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专题20几何作图题

解答题(共34小题)

1.(2022•北京)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种,完成证明.

三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180。.

已知:如图,NABC,求证:Z^+ZS+ZC=180°.

方法一方法二

证明:如图,过点/作Z)E//8c.证明:如图,过点C作CD///8.

A

2.(2021•北京)《淮南子?天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点/

处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点2,使3,4两点间的距离为10步(步是古代的一种

长度单位),在点8处立一根杆;日落时,在地面上沿着点8处的杆的影子的方向取一点C,使C,8两

点间的距离为10步,在点C处立一根杆.取C4的中点。,那么直线。2表示的方向为东西方向.

(1)上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点N,B,C的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图

中作C4的中点。(保留作图痕迹);

(2)在如图中,确定了直线。8表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直

线C4表示的方向为南北方向,完成如下证明.

证明:在AA8C中,BA=,。是C/的中点,

:.CA1DB()(填推理的依据).

•.・直线表示的方向为东西方向,

直线CA表示的方向为南北方向.

3.(2020•北京)已知:如图,AA8C为锐角三角形,AB=AC,CD//AB.

求作:线段8尸,使得点尸在直线CD上,且/48尸=工/氏4c.

2

作法:①以点/为圆心,/C长为半径画圆,交直线CD于C,尸两点;

②连接AP.

线段2尸就是所求作的线段.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:•.•CD//48,

:.NABP=.

­1•AB=AC,

.,.点8在GU上.

又•.•点C,尸都在。/上,

:.NBPC=g/BAC()(填推理的依据).

:.ZABP=-ZBAC.

2

4.(2018•北京)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知:直线/及直线/外一点尸.

求作:直线尸。,使得尸。/〃.

作法:如图,

①在直线/上取一点N,作射线尸N,以点/为圆心,/P长为半径画弧,交尸N的延长线于点8;

②在直线/上取一点C(不与点/重合),作射线3C,以点C为圆心,CS长为半径画弧,交8c的延长线

于点。;

③作直线尸。.所以直线P。就是所求作的直线.

根据小东设计的尺规作图过程,

(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明:AB=,CB=,

:.PQHlk)(填推理的依据).

5.(2022•海淀区一模)《元史・天文志》中记载了元朝名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测,称为“四

海测验”、这次观测主要使用了“立杆测影”的方法,在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”与现

在人们所说的“北线”完全吻合,利用类似的原理,我们也可以测量出所在地的纬度.如图1所示.

①春分时,太阳光直射赤道,此时在M地直立一根杆子在太阳光照射下,杆子会在地面上形成

影子,通过测量杆子与它的影子的长度,可以计算出太阳光与杆子所成的夹角a;

②由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的.所以根据太阳光与杆子所成的夹角a可以推算得

到M地的纬度,即NMOB的大小.

(1)图2是①中在"地测算太阳光与杆子所成夹角。的示意图.过点/作的垂线与直线CD交

于点。,则线段儿©可以看成是杆子在地面上形成的影子.使用直尺和圆规,在图2中作出影子

(保留作图痕迹);

(2)依据图1完成如下证明.

证明:VAB//CD,

ZMOB==a()(填推理的依据)

地的纬度为。.

6.(2022•朝阳区一模)中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法“以

半径为度,任用圆界一点为心,作两圆相交,又移一心,以交线为界,再作一交圆,其三线相交处为一角,

其两线相交处为两角,直线界之亦得所求”.

由记载可得作法如下:

①作。初,在0M上取一点N,以点N为圆心,为半径作ON,两圆相交于4,B两点,连接48;

②以点3为圆心,N5为半径作02,与。〃■相交于点C,与ON相交于点。;

③连接/C,AD,BC,BD.

AABC,AA8。都是圆内接正三角形.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接NM,AN,MN,BM.

■:MA=MN=NA,

:.&4MN为.

ZAMN=60°.

同理可得,ABMN=60°.

N4MB=120°.

ZACB=60°()(填推理的依据).

•••BA=BC,

tsABC是等边二角形.

同理可得,A4即是等边三角形.

