3=（-1）3a6=-a6；所以选项B正确；

（-a2）3=（-1）2a6=a6；所以选项C不正确；

若a=1，则无意义；所以选项D不正确．

故选B．

【解析】【答案】该题给出的四个选项都是考查有理指数幂的运算性质；在熟记运算性质的基础上逐一核对四个选项可得正确结论．

3、B【分析】【解析】

试题分析：由1+x>0得，x>－1，所以函数的定义域是故选B。

考点：本题主要考查函数定义域求法。

点评：基础题，求函数的定义域，往往要建立不等式组，依据是“分母不为0，偶次根号下式子不小于0，对数的真数大于0”等等。【解析】【答案】B4、A【分析】【解析】如图，过点作平面由

面可知平面则为到平面的距离，连结则

在中，所以即在中，斜边

所以

此题考查空间中线面平行判定及线面所成角求解，难度适中，学生在作图及论证求解方面得到锻炼.【解析】【答案】A5、D【分析】【解答】由已知是奇函数，且当时，的最小值为1，而奇函数图象关于原点对称性，可得当时，有最大值．当即时，在上单调递增；当即时，在上单调递减．当时，取最大值故选D．

【分析】1．函数的奇偶性；2．导数与函数的最大值最小值．二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】【解析】试题分析：为使有意义，须即不可能的，所以（1）不正确；由函数的定义、映射的定义知（2）函数是其定义域到值域的映射;正确；由于所以函数的图象是在一条直线上的孤立点，（3）不正确；是分段函数，在自变量的不同范围内，图象分别为不同抛物线的一部分，所以（4）不正确。答案为（2）.考点：本题主要考查函数的概念，函数的图象。【解析】【答案】（2）7、略

【分析】

当x＜g（x），即x＜x2-2；（x-2）（x+1）＞0时，x＞2或x＜-1；

f（x）=g（x）+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75；

∴其最小值为f（-1）=2

其最大值为+∞；

因此这个区间的值域为：（2；+∞）．

当x≥g（x）时；-1≤x≤2；

f（x）=g（x）-x=x2-2-x=（x-0.5）2-2.25

其最小值为f（0.5）=-2.25

其最大值为f（2）=0

因此这区间的值域为：[-2.25；0]．

综合得：函数值域为：[-2.25；0]U（2，+∞）

【解析】【答案】当x＜g（x）时，x＞2或x＜-1，f（x）=g（x）+x+4=x2-2+x+4=x2+x+2=（x+0.5）2+1.75，其值域为：（2，+∞）．当x≥g（x）时，-1≤x≤2，f（x）=g（x）-x=x2-2-x=（x-0.5）2-2.25；其值域为：[-2.25，0]．由此能得到函数值域．

8、略

【分析】

f（x）=x|x-1|=图象如图所示。

∴函数f（x）=x|x-1|的单调增区间为（-∞，]∪[1；+∞）

故答案为：（-∞，]∪[1；+∞）

【解析】【答案】写出分段函数；作出函数的图象，即可得到函数的单调增区间．

9、略

【分析】

函数y=的定义域为R可转化为：

∀x∈R，kx2+4kx+3≠0．令w=kx2+4kx+3

①k=0；由于3≠0，显然符合题意。

②k＞0，要想使二次函数w=kx2+4kx+3≠0；只需△＜0；

即（4k）2-4×3×k＜0

即

③k＜0，要想使二次函数w=kx2+4kx+3≠0；只需△＜0；

即（4k）2-4×3×k＜0

即（舍）

综上所述：

故答案为：

【解析】【答案】函数y=的定义域为R可转化为∀x∈R，kx2+4kx+3≠0．令w=kx2+4kx+3，对k进行分类讨论：①k=0，由于3≠0，显然符合题意②k＞0，要想使二次函数w=kx2+4kx+3≠0，只需△＜0，即（4k）2-4×3×k＜0，③k＜0，要想使二次函数w=kx2+4kx+3≠0，只需△＜0，即（4k）2-4×3×k＜0

10、略

【分析】【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为此时到直线的距离都为3；符合条件；

当直线斜率存在时，设直线方程为则有解得此时直线方程为即【解析】【答案】或11、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】012、4【分析】【解答】解：根据题意可知：当（m，n）运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时，m2+n2的值最小；

由三角形为直角三角形，且c为斜边，根据勾股定理得：c2=a2+b2；

所以原点（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离d==2；

则m2+n2的最小值为4．

故答案为：4．

【分析】由直角三角形且c为斜边，根据勾股定理表示出一个关系式，因为所求式子即为原点到已知点距离的平方，而点到直线的距离只有垂线段最短，利用点到直线的距离公式表示出原点到已知直线的距离，把表示出的关系式代入即可求出原点到已知直线的距离，平方即可得到所求式子的最小值．三、计算题(共7题，共14分)13、略

