2023年北京中考数学复习分类汇编：几何作图题（原卷版）

专题20几何作图题

解答题（共34小题）

1.（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。.

已知：如图，NABC,求证：Z^+ZS+ZC=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点/作Z）E//8c.证明：如图，过点C作CD///8.

A

2.（2021•北京）《淮南子？天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点/

处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点2,使3,4两点间的距离为10步（步是古代的一种

长度单位），在点8处立一根杆；日落时，在地面上沿着点8处的杆的影子的方向取一点C,使C,8两

点间的距离为10步，在点C处立一根杆.取C4的中点。，那么直线。2表示的方向为东西方向.

（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点N,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图

中作C4的中点。（保留作图痕迹）；

（2）在如图中，确定了直线。8表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直

线C4表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：在AA8C中，BA=,。是C/的中点，

:.CA1DB（）（填推理的依据）.

•.・直线表示的方向为东西方向，

直线CA表示的方向为南北方向.

3.（2020•北京）已知：如图，AA8C为锐角三角形，AB=AC,CD//AB.

求作：线段8尸，使得点尸在直线CD上，且/48尸=工/氏4c.

2

作法：①以点/为圆心，/C长为半径画圆，交直线CD于C,尸两点；

②连接AP.

线段2尸就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.•CD//48,

:.NABP=.

­1•AB=AC,

.,.点8在GU上.

又•.•点C,尸都在。/上，

:.NBPC=g/BAC（）（填推理的依据）.

:.ZABP=-ZBAC.

2

4.（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线/及直线/外一点尸.

求作：直线尸。，使得尸。/〃.

作法：如图，

①在直线/上取一点N,作射线尸N,以点/为圆心，/P长为半径画弧，交尸N的延长线于点8；

②在直线/上取一点C（不与点/重合），作射线3C,以点C为圆心，CS长为半径画弧，交8c的延长线

于点。；

③作直线尸。.所以直线P。就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：AB=,CB=,

:.PQHlk）（填推理的依据）.

5.（2022•海淀区一模）《元史・天文志》中记载了元朝名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四

海测验”、这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现

在人们所说的“北线”完全吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度.如图1所示.

①春分时，太阳光直射赤道，此时在M地直立一根杆子在太阳光照射下，杆子会在地面上形成

影子，通过测量杆子与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角a；

②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的.所以根据太阳光与杆子所成的夹角a可以推算得

到M地的纬度，即NMOB的大小.

（1）图2是①中在"地测算太阳光与杆子所成夹角。的示意图.过点/作的垂线与直线CD交

于点。，则线段儿©可以看成是杆子在地面上形成的影子.使用直尺和圆规，在图2中作出影子

（保留作图痕迹）；

（2）依据图1完成如下证明.

证明：VAB//CD,

ZMOB==a（）（填推理的依据）

地的纬度为。.

6.（2022•朝阳区一模）中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法“以

半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，

其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”.

由记载可得作法如下：

①作。初，在0M上取一点N,以点N为圆心，为半径作ON,两圆相交于4,B两点,连接48；

②以点3为圆心，N5为半径作02，与。〃■相交于点C,与ON相交于点。；

③连接/C,AD,BC,BD.

AABC,AA8。都是圆内接正三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接NM,AN,MN,BM.

■：MA=MN=NA,

:.&4MN为.

ZAMN=60°.

同理可得，ABMN=60°.

N4MB=120°.

ZACB=60°（）（填推理的依据）.

•••BA=BC,

tsABC是等边二角形.

同理可得，A4即是等边三角形.

7.（2022•顺义区一模）已知：如图，N/O3和射线尸N.

求作：射线PM,使得ZMPN=2ZAOB.

作法：①在射线03上任取一点C,以点C为圆心，OC的长为半径画弧，交OA于点、D；

②以点尸为圆心，OC的长为半径画圆，交射线7W的反向延长线于点£；

③以点E为圆心，的长为半径画弧，在射线PN上方，交。尸于点M；

④作射线.

所以射线尸M就是所求作的射线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CD,EM.

PM=PE=CD=CO,EM=OD.

NMEP=\DOC{）（填推理依据）.

2MEP=/DOC.

又•：NMPN=2/MEP（）（填推理依据）.

.•一ZMPN=2ZAOB.

8.（2022•通州区一模）已知：如图，AA8C为锐角三角形，AB=AC.

求作：点尸，使得=S.ZAPC=ABAC.

作法：①以点N为圆心，N5长为半径画圆；

②以点3为圆心，3c长为半径画弧，交。/于点。（异于点C）；

③连接DA并延长交。/于点尸.

所以点尸就是所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明.

证明：连接尸C.

•••AB=AC,

.,.点C在。/上.

■：DC=DC,

:./DPC=g/DAC（）（填推理的依据），

由作图可知，BD=BC,

ADAB==-ZDAC.