7.(2022•顺义区一模)已知:如图,N/O3和射线尸N.

求作:射线PM,使得ZMPN=2ZAOB.

作法:①在射线03上任取一点C,以点C为圆心,OC的长为半径画弧,交OA于点、D;

②以点尸为圆心,OC的长为半径画圆,交射线7W的反向延长线于点£;

③以点E为圆心,的长为半径画弧,在射线PN上方,交。尸于点M;

④作射线.

所以射线尸M就是所求作的射线.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接CD,EM.

PM=PE=CD=CO,EM=OD.

NMEP=\DOC{)(填推理依据).

2MEP=/DOC.

又•:NMPN=2/MEP()(填推理依据).

.•一ZMPN=2ZAOB.

8.(2022•通州区一模)已知:如图,AA8C为锐角三角形,AB=AC.

求作:点尸,使得=S.ZAPC=ABAC.

作法:①以点N为圆心,N5长为半径画圆;

②以点3为圆心,3c长为半径画弧,交。/于点。(异于点C);

③连接DA并延长交。/于点尸.

所以点尸就是所求作的点.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接尸C.

•••AB=AC,

.,.点C在。/上.

■:DC=DC,

:./DPC=g/DAC()(填推理的依据),

由作图可知,BD=BC,

ADAB==-ZDAC.

2

NAPC=ZBAC.

A

9.(2022•丰台区一模)《周髀算经》中记载了一种确定东南西北方向的方法.大意是:在平地上点/处立

一根杆,记录日出时杆影子的长度N2,并以点工为圆心,以N5为半径画圆,记录同一天日落时杆影子的

痕迹与此圆的交点C,那么直线C2表示的方向就是东西方向,NA4c的角平分线所在的直线表示的方向

就是南北方向.

(1)上述方法中,点4,B,。的位置如图所示,使用直尺和圆规,在图中作/A4C的角平分线/D(保

留作图痕迹);

(2)在图中,确定了直线C5表示的方向为东西方向,根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线

表示的方向为南北方向,完成如下证明.

证明:•.•点8,C在0。上,

A43c是等腰三角形.

•••4D平分/A4c,

AD1BC((填推理的依据).

•.■直线C5表示的方向为东西方向,

直线AD表示的方向为南北方向.

10.(2022•房山区一模)己知:如图,点M为锐角N/P8的边尸/上一点.

求作:ZAMD,使得点。在边尸8上,MZAMD=2ZP.

作法:①以点M为圆心,儿。长为半径画圆,交尸/于另一点C,交尸8于点。;

②作射线.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:•./、C、。都在OM上,

/P为无所对的圆周角,NCW为心所对的圆心角,

:.ZP=^ZCMD()(填推理依据).

ZAMD=2NP.

11.(2022•平谷区一模)有趣的倍圆问题:校园里有个圆形花坛,春季改造,负责该片花园维护的某班同

学经过协商,想把该花坛的面积扩大一倍.他们在图纸上设计了以下施工方案:

①在。。中作直径N5,分别以/、8为圆心,大于工/5长为半径画弧,两弧在直径上方交于点C,

2

作射线0c交。。于点。;

②连接AD,以O为圆心长为半径画圆;

③大。。即为所求作.

(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成如下证明:

证明:连接C/、CB

在AA8C中,­,•CA=CB,O是42的中点,

CO1AB()(填推理的依据)

设小O半径长为r

•••OB=OD,NDOB=90°

BD=yfir

S大GO=%=----------S小00,

12.(2022•北京一模)已知:如图,直线/,和直线外一点尸.

求作:过点尸作直线尸C,使得PC//2,

作法:①在直线/上取点O,以点。为圆心,。尸长为半径画圆,交直线/于4,8两点;

②连接/尸,以点2为圆心,AP长为半径画弧,交半圆于点C;

③作直线PC.

直线尸C即为所求作.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明:

证明:连接2尸.

•••BC=AP,

BC=.

:./ABP=NBPC()(填推理依据).

直线/C//直线/.

