2024-2025学年新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE8-第2课时等式性质与不等式性质学习目标核心素养1.驾驭不等式的性质．(重点)2．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3．通过类比等式与不等式的性质，探究两者之间的共性与差异.1.通过不等式性质的推断与证明，培育逻辑推理实力．2．借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养.在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象．问题：你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？提示：糖水变甜这一现象对应的不等式为eq\f(a,b)＜eq\f(a＋c,b＋c)，其中a＜b，c＞0.1．等式的性质(1)性质1：假如a＝b，那么b＝a；(2)性质2：假如a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3：假如a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4：假如a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5：假如a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的基本性质(1)性质1：a＞b⇔b＜a.(2)性质2：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)性质3：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)性质4：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)性质5：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)性质6：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)性质7：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a>b，则ac>bc肯定成立． ()(2)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d. ()[提示](1)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不肯定成立．(2)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.满意a＋c>b＋d，但不满意a>b.[答案](1)×(2)×2．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不肯定成立的是()A．a－b＞d－c B．a＋d＞b＋cC．a－c＞b－c D．a－c＜a－dB[依据不等式的性质．]3．与a>b等价的不等式是()A．|a|>|b| B．a2>b2C.eq\f(a,b)>1 D．a3>b3D[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满意a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满意a>b，故选D.]4．用不等号“＞”或“＜”填空(1)假如a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac________bd；(2)假如a＞b＞0，那么eq\f(1,a2)________eq\f(1,b2)；(3)假如a＞b＞c＞0，那么eq\f(c,a)________eq\f(c,b).(1)＜(2)＜(3)＜[(1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又a＞b＞0，∴－ac＞－bd，即ac＜bd.(2)∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0，∴eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2).(3)∵a＞b＞0，∴0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).又∵c＞0，∴eq\f(c,a)＜eq\f(c,b).]利用不等式性质推断命题真假【例1】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0[思路点拨]本题可以利用不等式的性质干脆推断命题的真假，也可以采纳特殊值法推断．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．法二：特殊值解除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．取a＝2，b＝1，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B错．取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C错．故D为真命题．]运用不等式的性质推断时，要留意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质.解有关不等式选择题时，也可采纳特殊值法进行解除，留意取值肯定要遵循如下原则：一是满意题设条件；二是取值要简洁，便于验证计算.eq\o([跟进训练])1．下列命题正确的是()A．若a2＞b2，则a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＜bD[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故D正确．]利用不等式性质证明简洁不等式【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以eq\f(1,a－c2b－d2)，得eq\f(1,a－c2)＜eq\f(1,b－d2).又e＜0，∴eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).利用不等式的性质证明不等式的留意事项1利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题肯定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用.2应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.eq\o([跟进训练])2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc.[证明]∵a>b，c>0，∴ac>bc.又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，∴e－bc>f－ac，∴f－ac<e－bc.不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2).又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你认为正确吗？为什么？提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向变更，在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负．故不能将eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？提示：不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不行随意“创建”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2冲突了呢？提示：利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要留意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次运用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．[思路点拨]依据不等式的性质，找到－b与eq\f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq\f(a,b)的取值范围．[解]因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因为eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.求含字母的数或式子的取值范围时，一要留意题设中的条件，二要正确运用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不行减，可乘不行除.eq\o([跟进训练])3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．[解]∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，两式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4).∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又知α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.即－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.1．记牢2组性质(1)等式的5特性质；(2)不等式的7特性质．2．驾驭不等式性质的应用条件(1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等学问．(2)性质3(即可加性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”．(3)性质4(即可乘性)在运用中要特殊留意探讨“乘数的符号”.(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式．3．规避1个易错留意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性．1．设x<a<0，则下列不等式肯定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.]2．假如a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋c D．ac＞bdC[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)，－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)，即B正确；明显D正确，因此不正确的选项是C.]3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1A[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.∴－2＜α－β＜2，但α＜β，故知－2＜α－β＜0.]4．下列命题中，真命题是________(填序号)．①若a＞b＞0，则eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；②若a＞b，则c－2a＜c－2b；③若a＜0，b＞0，则eq\r(－a)＜eq\r(b)；④若a＞b，则2a＞2b.①②④[①a＞b＞