2

NAPC=ZBAC.

A

9.（2022•丰台区一模）《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法.大意是：在平地上点/处立

一根杆，记录日出时杆影子的长度N2,并以点工为圆心，以N5为半径画圆，记录同一天日落时杆影子的

痕迹与此圆的交点C,那么直线C2表示的方向就是东西方向，NA4c的角平分线所在的直线表示的方向

就是南北方向.

（1）上述方法中，点4,B,。的位置如图所示，使用直尺和圆规，在图中作/A4C的角平分线/D（保

留作图痕迹）；

（2）在图中，确定了直线C5表示的方向为东西方向，根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线

表示的方向为南北方向，完成如下证明.

证明：•.•点8,C在0。上，

A43c是等腰三角形.

•••4D平分/A4c,

AD1BC(（填推理的依据）.

•.■直线C5表示的方向为东西方向,

直线AD表示的方向为南北方向.

10.（2022•房山区一模）己知：如图，点M为锐角N/P8的边尸/上一点.

求作：ZAMD,使得点。在边尸8上，MZAMD=2ZP.

作法：①以点M为圆心，儿。长为半径画圆，交尸/于另一点C,交尸8于点。；

②作射线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•./、C、。都在OM上，

/P为无所对的圆周角，NCW为心所对的圆心角，

:.ZP=^ZCMD（）（填推理依据）.

ZAMD=2NP.

11.（2022•平谷区一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同

学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍.他们在图纸上设计了以下施工方案：

①在。。中作直径N5,分别以/、8为圆心，大于工/5长为半径画弧，两弧在直径上方交于点C,

2

作射线0c交。。于点。；

②连接AD,以O为圆心长为半径画圆；

③大。。即为所求作.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成如下证明:

证明：连接C/、CB

在AA8C中，­,•CA=CB,O是42的中点,

CO1AB（）（填推理的依据）

设小O半径长为r

•••OB=OD,NDOB=90°

BD=yfir

S大GO=%=----------S小00,

12.（2022•北京一模）已知：如图，直线/,和直线外一点尸.

求作：过点尸作直线尸C,使得PC//2,

作法：①在直线/上取点O,以点。为圆心，。尸长为半径画圆，交直线/于4，8两点;

②连接/尸，以点2为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点C；

③作直线PC.

直线尸C即为所求作.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接2尸.

•••BC=AP,

BC=.

:./ABP=NBPC()(填推理依据).

直线/C//直线/.

13.（2022•门头沟区一模）下面是小明设计“作圆的一个内接矩形，并使其对角线夹角为60。”尺规作图

的过程.

己知：如图，。。.

求作：矩形4SCA,使矩形488内接于。。，对角线/C与的夹角为60。.

作法：①作。。的直径/C；

②以点/为圆心，长为半径作弧.交直线4C上方的圆于点2;

③连接BO并延长交。。于点D；

④顺次连接/2、BC、C。和D4.

四边形N2CD就是所求作的矩形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.,点/,C都在。。上，

OA=OC,OB=OD.

四边形NBC。是平行四边形（—）（填推理依据）.

又是。。的直径，

ZABC=90°（）（填推理依据），

四边形/BCD是矩形.

又；AB=AO=.

AABO是等边三角形，

ZAOB=60°,

四边形ABCD是所求作的矩形.

14.（2022•海淀区二模）已知：如图1,在A42c中，AB=AC,。为边/C上一点.

求作：点尸，使得点尸在射线3。上，且ZAPB=/4CB.

作法:如图2,

①以点/为圆心，长为半径画弧，交3。的延长线于点E,连接/£；

点尸就是所求作的点.

（1）补全作法，步骤②可为—（填"a”或“6”）；

a：作/A4E的平分线，交射线AD于点尸

b：作NC4E的平分线，交射线8。于点尸

（2）根据（1）中的选择，在图2中使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（3）由①可知点2,C,E在以点/为圆心，48长为半径的圆上，所以其依据

2

是.

由②可得,所以/PAD=NCBE.

2

又因为NADP=/BDC,可证乙1尸2=4C2.

15.（2022•西城区二模）已知：如图，AABC.

求作：点。（点。与点8在直线/C的异侧），使得D4=DC,且N/DC+N4BC=180。.

作法：①分别作线段NC的垂直平分线4和线段8C的垂直平分线4,直线4与4交于点。；

②以点。为圆心，。4的长为半径画圆，。。与丸在直线2c上方的交点为。；

③连接ZU,DC.

所以点。就是所求作的点.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CM,OB,OC.

•.,直线/］垂直平分NC,点。，。都在直线4上，

.­.OA=OC,DA=DC.

•.,直线4垂直平分2C，点。在直线4上，

OA=OB=OC.