【分析】【分析】先去分母得到整式方程2x2+5x-7=x（x-1），再整理后解整式方程得到x1=-7，x2=1，然后进行检验，把x1=-7，x2=1分别代入x（x-1）中计算得到x=1时，x（x-1）=0；x=-7时，x（x-1）≠0，即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：方程两边同时乘以x（x-1），得2x2+5x-7=x（x-1）；

整理得x2+6x-7=0；即（x+7）（x-1）=0；

解得x1=-7，x2=1；

经检验；x=-7是原方程的解；x=1是原方程的增根；

所以原方程的解是x=-7．14、略

【分析】【分析】设BD=x，则AD=3+x，在Rt△ACD、Rt△BCD、Rt△ABC中，分别应用勾股定理先求出x的值，然后求出BC的长．【解析】【解答】解：设BD=x；则AD=3+x；

在Rt△ACD中，根据勾股定理有：（3+x）2+22=AC2；

在Rt△BCD中，根据勾股定理有：x2+22=BC2；

在Rt△ABC中，根据勾股定理有：AC2+BC2=AB2=（3+2x）2；

∴（3+x）2+22+x2+22=（3+2x）2；

解得：x=1或-4（舍去）．

又∵12+22=BC2；

∴BC=．

故答案为：．15、略

【分析】【分析】根据等腰三角形性质推出∠1=∠2，∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠1+∠3=∠B+15°，∠2=∠C+∠3，推出2∠3=15°即可．【解析】【解答】解：∵AD=AE，AC=AB，

∴∠1=∠2；∠B=∠C；

∵∠1+∠3=∠B+∠BAD=∠B+15°；

∠2=∠1=∠C+∠3；

∴∠C+∠3+∠3=∠B+15°；

2∠3=15°；

∴∠3=7.5°；

即∠CDE=7.5°；

故答案为：7.5°．16、略

【分析】【分析】若只有一个实数满足关于x的方程ax2+bx+c=0，则方程可能是一元一次方程，即有a=0，（b≠0）；也可能为有相等两根的一元二次方程，即△=b2-4ac＜0．【解析】【解答】解：方程ax2+ax+a=b（其中a≥0，b≠0）没有实数解；

∴方程是一元一次方程时满足条件；即a=0；

或△=b2-4ac＜0．

即：a2-4a（a-b）＜0

整理得：4ab-3a2＜0．

故答案为4ab-3a2＜0或a=0．17、略

【分析】【分析】先利用同底数幂的除法法则把所求式子转换成除法运算，再利用幂的乘方法则变形，最后把10a、10b的值整体代入计算即可．【解析】【解答】解：∵10a=2，10b=6；

∴102a-3b=（10a）2÷（10b）3=4÷216=；

故答案是．18、略

【分析】【分析】由f（4x）=x建立方程，进行化简配方可解得方程的根．【解析】【解答】解：∵f（4x）=x；

∴（x≠0）

化简，得4x2-4x+1=（2x-1）2=0；

解得；

故答案为：．19、略

【分析】【分析】过C、D作出梯形的两高，构造出两直角三角形，利用勾股定理和三角函数值求得两直角三角形的另2边，再加上CD，即为AB长，根据∠A的任意三角函数值即可求得度数．【解析】【解答】解：作DE⊥AB于点E；CF⊥AB于点F；

则ED=CF=6；

因为BC的坡度i=1：3；

∴BF=18；

∵AD=16；

∴AE=≈14.83；

∴AB=AE+BF+CD≈37.8米；

∵sinA=6÷16=0.375；

∴∠A=22°1′．四、作图题(共2题，共4分)20、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．21、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可五、证明题(共4题，共16分)22、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．24、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．六、综合题(共3题，共30分)26、略

【分析】【分析】先根据一次函数的解析式求出点A及点B的坐标，利用勾股定理解出线段BC、AB的坐标，分一下三种情况进行讨论，（1）若D点在C点上方时，（2）若D点在AC之间时，（3）若D点在A点下方时，每一种情况下求出点D的坐标即可．【解析】【解答】解：∵A；B是直线与y轴、x轴的交点；

令y=0，解得；

∴；

令x=0；解得y=-3；

∴A（0；-3）；

由勾股定理得，；

（1）若D点在C点上方时；则∠BCD为钝角；

∵∠BCD=∠ABD；又∠CDB=∠ADB；

∴△BCD∽△ABD；

∴；

设D（0；y），则y＞1；

∵；

∴；

∴8y2-22y+5=0；

解得或（舍去）；

∴点D的坐标为（0，）；

（2）若D点在AC之间时；则∠BCD为锐角；

∵∠ABD=∠BCD；又∠BAD=∠CAB；

∴△ABD∽△ACB，∴；

设D（0，y），则-3＜y＜1，又；

∴；

整理得8y2-18y-5=0；

解得或（舍去）；

∴D点坐标为（0，-）；

（3）若D点在A点下方时；有∠BAC=∠ABD+∠ADB＞∠ABD；

又显然∠BAC＜∠BCD；

∴D点在A点下方是不可能的．

综上所述，D点的坐标为（0，）或（0，-）．27、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3