13.(2022•门头沟区一模)下面是小明设计“作圆的一个内接矩形,并使其对角线夹角为60。”尺规作图

的过程.

己知:如图,。。.

求作:矩形4SCA,使矩形488内接于。。,对角线/C与的夹角为60。.

作法:①作。。的直径/C;

②以点/为圆心,长为半径作弧.交直线4C上方的圆于点2;

③连接BO并延长交。。于点D;

④顺次连接/2、BC、C。和D4.

四边形N2CD就是所求作的矩形.

根据小明设计的尺规作图过程,

(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:•.,点/,C都在。。上,

OA=OC,OB=OD.

四边形NBC。是平行四边形(—)(填推理依据).

又是。。的直径,

ZABC=90°()(填推理依据),

四边形/BCD是矩形.

又;AB=AO=.

AABO是等边三角形,

ZAOB=60°,

四边形ABCD是所求作的矩形.

14.(2022•海淀区二模)已知:如图1,在A42c中,AB=AC,。为边/C上一点.

求作:点尸,使得点尸在射线3。上,且ZAPB=/4CB.

作法:如图2,

①以点/为圆心,长为半径画弧,交3。的延长线于点E,连接/£;

点尸就是所求作的点.

(1)补全作法,步骤②可为—(填"a”或“6”);

a:作/A4E的平分线,交射线AD于点尸

b:作NC4E的平分线,交射线8。于点尸

(2)根据(1)中的选择,在图2中使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(3)由①可知点2,C,E在以点/为圆心,48长为半径的圆上,所以其依据

2

是.

由②可得,所以/PAD=NCBE.

2

又因为NADP=/BDC,可证乙1尸2=4C2.

15.(2022•西城区二模)已知:如图,AABC.

求作:点。(点。与点8在直线/C的异侧),使得D4=DC,且N/DC+N4BC=180。.

作法:①分别作线段NC的垂直平分线4和线段8C的垂直平分线4,直线4与4交于点。;

②以点。为圆心,。4的长为半径画圆,。。与丸在直线2c上方的交点为。;

③连接ZU,DC.

所以点。就是所求作的点.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接CM,OB,OC.

•.,直线/]垂直平分NC,点。,。都在直线4上,

.­.OA=OC,DA=DC.

•.,直线4垂直平分2C,点。在直线4上,

OA=OB=OC.

.•.点/,B,C都在。。上.

•.,点。在OO上,

ZADC+ZABC=180°.()(填推理的依据)

求作:ABAD,使ZBAD=2MON.

下面是小明设计的尺规作图过程.

作法,如图2:

①在(W上取一点工,以/为圆心,Q4为半径画弧,交射线。/于点2;

②在射线ON上任取一点C,连接2C,分别以2,C为圆心,大于‘8C为半径画弧,两弧交于点E,

2

F,作直线斯,与BC交于点D;

③作射线即为所求.

(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下列证明.

证明:厂垂直平分5C,

=DC.

■:AO=AB,

:.AD//OC()(填推理依据).

17.(2022•朝阳区二模)已知:线段48.

求作:\ABC,使得44=90。,ZC=30°.

作法:①分别以点4,3为圆心,N2长为半径画弧,在直线的一侧相交于点。;

②连接8。并延长,在的延长线上取一点C,使得C£)=B。;

③连接/C.

\ABC就是所求作的三角形.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接NO.

AB=BD=AD,

是等边三角形(—)(填推理的依据).

./B=ZADB=60°.

•・•CD=BD,

CD=AD.

.ZDAC=ZACB.

:./ADB=/DAC+/ACB()(填推理的依据)

=2/ACB.

ZACB=30°.

ABAC=90°.

A

B

18.(2022•丰台区二模)已知:如图,射线

求作:AABC,使得N45C=90。,ZBAC=30°,

作法:与在射线上任取一点。(不与点/重合);

②以点。为圆心,CM长为半径画弧,交射线4M于4,C两点;

③以点。为圆心,。。长为半径画弧,交介于点5;

④连接45,BC,

AABC就是所求作的三角形.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明:

证明:连接。5.

在0。中,OB=OC.