.•.点/,B,C都在。。上.

•.,点。在OO上，

ZADC+ZABC=180°.()(填推理的依据)

求作：ABAD,使ZBAD=2MON.

下面是小明设计的尺规作图过程.

作法，如图2:

①在（W上取一点工，以/为圆心，Q4为半径画弧，交射线。/于点2；

②在射线ON上任取一点C,连接2C,分别以2,C为圆心，大于‘8C为半径画弧，两弧交于点E,

2

F,作直线斯，与BC交于点D；

③作射线即为所求.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下列证明.

证明：厂垂直平分5C,

=DC.

■：AO=AB,

：.AD//OC（）（填推理依据）.

17.（2022•朝阳区二模）已知：线段48.

求作：\ABC,使得44=90。，ZC=30°.

作法：①分别以点4,3为圆心，N2长为半径画弧，在直线的一侧相交于点。;

②连接8。并延长，在的延长线上取一点C,使得C£）=B。；

③连接/C.

\ABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接NO.

AB=BD=AD,

是等边三角形（—）（填推理的依据）.

./B=ZADB=60°.

•・•CD=BD,

CD=AD.

.ZDAC=ZACB.

:./ADB=/DAC+/ACB（）（填推理的依据）

=2/ACB.

ZACB=30°.

ABAC=90°.

A

B

18.（2022•丰台区二模）已知：如图，射线

求作：AABC,使得N45C=90。，ZBAC=30°,

作法：与在射线上任取一点。（不与点/重合）；

②以点。为圆心，CM长为半径画弧，交射线4M于4,C两点;

③以点。为圆心，。。长为半径画弧，交介于点5；

④连接45,BC,

AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：连接。5.

在0。中，OB=OC.

在0c中，OC=BC.

OB=OC=BC.

\OCB是等边三角形.

NACB=60°.

•・・/C是。O的直径，

ZABC=°（）（填推理的依据）.

ZACB+ZBAC=90°.

ABAC=30°.

A

19.（2022•东城区一模）已知：线段48.

求作：RtAABC,使得NBNC=90。，ZC=30°.

作法：

①分别以点/和点2为圆心，42长为半径作弧，两弧交于点

②连接8。，在5。的延长线上截取DC=AD；

③连接NC.

则A43c为所求作的三角形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接4D.

•/AB=AD=BD,

「.A4助为等边三角形（—）.（填推理的依据）

/B=NADB=60°.

•・•CD=BD,

...AD=CD

:.NDAC=（）.（填推理的依据）

ZADB=ZC+ZDAC=60°.

ZC=30°.

在AA8C中，

ABAC=180°-（ZB+ZC）=90°.

AB

20.（2022•东城区二模）如图，在A4BC中，AB=AC.

求作：直线N。，使得4D//BC.

小明的作法如下：

①以点/为圆心、适当长为半径画弧，交员4的延长线于点E,交线段NC于点尸；

②分别以点£,尸为圆心、大于工跖的长为半径画弧，两弧在NE4c的内部相交于点。;

2

③画直线40.

直线即为所求，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：由作法可知：4D平分/区4c.

ZEAD=ZDAC（）.（填推理的依据）

•••AB=AC,

NB=ZC

•••ZEAC=NB+NC,

:.ZEAC=2ZB.

•••ZEAC=2ZEAD,

:.NEAD=.

AD!!BC（）.（填推理的依据）

A

21.（2022•顺义区二模）已知：如图1,直线/和/外一点尸.

求作：直线尸0,使得尸0///.

作法：①在直线/上任取一点N,连接尸/,以点N为圆心，尸/的长为半径画弧，交直线/于点8；

②分别以点尸，8为圆心，尸/的长为半径画弧，两弧交于点0（不与点N重合）；

③作直线尸0.

所以直线尸0就是所求作的直线.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接80.

•••AB=BQ=PQ=PA,

.•.四边形尸480是,（）（填推理依据）.

:.PQHAB{）（填推理依据）.

即PQ!H.

图1图2

22.（2022•门头沟区二模）下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：OO.

求作：。。的内接正方形.

作法：如图.

①作直径48;

②分别以点/，2为圆心，以大于的同样长为半作弧，两弧交于"，N两点;

2

③作直线上W交。。于点C,D；

④连接/C,BC,AD,BD.

所以四边形/C8。就是所求作的正方形.

根据小宇设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：在。中，

■：MA=MB,NA=NB,

MN±AB.

ZAOC=ZCOB=ZBOD=NDOA=90°.

AC=BC=BD=AD（）（填推理的依据）.

四边形/C8。是菱形（—）（填推理的依据）.

•.■/8是OO的直径，

:.ZACB=90\）（填推理的依据）.

二.四边形NC5D是正方形.

23.（2022•石景山区二模）已知：如图，在A48C中，AB=AC.

