2025年仁爱科普版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学上册月考试卷917考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、在100；101，102，，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（）

A.120

B.168

C.204

D.216

2、若（x+1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a，则（a5+a3+a1）2-（a4+a2+a）2的值等于（）

A.0

B.-32

C.32

D.-1

3、如果“￢（p∧q）”为真命题；则（）

A.p；q都是真命题。

B.p；q都是假命题。

C.p；q中至少有一个是真命题。

D.p；q中至多有一个是真命题。

4、已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2-2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（2，4）B.（1，2）C.（-2，1）D.（-2，4）5、函数f(x)=x2+2x+1

的单调递增区间是(

)

A.[鈭�1,+隆脼)

B.[1,+隆脼)

C.(鈭�隆脼,鈭�1]

D.(鈭�隆脼,1]

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)6、平行四边形两条邻边的长分别为和它们的夹角是45°，则它的面积为____．7、如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.8、设F是椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的最大距离是M，最小距离是m，则椭圆上与点F的距离等于的点的坐标是____．9、【题文】设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________．10、【题文】是圆上的三点，的延长线与线段交于点若则的取值范围是____

．11、如图，A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a2；⑤体积为a3．其中正确的结论是______．（要求填上所有正确结论的序号）12、已知实数a1a2a3

不全为零，正数xy

满足x+y=2

设xa1a2+ya2a3a12+a22+a32

的最大值为M=f(x,y)

则M

的最小值为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）15、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、综合题(共4题，共36分)20、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．21、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．22、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．23、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】

由题意知本题是一个计数原理的应用；首先对数字分类；

当数字不含0时，从9个数字中选三个，则这三个数字递增或递减的顺序确定是两个三位数，共有2C93=168；

当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C92=36个；

根据分类计数原理知共有168+36=204

故选C

【解析】【答案】本题是一个计数原理的应用，首先对数字分类，当数字不含0时，从9个数字中选三个，确定是两个三位数共有2C93，当三个数字中含有0时，从9个数字中选2个数，它们只有递减一种结果，共有C92个．相加得到结果．

2、A【分析】

因为（x+1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a；

令x=1得到25=a5+a4+a3+a2+a1+a；

令x=-1得到0=-a5+a4-a3+a2-a1+a；

又（a5+a3+a1）2-（a4+a2+a）2=-（a5+a4+a3+a2+a1+a）（a5-a4+a3-a2+a1-a）=0

故选A．

【解析】【答案】给x赋值1；-1，要求的式子用平方差公式分解，把赋值后的结果代入求出最后结果．

3、D【分析】

若原命题和命题的否定的真假性是相对的．

所以“￢（p∧q）”为真命题；可得“（p∧q）”为假命题．

要使p∧q为假命题；则p和q同时为假命题，或p和q中一真一假；

即p；q中至多有一个是真命题．

故选D

【解析】【答案】根据命题的否定关系，先由￢（p∧q）”为真命题；可得p∧q为假命题．

再根据p∧q与p和q的真假性可得p；q中至多有一个是真命题．

4、D【分析】解：∵+=1；x，y＞0；

∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8；

∵x+2y＞m2+2m恒成立；

∴m2-2m＜8；

求得-2＜m＜4；

故选：D．

先把x+2y转化为（x+2y）（+）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2-2m求得m2-2m＜8；进而求得m的范围．

本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．【解析】【答案】D5、A【分析】解：函数f(x)=x2+2x+1

的开口向上；对称轴为x=鈭�1

函数f(x)=x2+2x+1

的单调递增区间是[鈭�1,+隆脼)

．

故选：A

．

判断函数的对称轴以及开口方向；然后求解即可．

本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．【解析】A

二、填空题(共7题，共14分)6、略

【分析】

根据题意画出图形，如图所示：

过A作AE⊥BC，则∠AEB=90°，又B=45°，AB=4

得：AE=ABsin45°=2

则平行四边形的面积S=BC•AE=4×2=48．

故答案为：48．

【解析】【答案】根据题意画出图形；如图，过A作AE垂直于BC，可得∠AEB为直角，在三角形ABE中，再由AB和B的度数，求出AE的长，然后由边BC与边上的高AE乘积即可求出平行四边形的面积．

7、略

【分析】(1)是几何概型：P(A)＝＝(2)是条件概率：P(B|A)＝＝【解析】【答案】(1)(2)8、略

【分析】

∵椭圆上的点与点F的最大距离为M；最小距离是m；

∴M=a+c；n=a-c

∴（M+m）=a；

则椭圆上与点F的距离等a的点是短轴的两个顶点；

其坐标为：（0；±1）．

故答案为：（0；±1）．

【解析】【答案】根据椭圆上的点与点F的最大距离，最小距离分别是：M=a+c，n=a-c，从而得出（M+m）=a，故椭圆上与点F的距离等（M+m）的点是短轴的两个顶点即可解决问题．

9、略

【分析】【解析】am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，则d＝1，由am＝2及Sm＝0得解得m＝5.【解析】【答案】510、略

【分析】【解析】解：∵|OC|=|OB|=|OA|；OC="m"OA+nOB；

∴OC2="(m"OA+nOB)2="m2"OA2+n2OB2+2mnOA•OB∴1=m2+n2+2mncos∠AOB

当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，即（m+n）2-mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1；

∴-1＜m+n＜1；排除B；C

当OA，OB趋近射线OD，由平行四边形法则OC="OE"+OF="m"OA+nOB，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，故可得。【解析】【答案】11、略

【分析】解：如图；

原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形；再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8=14个面，故③错；

每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有×48=24条棱．②正确；

所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置；

原来的棱的数目是12；所以现在的顶点的数目是12．

或者从图片上可以看出每个顶点对应4条棱；每条棱很明显对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半即12个．①正确；

三角形和四边形的边长都是a，所以正方形总面积为6×a2=3a2，三角形总面积为8××a2sin60°=a2；

表面积（3+）a2；故④错；

体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×（）3=a2，剩余总体积为a3-a3=a3．⑤正确．

故答案为：①②⑤．

先根据题意画出图形；如图，原来的六个面还在只不过是变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，计算或数一数它的面数等，再结合割补法求出它的表面积及体积即可．

本小题主要考查棱柱的结构特征、多面体的表面积与体积等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于基础题．【解析】①②⑤12、略

【分析】解：若a2=0

则xa1a2+ya2a3a12+a22+a32=0

若a2鈮�0

则xa1a2+ya2a3a12+a22+a32=xa1+ya3a12+a32a2+a2鈮�x|a1|+y|a3|a12+a32|a2|+|a2|

鈮�(x2+y2)(a12+a32)2a12+a32=x2+y22

隆脿M=x2+y22

隆脽

正数xy

满足x+y=2

即y=2鈭�x

隆脿x2+y2=x2+(2鈭�x)2=2x2鈭�4x+4=2(x鈭�1)2+2

当x=1

时；x2+y2

取最小值2

隆脿M

的最小值为22

．

故答案为：22

．

讨论a2=0a2鈮�0

对原分式分子分母同除以a2

运用x鈮�|x|

然后分子运用柯西不等式，分母运用均值不等式，再化简得到M=x2+y22

根据条件正数xy

满足x+y=2

消去y

配方求出x2+y2

的最小值，从而得到M

的最小值．

本题主要考查柯西不等式及均值不等式的运用，考查转化思想及配方思想，是一道综合题．【解析】22

三、作图题(共9题，共18分)13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．15、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、综合题(共4题，共36分)20、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）21、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=