在0c中,OC=BC.

OB=OC=BC.

\OCB是等边三角形.

NACB=60°.

•・・/C是。O的直径,

ZABC=°()(填推理的依据).

ZACB+ZBAC=90°.

ABAC=30°.

A

19.(2022•东城区一模)已知:线段48.

求作:RtAABC,使得NBNC=90。,ZC=30°.

作法:

①分别以点/和点2为圆心,42长为半径作弧,两弧交于点

②连接8。,在5。的延长线上截取DC=AD;

③连接NC.

则A43c为所求作的三角形.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接4D.

•/AB=AD=BD,

「.A4助为等边三角形(—).(填推理的依据)

/B=NADB=60°.

•・•CD=BD,

...AD=CD

:.NDAC=().(填推理的依据)

ZADB=ZC+ZDAC=60°.

ZC=30°.

在AA8C中,

ABAC=180°-(ZB+ZC)=90°.

AB

20.(2022•东城区二模)如图,在A4BC中,AB=AC.

求作:直线N。,使得4D//BC.

小明的作法如下:

①以点/为圆心、适当长为半径画弧,交员4的延长线于点E,交线段NC于点尸;

②分别以点£,尸为圆心、大于工跖的长为半径画弧,两弧在NE4c的内部相交于点。;

2

③画直线40.

直线即为所求,

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:由作法可知:4D平分/区4c.

ZEAD=ZDAC().(填推理的依据)

•••AB=AC,

NB=ZC

•••ZEAC=NB+NC,

:.ZEAC=2ZB.

•••ZEAC=2ZEAD,

:.NEAD=.

AD!!BC().(填推理的依据)

A

21.(2022•顺义区二模)已知:如图1,直线/和/外一点尸.

求作:直线尸0,使得尸0///.

作法:①在直线/上任取一点N,连接尸/,以点N为圆心,尸/的长为半径画弧,交直线/于点8;

②分别以点尸,8为圆心,尸/的长为半径画弧,两弧交于点0(不与点N重合);

③作直线尸0.

所以直线尸0就是所求作的直线.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接80.

•••AB=BQ=PQ=PA,

.•.四边形尸480是,()(填推理依据).

:.PQHAB{)(填推理依据).

即PQ!H.

图1图2

22.(2022•门头沟区二模)下面是小宇设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知:OO.

求作:。。的内接正方形.

作法:如图.

①作直径48;

②分别以点/,2为圆心,以大于的同样长为半作弧,两弧交于",N两点;

2

③作直线上W交。。于点C,D;

④连接/C,BC,AD,BD.

所以四边形/C8。就是所求作的正方形.

根据小宇设计的尺规作图过程,

(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明:在。中,

■:MA=MB,NA=NB,

MN±AB.

ZAOC=ZCOB=ZBOD=NDOA=90°.

AC=BC=BD=AD()(填推理的依据).

四边形/C8。是菱形(—)(填推理的依据).

•.■/8是OO的直径,

:.ZACB=90\)(填推理的依据).

二.四边形NC5D是正方形.

23.(2022•石景山区二模)已知:如图,在A48C中,AB=AC.

求作:A42C的角平分线N7.

作法:①分别以点3,C为圆心,N2长为半径作弧,两弧在8C下方相交于点。;

②连接交BC于点T.所以就是所求作的线段.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接8。,CD.

■:AB=BD=DC=CA,

,四边形N&5C是—(—)(填推理的依据).

ABAD=Z.

:.AT为AABC的角平分线.

24.(2022•平谷区二模)如图,/市气象台预报:一沙尘暴中心在/市正西方的8处,正迅速向北偏东的

8c方向移动,距沙尘暴中心一定的范围内都将受沙尘暴影响,我们称这个范围为“波及范围”.若想预测

/市是否会受这次沙尘暴的影响,只需测量/市到射线2C的距离,若这个距离大于波及范围则/市不会

受到影响,若这个距离小于波及范围则4市会受到沙尘暴的影响.结合题意,在地图中作出所要测量的线

段:

①作线段42的垂直平分线/;

②直线/与线段N8交于点。;

③以。为圆心,08长为半径画圆,交射线8c于点X;

④连接/〃,即为所求作.