求作：A42C的角平分线N7.

作法：①分别以点3,C为圆心，N2长为半径作弧，两弧在8C下方相交于点。；

②连接交BC于点T.所以就是所求作的线段.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接8。，CD.

■：AB=BD=DC=CA,

，四边形N&5C是—(—)(填推理的依据).

ABAD=Z.

:.AT为AABC的角平分线.

24.(2022•平谷区二模)如图，/市气象台预报：一沙尘暴中心在/市正西方的8处，正迅速向北偏东的

8c方向移动，距沙尘暴中心一定的范围内都将受沙尘暴影响，我们称这个范围为“波及范围”.若想预测

/市是否会受这次沙尘暴的影响，只需测量/市到射线2C的距离，若这个距离大于波及范围则/市不会

受到影响，若这个距离小于波及范围则4市会受到沙尘暴的影响.结合题意，在地图中作出所要测量的线

段：

①作线段42的垂直平分线/;

②直线/与线段N8交于点。；

③以。为圆心，08长为半径画圆，交射线8c于点X；

④连接/〃，即为所求作.

(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；

(2)依据作图过程完成如下证明.

证明：•.•45是。O直径，

ZAHB=()(填推理的依据).

：.AH即为所求作.

北

25.（2022•房山区二模）已知：如图，四边形是平行四边形.

求作：菱形NECF,使点E,尸分别在3C,4D上.

作法：①连接4C；

②作4C的垂直平分线即分别交2C,AD于点E,F；AC,跖交于点。；

③连接/E,CF.所以，四边形NECF就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•.•四边形4BCD是平行四边形，

AF11EC.

ZFAO=NECO.

又•••AAOF=ZCOE,AO=CO,

\AOF=\COE.

FO=EO.

四边形4ECF是平行四边形（一）（填推理的依据）.

又•.•£F_L/C,

平行四边形/ECF是菱形（一）（填推理的依据）.

求作：4408的平分线;

作法：①以点。为圆心，适当长为半径画弧，交。4于点C,交。2于点。；

②分别以点C,。为圆心，OC长为半径画弧，两弧在4408的内部相交于点尸;

③画射线。P.

射线O尸即为所求.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接尸C,PD.

由作法可知OC=OD=PC=PD.

四边形。是,

27.（2022•石景山区一模）己知：如图，RtAABC中，ZACB=90°,CB<CA.

求作：线段上的一点使得NMCB=N4.

作法：

①以点C为圆心，C3长为半径作弧，交AB于点、D；

②分别以点8，。为圆心，大于长为半径作弧，两弧在N2的右侧相交于点E；

2

③作直线CE,交48于点

NMC3即为所求.

根据小伟设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接CD,ED,EB.

■：CD=CB,ED=EB,

是。8的垂直平分线（—）（填推理的依据）.

CM1AB.

NMCB+ZB=90°.

•••ZACB=90°.

ZA+ZB=90°.

ZMCB=ZA()(填推理的依据).

28.(2022•密云区二模)阅读材料并解决问题：

己知：在AA8C中，AB>BC.

求作：45边上的高线CF.

作法：

①以点C为圆心，3c的长为半径作弧，交48边于点。，连接CA;

②分别以点3和点。为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在2。下方相交于点E；

2

③作射线CE交BD于点、F.

所以线段3即为A42c的N8边的高线.

(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：连接3E和。E.

在ACDE和AC8E中，

'(??)=CB

<DE=BE,

CE=CE

ACDE二NCBE,

ZDCE=ZBCE,

CE平分NDCB,

即C尸为A45C的N8边的高线—.（填写推理的依据）

29.（2022•大兴区一模）下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程.

已知：如图，在A42c中，BA=BC,。是/C的中点.

求作：四边形N5CE,使得四边形/5CE为菱形.

作法：①作射线AD;

②以点。为圆心，5D长为半径作弧，交射线8。于点£；

③连接NE,CE,则四边形/5CE为菱形.

根据小云设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：•.•点。为/C的中点，

.­.AD=CD.

又•：DE=BD,

四边形N3CE为平行四边形（—）（填推理的依据）.

•••BA=BC,

.上/8CE为菱形（—）（填推理的依据）.

30.（2022•大兴区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：直线/及直线/外一点尸.

求作：直线尸。，使得尸。///.

作法：如图.

①在直线/上取两点N,B；

②以点尸为圆心，为半径画弧，以点3为圆心，/尸为半径画弧，两弧在直线/上方相交于点0；

③作直线尸0.

根据小东设计的尺规作图过程

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：PA=,AB=,

.•.四边形PABQ是平行四边形

.-.PQ//K）.（填写推理的依据）

31.（2022•房山区模拟）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知：。。和圆外一点尸.

求作：过点尸的。。的切线.