(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)依据作图过程完成如下证明.

证明:•.•45是。O直径,

ZAHB=()(填推理的依据).

:.AH即为所求作.

25.(2022•房山区二模)已知:如图,四边形是平行四边形.

求作:菱形NECF,使点E,尸分别在3C,4D上.

作法:①连接4C;

②作4C的垂直平分线即分别交2C,AD于点E,F;AC,跖交于点。;

③连接/E,CF.所以,四边形NECF就是所求作的菱形.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:•.•四边形4BCD是平行四边形,

AF11EC.

ZFAO=NECO.

又•••AAOF=ZCOE,AO=CO,

\AOF=\COE.

FO=EO.

四边形4ECF是平行四边形(一)(填推理的依据).

又•.•£F_L/C,

平行四边形/ECF是菱形(一)(填推理的依据).

求作:4408的平分线;

作法:①以点。为圆心,适当长为半径画弧,交。4于点C,交。2于点。;

②分别以点C,。为圆心,OC长为半径画弧,两弧在4408的内部相交于点尸;

③画射线。P.

射线O尸即为所求.

(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接尸C,PD.

由作法可知OC=OD=PC=PD.

四边形。是,

27.(2022•石景山区一模)己知:如图,RtAABC中,ZACB=90°,CB<CA.

求作:线段上的一点使得NMCB=N4.

作法:

①以点C为圆心,C3长为半径作弧,交AB于点、D;

②分别以点8,。为圆心,大于长为半径作弧,两弧在N2的右侧相交于点E;

2

③作直线CE,交48于点

NMC3即为所求.

根据小伟设计的尺规作图过程,

(1)使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接CD,ED,EB.

■:CD=CB,ED=EB,

是。8的垂直平分线(—)(填推理的依据).

CM1AB.

NMCB+ZB=90°.

•••ZACB=90°.

ZA+ZB=90°.

ZMCB=ZA()(填推理的依据).

28.(2022•密云区二模)阅读材料并解决问题:

己知:在AA8C中,AB>BC.

求作:45边上的高线CF.

作法:

①以点C为圆心,3c的长为半径作弧,交48边于点。,连接CA;

②分别以点3和点。为圆心,大于的长为半径作弧,两弧在2。下方相交于点E;

2

③作射线CE交BD于点、F.

所以线段3即为A42c的N8边的高线.

(1)使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明:连接3E和。E.

在ACDE和AC8E中,

'(??)=CB

<DE=BE,

CE=CE

ACDE二NCBE,

ZDCE=ZBCE,

CE平分NDCB,

即C尸为A45C的N8边的高线—.(填写推理的依据)

29.(2022•大兴区一模)下面是小云设计的“利用等腰三角形和它底边的中点作菱形”的尺规作图过程.

已知:如图,在A42c中,BA=BC,。是/C的中点.

求作:四边形N5CE,使得四边形/5CE为菱形.

作法:①作射线AD;

②以点。为圆心,5D长为半径作弧,交射线8。于点£;

③连接NE,CE,则四边形/5CE为菱形.

根据小云设计的尺规作图过程.

(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明:•.•点。为/C的中点,

.­.AD=CD.

又•:DE=BD,

四边形N3CE为平行四边形(—)(填推理的依据).

•••BA=BC,

.上/8CE为菱形(—)(填推理的依据).

30.(2022•大兴区二模)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知:直线/及直线/外一点尸.

求作:直线尸。,使得尸。///.

作法:如图.

①在直线/上取两点N,B;

②以点尸为圆心,为半径画弧,以点3为圆心,/尸为半径画弧,两弧在直线/上方相交于点0;

③作直线尸0.

根据小东设计的尺规作图过程

(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明:PA=,AB=,

.•.四边形PABQ是平行四边形

.-.PQ//K).(填写推理的依据)

31.(2022•房山区模拟)下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.

已知:。。和圆外一点尸.

求作:过点尸的。。的切线.

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